《结构动力学》复习题

2016年《结构动力学》复习题
一、(概念题)
(1) (填空题)某等效单自由度振动系统具有下列参数：17.5m kg =，70/k N cm =，
阻尼比0.2ξ=，则系统的固有频率ω为 rad/s ，等效阻尼系数c 为 N. s/m 。

(2) (填空题)某振动系统具有下列参数：17.5m kg =，70/k N cm =，0.7/c N s cm =⋅，则系统的固有频率ω为 ，阻尼比ξ为 ，衰减系数n 为 。

(3) (简单计算题)一弹簧悬挂某质量块，弹簧产生了静变形mm 4=∆st ，试确定系统作自由振动的固有频率 (重力加速度取2s m /10=g )。

(10分)
(4) (填空题)当系统受简谐力作用发生共振时，系统所受的外力是由
来平衡。

(5) (问答题)某单自由度系统具有非线性的弹簧，其运动方程为：
()()mx cx f x F t ++=&&&，能否用杜哈美积分计算该系统的受迫振动响应？并说明理由。

(6) (填空题)同种材料的弦承受相同的张力，如果长度增加到原来的4倍，截面积减小到原来的4倍，则作该弦横向振动的各阶固有频率将 。

(7) (填空题)图示两个系统，已知各质点的质量 i m ，刚架的质量不计，忽略杆的轴
向变形，试分别确定两系统的动力自由
2
度：
(1) n = ; (2) n = 。

(8) (作图题) 0.1ξ=时单自由度系统受迫振动的相频曲线如图所示，其中ω为系统的固有频率，p 为激振力的频率，ϕ为位移响应滞后于激振力的相位角。

试大致绘出
0.05ξ=和0.2ξ=时相频曲线的形状。

(9) (问答题)模态分析法能否求解多自由度系统的弹塑性地震响应？并说明理由。

(10) (选择题) 对于一个单自由度系统而言，其临界阻尼与系统的固有特性参数 ，与系统所受的阻尼力 。

(a) 有关，有关；(b) 无关，无关；(c) 有关，无关；(d) 无关，有关 二、(计算题)
（1） 图示两个系统，已知EI 和M ，弹簧刚度316k EI l =，不计梁的质量，试确定：(1) 简支梁的等效刚度L k ；(2) 两个系统的等效刚度a k 和
b k ；(3) 两个系统的固有频率a ω和b ω。

(2) 水平刚杆AB 可绕铰链
A 作微幅旋转振动，在杆的中点固定一个质量为m 的物
块，设弹簧刚度为k ，杆长为l ，杆的质量不计。

(1) 以杆AB 的转角θ
为自由度求系统的动能和
ω
p
π
2
π
势能；(2) 建立系统的运动方程；(3) 求固有频率。

(3) 图示悬臂梁的抗弯刚度为EI ，原先在自由端放置两块砝码，每块砝码的质量为m ，不计梁的质量和阻尼。

现在梁的平衡状态下突然卸去一块砝码，试确定：
(1) 卸去砝码后系统振动的固有频率；(2) 系统相对于新平衡位置的自由振动响应。

(4) 图示系统，两悬臂梁端点的竖向刚度分别为1k 和3k ，两梁之间用弹簧2k 相连，再用弹簧4k 悬挂质量块m ，试求系统对于质量块m 在垂直方向的当量刚度。

提示：当量刚度为：1k 与2k 串联后与3k 并联，最后再与4k 串联。

(5) 如图所示，已知悬臂梁的总质量m ，长l ，抗弯刚度EI 。

在自由端固定质量为M 的物体，以M 的竖向位移()Y t 为广义坐标，假设系统振动时悬臂梁的挠曲线方程可近似用2
3
()(3)/(2)x x l x l ϕ=-表示，试求图示等效单自由度系统的等效质量和等效刚度，并求系统的固有频率。

(6) 简支梁的抗弯刚度为324.010()EI N m =⨯⋅，在跨中固定质量为30M kg =的重物，不计梁的质量。

(1) 试确定其自由振动的固有频率；(2) 若在初始时刻给重物一个初位移初位移00y =，初速度00.5/y m s =&，求
其自由振动的响应。

2
t
M
eq
(7) 图示两个系统，已知悬臂梁的抗弯刚度为EI ，质量块的质量为m ，弹簧刚度3
3EI
k l =，不计梁的质量，试确定：(1) 悬臂梁的等效刚度L k ；(2) 两个系统的等效刚度a k 和b k ；(3) 两个系统的固有频率a ω和b ω。

(8) 一根横梁两端由刚度系数为k 的弹簧支承，
∞=EI 。

在梁的不正中位置有一质量为M 的重物，
略去横梁的质量，试计算重物作自由振动的周期。

(9) 简支梁上面有两个对称布置的质量块，梁的抗弯刚度为EI ，尺寸如图所示，不计梁的质量，试利用对称性确定对称模态所对应的固有频率及其振型矢量。

(10) 图示三跨连续梁的跨中各有一个集中质量，梁的抗弯刚度为EI ，不计梁的质量，试分别求出系统的对称模态的固有频率和振型。

(11) 已知两个自由度系统的阻尼比为
120.1ξξ==，质量矩阵和刚度矩阵为：
2001m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ， 2113k -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
K
试用瑞雷阻尼模型求系统的阻尼矩阵C 。

(10分) (12) 某三自由度系统，已求得其质量矩阵和柔度矩阵分别为：
2
1
2
1
100010002⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ， 941441111⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦δ ，(0) 1.00.50.4⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
φ
取初始迭代向量(0)φ，试用逆迭代法求系统的固有频率1 ω及相应振型1 φ(列出前两步的迭代过程及结果)。

(13) 某四自由度系统，运动方程中的质量、刚度矩阵及初始迭代向量分别为
1
000010000200
00
2m M ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，
11001220 02420026k K -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦ ， 0 1.01.01.01.0⎧⎫
⎪⎪-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪-⎩⎭
R 试用矩阵迭代法估算系统的最高阶固有频率和固有振型(列出前两次迭代结果)。

(14) 变量y 与i x 之间满足关系：1122y a x a x =+，试根据下列各时刻的观察值求i a 的最佳估计。

(15) 一根长为l ，两端固定并张紧的弦，在a x =处用力提起，使弦成为图示的三角形初始状态，
求当力突然撤去时弦的自由振动。

(16) 两端简支的等截面梁，因下列荷载作用而产生挠曲：(1) 在跨中作用的集中力
p F ；(2) 承受强度为q 的均布荷载。

试求荷载突然移去后梁的自由振动。

三. (叙述题)
(1) 杜哈美积分可以用来计算单自由度系统在任意荷载作用下的动力响应。

设多自
由度系统受迫振动的运动方程为：)( t F x K x
C x M =++&&&，试简述用模态分析法计算多自由度系统在任意荷载作用下动力响应的求解过程。

(2) 设多自由度系统无阻尼自由振动的运动方程为：+=M x
K x && 0，试简述用模态分析法计算多自由度系统在初始条件0()x 和0()x & 下动力响应的求解过程。

(3) 试简述用模态分析法计算直杆纵向自由振动响应的求解过程。

(4) 试简述用模态分析法计算欧拉梁横向受迫振动响应的求解过程。

四. (演绎题)
(1) 如图所示的等截面梁，一端简支，另端固定，抗弯刚度为EI ，单位长度的质量为
m ，已知振型函数的一般解为：
x a C x a C x a C x a C x sinh cosh sin cos )(4321+++=ϕ，其
中频率参数 a 与固有频率ω的关系为：
m EI a /2=ω。

试建立该梁作横向自由振动的频率方程。

(2) 两端自由梁，抗弯刚度为EI ，单位长度质量为m ，试建立梁横向自由振动频率
方程。

已知x a C x a C x a C x a C x sinh cosh sin cos )(4321+++=ϕ，频率参数 a 与固有频率ω的关系为：m EI a /2=ω。

)
(3) 如图所示，梁的左端固支，右端弹性支承，弹簧的刚度系数为k 。

梁的抗弯刚度EI ，单位长度质量m 均为常数，试建立梁横向振动的频率方程。

(4) 如图所示的等截面悬臂梁，抗弯刚度为EI ，单位长度的质量为m ，自由端固结的集中质量l m M 2=，试建立梁横向自由振动的频率方程。

（设梁无阻尼自由振动的一般解为)sin()(),(αωϕ+=t x t x y ，其中
x a C x a C x a C x a C x sinh cosh sin cos )(4321+++=ϕ，频率参数 a 与固有频率ω的关系
为：m EI a /2=ω。

)
(5) 软土地基上的桩基础可简化为一端自由、一端弹性支承的等截面直杆。

设桩长为l ，截面积为A ，单位体积的质量为ρ，弹簧的刚度系数为k ，如图所示。

已知杆作纵向自由振动的解为)( )() ,(x t U t x u ϕ=，其中()()c x A c x A x / sin / cos )(21ωωϕ+=，ω为由边界条件确定的固有频
率，c 为纵波在杆中传播的速度，试建立系统作纵向自由振动的频率方程。