导数在高中数学中的应用
导数在高中数学函数中的应用体会
导数在高中数学函数中的应用体会高中数学中，导数是用来计算相关物理和数学问题的重要工具。
它为我们提供了有效的方法去探究物理世界和数学问题的变化规律。
导数可以在高中数学函数中应用于计算函数上某一点处的切线斜率，检验函数是单调递增还是单调递减，找出函数的极大值、极小值以及拐点等等。
就我的经历而言，我在学习高中数学函数时写的第一篇文章就是关于导数的。
当时，我很好奇物理世界发生的变化情况，于是我开始通过导数算法去研究函数上的斜率如何可以帮助我们来解决问题。
随后，我发现，通过计算函数上某一点处的切线斜率，我们可以检验函数是单调递增还是单调递减、找出函数的极大值、极小值以及拐点等等。
这些工作都是有效的，能够更好地理解物理原理、数学规律及这些规律带来的问题。
此外，导数在高中数学函数中也可以应用于解决微积分问题，因为这种方法可以更快、更精确地求出积分的具体值。
同时，导数的应用也有助于我们更深入地理解函数的变化趋势。
总之，导数在高中数学函数中可以实现很多功能，它为我们提供了有效的方法去探究物理世界和数学问题的变化规律，是科学家深入探究科学现象的重要手段。
导数在高中数学函数中还可以应用于计算函数两点的位移的大小，计算函数在某一区间上的变化情况，以及在某一时刻函数处于最大或最小状态等。
同时，导数也可以用于求解定积分中的某一特定点处的函数值，以及求解一元微分方程。
甚至可以用来探究不同时刻函数变化对物理世界的影响。
此外，导数在高中数学函数中也可以应用于建立函数与其他函数的图形之间的关系，进而更深入地研究函数的变化规律，从而能够给我们带来新的认识。
最后，应用导数的另一个方面就是开发算法，用于解决物理和数学问题，例如在量子力学中，可以利用导数算法来求解相关的微分方程。
总的来说，导数在高中数学函数中的应用十分广泛，它能够让我们更好地理解物理原理、数学规律及这些规律带来的问题，为研究人员提供有效的研究手段。
对我来说，学习高中数学函数中的导数过程是一次有趣的体验。
高中数学导数的应用
高中数学导数的应用导数是高中数学中的重要概念之一，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。
本文将从几个不同的角度来讨论导数的应用。
一、函数的局部性质导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况。
通过计算导数，我们可以判断函数在某点上是增函数还是减函数，从而了解函数的局部性质。
例如，对于一条直线函数，导数恒为常数，表示函数在任意一点上都是增函数或减函数；而对于一个二次函数，导数可以告诉我们函数的凹凸性质。
二、切线与法线导数还可以用来求解函数的切线和法线方程。
对于一条曲线，通过求解曲线上某一点的导数，我们可以得到切线的斜率，从而得到切线方程。
同样地，法线的斜率可以通过切线的斜率和导数的关系求解，进而得到法线方程。
这种应用在物理学中特别有用，例如计算质点在曲线上的运动轨迹时，我们需要知道质点的切线方程，以便求解其运动速度和加速度等物理量。
三、最值问题导数也可以用来解决函数的最值问题。
对于一个连续函数，其最值出现在导数为零的点或者定义域的端点上。
因此，通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数的极值点，从而求解最值问题。
这一应用在经济学中尤为重要，例如在成本和收益问题中，我们需要确定某种产品的生产数量，以使总利润最大化。
四、曲线的凹凸性与拐点通过导数的符号变化，我们可以判断函数在某一区间上的凹凸性以及确定曲线的拐点。
当导数在某一区间上始终大于零时，函数在该区间上是凹函数；反之，当导数在某一区间上始终小于零时，函数在该区间上是凸函数。
而导数在某一点上发生跃变时，可以判断该点为函数的拐点。
这一应用在优化问题和工程设计中具有重要意义，例如在物体运动问题中，我们需要找到最优的运动轨迹，以使得物体的速度变化最小。
总结起来，导数的应用非常广泛。
无论是研究函数的局部性质、求解切线和法线方程、解决最值问题，还是分析曲线的凹凸性与拐点，导数都发挥着重要的作用。
因此，对于高中数学学习者来说，深入理解导数的概念和应用是非常重要的。
只有掌握了导数的应用，才能更好地解决实际问题，并在日后的学习和工作中受益。
_高中数学第一章导数及其应用2
f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线， 其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____， 直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值 为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路 程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度 为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速 度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
_高中数学第一章导数及其应用2
[提示] ΔΔyx＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx
＝2x－x22.
Байду номын сангаас
[问题3] F(x)的导数与f(x)、g(x)的导数有何关系？ [提示] F(x)的导数等于f(x)、g(x)导数和．
[问题 4] 试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． [提示] 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
(3)y′＝(2x2＋3)′·(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′
＝4x·(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
(4)y′＝xl＋n x1′－(2x)′
＝1xx＋x＋1－ 12ln
x －2xln
2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2.
二. 复合函数的导数
例题 2 求下列函数的导数：
(1)y＝1－12x3；
(2)y＝cos x2；
(3)y＝sin3x－π4； (4)y＝lg(2x2＋3x＋1)．
• [思路点拨] 解答本题可先分析复合函数的复合过 程，然后运用复合函数的求导法则求解．
解析： (1)设 y＝u13，u＝1－2x， 则 y′x＝y′u·u′x ＝u13′·(1－2x)′ ＝－3u－4·(－2) ＝1－62x4. (2)设 y＝cos u，u＝x2， 则 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x2)′ ＝－sin u·2x ＝－2x·sin x2.
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟 练后中间步骤可省略．
特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导 数．
高中数学中的三角函数的导数与微分的应用
高中数学中的三角函数的导数与微分的应用在高中数学学习的过程中，我们必然会遇到三角函数的导数与微分的概念与应用。
接下来，本文将探讨三角函数导数与微分的基本概念，并以实际应用为例，展示三角函数在数学和物理领域中的重要作用。
一、三角函数与导数的关系1.1 正弦函数的导数我们先来讨论高中数学中最常用的三角函数之一，即正弦函数的导数。
设函数y = sin(x)，其中x 为自变量，y 为因变量。
根据导数定义，我们可得到：dy/dx = lim(h→0) [sin(x+h) - sin(x)] / h应用三角函数的和差公式，上式可以变换为：dy/dx = lim(h→0) [2cos((2x+h)/2)sin(h/2)] / h= lim(h→0) cos((2x+h)/2) * lim(h→0) sin(h/2) / h= lim(h→0) cos((2x+h)/2) * 1/2化简得到：dy/dx = cos(x)由此可得正弦函数的导数为余弦函数。
1.2 余弦函数的导数同理，我们可以推导出余弦函数的导数。
设函数 y = cos(x)，则有：dy/dx = l im(h→0) [cos(x+h) - cos(x)] / h同样地，应用三角函数的和差公式有：dy/dx = lim(h→0) [-2sin((2x+h)/2)sin(h/2)] / h= -lim(h→0) sin((2x+h)/2) * lim(h→0) sin(h/2) / h= -lim(h→0) sin((2x+h)/2) * 1/2进一步简化可得：dy/dx = -sin(x)因此，余弦函数的导数为负的正弦函数。
二、三角函数导数的应用2.1 极值点与拐点通过求解三角函数的导数，我们可以找到函数的极值点和拐点。
以正弦函数为例，由之前的推导可知，其导数为：dy/dx = cos(x)当导数为零时，函数的斜率为零，即为可能的极值点。
考虑在区间[0, 2π]上的正弦函数，我们可以找到导数为零的点：cos(x) = 0解得x = π/2 和x = 3π/2。
_高中数学第一章导数及其应用1
ΔΔst＝29＋31＋Δt－3Δ2t－29－31－32＝3Δt－12，
∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3Δt－12)
＝－12(m/s)，
即物体在 t＝1 时的瞬时速度为－12 m/s.
3.求函数f(x)在某点处的导数
• 例题3 若函数y＝x2＋ax在x＝2处的导数为8，求a的值．
8分
10 分 12 分
规律方法
利用导数定义求导数的三步曲：
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0
Δy Δx.
简记为：一差，二比，三趋近． 特别提醒：取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时，分母
不为 0.
• 3．已知函数y＝2x2＋4x，(1)求函数在x＝3处的导数． • (2)若函数在x0处的导数是12，求x0的值． 解析： (1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16. ∴y′|x＝3＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 (2Δx＋16)＝16.
＝Δx＋1＋ΔxΔx，
ΔΔyx＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx，
∴ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋1＋1Δx＝2，
从而 y′|x＝1＝2.
典例导航
1.求函数的平均变化率
• 例题1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均 变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
高中数学一元函数的导数及其应用
高中数学一元函数的导数及其应用
一元函数的导数是描述函数变化率的一个重要概念，它在高中数学中占有重要地位。
本文将从以下几个方面来介绍一元函数的导数及其应用。
1. 导数的定义及其运算法则
首先，我们需要了解导数的定义及其运算法则。
导数的定义是：函数$f(x)$在$x_0$处的导数为$f'(x_0)=limlimits_{Delta
xto0}dfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}$。
而导数的运算法则包括：常数求导法则、和差求导法则、积法求导法则、商法求导法则、复合函数求导法则以及反函数求导法则等。
2. 导数的图像及其性质
导数的图像是很有特点的，对于一些数学问题，我们可以通过导数图像来解决。
在本文中，我们将介绍导数图像的性质，如导数曲线的斜率、升降区间、极值和拐点等。
3. 极值与最值问题
极值与最值问题是高中数学中的一个重要问题，它跟导数密切相关。
在本文中，我们将介绍如何通过导数来求得函数的极值与最值，并讲解极值与最值的应用。
4. 函数图像的绘制
函数图像的绘制是高中数学中的一个必修内容，它要求我们能够通过导数来判断函数的升降性、极值和拐点等，从而画出函数的图像。
在本文中，我们将介绍如何通过导数来刻画函数图像的特点，并讲解
函数图像的绘制方法。
总之，本文的目的是让读者对一元函数的导数及其应用有一个全面的认识，从而更好地掌握高中数学的相关知识。
高中数学函数求导公式的推导及应用实例
高中数学函数求导公式的推导及应用实例一、导数的基本概念在高中数学中，我们学习了函数的概念，函数的导数是函数在某一点处的变化率。
导数的概念是数学中非常重要的概念，它不仅在数学中有广泛的应用，也在其他学科中有着重要的地位。
二、导数的定义函数f(x)在点x处的导数定义为：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$表示自变量x的增量。
三、导数的计算为了更方便地计算导数，我们需要推导出一些常用的函数求导公式。
下面，我们将介绍一些常见的函数求导公式及其推导过程。
1. 常数函数对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，它的导数为0。
这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0。
2. 幂函数对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，它的导数为：$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$这个公式可以通过导数的定义进行推导。
3. 指数函数指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，它的导数为：$$f'(x) = a^x \cdot \ln a$$这个公式可以通过对数函数的导数公式进行推导。
4. 对数函数对数函数f(x) = \log_a x，其中a为正实数且不等于1，它的导数为：$$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}$$这个公式可以通过指数函数的导数公式进行推导。
5. 三角函数常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的导数公式如下：$$\sin' x = \cos x$$$$\cos' x = -\sin x$$$$\tan' x = \sec^2 x$$这些公式可以通过三角函数的定义和导数的定义进行推导。
四、导数的应用实例导数在数学中有着广泛的应用，下面我们将通过一些实例来说明导数的应用。
高中数学教案应用导数解决曲线的切线与法线问题
高中数学教案应用导数解决曲线的切线与法线问题高中数学教案：应用导数解决曲线的切线与法线问题尊敬的同学们，今天我们将探讨数学中的一个重要概念——导数，并学习如何应用导数来解决曲线的切线与法线问题。
这是一种在数学上非常有用的方法，它不仅能够帮助我们找到曲线上某一点的切线和法线，还能提供深入了解曲线变化的信息。
接下来，我们将逐步学习导数的概念、计算方法以及如何将其应用于具体问题中。
一、导数的概念和计算方法1. 导数的定义：导数描述了函数在某一点处的变化率。
对于函数f(x)，其在点x=a处的导数表示为f'(a)或df(x)/dx|_(x=a)。
导数可以用数学式子表示为lim_(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h。
2. 导数的计算方法：为了计算导数，我们可以采用以下几种方法：- 利用导数的定义进行计算：根据导数定义的极限表达式，我们可以直接计算导数。
- 使用基本导数公式：对于常见的基本函数，我们可以利用其导数公式来计算导数。
- 利用导数的性质：导数具有一系列的运算性质，如链式法则、乘积法则和商法则等，通过运用这些性质，我们可以简化导数的计算过程。
二、曲线的切线问题1. 切线的定义：切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线，它与曲线有且只有一个公共点，并且在该点处具有与曲线相同的斜率。
2. 求解切线的步骤：- 确定曲线上某一点的坐标：假设我们需要求解曲线y=f(x)在点P(a, f(a))处的切线。
- 求解导数：计算函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)。
- 构造切线方程：使用点斜式或一般式等方法，根据导数的定义和点P的坐标，构造出切线方程。
三、曲线的法线问题1. 法线的定义：与切线垂直且经过切点的直线称为曲线的法线。
切线和法线在切点处的交点即为切点的坐标。
2. 求解法线的步骤：- 确定曲线上某一点的坐标：与求解切线类似，我们需要确定曲线上某一点的坐标。
- 求解导数：计算函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)。
导数在高中数学中的应用_数学教育
导数在高中数学中的应用_数学教育
导数是高中数学中非常重要的一章节，它不仅具有重要的理论
意义，而且在实际应用中也发挥着巨大的作用。
以下列举了一些导
数在高中数学中的应用：
1. 极值问题：通过求导数可得到函数的极值，即最值。
在应用
中常常需要求某个量的最大值或最小值，例如对于一个正方形，我
们需要求出其面积的最大值，就可以通过对正方形的边长求导得到。
2. 切线和法线：通过求导数我们可以得到某一点处的切线方程
及其斜率，同时又可以得到该点处的法线方程及其斜率，这对于研
究曲线的性质十分有用。
3. 曲率问题：导数还可以用来求曲线在某一点处的曲率，由此
可以得到曲线的曲率半径等重要参数，同时也可以帮助我们了解曲
线的形状。
4. 泰勒展开：泰勒展开是一种重要的数学工具，它可以利用函
数在某一点处的导数来逼近函数的值，从而在数值计算中起到非常
重要的作用。
总之，在高中数学中学习导数，不仅可以帮助我们深刻理解函
数的性质，同时也为我们今后的学习和工作打下了坚实的基础。
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导数在高中数学中的应用第一篇：导数在高中数学中的应用导数在高中数学中的应用导数是解决高中数学问题的重要工具之一，很多数学问题如果利用导数的方法来解决，不仅能迅速找到解题的切入点，甚至解决一些原来只是解决不了的问题。
而且能够把复杂的分析推理转化为简单的代数运算，化难为易，事半功倍的效果.如在求曲线的切线方程、方程的根、函数的单调性、最值问题；数列，不等式等相关问题方面，导数都能发挥重要的作用。
导数（导函数的简称）是一个特殊函数，所以它始终贯穿着函数思想。
随着课改的不断深入，新课程增加了导数的内容，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经在高考中占有很重要的地位，导数已经成为解决问题的不可缺少的工具。
函数是中学数学研究导数的一个重要载体，近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究导函数其图像性质，来研究原函数的性质。
本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。
导数在高中数学中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，尤其函数的单调性和函数的极值及最值，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求切线方程方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。
其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”。
总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值。
在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。
第二篇：导数在高中数学教学中的应用导数在高中数学教学中的应用【摘要】导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率的有力工具。
【关键词】导数函数曲线的斜率极值和最值导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。
新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。
函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。
近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。
本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值，用导数证明不等式。
这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求函数的切线例1：已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程。
分析：根据导数的几何意义求解。
解：y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为：y=-3x.方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率。
既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0)，相应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)。
二、用导数判断函数的单调性例2：求函数y=x3-3x2-1的单调区间。
分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。
解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x?0，解得x?0或x?2。
由y′<0得3x2-6x?0，解得0?x＜2。
故所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为(0，2)。
方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。
三、用导数求函数的极值例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.当x变化时，y′、y的变化情况如下：当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y有极小值f(2)=－(4/3).方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。
注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值。
四、用导数证明不等式证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f(x)>0(<0)再通过求f(x)的最值,实现对不等式证明,导数应用为解决此类问题开辟了新的路子,使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法,彰显导数方法运用的灵活性、普适性。
例(1)求证:当a≥1时,不等式对于n∈R恒成立.(2)对于在(0,1)中的任一个常a,问是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a?x022ex0成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;否则说明理由。
分析:(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。
只需证:ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex①令y(x)=a2x2+x+1ex,求导数y′(x)=ax+1?ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0∴f(x)为增函数,故f(x)≥y(0)=1,从而①式得证(Ⅱ)在时x≤0时,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。
只需证:ex≤a2x2ex+x+1,即需证:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求导数得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)] 而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x)≤0∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证由于①②讨论可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1时,恒成立(2)解:ex0-x0-1≤a?x02|x|2ex0将变形为ax022+x0+1ex0-1<0③要找一个x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值，满足t(x)min<0即可,对t(x)求导数t′(x)=x(a-1ex)令t′(x)=0得ex=1a,则x=-lna,取X0=-lna在0-lna时,t′(x)>0t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1下面只需证明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,对p(a)关于a求导数则p′(a)=12(lna)2≥0,从而p(a)为增函数则p(a)于是t(x)的最小值t(-lna)<0因此可找到一个常数x0=-lna(0导数的广泛应用,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,还可以解析几何相联系,可以在知识的网络交汇处设计问题。
因此,在教学中,要突出导数的应用。
第三篇：导数在不等式中的应用指导教师：杨晓静摘要：本文探讨了利用拉格朗日中值定理，函数的单调性，极值，幂级数展开式，凹凸性等进行不等式证明的具体方法，给出了各种方法的适用范围和证明步骤，总结了应用各种方法进行证明的基本思路。
关键字：导数的应用不等式证明方法引言不等式的证明在初等数学里已介绍过若干种方法，比如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法、数学归纳法和构造法等。
然而，有些不等式用初等数学的方法是很难证明的，但是应用导数证明却相对较容易些，在处理与不等式有关的综合性问题时，也常常需要构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数来研究函数的性态。
因此，很多时候可以以导数为工具得出函数的性质，从而解决不等式问题，现具体讨论导数在解决不等式有关的问题时的作用。
一、利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理的意义在于建立了导数与函数之间的关系，证明不等式则是它的一个简单应用。
拉格朗日中值定理：若函数f(x)满足如下条件：（1）f在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间[a,b]内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)='f(b)-f(a)b-a 应用拉格朗日中值定理证明的不等式的类型有f(b)-f(a)≤M(b-a)或证明步骤：（1）恰当的选取函数f(x)并使函数f(x)满足拉格朗日中值定理的条件，并考虑f(x)的导数形式和M或m形式上的联系。
（2）通过求拉格朗日中值定理得到不等式：f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a)，ξ∈(a,b)'（3）考察f(x)的有界性，若f(x)≤M，x∈[a,b]，则由上述等式得到不等式f(b)-f(a)≤M(b-a)，或由ξ的不确定性，计算出若f'(x)的取值范围(m,M),x∈[a,b],则进而有不等式m(b-a)≤例：证明nbn-1f(b)-f(a)≤M(b-a)(a-b)<a-bnnn<nan-1(a-b)证明：构造函数f(x)=x，则显然f在区间[b,a]上满足拉格朗日中值定理，且f(x)=nxnn'n-1，n-1有a-b=nξ(a-b)，又第四篇：高中数学教学论文导数及其应用教学反思湖北省宜昌市第十八中学高中数学教学论文导数及其应用教学反思1.反思“变化率问题”课堂教学的新课引入导数的几何意义就是切线的斜率，因此贯穿“导数及其应用”的主线是切线的斜率。
下面通过比较“变化率问题”的两节课，就新课的引入谈点想法。
这节课的核心问题就是“变化率问题”，它是学习导数的基础，是理解导数概念的根本。
如果这节课能在把握整章教材的核心问题——“导数概念”的基础上，把握这节课的核心问题——“变化率问题”，恰到好处地给出瞬时变化率和切线的斜率，那么，自然水到渠成。
新课导入是整个课堂教学活动中的热身活动，目的是让学生在最短的时间内进入课堂学习的最佳状态。
在这种教学环境和师生关系极为特殊，而且缺乏平常教学中的师生默契的情况下，如何以简洁、生动的教学案例来消除师生之间的陌生感，从而创设和谐的课堂气氛？如何以新颖的方法把教学内容自然地呈现在学生的面前？如何在上课伊始的几分钟内吸引学生的注意力，激发学生的求知欲？如何使新旧知识有机地结合起来，并溶入导入活动之中？等等，都是教师应深入思考的问题。