2017考研线性代数大纲考点之二次型
二次型矩阵知识点总结笔记
二次型矩阵知识点总结笔记
二次型矩阵是线性代数中的重要概念，涉及到矩阵、向量、特
征值等多个知识点。
下面我将从不同角度对二次型矩阵进行总结：
1. 定义，二次型矩阵是一个实对称矩阵，通常用矩阵Q表示。
它可以表示为一个关于向量x的二次齐次多项式，即Q(x) = x^T
A x，其中A是实对称矩阵，x是列向量。
2. 矩阵的性质，二次型矩阵的主要性质包括实对称性、正定性、负定性、半正定性、半负定性等。
这些性质与矩阵的特征值和特征
向量密切相关。
3. 特征值分解，对于二次型矩阵，可以进行特征值分解，得到
矩阵的特征值和特征向量。
这对于分析矩阵的性质和优化问题具有
重要意义。
4. 应用，二次型矩阵在优化问题、统计学、物理学等领域有着
广泛的应用。
例如在最小二乘法、主成分分析、正定规划等问题中
都涉及到二次型矩阵的应用。
总的来说，二次型矩阵是线性代数中一个重要且复杂的概念，涉及到多个方面的知识点。
深入理解二次型矩阵对于理解矩阵理论和应用具有重要意义。
希望这些总结对您有所帮助。
线性代数 第六章二次型
第六章 二次型1、二次型基本概念1º二次型：n 个变量n x x ,,1 的二次齐次多项式n n n x x a x x a x a x x f 11211221111),,(+++=n n x x a x x a 222112++++…+211n nn n n x a x x a ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ∴A A Axx x f T T ==且)( 例如：3221232221453x x x x x x x f -+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=52102132022A 结论：二次型与对称矩阵一一对应，称对称矩阵的秩为对应二次型的秩. 2º标准二次型：22111),(n n n y d y d y y f ++=3º规范二次型：2212211)(q P P p q p z z z z z z f +++-+=++4º秩与惯性指数惯性指数：在标准型或规范型中，正平方项的个数称为正惯性；负平方项的个数称为负惯性指数，且正负惯性指数之和为二次型的秩，正负惯性指数之差称为符号差。
化标准形式规范型：①配方；②合同变换二次型的矩阵的秩，正负惯性指数等相关题目思路：1）Ax x x x x f T n =),,(21 将，则秩f =秩A2）将),,(21n x x x f 用合同变换式配方法化为标准型221121),,(n n n y d y d x x x f ++= 负项的个数＝负惯性指数，秩f ＝平方项个数或化为规范型2221v p z z z f --++= 将 秩v f =正惯性指数为P ，负惯性指数为P v -例1. 1）二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 ，二次型的秩为 3 .2）实二次型2322213213),,(x x x x x x f +-=的秩为 ，正、负惯性指数分别为 例2.设)1()()()()(),,(212222121>++-+++=n x x nx nx nx x x x f n n n则f 的正负惯性指数之和为解：n n n x x x x x n x n f 1212221222)1()1(-----++-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=11111111111111122222222n n n n n n n n n n n A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→22220000111111111111n n n n2、将二次型化为标准形式已知标准形来求参数标准化方法1º配方法原理：配完全平方情形1：有平方项21⨯n a步骤：对所有含1x 的项配方，使得配方后余下的项不含1x ，如此继续，直至每一项均包含在平方项中。
线性代数-二次型
=x Ax A是对称矩阵.
称为二次型的矩阵表示, 建立了对称矩 阵与二次型之间的一一对应关系. 当aij为 实数时, f 称为的实二次型，当 aij为复数 时， f 称为复二次型.
例如
f ( x, y, z) x2 2 y2 5z2 2xy 6 yz 2xz
x
y
z
1 1
1 2
1 x 3 y
0 0
6 D1
1 1/2 3
1 1/ 2 1 C1
0 0
1
2 0 0 0 1 0
0 0 6
1 1/2 3
1 0
1/ 2 0
11
2 0 0 2
0 0 D
与例2一致.
0 0 6
1 1 3
于是
1 0
1 0
11 C
f 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3 经过变换x=Cy, 即
1 3 5 z
二次型讨论的主要问题: 在新旧变量之间, 寻 找适当的线性变换
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2 c21 y1 c22 y2 c2n yn xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
使二次型只含新变量的平方项, 即将上式 代入后 f d1 y12 d2 y22 dn yn2
d1
C
'
AC
d2
D.
dn
由于C是满秩矩阵, 则它可分解成一系列初等 矩阵的乘积, 令
C=P1P2…Ps,
其中Pi(i=1, 2, …, s)为初等矩阵.
于是
C AC=(P1P2…Ps) A(P1P2…Ps)
=Ps …P2 P1 AP1P2…Ps =Ps …(P2 (P1 AP1)P2)…Ps
线性代数：第五章二次型
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
考研数学考试大纲
考研数学考试大纲LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】2017年考研数学（二）考试大纲（原文）2017数学二考试大纲考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试试卷试卷满分为150分，考试试卷为180分钟二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。
三、试卷内容结构高等数学约78%线性代数约22%四、试卷题型结构单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限于右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间（a，b）内，设函数具有二阶导数.当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常(广义)积分定积分的应用考试要求1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.5.了解反常积分的概念，会计算反常积分.6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数和全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全积分，了解隐函数的存在定理，会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元一次函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会有拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单应用问题.5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直接坐标、极坐标）.八、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程.3.会用降阶法解下列形式的微分方程：和4理解线性微分方程解的性质及解的结构.5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.6.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.7.会用微分方程解决一些简单的应用问题.线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.5.了解分块矩阵及其运算.三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.4.了解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.5了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.四、线性方程组考试内容线性方程组的克拉默(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解考试要求l.会用克拉默法则.2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.5.会用初等行变换求解线性方程组的方法.五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3.理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念.2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形.3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.。
线性代数二次形及其标准型
4
2 2 ( 1)2 ( 10) 2
I A
5
2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
把1=1（2重）代入齐次方程组，得基础解系为
线性代数 第五章
12 12
1 1 1 1 , 2 0 0 2
把含有x2各项集中在一起，再配平方
8 2 ( x1 2 x2 2 x3 ) 6( x x2 x3 ) 2 x3 3 4 26 2 2 2 ( x1 2 x 2 2 x3 ) 6( x2 x 3 ) x3 3 3
2 2 2
线性代数
第五章
16 16
令
2 3 2 3 1 3
1 T 1 则 Q AQ 10
令正交变换X=QY，则
2 2 f y12 y 2 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 线性代数 第五章
14 14
x1 a1n a2n x x2 x n a nn
a11 a 21 f ( x1 ,, x n ) a n1
a12 a 22 an 2
a1n x1 a 2 n x 2 x a nn n
a11 a12 a 21 a 22 ( x1 , , x n ) a n1 a n 2
第五章
a1 n x 1 a 2n x 2 x a nn n
2
令
a11 a12 a21 a 22 A a a n1 n 2
线性代数之二次型
104第六章 二次型大纲要求一、二次型与合同变换1.定义 称n 个变量的二次齐次多项式为二次型.如果其系数是实数，则称为实二次型.例 ()233322222111321,,x a x a x a x x x f ++=322331132112222x x a x x a x x a +++ 2.二次型的矩阵表示 例 ()∑∑===3131321,,i j j i ijx x ax x x f211112121313a x a x x a x x =++ 212212222323a x x a x ax x +++ 213312323333a x x ax x a x +++ jiij aa ======令 ()3132121111x a x a x a x +++()3232221212x a x a x a x ++ +()3332321313x a x a x a x ++ ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=333232131323222121313212111321,,x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321333231232221131211321,,x x x a a a a a a a a a x x xAX X T =其中A 是对称矩阵，称为二次型的矩阵，()A r 称为二次型的秩，()A A r =的非零特征值的个数 例 已知二次型2124232221243x x x x x x f -++-=434131484x x x x x x --+ 写出二次型矩阵A ，并求()A r [解]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=4204210200314211A 1124042402360000--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⇒⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⇒00420021204211()3=⇒A r 3.合同变换定义 若存在满秩线性变换11111221121122221122n n n n nn n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 或 CY =X 使二次型 ()()CY A CYAX X f T T ==()BY Y Y AC C Y T T T == 则称二次型AX X T 经合同变换化为BY Y T 或称二次型AX X T 与BY Y T合同从矩阵的角度，则称矩阵A 经合同变换化为AC C B T=，或称矩阵A 与B 是合同的.性质 矩阵的合同关系具有反身性，对称性和传递性.定理 任意二次型都可经合同变换化为平方和形式（标准形）.[证] 仅就三元二次型给出了证明，n 元二次型的证明与此相同. 先证二元的情况设 2112222221112x x a x a x a f ++=(1) 11a ，22a 至少有一个不为零，不妨设105110a ≠则 22121211112211112a a f a x x x x a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221222211211a a x a x a ⎛⎫+-⎪⎝⎭()()21122111111222211122a x a a x a a a x --=++-令 11111122112222y x a a x x b x y x -⎧=+=+⎨=⎩或 1112222x y b y x y =-⎧⎨=⎩则()21221112211122f a y a a a y-=+-显然线性变换矩阵12101b C -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是满秩的. (2) 11220a a ==，但120a ≠，则令 112212x y y x y y =+⎧⎨=-⎩ 这时()()121212121222f a x x a y y y y ==+-2212112222a y a y =- 显然线性变换1111C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦是满秩的. 再证三元的情形设222111222333f a x a x a x =++121213132323222a x x a x x a x x +++(1) 至少有一个0ii a ≠，1,2,3i =，不妨设 110a ≠，则()21111111121211131322f a x a a x x a a x x --=++2222233323232a x a x a x x +++()2111111112211133a x a a x a a x --=++()1222111221332223332323[]2a a x a x a x a x a x x --++++()2111111112211133a x a a x a a x --=++2222233323232b x b x b x x +++令111111122111332233y x a a x a a x y x y x--⎧=++⎪=⎨⎪=⎩ 或111111122111332233x y a a y a a y x y x y--⎧=--⎪=⎨⎪=⎩ 显然线性变换的矩阵1312111111010001a a a a C ⎛⎫--⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭是满秩的.原二次型化为22211122233323232f a y b y b y by y =+++ 而2222233323232b y b y b y y ++是二元的二次型必有满秩线性变换 2222233322333y c z czy c z c z =+⎧⎨=+⎩ 使其化为平方和222233d z d z +令 1122222333322333y z y c z c z y c z c z=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩即1122223233233310000y z y c c z y c c z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1062222332331000C c c c c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的. 1X C Y =，2Y C Z =，故()12X C C Z =其中12C C C =是满秩的.(2) 若1122330a a a ===，则至少有 ()0,ij a i j ≠≠.不妨设120a ≠，这时令 11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 这是满秩线性变换 121213132323222f a x x a x x a x x =++()()1212122a y y y y =+-+2212112222a y a y =-+这是123,,y y y 的二次型，且21y 的系数不为零，属于第一种情况，结论成立. 例 用合同变换（配方法）化二次型12231262f x x x x x x =-+为标准形，并求所用的满秩线性变换. [解] 令 11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩则 ()()12122f y y y y =+- ()()12312362y yyy y y--++221213232248y y y y y y =--+()2221332232228y y y y y y =---+ ()()22132332226y y y y y =---+ 令 113223332z y y z y y z y=-⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩或 113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩则 222123226f z z z =-+因 11223311011001x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11223310101201y z y z y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故所用的满秩线性变换为 112233110101110012001001x z x z x z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦123113111001z z z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦二、二次型的标准形与规范形1.定义 如果二次型只含变量的平方项，则称为标准形，若标准形的变量函数为1±，则称为规范形.2.惯性定理 任一实二次型f 都可经合同变换化为唯一的规范形.即若222120X CYTp C f X AX y y y =≠====+++ 221p r y y +---222120X DZTq C f X AX z z z =≠====+++ 221q r z z +---则 p q =，其中()r r A =.称p 为二次型的正惯性指数，记作A p p =，r p -为负惯性指数，()2S p r p p r =--=-为f 的符号差. 3. Tf XA X =与Tg YB Y =合同()()A Br A r B f p p ⎧=⇔⇔⎨=⎩与g 的规范形相同. 三、用正交变换化二次型为标准形.1071.定理 必存在正交矩阵Q ，使二次型 ()X QYTTTf X AX YQAQ Y ===== TY BY g == 这时称二次型Tf X AX =经正交变换化为二次型Tg Y BY =.称矩阵A 经正交变换化为T B Q AQ =2.性质 若Q 是正交阵，则 ()(),,Qx Qx x x =3.三种变换的关系合同变换：对实对称阵A ，∃满秩矩阵C ，使 T B C A C =相似变换：对任意矩阵A ，∃满秩矩阵P ，使 1B P A P -=，正交变换：对实对称阵A ，∃满秩矩阵Q ，使 T B Q A Q =因1T Q Q -=故正交变换既是合同变换，也是相似变换.反之不一定成立，二次型可用合同变换或正交变换，一般不能用相似变换，除非相似变换是正交变换. 4.用正交变换化二次型为标准形的步骤 (1)把二次型写成矩阵形式Tf X AX = (2)用正交变换把A 化为相似对角形12Tn QA Q λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3) 写出标准形及所用的正交变换2221122TTn n f X AX Y Y y y y λλλ==Λ=+++所用正交变换为X QY =A 的正惯性指数A =的正特征值的个数 A 的负惯性指数A =的负特征值的个数()r A A =的非零特征值的个数A =的正惯性指数+A 的负惯性指数. 四、二次型的正定性 1.定义设()12,,,Tn f x x x X AX = ，120n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥∀=≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若恒有()12,,,0n f x x x > ，则称f 正定，也称A 正定；若恒有()12,,,0n f x x x < ，则称f 负定，也称A 负定；若恒有()12,,,0n f x x x ≥ ，则称f 半正定，也称A 半正定；若恒有()12,,,0n f x x x ≤ ，则称f 半负定，也称A 半负定；否则，称()12,,,n f x x x 不定，也称A 不定.2.性质如果A ，B 正定，则 (1) m A 正定； (2) kA 正定()0k >； (3) 1A -正定； (4) A *正定； (5) A B +正定；(6) 当AB BA =时，A B 正定； (7) 0ii a >()1,2,,i n =(8) 0A >3.Tf X AX =正定的充要条件T f X AX =正定A ⇔的特征值()01,2,,i i n λ>=108A ⇔的正惯性指数n = A ⇔与单位矩阵E 合同 A ⇔的顺序主子式皆为正. 6.1 设矩阵()ij nxnA a =，则二次型()()21211221,,,nn i i in n i f x x x ax a x a x ==+++∑的矩阵为[ ].(A) A (B) 2A (C)T A A (D) T AA[解] 记1ni ijj i y ax ==∑，1,2,,i n =()12,,,Tn Y y y y AX == ， ()12,,,Tn X x x x = ，则21nT T Ti i f y Y Y X A AX ====∑,故选C .6.2 二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为[ ].(043) [解]()222123123,,222f x x x x x x =++121323222x x x x x x ++- 其矩阵为211121112A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦0100133133033206⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒-⇒⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦()2r A =.故()123,,f x x x 的秩为2.6.3 已知二次型Tx A x 通过非退化线性变换x Py =化为Ty B y ，则(A)A 与B 相似 (B)A 与B 的特征值相同(C)()()r A r B = (D) A B = [解] 由题设有T P AP B =.其中0P ≠ 可见()()r A r B =.故选(C).6.4 n 阶矩阵A 和B 有相同的特征值，且都有n 个线性无关的特征向量，则不成立的是：(A)A 与B 相似 (B) ()()r A r B = (C) A B = (D) A 和B 合同 [解] 由题设知A 、B 均相似于同一对角矩阵，从而~A B .因此(A)、(B)、(C)均成立，故选(D). 6.5 已知220820~06A a⎡⎤⎢⎥=Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求坐标变 换X C Y =化二次型T X A X 为标准形,并指出0T X AX =表示什么曲面.[解] 由~A Λ知A 有3个线性无关的特征向量，由2208286E A aλλλλ---=----()()262λλ=-+知A 的特征值是126λλ==，32λ=-， 由于~A Λ，故6λ=必有两个线性无关的特征向量，因此()420684032100r E A r a-⎡⎤⎢⎥-=-=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以，0a =.此时，二次型2221231222610TX A X x x x x x =+++经配方，有22212321262T X A X y y y =-+109其中112223352y x x y x y x ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 即510210001X Y ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦而0T X AX =表示锥面.[评注] 本题考查矩阵对角化及二次型化标准形方法，二次型即可用正交变换也可用配方法标准形，在没有指定方法的前提下可灵活选择，本题只含一个混合项1210x x 用配方法一次即可到位，请同学用正交变换完成本题，要注意的是：A 不是对称矩阵，因此二次型T X AX 的矩阵不是A ， 而是25052006⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，不要搞错. 6.6 n 阶实对称矩阵A 合同于矩阵B 的充分必要条件是 (A)()()r A r B =(B)A 、B 的正惯性指数相等 (C)A 、B 为正定矩阵(D)()()r A r B =，且A 、B 的正惯性指数相等.[解] 实对称矩阵A 合同于对角阵1,,1,1,,1,0,,0p r p diag -⎛⎫⎪-- ⎪⎝⎭个个，由合同关系的传递性知A 合同于B ⇔(D)成立. 6.7 已知正、负惯性指数均为1的二次型TX AX 通过合同变换X PY =化为TYB Y， 其中111111a B a a-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，则a = . [解] 由合同矩阵所对应的二次型具有相同的规范形，知矩阵B 的正、负惯性指数也均为1，于是()112r B =+=，从而有()()2120B a a =--+= . 若1a =，则()1r B =，不合题意. 若2a =-，由112221211E B λλλλ----=-+--()()33λλλ=-+得B 的特征值为0,3,3-，此时正、负惯性指数均为1,故2a =-.6.8 设A 为n 阶实对称矩阵，秩()A n =，ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(),1,2,,i j n = ，二次型 ()1211,,,nnij n i j i j A f x x x x x A===∑∑(1)记()12,,,Tn X x x x = ,把()12,,,n f x x x 写成矩阵形式，证明二次型()f X 的矩阵为1A -. (2)二次型()Tg X X A X =与()fX 的规范形是否相同？说明理由.(013)[解] 解法一：二次型()12,,,n f x x x 的 矩阵形式为()()11121121222212121,,,n n n n nn nn A A A x A A A x f X x x x A A A A x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110因秩()A n =，故A 可逆，且11A A A-*=从而()()111TTAAA---==，故1A -也是实对称矩阵，而()112111122221211()n n TT T nn nn A A A A A A AA A AA AA -*⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此二次型()f X 的矩阵为1A -(2)因为()()1111TTA AAAE A ----==，所以A 与1A -合同，于是()Tg X X AX =与()fX 有相同的规范形.解法二：(1)同解法一.(2)对二次型()Tg X X A X =作可逆线性变换1X A Y -=，其中()12,,,Tn Y y y y = ()()()11TT g X X AX A YA A Y --==()()1111TTTTYAAA Y YAAA Y ----==1T Y A Y -=因此得知A 与1A -合同，于是()fX 与()g X 必有相同的规范形.6.9 设1111111111111111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，4000000000000000B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 则A 与B （ ）.(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似. (D)不合同且不相似(011) [解] 因A 是实对称阵，B 是对角阵，且1111111111111111E A λλλλλ---------=--------()()3111111114411111111λλλλλλ------=-=-------14λ=，2340λλλ===，故知存在正交阵Q ，使得1T Q AQ Q AQ B -==，故A 既相似又合同于B .所以选(A). 6.10 设二次型()123,,f x x x222123121323777222x x x x x x x x x =+++++(1)将上述二次型表示成矩阵形式： (2)用正交变换化上述二次型成标准形，并写出所作正交变换及标准形.(3)将上述二次型的对应矩阵A 表示成TA W W =，其中W 是3阶方阵.[解] (1)()123,,f x x x()112323711,,171117Tx x x x x X AX x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (2) 711171117I A λλλλ----=------()()296λλ=-- 特征值19λ=,236λλ==.对19λ=解方程 ()12321191210112x I A X x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， 得()11,1,1Tξ=，111对236λλ==，解方程组 ()12311161110111x I A X x x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦， 得()21,1,0Tξ=-，()31,1,2Tξ=- （取3ξ时，已考虑到3ξ与2ξ正交） 将123,,ξξξ单位化，得正交矩阵T = ， 且 1966TT AT T AT -⎡⎤⎢⎥===Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦()222123123,,966X TYf x x x y y y =====++(3) TA T T =Λ=⎫⎪ ⎪ ⎝⎫⎪⎪ ⎝0⎛⎪⎪ ⎪ ⎝11102⎤⎥=⎥⎥-⎢⎥⎣⎦0112⎥⎥-⎢⎥⎣⎦TWW = 其中0112W =⎥⎥-⎢⎥⎣⎦6.11 设二次型 ()123,,Tf x x x X AX = ()222123132220a x x x b x x b =+-+>其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-. (1)求,a b 的值；(2)利用正交变换将二次型f 化为标准形， 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. (033) [解]解法一(1)二次型f 的矩阵为002002a b A b⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 设A 的特征值为()1,2,3ii λ=.由题设，有()123221a λλλ++=++-=21230020421202a b a b bλλλ⎡⎤⎢⎥==--=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解得 1a =，2b = . (2)由矩阵A 的特征多项式1202022E A λλλλ---=--+()()223λλ=-+得A 的特征值122λλ==，33λ=- . 对于122λλ==,解齐次线性方程组 ()20E A X -=，得其基础解系 ()12,0,1Tξ=，()20,1,0Tξ=.对于33λ=-，解齐次线性方程组112()30E A X--=，得基础解系()31,0,2Tξ=- . 由于123,,ξξξ已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将123,,ξξξ单位化，由此得1Tη=,()20,1,0Tη=,1Tη=-令矩阵()1230,,0100Q ηηη⎤⎥⎥==⎢⎥⎢⎥-则Q 为正交矩阵,在正交变换X QY =下有20002003TQ AQ ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦且二次型的标准形为222123223f y y y =+-解法二(1)二次型f 的矩阵为002002ab A b⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.A 的特征多项式为0202ab E A bλλλλ---=--+ ()()()22222a a bλλλ⎡⎤=----+⎣⎦. 设A 的特征值为123,,λλλ，则12λ=，232a λλ+=-，()2232a b λλ=--+.由题设得()123221a λλλ++=+-= ，()21232212a b λλλ=--+=-.解得1a =，2b =. 以下可参见解法一. .6.12 已知二次型()123,,f x x x22212312132355266x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2.(1) 求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值.(2) 指出方程()123,,1f x x x =表示何种二次曲面.(6.12)[解] (1)此二次型对应矩阵为 51315333A c -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 因()2r A =故 513153033A c-=-=-解得3c =，此时A 的秩是2.或用初等变换 51315315302133003A c c ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因()2r A =，解得3c =.这时513153333E A λλλλ---=---()()49λλλ=--故所求的特征值为0,4,9λλλ===. (2) 由上述特征值可知，()123,,1f x x x =113表示椭圆柱面.6.13 设矩阵010010000010012A y ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1) 已知A 的一个特征值为3，试求y ；(2) 求矩阵P ，使()()TA P A P 为对角矩阵.(963) [解] (1) 因为10010000112E A y λλλλλ---=----()()2212210y y λλλ⎡⎤=--++-=⎣⎦ 当3λ=时，代入上式解得2y =，于是 0100100000210012A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2) 由T A A =，得()()2TTA P A P PA P=而矩阵21000010000540045A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭考虑二次型 22222123434558T X A X x x x x x x =++++22221234449555x x x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭令1122334444,,,5y x y x y x x y x ===+=得1122334410000100400150001x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 取1000010040015001P ⎛⎫ ⎪⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 则有()()1000010000509005TA P A P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注：若先求出2A 的特征值11λ=（三重），29λ=.对应于11λ=的特征向量为()11,0,0,0Tα=,()20,1,0,0Tα=,()30,0,1,1Tα=--，经正交标准化后，得向量组()11,0,0,0Tβ=,()20,1,0,0Tβ=,311Tβ-⎛= ⎝.对应于29λ=的特征向量114()40,0,1,1Tα=，经单位化后，得4110,Tβ⎛= ⎝令()123410000100,,,0000P ββββ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎝则()()2100001000010009TT P A P AP AP ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6.14 已知实二次型()123,,f x x x()222123121323444a x x x x x x x x x =+++++经正交变换x Py =可化成标准形216f y =，则a = .(021)[解] 设222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，60B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则由题设知A 与B 相似，从而 62a a a a ++=⇒=. 6.15设二次型()123,,f x x x222123121323222x x x x x x x x x α=++--+通过正交变换化为标准形22212322f y y y β=++，求常数α，β及所用正交变换矩阵Q ，若3TX X =，求f 的最大值.[解] 二次型及其对应标准形的矩阵分别为 1111111A αα--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，22B β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0A E λ-=，则 1111111121101111λλαλααλα--------=--=----令 于是2210αα++=，解得1α=-.又~A B ，于是112233223βααα++=++=，则1β=-可知A 的特征值为2,2,1-. 求A 的属于2λ=的特征向量 11111111100011100---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦即 123x x x =--得12110,211ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，已正交，经单位化，得120,ηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢==-⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢-⎢⎥⎢⎣⎢⎥⎣⎦求A 的属于1λ=-的特征向量 21110312101111200--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦11513233x x x x =-⎧⎨=-⎩，3311ξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦经单位化，得3η⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣， 所用正交变换矩阵Q ：()123,,0Q ηηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢--⎢⎣由通过变换X QY =可化为 22212322f y y y =+-在约束条件3T T TTX X Y Q Q Y Y Y ===即22212330Q y y y =++-=条件下求22212322f y y y =+-的最大值，令F f λϕ=+，求解11122233322212342042022030Fy y y Fy y y F y y yFy y y λλλλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=⎪∂⎪∂⎪=++-=⎪∂⎩ 解得10y ≠时，2λ=-，则30y =，于是22123y y +=，6f =.30y ≠时，1λ=，则120y y ==，于是 233y =，3f =-.故f 的最大值为6. 6.16 已知二次曲面方程2232224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y P z ξηζ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为椭圆柱方程2244ηξ+=，求,a b 的值和正交矩阵P .(981) [解] 由111111b ba ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与014⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似得 11111114b b a λλλλλλ------=-----解之，得3,1a b ==.对应于特征值10λ=的单位特征向量为10,Tξ⎛= ⎝ 对应于特征值21λ=的单位特征向量为2Tξ⎛=-⎝ 对应于特征值34λ=的单位特征向量为3121Tξ⎛=⎝ 因此1160P ⎛=-- ⎝6.17 设n 元实二次型()12,,,Tn f x x x X AX = ()12,,,Tn X x x x = .证明：f 在条件222121n x x x +++= 下的最大值恰为方阵A 的最大特征值. [解] 由题设知，存在正交变换X QY = ，把二次型Tf X AX =化为标准形 TTTf XA X YQA QY == 2221122n n y y y λλλ=+++ 其中12,,,n λλλ 是A 的特征值且 12,,,n λλλ 全是实数.不妨设12,,,n λλλ中的最大值为1λ。
二次型
线代框架之二次型11211(,,,)n nTn ij iji j f x x x x Ax a x x====∑∑ （其中ij ji a a =，即A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x = ）二次型的矩阵为对角矩阵）12(,,,)Tn f x x x x Ax = 经过合同变换可逆线性变换x Cy =化为21nT i i f d y y y ==∧∑标准形(其中ij ()i d f A α=是的矩阵的特征值).注：二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数唯一确定的.标准形的系数只在1，-1，0任意二次型均存在可逆变换化为规范形。
2.设A 和B 是n 阶矩阵，若有可逆矩阵C 使得 TB C AC =，则称A 与B 合同。
合同的性质：R(B)(A)A B 若为对称阵，也为对称阵；=R ；合同变换不改变二次型的正定性.√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√ 两个矩阵合同的充分条件是：A B √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B = 用正交变换法化二次型为标准形:① 写出二次型的矩阵A ；②求出A 的特征值、特征向量；③对n 个特征向量正交化，单位化；④ 构造C （正交矩阵）,作变换x Cy =,则1112221()()TT T T T n n n y d y y d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭新的二次型为21ni if d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。
例如：123x x x +-=0取1β-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1 2 1，2β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭101.用配方法化二次型为标准形：原则：配方时每次把一个字母处理干净3.正定二次型：惯性定理：设有二次型()Tf x x Ax =，秩为r ，有两个可逆变换x Cy =及x Py =使得21ni if d y=∑及21ni if k y=∑则i d 中正数个数与i k 中正数个数相等。
线性代数 二次型
T 不定矩阵. 不定矩阵 f = x2 Ax2 < 0, 则称f 为不定二次型 A为不定矩阵 不定二次型, 不定二次型
(2). 可逆线性变换不改变二次型的正定性
f = xT Ax经过可逆线性变换x = Cy 化成 yT CT ACy 二次型
(4).正(负)定二次型及正 负)定矩阵的充要条件 正 负 定二次型及正 定二次型及正(负 定矩阵的充要条件 f = xT Ax 是正定二次型(A是正定矩阵) ⇔ A的正惯性指数p = n (A的阶数) = r (A的秩) ⇔A E ⇔ 存在可逆阵D, 使得 A = DT D ⇔ A的顺序主子式大于零, 即
即xT Ax
x = Cy
T T yT CT ACy,此时二次型 xT Ax 和 y C ACy
且 A和 CT AC(C为可逆阵)也有相同的 有相同的正定性. 的正定性.即可逆线性变换不改变二次型的正定性. (3). A是正定矩阵的必要条件 是正定矩阵的必要条件 A是n阶正定矩阵,则 aii > 0 (i =1,2,L, n), 且 |A| > 0 . (即 A 是实对称矩阵, 且 A 是可逆矩阵.)
其中 则p与q 是由A唯一确定的. (4) 正惯性指数、负惯性指数、符号差 正惯性指数、负惯性指数、 二次型化为标准形以后, 标准形中正项项数称为正惯 正惯 性指数, 负惯性指数, 性指数 负项项数称为负惯性指数 正、负惯性指数的 负惯性指数 差称为符号差 符号差. 符号差
3. 正定二次型、正定矩阵 正定二次型、
简记为 其中A是实对称矩阵 是实对称矩阵 称为二次型对应的矩阵,
且二次型 f 与实对称矩阵A存在一一对应的关系. (2)线性变换 设两组变量 线性变换 有关系
考研数学线性代数 特征值与二次型讲解
考研数学线性代数特征值与二次型讲解一、矩阵的特征值与特征向量问题矩阵的特征值与特征向量这一章节的内容可以归结为三大问题：1.矩阵的特征值与特征向量的概念理解以及计算问题这一部分要求会求给定矩阵的特征值与特征向量，常考的题型有数值型矩阵的特征值与特征向量的计算和抽象型矩阵的特征值与特征向量的计算。
若给定的矩阵是数值型的矩阵，则一般的方法是通过求矩阵特征方程的根得到该矩阵的特征值，然后再通过求解齐次线性方程组的非零解得到对应特征值的特征向量。
若给定的矩阵是抽象型的，则在求特征值与特征向量的时候常用的方法是通过定义，但此时需要考虑的是特征值与特征向量的性质以及应用。
2.矩阵(方阵)的相似对角化问题这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。
事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。
3.实对称矩阵的正交相似对角化问题其实质还是矩阵的相似对角化问题，与2不同的是求得的可逆阵为正交阵。
这里要求考生除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。
这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A.最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。
二、二次型二次型这一章节主要研究两个方面的问题：1.二次型的标准化问题二次型的标准化问题与矩阵的对角化问题紧密相连，因此化二次型为标准形的问题就转化成了实对称矩阵的相似对角化问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017考研线性代数大纲考点之二次型
寒假伊始，如今各位备战2017的考研学子们正面临着基础阶段的复习，考研历年数学大纲几乎都不会发生变化，考生们可以提前复习。
下面是根据考试大纲总结的线性代数的二次型考点，希望能帮到大家。
六、二次型
二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的秩，惯性定理，二次型的标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性
1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念。
2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形。
3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。