勾股定理的逆定理公式
八秋13-勾股定理和两点之间的距离公式(教师版)
初中数学备课组 教师 班级 八年级 学生 日期 上课时间 教学内容： 勾股定理和两点的距离公式 知识点归纳一、勾股定理知识点1. 定理1 在直角三角形中，斜边大于直角边.2. 勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.3. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三 角形是直角三角形. 二、例题讲解例1. 如图，已知在ABC ∆中，BC AD ⊥,3=AB ,1,2==DC BD ,求AC 的长度. 答案：6解析：因为BC AD ⊥，所以ABD ∆和ACD ∆都是直角三角形.所以在ABD ∆中， 222AB AD BD =+（勾股定理） 所以5232222=-=-=BD AB AD .因为ACD ∆是直角三角形，所以222AC DC AD =+（勾股定理） 所以61522=+=+=DCAD AC例2 如图，在ABC ∆中，AD C ,90 =∠平分BAC ∠,交BC 于点D ,5:13:,10,26===DC BD AC AB ,求点D 到AB 边的距离. 解：作AB DE ⊥于点E .10,26,90===∠AC AB C （已知）， 222AC BC AB +=∴（勾股定理），得.2410262222=-=-=AC AB BC 320185,5:13:==∴=BC CD DC BD AD 平分∴∠,BAC 点D 到AB 边的距离DE 等于点D 到AC 边的距离320=CD . 例 3 如图，在长方形ABCD 中，4,8==BC AB ,将长方形沿AC 折叠，点D 落在'D 处，求重叠部分AFC ∆的面积.解： 长方形ABCD 中，CD AB //（已知） 21∠=∠∴（两直线平行，内错角相等） 由折叠知C AD ADC '∆≅∆,31∠=∠∴ 32∠=∠∴（等量代换），CF AF =∴（等角对等边）设，,x CF AF ==则x FB -=8.DCBAEDCBA321FDCB A在BCF Rt ∆中，222FC BC BF =+（勾股定理），()22248x x =+-∴解方程得：5=x .1021,5=⋅==∴∆BC AF S AF AFC 说明：图形经过翻折、旋转、平移运动后，形状与大小不会改变，因此对这类问题要注意使用全等图形的性质.在解答有关图形的问题时，可以采用代数方法，合理的设定未知数，根据题意或图形的性质列方程来解决.例4 如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于点D ,且DC BD AD ⋅=2.判断ABC ∆是不是直角三角形？ 解： BC AD ⊥于点D （已知），222BD AB AD -=∴ 222DC AC AD -=（勾股定理）()()222222DC BD AC AB AD +-+=∴ DC BD AD ⋅=2,()DC BD DCBD AC AB ⋅⋅=+-+∴22222.22222DC BD DC BD AC AB ⋅++=+∴ ()2222BC DC BD AC AB =+=+∴即222BC AC AB =+, ABC ∆∴是直角三角形（勾股定理的逆定理）例5 如图，在ABC ∆中，M BC AC ACB ,,90==∠ 是ABC ∆内一点，且2,1,3===CM BM AM ,求BMC ∠的度数.解： 作CM CD ⊥，使CM CD =. 联结DM 、DB .90=∠+∠=∠+∠BCM DCB BCM ACM ,ACM DCB ∠=∠∴又()S A S ACM BCD CD CM BC AC ⋅⋅∆≅∆∴==,, ,3==∴AM BD90,2=∠==DCM CM CD . 45,2222=∠=+=∴CMD CM CD DM1359045=+=∠+∠=∠∴BMD CMD BMC巩固练习: 一、填空题1. 等腰三角形的两边长分别为8和6，则其底边上的高为____10____.2. 如果直角三角形的三边长分别为5、12、13，那么这个三角形最大边上的中线为__213___. 3. 如果直角三角形的两直角边长分别为3、4，则斜边上的高为__512____. 4. 直角三角形周长为12cm ，斜边上中线是2.5cm ，则三角形的面积是___26cm _____.DCBAMDCBA5. 已知ABC ∆中，,4,30,90==∠=∠BC C A 那么以AC 为一边的正方形的面积为__12___.6. 已知ABC ∆中，,90 =∠C 若,20,3:4:==c b a 则a =___16_____,=b ___12______.7. 如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点A ,点B 、D 到直线l 的距离分别为8、15，则正方形的面积为____289______.(第7题) (第8题)8. 如图，已知在ABC Rt ∆中， 30,90=∠=∠C B ,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转 30后得到'''C B A ∆,若1=AB ,则两个三角形重叠部分的面积为____63_____. 9. (1) 若ABC ∆的三条边长a 、b 、c ，满足函数关系式0422224=--+b c a c b a ，则ABC ∆的形状是____等腰三角形或直角三角形_____.(2) 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，若关于x 的方程()()022=---+b a cx x b a 有两个相等的实数根，则ABC ∆的形状是___直角三角形______. 10. 如图，已知在ABC Rt ∆中，,90=∠C 1,30==∠AC B, 点D 在AB 上，且AB BD 41=,那么CD 的长是___27____.二、解答题1. 如图，在四边形ABCD 中，.12,13,4,3,90=====∠BC DC AB AD A 求四边形ABCD 的面积.答案：362. 如图，一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子顶端A 沿墙垂直下滑0.4米至1A ,那么梯足将外移多少米？ 答案：0.8米DCBAl D C BA C'B'CBAC DBA A1A3. 如图，矩形ABCD 中，8,10==AB AD ,将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上的点F 处，求EF 及AE 的长.答案：55,5==AE EF4. 如图，AB ABC DC AD BC AB ,90,6,3,3 =∠====交DC 于点E,求DAB ∠的度数. 答案： 155. 已知矩形ABCD 中，E BC AB ,4,3==、F 分别在AC AB ,上，且,1==BF BE 求F 到ED 的距离. 答案：5536. 根据下列三角形的三边a 、b 、c 的值，判断三角形是不是直角三角形，如果是直角三角 形，指出哪个角是直角： （1）;25,24,7===c b a （2）;11,8,7===c b a （3）5:12:13::=c b a答案：（1）是， 90=∠C ;(2)不是；（3）是 90=∠A7. 如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，求这个三角形的三边长. 答案：所以此直角三角形的三边长为6,8,10.8. 如图，已知ABC ∆的三边25,20,15===AC BC AB ,求ABC ∆最长边上的高. 答案：12三、两点间的距离公式1.设在数轴上点A 表示数A x ，点B 表示数B x ,则B A x x AB -=2.设在平面直角坐标系中点()11,y x A ，点()22,y x B ，则()()221221y y x x AB -+-=例6 已知()()()2,1,4,3,3,4C B A -，判断ABC ∆的形状.CFEDBACEDBAC FEDBA解答： 90=∠C ,ABC ∆是直角三角形.例7 在直角坐标平面内，点A 坐标为()4,3-，点B 坐标为()6,8，点O 为坐标原点. （1）判断AOB ∆的形状,并说明理由. （2）求OB 边上中线的长.解：（1）直角三角形；（2）25=AC .例8、如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，AB ∥CD ，且AB=2，AD=23，∠BCD=60°。
勾股定理的逆证明过程
勾股定理的逆证明过程勾股定理大家都知道，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，那它的逆定理呢？就是如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那这个三角形就是直角三角形。
今天咱们就来好好唠唠这个逆定理的证明过程。
咱们先从一个三角形说起，假设有个三角形，它的三条边分别是a、b、c，而且呢，满足a² + b² = c²。
那咱们怎么证明这个三角形是直角三角形呢？咱们可以用一个很巧妙的方法。
咱们先构造一个直角三角形，让这个直角三角形的两条直角边分别等于a和b。
那根据勾股定理，这个构造出来的直角三角形的斜边就应该是根号下(a² + b²)，可咱们前面已经知道a² + b² = c²了，所以这个斜边就等于c。
这时候咱们就可以把原来的那个三角形和咱们构造出来的这个直角三角形放在一起比一比。
你看啊，这两个三角形，它们有两条边是完全相等的，就是a和b。
然后斜边也相等，都是c。
那根据三角形全等的判定方法，三边对应相等的两个三角形全等。
所以呀，原来的那个三角形和咱们构造出来的这个直角三角形就是全等的。
既然是全等的，那原来的那个三角形肯定也是直角三角形啊，因为咱们构造出来的那个就是直角三角形嘛。
这就好像是两个人，穿着一模一样的衣服，长得也一模一样，那其中一个是医生，另一个肯定也是医生呀，因为他们完全一样嘛。
再从另一个角度来看。
咱们可以把这个三角形放在坐标平面上。
假设这个三角形的三个顶点分别是A、B、C，坐标咱们可以随便设。
然后根据两点间距离公式，咱们可以算出AB²、BC²和AC²。
如果正好满足AB² + BC² = AC²，那咱们就可以通过向量的方法来证明角B是直角。
咱们可以把向量AB和向量BC表示出来，然后计算它们的点积。
如果点积等于0，那就说明这两个向量是垂直的，那角B就是直角了。
勾股定理常用11个公式
勾股定理常用11个公式勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，指的是直角三角形中，任意一条直角边的平方等于另外两条边的平方之和。
勾股定理是数学中非常重要的一条定理，广泛应用于各个领域。
以下是勾股定理常用的11个公式：1. 勾股定理的一般形式在直角三角形 ABC 中，设 AB、AC 为直角边，BC 为斜边，则有：BC² = AB² + AC²2. 勾股定理的两个常见形式a. 已知直角边和斜边设直角边 AB = a，AC = b，BC = c，则有：c² = a² + b²b. 已知两条直角边设直角边 AB = a，BC = b，AC = c，则有：c² = a² + b²3. 勾股定理的逆定理如果在一个三角形中，某一边的平方等于另外两边的平方之和，那么这个三角形肯定是直角三角形，即有：若 c² = a² + b²，则三角形 ABC 是直角三角形。
4. 勾股数指满足勾股定理的整数三元组 (a, b, c)，其中 a、b、c 都是正整数，称为勾股数。
例如：(3, 4, 5)、(5, 12, 13)。
5. 勾股数的生成公式生成勾股数的公式称为勾股数生成公式。
其中，m 和 n 是正整数，且 m > n，gcd(m, n) = 1，k 是任意正整数，则有：a = k × (m² - n²)，b = k × (2mn)，c = k × (m² + n²)6. 勾股数的性质a. 勾股数只存在于原始勾股数列中。
b. 勾股数之间不存在公因数。
c. 每个奇数都可以表示为两个勾股数之和。
d. 每个正整数都可以表示为不超过四个勾股数之和。
7. 勾股数的应用a. 构造直角三角形。
b. 计算斜线长度。
c. 解决一些证明问题。
d. 在几何光学中，勾股数用于计算光路长度。
勾股定理及其逆定理初步
勾股定理及其逆定理初步第一部分知识梳理一、勾股定理1．如果直角三角形的两直角边边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
这一定理在我国称为勾股定理。
2．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)若a＝5，b＝12，则c＝13 ；(2)若c＝4，a＝7，则b＝ 3 ；(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝2，b＝3；(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝1，c＝2。
二、勾股定理的逆定理1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。
2．勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别：联系：①都与三角形的三边有关并且都包含等式a2+b2=c2；②都与直角三角形有关。
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形的三边数量关系，即a2+b2=c2。
勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形。
两者的条件和结论相反。
3．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
第二部分例题与解题思路方法归纳类型一：勾股定理求解三角形【例题1】（2010•菏泽）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．〖选题意图〗本题利用了角平分线定义、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．〖解题思路〗先有∠A=30°，那么∠ABC=60°，结合BD是角平分线，那么可求出∠DBC=∠ABD=30°，在Rt△DBC中，利用直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD，再利用勾股定理可求BC，同理，在Rt△ABC中，AB=2BC，即可求AB．〖参考答案〗解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴AD=DB，又∵Rt△CBD中，CD=5cm，∴BD=10cm，∴BC=﹣=﹣=5cm，∴AB=2BC=10cm．【课堂训练题】1．如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．〖参考答案〗（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC．∵∠ACE=∠DCE﹣∠DCA，∠BCD=∠ACB﹣∠DCA，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACE=∠BCD．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS）．（2）解：又∠BAC=45°，∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，即△EAD是直角三角形。
《勾股定理的逆定理》PPT课件(第1课时)
理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三 角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
巩固练习
D
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为
斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂小结
勾股定理 的逆定理
内容 作用 注意
如果三角形的三边长a 、b 、c满
下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )
A. 1,2,3
B. 2,3,4
C. 4,5,6
D. 1, 2, 3 C
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( C )
A.三个内角比为1：2：1
C.三边之比为 3 : 2 : 5
B. 三边之比为1：2： 5 D. 三个内角比为1：2：3
探究新知 考 点 2 勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形
b
根据勾股定理，则有 A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2. B
B
∵a2+b2=c2, ∴A1B1 =c， ∴AB=A1B1.
A1
在△ABC和△A1B1C 1中，
aC
BC=B1C1,
b
CA=C1A1, AB=A1B1.
B1 a C1
∴∆ABC ≌ ∆A1B1C1. ∠C=∠ C1 =90°.
沪教版八年级上册-勾股定理及两点间距离公式讲义
点 ， 之间所连线段的中点 坐标为（ ， ）
公式对于 和 两点在平面内任意位置都是成立的
热身练习
1、在 中， 那么AC长等于（B）
A. B. C. D.
2、三角形的三边长是9、15、12，它的最长边上的高是（A）
A。7.2 B.6.5 C.10 D无法求出
3、两船分别从港口向东北、西北方向行驶，速度分别为15海里/小时和10海里/小时，若两船同时开出，2小时后相距（A）
，解得 或 ，所以B的坐标是（0，0）或（6，0）；
（2）点B在 轴上，那么可设B的坐标为（0， ）
，解得 或 ，所以点B的坐标是（0，0）或（0，8）；
（3）点B在第一、三象限的角平分线上，那么可设B的坐标为（ ）
，解得 或 ，所以点B的坐标是（0，0）或（7，7）；
（4）点B与 轴的距离等于1，则点B在与 轴平行且分布在 轴两侧的直线上，那么可设B的坐标为（1， ）和（-1， ）
证明：利用面积相等有，
整理得c2＝a2＋b2.
例2、如果一个直角三角形的三边长为三个连续的偶数，求这三角形的三边长。
解：设直角三角形的三边长为 （ 为正整数），显然 最长，则有
，
，
所以直角三角形的三边为6、8、10
例3、如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
解： 联结AC
在Rt 中，因为 ，AB=12,BC=9
所以AC= （勾股定理）
在 中，AC=15，AD=8，CD=17
而 ，即
所以 为直角三角形，且 （勾股定理逆定理）
所以
例5、已知在直角坐标平面内，A、B两点的坐标为A（2，2）、B（-1，-2），点P在X轴上且
勾股定理及逆定理
勾股定理及逆定理勾股定理是数学中的一项基本定理，它是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
这个定理被广泛应用于数学、物理、工程等领域，是一项非常重要的数学工具。
本文将从历史、证明、应用等方面详细介绍勾股定理及其逆定理。
一、历史勾股定理的历史可以追溯到古代中国和古代印度。
在中国，早在《周髀算经》中就已经有了勾股定理的雏形，其中记载了一个数学问题：一座高为三的墓，从墓底往上看，墓斜对角线的长度为五。
这个问题可以用勾股定理来解决。
在印度，勾股定理被称为毗邻弥勒定理，早在公元前800年左右的《苏尔巴修塔》中就有了记载。
在欧洲，勾股定理最早被希腊数学家毕达哥拉斯发现，因此也被称为毕达哥拉斯定理。
二、证明勾股定理有多种证明方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯证明的基本思路是将直角三角形拆分成两个小三角形，然后运用几何定理证明。
具体来说，假设直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，我们可以将这个三角形拆分成两个小三角形：一个以直角边a和斜边c为直角和斜边的三角形，另一个以直角边b 和斜边c为直角和斜边的三角形。
这两个小三角形的面积分别为1/2ab和1/2ac，因此整个直角三角形的面积为1/2ab+1/2ac=1/2(a+b)c。
另一方面，根据勾股定理，c^2=a^2+b^2，因此c^2=2ab/2+(a^2+b^2)/2=(a+b)c/2，即c=(a^2+b^2)^(1/2)。
将这个结果代入前面的公式，可以得到直角三角形的面积为1/2(a+b)(a^2+b^2)^(1/2)，这就是毕达哥拉斯的证明。
三、应用勾股定理是一项非常实用的数学工具，它被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
以下是一些常见的应用：1.测量距离：在测量两个点之间的距离时，可以利用勾股定理计算。
假设两个点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，它们之间的距离d 可以用勾股定理计算：d=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^(1/2)。
勾股定理公式大全表格
a=m, b=(m/k-k)/2, c=(m/k+k)/2 其中 m≥3, 当m确定为任意一个≥3的奇数时, k={1,m的所有小于m的因子}, 当m确定为任意一个≥4的偶数时, k={m/2的所有小于m的偶数因子}
已知m，可以求出所有的勾股数（a，b，c）。
勾股定理逆定理公式
a² + b² = c² 或 a² + c² = b² 或 b² + c² = a²
如果三角形的三边满足勾股定理 = (m² - n²)² + 2mn(m² - n²)
当m和n为互质的正整数时，(m² - n², 2mn, m² + n²)构成一组勾股数。
勾股定理公式大全表格如下：
公式名称
公式
描述
勾股定理基本公式
a² + b² = c²
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理求斜边公式
c = √(a² + b²)
已知直角三角形的两条直角边a和b，求斜边c的长度。
勾股定理求直角边公式
b = √(c² - a²)
已知直角三角形的一条直角边a和斜边c，求另一条直角边b的长度。