高考一轮复习第8章解析几何第3讲圆的方程

第三讲 圆的方程 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 圆的定义及方程 定义 平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的集合(轨迹)叫做圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C：__(a，b)__

半径：__r__

一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)

圆心：－D2，－E2

半径：r＝__D2＋E2－4F2__

知识点二 点与圆的位置关系 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)， (1)(x0－a)2＋(y0－b)2__＝__r2⇔点在圆上；

(2)(x0－a)2＋(y0－b)2__＞__r2⇔点在圆外；

(3)(x0－a)2＋(y0－b)2__＜__r2⇔点在圆内．

重要结论 1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上． 2．圆心在任一弦的垂直平分线上． 3．两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 4．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(公式推导：设圆上任一点P(x，y)，则有kPA·kPB＝－1，由斜率公式代入整理即可)． 双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．( √ ) (3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( × ) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx＋Ey＋F＞0．( √ ) (5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．( × ) 题组二 走进教材 2．(必修2P124A组T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝10__． [解析] 设圆心坐标为C(a,0)， ∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上， ∴|CA|＝|CB|， 即a＋12＋1＝a－12＋9，解得a＝2， ∴圆心为C(2,0)， 半径|CA|＝2＋12＋1＝10， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10． 3．(必修2P132A组T3)以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( C ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9

[解析] 因为圆心(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝|6＋4＋5|5＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9．故选C． 题组三 走向高考 4．(2019·北京高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__(x－1)2＋y2＝4__． [解析] ∵抛物线的方程为y2＝4x，∴其焦点坐标为F(1，0)，准线l的方程为x＝－1．又∵圆与直线l相切，∴圆的半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋y2＝4． 5．(2020·高考全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( B )

A．55 B．255

C．355 D．455 [解析] 设圆心为P(x0，y0)，半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点(2,1)，∴x0＝y0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2，∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5．①r＝1时，圆心P(1,1)，

则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝|2－1－3|22＋－12＝255；②r＝5时，圆心P(5,5)，则圆心到直线2x

－y－3＝0的距离d＝|10－5－3|22＋－12＝255．故选B． 考点突破·互动探究 考点一 求圆的方程——自主练透 例1 (1)(2021·海南海口二中模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( C ) A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 (2)(2021·重庆一中、湖北鄂州期中)圆C半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( B ) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2－4x＝0 C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0 (3)(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__x2＋y2－2x＝0__．

(4)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为__(x－2)2＋y2＝9__． [解析] (1)由题意知，圆M的半径r为两平行线间距离1032＋42＝2的一半， ∴r＝1，设圆心的坐标为(a，－a－4)， 则|3a－4－a－4|32＋42＝|3a－4－a－4＋10|32＋42 解得a＝－3，∴圆心坐标为(－3，－1)， ∴圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1，故选C． 另解：与两平行直线距离相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，

由 3x－4y＋5＝0y＝－x－4，得圆心坐标为(－3，－1)， 又两平行线间距离为1032＋42＝2， ∴圆M的半径r＝1， ∴圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1．故选C．

(2)设圆心C(a,0)(a＞0)，由题意知|3a＋4|32＋42＝2，解得a＝2，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选B． (3)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．分别代入(0,0)，(1,1)，(2,0)三点，得  F＝0，1＋1＋D＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，

解得 D＝－2，E＝0，F＝0.故圆的方程为x2＋y2－2x＝0． (4)设圆C的圆心坐标为(a,0)，a＞0，半径为r，则455＝|2a|22＋12．∵a＞0，∴a＝2．∴r2＝(2－0)2＋(0－5)2＝9，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．

名师点拨 求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 〔变式训练1〕 (1)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( A ) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 (2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为__(x＋1)2＋(y＋2)2＝10__． [解析] (1)由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a＞0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，

∴|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)． ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1． 故选A． (2)AB的中点为H(0，－4)，

且kAB＝－3－－52－－2＝12， ∴AB中垂线方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0． 由 2x＋y＋4＝0x－2y－3＝0得圆心C(－1，－2)，∴r2＝AC2＝10． 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10． 考点二 与圆有关的最值问题——多维探究 角度1 斜率型最值

例2 已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则y－1x－2的最大值与最小值分别为__33，－33

__．

[解析] 设y－1x－2＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值． 由|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，故填33，－33． 角度2 截距型最值 例3 (2021·海南海口模拟)已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝3x＋y的取值范围是( B ) A．(－23，4) B．[－23，4] C．[－4,4] D．[－4,23] [解析] x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线3x＋y－m＝0的斜率为－3，在y轴上的截距为m；当直线3x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－23．设圆心(0,0)到直线3x＋y－m

＝0的距离为d，则 m≥－23，d≤2.即 m≥－23，|－m|2≤2.解得m∈[－23，4]．

角度3 与距离有关的最值 例4 (2021·陕西西安一中质检)P是圆M：x2＋(y－3)2＝4上的动点，则P到直线l：3x－y－3＝0的最短距离为( D ) A．5 B．3 C．2 D．1 [解析] 如图，过M作MA⊥l于A，