2018-2019学年北京市房山区八年级(下)期末数学试卷-含详细解析
2018-2019学年北京市房山区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列各点在函数y=2x−1的图象上的是()A. (1,3)B. (−2,4)C. (3,5)D. (−1,0)2.一元二次方程x2−3x−1=0的根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根3.如果用配方法解方程x2−2x−1=0，那么原方程应变形为()A. (x−1)2=1B. (x+1)2=1C. (x+1)2=2D. (x−1)2=24.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小超想测量A，B间的距离，但不能直接到达，他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE 的长为8m，则A，B间的距离为()A. 14mB. 15mC. 16mD. 17m5.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB=4，AC=6，则BD的长为()A. 11B. 10C. 9D. 86.方差是表示一组数据的()A. 变化范围B. 平均水平C. 数据个数D. 波动大小7.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，则下列说法不一定成立的是()A. S△ABC=S△ADCB. S△AEF=S△ANFC. S矩形NFGD=S矩形EFMBD. S△ANF=S矩形NFGD8.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是()A. ()B. ()C.D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.方程x2−x=0的解是______．10.如果一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，请你写出一组满足条件的k，b的值：k=______，b=______．11.如图是一个窗户造型，为正八边形，则∠1=________°．12.如图，已知函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，则a的值是______．13.某种手机每部售价为a元，如果每月售价的平均降低率为x，那么2个月后，这种手机每部的售价是______元．(用含a，x的代数式表示)14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,√3)，B(−1,0)，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，则点D的坐标为______．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−3,0)，B(−1,2).以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°，再沿y轴向下平移两个单位，得到△A′O′B′，其中点A′与点A对应，点B′与点B对应．则点A′的坐标为______，点B′的坐标为______．16.如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.已知一次函数y=kx+b(k≠0)，当0≤x≤3时，−1≤y≤2，求此一次函数的表达式．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.解下列一元二次方程：(1)(x−1)2=2 (2)2x2−4x−3=019.在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”．小明的作法如下：①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q(与点A不重合)；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明的作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：∵AB=AP=______=______．∴四边形ABQP是菱形(______)(填推理的依据)．∴PQ//l．20.已知：关于x的一元二次方程x2−4x+m+1=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的两个根．21.十八世纪，古巴比伦泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中一个问题为：“一块矩形田地面积为55，长边比短边多6，问长边多长？”.请你用学过的一元二次方程知识解决这个问题．x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，点D在y轴的负半轴22.如图，直线y=23上，C、D两点到x轴的距离均为2．(1)点C的坐标为：______，点D的坐标为：______；(2)点P为线段OA上的一动点，当PC+PD最小时，求点P的坐标．23.已知：如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，判断EG与FH的数量关系并加以证明．24.如图，在▱ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．(1)求证：四边形BECD是矩形；(2)连接DE交BC于点F，连接AF，若CE=2，∠DAB=30°，求AF的长．25.某中学为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，由体育老师随机抽取了八年级40名学生进行一组别次数x频数第1组80≤x<1004第2组100≤x<120b第3组120≤x<140a第4组140≤x<16014第5组160≤x<1803请结合图表完成下列问题：(1)表中a=______，b=______；(2)请把频数分布直方图补充完整；(3)若八年级学生一分钟跳绳的成绩标准是：x<120为不合格；120≤x<140为合格；140≤x<160为良好；x≥160为优秀．如果该年级有320名学生，根据以上信息，请你估计该年级跳绳不合格的人数为______；优秀的人数为______．26. 当a 是什么整数时，关于x 的一元二次方程x 2−4ax +4a 2−4a −5=0与ax 2−4x +4=0的根都是整数．27. 如图，在正方形ABCD 中，P 为边AD 上的一动点(不与点A 、D 重合)，连接BP ，点A 关于直线BP的对称点为E ，连接AE ，CE ．(1)依题意补全图形；(2)求∠AEC 的大小；(3)过点B 作BF ⊥CE 于F ，用等式表示线段AE 、CF 和BF 的数量关系，并证明．28. 平面直角坐标系xOy 中，对于点A(m,n)和点B(m,n′)，给出如下定义：若n′={n(m ≥1)−n(m <1)则称点B 为点A 的可变点．例如：点(1,4)的可变点的坐标是(1,4)，点(−1,4)的可变点的坐标是(−1,−4)．(1)①点(√3,1)的可变点的坐标是______；②在点A(−1,2)，B(2,−4)中有一个点是函数y =2x 图象上某一个点的可变点，这个点是______；(填“A″或“B″)(2)若点A 在函数y =x +2(−4≤x ≤3)的图象上，求其可变点B 的纵坐标n′的取值范围；(3)若点A 在函数y =−x +4(−1≤x ≤a,a >−1)的图象上，其可变点B 的纵坐标n′的取值范围是−5≤n′≤3，直接写出a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、当x=1时，y=2x−1=1，∴点(1,3)不在函数y=2x−1的图象上；B、当x=−2时，y=2x−1=−5，∴点(−2,4)不在函数y=2x−1的图象上；C、当x=3时，y=2x−1=5，∴点(3,5)在函数y=2x−1的图象上；D、当x=−1时，y=2x−1=−3，∴点(−1,0)不在函数y=2x−1的图象上．故选：C．利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一验证四个选项中的点是否在一次函数的图象上，此题得解．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵x2−3x−1=0，∴△=(−3)2−4×1×(−1)=9+4=13>0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：B．计算方程根的判别式进行判断即可．本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：x2−2x=1，x2−2x+1=1+1，则(x−1)2=2，故选：D．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵点D，E分别为AC、BC的中点，∴AB=2DE=16(cm)，故选：C．根据三角形中位线定理解答即可．本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD=2BO，AO=OC=3．在Rt△ABO中，利用勾股定理可得BO=√42+32=5．∴BD=2BO=10．故选：B．利用平行四边形的性质可知AO=3，在Rt△ABO中利用勾股定理可得BO=5，则BD=2BO=10．本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．解题的技巧是平行四边形转化为三角形问题解决．6.【答案】D【解析】解：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．故选：D．根据方差的意义选择正确的选项即可．本题主要考查了方差的定义，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．7.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AC为对角线，∴△ABC面积=△ADC面积．所以A选项内容正确，不符合题意；根据作图过程可知四边形AEFN是矩形，AF为其对角线，所以△AEF面积=△ANF面积．所以B选项内容正确，不符合题意；因为△ABC面积=△ADC面积，△AEF面积=△ANF面积，△FMC面积=△FGC面积，所以△ABC面积−△AEF面积−△FMC面积=△ADC面积−△ANF面积−△FGC面积，所以矩形NFGD面积=矩形EFMB面积，C选项内容正确，不符合题意；NF×AN，矩形NFGD面积=NF×ND，因为△ANF面积=12若△ANF面积=矩形NFGD面积，则AN=2ND，而已知不一定AN=2ND，所以D选项内容错误，D符合题意．故选：D．根据矩形的性质：一条对角线分成的两个三角形面积相等，可知A和B选项内容正确，不符合题意；根据△ABC面积=△ADC面积，△AEF面积=△ANF面积，△FMC面积=△FGC面积，阴影部分面积即可判断C选项；NF×AN，矩形NFGD面积=NF×ND，若△ANF面积=矩形NFGD面积，则AN=因为△ANF面积=122ND，而已知不一定AN=2ND，所以D选项内容错误，D符合题意．本题主要考查了矩形的性质、解决这类问题的方法是四边形转化为三角形，利用三角形面积间的和差关系进行判断．8.【答案】C【解析】解：如图，点P即为旋转中心，P(0,1)，故选：C．对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．本题考查旋转变换，记住对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心是解题的关键．9.【答案】0或1【解析】解：原方程变形为：x(x−1)=0，∴x=0或x=1．本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．10.【答案】−1−2【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，∴k<0，b<0，则满足题意的一组值为k=−1，b=−2，故答案为：−1；−2根据一次函数图象经过的象限确定出k与b的正负，写出一组满足题意的值即可．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．11.【答案】45【解析】【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，明确任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．【解答】解：360°÷8=45°，故答案为45．12.【答案】−1【解析】解：∵函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，∴把x=1代入y=x+1得，y=2，∴点P(1,2)，把P(1,2)代入y=ax+3得2=a+3，∴a=−1，故答案为：−1．把x=1代入y=x+1求得点P(1,2)，把P(1,2)代入y=ax+3即可得到结论．本题考查了两直线相交或平行，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．13.【答案】a(1−x)2【解析】解：∵每月售价的平均降低率为x，∴2个月后，这部手机降价(1−x)2，∴2个月后，这种手机每部的售价是a(1−x)2．故答案为：a(1−x)2．由每月的降价率，结合原价即可找出2个月后该手机的售价，此题得解．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14.【答案】(2,√3)【解析】解：∵点A(0,√3)，B(−1,0)，∴AO=√3，BO=1∴AB=√AO2+BO2=2∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD=2，AD//BC∴点D坐标(2,√3)故答案为：(2,√3)由勾股定理可求AB的长，由菱形的性质可得AB=AD=2，AD//BC，即可求点D坐标．本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，求AB的长是本题的关键．15.【答案】(0,1)(2,−1)【解析】解：观察图形可知，A′(0,1)，B′(2,−1)；故答案为(0,1)或(2,−1)．根据题意画出图形，即可解决问题；本题考查旋转变换、平移变换等知识，解题的关键是学会正确画出图形解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】√3【解析】解：连接CH．∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形EFCG，∴∠F=∠D=90°，∴△CFH与△CDH都是直角三角形，在Rt△CFH与Rt△CDH中，∵{CF =CD CH =CH， ∴△CFH≌△CDH(HL)． ∴∠DCH =12∠DCF =12(90°−30°)=30°．在Rt △CDH 中，CD =3，∴DH =tan∠DCH ×CD =√3．故答案为：√3．连接CH ，可知△CFH≌△CDH(HL)，故可求∠DCH 的度数；根据三角函数定义求解．此题主要考查旋转变换的性质及三角函数的定义，作出辅助线是关键．17.【答案】解：当k >0时，一次函数y 随x 的增大而增大，即x =0时，y =−1，x =3时，y =2，代入得：{b =−13k +b =2， 解得：{k =1b =−1， 此时一次函数解析式为y =x −1；当k <0时，一次函数y 随x 的增大而减小，即x =0时，y =2，x =3时，y =−1，代入得：{b =23k +b =−1， 解得：{k =−1b =2， 此时一次函数解析式为y =−x +2，综上，一次函数的表达式为y =x −1或x =−x +2．【解析】分两种情况考虑：k >0与k <0，分别确定出解析式即可．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．18.【答案】解：(1)(x −1)2=2，x −1=±√2，x 1=1+√2，x 2=1−√2；(2)2x 2−4x −3=0，2x 2−4x =3，x 2−2x =32，x 2−2x +1=32+1， (x −1)2=52， x −1=±√52，x 1=1+√102，x 2=1−√102．【解析】(1)两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；(2)移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题天考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．19.【答案】(1)如图所示．(2)PQ，BQ；四边相等的四边形是菱形；【解析】解：(1)如图所示．(2)：∵AB=AP=PQ=BQ．∴四边形ABQP是菱形(四边相等的四边形是菱形)．∴PQ//l．故答案为：PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．(1)根据要求作出图形即可．(2)根据四边相等的四边形是菱形即可判断．本题考查作图−复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：(1)∵一元二次方程有两个不相等实根，∴△=16−4(m+1)>0，12−4m>0，∴m<3；(2)∵当m=−1时，x(x−4)=0，∴x1=0，x2=4．【解析】(1)由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的取值范围；(2)由(1)中所求m的取值范围，取一个m的值，代入方程求解即可．本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．21.【答案】解：设矩的长为x，则宽为x−6，根据题意得：x(x−6)=55，解得：x=11或x=−5(舍去)答：长为11．【解析】根据长方形的面积公式列式计算即可．考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解矩形的面积计算方法，难度不大．22.【答案】(1)(−3,2)，(0,−2)；(2)当C、P、D共线时，PC+PD的值最小，设最小CD 的解析式为y =kx +b ，则有{−3k +b =2b =−2， 解得{k =−43b =−2，∴直线CD 的解析式为y =−43x −2，当y =0时，x =−32，∴P(−32,0)．【解析】解：(1)由题意点C 的纵坐标为2，y =2时，2=23x +4，解得x =−3，∴C(−3,2)，∵点D 在y 轴的负半轴上，D 点到x 轴的距离为2，∴D(0,−2)，故答案为(−3,2)，(0,−2)；(2)见答案．(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)当C 、P 、D 共线时，PC +PD 的值最小，求出直线CD 的解析式即可解决问题；本题考查一次函数图象上的点坐标特征，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：EG =FH ，理由如下：连接EF 、FG 、GH 、HF ，∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF =12AC ，EF//AC ，∵G 、H 分别为CD 、DA 的中点，∴HG =12AC ，HG//AC ，∴EF =HG ，EF//HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵EF//AC ，AC ⊥BD ，∴EF ⊥BD ，∵F 、G 分别为BC 、CD 的中点，∴FG//BD ，∴EF ⊥FG ，∴平行四边形EFGH 为矩形，∴EG =FH ．【解析】连接EF 、FG 、GH 、HF ，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到平行四边形EFGH 为矩形，根据矩形的性质证明结论．本题考查的是中点四边形的概念和性质、掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是解题的关键．24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD//AB，∵BE=AB，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ABD=90°，∴∠DBE=90°．∴▱BECD是矩形；(2)解：如图，取BE中点G，连接FG．由(1)可知，FB=FC=FE，∴FG=1CE=1，FG⊥BE，2∵在▱ABCD中，AD//BC，∴∠CBE=∠DAB=30°．∴BG=√3．∴AB=BE=2√3．∴AG=3√3，∴在Rt△AGF中，由勾股定理可求AF=2√7【解析】(1)根据平行四边形的性质得到CD=AB，CD//AB，推出四边形BECD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；CE=1，FG⊥BE，解直角三角形即(2)取BE中点G，连接FG.由(1)可知，FB=FC=FE，得到FG=12可得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，含30°交的直角三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．25.【答案】11 8 96 24【解析】解：(1)由统计图可知b=8，由统计表可知a=40−(4+8+14+3)=11，故答案为11，8；(2)频数分布直方图补充如下：=96(人)，(3)该年级跳绳不合格的人数320×8+440=24(人)，优秀的人数320×340故答案为96，24．(1)由统计图可知b=8，由统计表可知a=40−(4+8+14+3)=11；(2)频数分布直方图见答案；(3)该年级跳绳不合格的人数320×8+440=96(人)，优秀的人数320×340=24(人)．本题考查的是条形统计图和统计表的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．26.【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2−4ax+4a2−4a−5=0与ax2−4x+4=0有解，则a≠0，∴△≥0，x2−4ax+4a2−4a−5=0，∴△=(−4a)2−4×1×(4a2−4a−5)≥0，即a≤−54；ax2−4x+4=0，△=16−4×a×4=16−16a≥0，∴a≤1；∴−54≤a≤1，且a≠0，而a是整数，∴a=−1，a=1，①当a=−1时，方程x2−4ax+4a2−4a−5=0为x2+4x+3=0，方程的解是x1=−1，x2=−3；ax2−4x+4=0即−x2−4x+4=0，x2+4x−4=0，此时方程的解不是整数；②当a=1时，方程x2−4ax+4a2−4a−5=0为x2−4x−5=0，方程的解是x1=5，x2=−1；ax2−4x+4=0即x2−4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；综合上述：当a是1时，ax2−8x+7=0与x2−4ax+4a2−4a−5=0的根都是整数．【解析】这两个一元二次方程都有解，因而根与判别式△≥0，即可得到关于a不等式，从而求得a的范围，再根据a是整数，即可得到a的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定a的值．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．27.【答案】解：(1)如图所示，(2)如图，连接BE，∵点A、E关于BP对称，∴∠BAE=∠BEA，BA=BE，∵BA=BC，∴BE=BC，∴∠BEF=∠BCF，∵∠ABC=90°且∠ABC+∠BAE+∠BEA+∠BEC+∠BCE=360°，∴∠BEA+∠BEC=135°，即∠AEC=135°；(3)BF=√22AE+CF，延长BP、CE，交于点Q，∵点A、E关于BP对称，∴AE=2ME，∠ABM=∠EBM=12∠ABE，∠QME=∠AMB=90°，∵∠AEC=135°，∴∠QEM=45°，则QE=√2ME，∴QE=√22AE，∵BF⊥CE且BE=BC，∴∠CBF=∠EBF=12∠CBE，CF=EF，∵∠CBE+∠ABE=90°，∴∠EBM+∠EBF=12(∠CBE+∠ABE)=45°，∴在Rt△QBF中，BF=QF=QE+EF，则BF=√22AE+CF．【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可得；(2)连接BE，由点A、E关于BP对称知∠BAE=∠BEA，BA=BE，由BA=BC知BE=BC，得∠BEF=∠BCF，根据四边形的内角和为360°且∠ABC=90°可得答案；(3)延长BP、CE，交于点Q，由对称知AE=2ME，∠EBM=12∠ABE，∠QME=∠AMB=90°，由∠AEC=135°知∠QEM=45°，得QE=√2ME，即QE=√22AE，再由∠CBF=∠EBF=12∠CBE，CF=EF得∠EBM+∠EBF=12(∠CBE+∠ABE)=45°，在Rt△QBF中，根据BF=QF=QE+EF可得答案．本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、轴对称的性质及等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点．28.【答案】(√3,1) A【解析】解：(1)①∵√3>1，∴点(√3,1)的可变点的坐标是(√3,1)．故答案为：(√3,1)；②∵当x=−1时，y=2×(−1)=−2，∴函数y=2x图象上某一个点是(−1,−2)，∴点(−1,−2)的可变点的坐标是A(−1,2)，∵当x=2时，y=2×2=4，∴函数y=2x图象上某一个点是(2,4)，∴(2,4)的可变点的坐标是(2,4)，综上，点A(−1,2)是函数y =2x 图象上某一个点的可变点，故答案为A ；(2)当−4≤m <1时，由题意得：n′=−n ，∵点A(m,n)在函数y =x +2上，∴点(m,−n′)在函数y =−x −2上，∴−n′=−m −2，∴m =n′−2，∴−4≤n′−2<1∴−2≤n′<3．当1≤m ≤3时，由题意得n =n′．∵点A(m,n)在函数y =x +2上，∴(m,n′)在函数y =x +2上，∴n′=m +2，∴m =n′−2，∴1≤n′−2≤3，∴3≤n′≤5．综上所述：−2≤n′≤5．(3)依题意，y =−x +4(−1≤x ≤a,a >−1)图象上的点A 的可变点B 必在函数n′={−x +4(x ≥1)x −4(x <1)的图象上，如图．当x =1时，n′取最大值，n′=−1+4=3，当n′=−5时，x −4=−5或−x +4=−5，∴x =−1或x =9，当n′=−3时，−x +4=−3.∴x =7．∵−5≤n′≤3，∴由图象可知，k 的取值范围时：7≤k ≤9．(1)①按定义求解即可；②把x =−1和x =2分别代入y =2x 求得某一个点的坐标，根据定义求得可变点，即可求得答案；(2)当分为−4≤m <1，1≤m ≤3两种情况求得n′的范围，从而得到n′的范围；(3)根据题意可知y =−x +4(−1≤x ≤a,a >−1)的图象上的点A 的可变点B 必在函数n′={−x +4(x ≥1)x −4(x <1)的图象上，结合图象即可得到答案．本题考查了一次函数的综合题，解题的关键是依照题意，画出函数图象，利用数形结合找出结论．。
北京市东城区2018-2019学年八年级(下)期末模拟数学试题(含答案)
8.在一次为某位身患重病的小朋友募捐过程中，某年级有50师生通过微信平台奉献了爱心.小东对他们的捐款金额进行统计，并绘制了如下统计图.师生捐款金额的平均数和众数分别是
A．20，20
B．32.4，30
C．32.4，20
D．20，30
9.若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是
16.方程 的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是.
17.已知直线 与 轴、 轴分别交于点 ， .若将直线 向上平移 个单位长度与线段AB有公共点，则 的取值范围是.
18.在一节数学课上，老师布置了一个任务：
已知，如图1，在 中，∠B=90°，用尺规作图作矩形 .
图1图2
C. 2cm，5cm，6cm D. 5cm，12cm，13cm
3.下图中，不是函数图象的是
A B
C D
4.平行四边形所具有的性质是
A.对角线相等B.邻边互相垂直
C.每条对角线平分一组对角D.两组对边分别相等
5．下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
92
表1Biblioteka 客户订单（架）客户
订单（架）
中国国际航空
20
工银金融租赁有限公司
45
中国东方航空
20
平安国际融资租赁公司
50
中国南方航空
20
交银金融租赁有限公司
30
海南航空
20
中国飞机租赁有限公司
20
四川航空
15
中银航空租赁私人有限公司
20
河北航空
20
北京市房山区2019年第二学期期中考试卷 八年级数学试卷 (含答案)
2017-2018学年第二学期八年级数学期中考试试卷第1页（共8页） 北京市房山区2019年第二学期期中教研质量检测八年级数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1. 如图，若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，∠A=90°，则下列说法正确的是（ ）A. a 2+b 2=c 2B. a 2+c 2=b 2C. a 2−b 2=c 2D. c 2−a 2=b 22．如图，菱形花坛ABCD 的面积为12平方米，其中沿对角线AC 修建的小路长为4米， 则沿对角线BD 修建的小路长为（ ）A ．6米B ．3米C ．8米D ．10米3.在□ABCD 中，∠A=40°，则∠C 的度数为（ ）A. 50°B.140°C. 40°D.130°4.下列关于□ABCD 的叙述，正确的是（ ）A.若AC=BD ，则□ABCD 是矩形B.若AB=AD ，则□ABCD 是正方形C.若AB ⊥BC ，则□ABCD 是菱形D.若AC ⊥BD ，则□ABCD 是正方形5.如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 绕点C•顺时针方向旋转90°得到△DCF ，连接EF ．若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为（ ）A.10°B.15°C.20°D.25°6.用下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）A.√3,√4,√5B.1,√2,√3C.6,7,8D.2,3,47.若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值为（ ）.A.3B.2√5C.2√3D. 2√5或2√38.如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上的点，若BE=3，CE=1，则正方形ABCD的对角线的长为（ ） A ．8 B ．4√2 C ．6 D. 4 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.已知在□ABCD 中，AB=4，BC=7，则这个平行四边形的周长为_____.10.如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线A BC。
2018-2019学年北京市丰台区八年级(下)期末数学试卷
①依题意补全图 2；
②用等式表示线段 NB，NC 和 ND 之间的数量关系，并证明．
28．（7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 W 和点 P，给出如下定义：F 为图形 W 上任
意一点，将 P，F 两点间距离的最小值记为 m，最大值记为 M，称 M 与 m 的差为点 P 到
图形 W 的“差距离”，记作 d（P，W），即 d（P，W）＝M﹣m，已知点 A（2，1），B（﹣
第9页（共36页）
26．（5 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 边的一个动点，点 P 从点 A 出发，沿 AB﹣BC﹣CD 的方向匀速运动到点 D 停，过点 P 作 PE 垂直直线 AD 于点 E，已知 AB＝3cm，设点 P 走过的路程为 xcm，点 P 到直线 AD 的距离为 ycm．（当点 P 与点 A 或点 D 重合时，y 的 值为 0） 小腾根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y 与 x 的几组对应值：
24．（6 分）如图，▱ABCD 中，∠BAC＝90°，E，F 分别是 BC，AD 的中点 （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）如果 AB＝2，BC＝4，求四边形 AECF 的面积．
25．（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝kx+b（k≠0）与直线 y＝﹣x+4 的交点为 P （3，m），与 y 轴交于点 A． （1）求 m 的值； （2）如果△PAO 的面积为 3，求直线 y＝kx+b 的表达式．
D．
3．（2 分）一元二次方程 x2+3x＝0 的根是（ ）
A．x＝0
2018-2019学年北京市门头沟区八年级(下)期末数学试卷
（1）甲车行驶的路程为
千米；
（2）乙车行驶的速度为
千米/时，甲车等候乙车的时间为
小时；
（3）甲、乙两车出发
小时，第一次相遇；
（4）甲、乙两车出发
小时，相距 20 千米．
第8页（共40页）
24．（6 分）已知 y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是 x≠0，如表是 y 与 x 的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，可以求出 x 的范围．
【解答】解：函数 y＝
中 x﹣3≥0，
所以 x≥3，
故选：B．
【点评】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是
整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
（1）如果点 M 的坐标为（0，1），点 N 的坐标为（3，1），那么点 M，N 的“确定正方 形”的面积为 ； （2）已知点 O 的坐标为（0，0），点 C 为直线 y＝x+b 上一动点，当点 O，C 的“确定正 方形”的面积最小，且最小面积为 2 时，求 b 的值． （3）已知点 E 在以边长为 2 的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线 交点为 P（m，0），点 F 在直线 y＝﹣x﹣2 上，若要使所有点 E，F 的“确定正方形”的 面积都不小于 2，直接写出 m 的取值范围．
图表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2 分）如果 2x＝3y，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． ＝
2018-2019学年北京市海淀区八年级(下)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的1．（3分）下列实数中，是方程x2﹣4＝0的根的是（）A．1B．2C．3D．42．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则AB的长度为（）A．7B．8C．9D．103．（3分）在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组邻边相等D．对角线互相垂直4．（3分）下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．5．（3分）数据2，6，4，5，4，3的平均数和众数分别是（）A．5和4B．4和4C．4.5和4D．4和56．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17B．（x+4）2＝15C．（x﹣4）2＝15D．（x﹣4）2＝17 7．（3分）若点A（﹣3，y1），B（1，y2）都在直线y＝x+2上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法比较大小8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO，则BE的长度为（）A．B．C．D．29．（3分）对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（）X﹣10123Y2581214 A．5B．8C．12D．1410．（3分）博物馆作为征集、典藏、陈列和研究代表自然和人类文化遗产实物的场所，其存在的目的是为众提供知识、教育及欣赏服务．近年来，人们到博物馆学习参观的热情越来越高，2012﹣2018年我国博物馆参观人数统计如下：小明研究了这个统计图，得出四个结论：①2012年到2018年，我国博物馆参观人数持续增②2019年末我国博物馆参观人数估计将达到1082亿人次③2012年到2018年，我国博物馆参观人数年增幅最大的是2017年；④2016年到2018年，我国博物馆参观人数平均年增长率超过10%其中正确的是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①②二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）在▱ABCD中，若∠B＝110°，则∠D＝°．12．（3分）八年级（1）班甲、乙两个小组的10名学生进行飞镖训练，某次训练成绩如下甲组成绩（环）87889乙组成绩（环）98797由上表可知，甲、乙两组成绩更稳定的是．13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有实数根，且所有实数根均为整数，请写出一个符合条件的常数m的值：m＝．14．（3分）如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海远洋号，长峰号两艘轮船同时离开港P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12nmile，“长峰”号每小时航行16nmile，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB＝20nmile，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，那么“长峰”号航行的方向是．15．（3分）若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积，则称这样的矩形为“优美矩形”．某公园在绿化时工作人员想利用如图所示的直角墙角（两边足够长）和长为38m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD，其中边AB，AD为篱笆且AB大于AD．设AD为xm，依题意可列方程为．16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3与x，y轴分别交于点A，B，若将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，则k的值为．三、解答题（本题共26分，第17题8分，第18，20题各5分，第19，21题各4分）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣3＝0（用配方法）（2）2x2+5x﹣1＝0（用公式法）18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，且经过点A（1，6）（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）求一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积．19．（5分）下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形的尺规作图过程：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．作法：①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO＝BO②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形根据小丁设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵点O为AC的中点，∴AO＝CO又∵DO＝BO，∴四边形ABCD为平行四边形（）∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD为矩形（）20．（4分）方程x 2+2x +k ﹣4＝0有实数根 （1）求k 的取值范围；（2）若k 是该方程的一个根，求2k 2+6k ﹣5的值．21．（4分）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD （如图所示）的周长，其中边CD 上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度小东经测量得知AB ＝AD ＝5m ，∠A ＝60°，BC ＝12m ，∠ABC ＝150°小明说根据小东所得的数据可以求出CD 的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出CD 的长度；若不同意，请说明理由．四、解答题（本题共13分，第22题7分，第23题6分）22．（7分）三月底，某学校迎来了以“学海通识品墨韵，开卷有益览书山”为主题的学习节活动为了让同学们更好的了解二十四节气的知识，本次学习节在沿袭以往经典项目的基础上，增设了十四节气之旅项目，并开展了相关知识竞赛该学校七、八年级各有400名学生参加了这次竞赛，现从七、八年级各随机抽取20名学生的成绩进行抽样调查 七年级：74 97 96 72 98 99 72 73 76 74 74 69 76 89 78 74 99 97 98 99 八年级：76 88 93 89 78 94 89 94 95 50 89 68 65 88 77 87 89 88 92 91 整理数据如下成绩 人数 年级 50≤x ≤5960≤x ≤6970≤x ≤7980≤x ≤8990≤x ≤100七年级 0 1 10 1 a 八年级 12386分析数据如下年级平均数中位数众数方差七年级84.27774138.56八年级84b89129.7根据以上信息，回答下列问题（1）a＝b＝；（2）你认为哪个年级知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．（3）学校对知识竞赛成绩不低于80分的学生颁发优胜奖，请你估计学校七、八年级所有学生中获得优胜奖的大约有人．23．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF＝CE，连接AF．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．五、解答题（本题共13分，第24题6分，第25题7分）24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+7与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）（1）求k，m的值；（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x﹣2交于点M，过点P 作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+7交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象，求n的取值范围．25．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点O是△ABC所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得AE＝OA，连按OC，过点B作BD与OC平行，并使∠DBC＝∠OCB，且BD＝OC，连按DE．（1）如图一，当点O在Rt△ABC内部时，①按题意补全图形；②猜想DE与BC的数量关系，并证明．（2）若AB＝AC（如图二），且∠OCB＝30°，∠OBC＝15°，求∠AED的大小．2018-2019学年北京市海淀区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的1．（3分）下列实数中，是方程x2﹣4＝0的根的是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先把方程化为x2＝4，方程两边开平方得到x＝±＝±2，即可得到方程的两根．【解答】解：移项得x2＝4，开方得x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0），ax2＝b（a，b同号且a≠0），（x+a）2＝b（b≥0），a （x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则AB的长度为（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．（3分）在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组邻边相等D．对角线互相垂直【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故本选项不符合题意；C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，能熟记平行四边形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别平行的四边形是平行四边形，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．（3分）下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可求出答案．【解答】解：显然A、B、D选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；C选项对于x取值时，y都有2个值与之相对应，则y不是x的函数；故选：C．【点评】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．5．（3分）数据2，6，4，5，4，3的平均数和众数分别是（）A．5和4B．4和4C．4.5和4D．4和5【分析】根据平均数和众数的概念求解．【解答】解：这组数据的平均数是：（2+6+4+5+4+3）＝4；∵4出现了2次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是4；故选：B．【点评】本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．6．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17B．（x+4）2＝15C．（x﹣4）2＝15D．（x﹣4）2＝17【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【解答】解：x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝17，（x﹣4）2＝17．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．（3分）若点A（﹣3，y1），B（1，y2）都在直线y＝x+2上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法比较大小【分析】先根据直线y＝x+2判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．【解答】解：∵直线y＝x+2，k＝＞0，∴y随x的增大而增大，又∵﹣3＜1，∴y1＜y2．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，y 随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO，则BE的长度为（）A．B．C．D．2【分析】利用正方形的性质得到OB＝OC＝BC＝1，OB⊥OC，则OE＝2，然后根据勾股定理计算BE的长．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为，∴OB＝OC＝BC＝×＝1，OB⊥OC，∵CE＝OC，∴OE＝2，在Rt△OBE中，BE＝＝．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．9．（3分）对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（）X﹣10123Y2581214 A．5B．8C．12D．14【分析】经过观察5组自变量和相应的函数值得（﹣1，2），（0，5），（1，8），（3，14）符合解析式y＝3x+5，（2，12）不符合，即可判定．【解答】解：∵（﹣1，2），（0，5），（1，8），（3，14）符合解析式y＝3x+5，当x＝2时，y＝11≠12∴这个计算有误的函数值是12，故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式是解决本题的关键．10．（3分）博物馆作为征集、典藏、陈列和研究代表自然和人类文化遗产实物的场所，其存在的目的是为众提供知识、教育及欣赏服务．近年来，人们到博物馆学习参观的热情越来越高，2012﹣2018年我国博物馆参观人数统计如下：小明研究了这个统计图，得出四个结论：①2012年到2018年，我国博物馆参观人数持续增②2019年末我国博物馆参观人数估计将达到1082亿人次③2012年到2018年，我国博物馆参观人数年增幅最大的是2017年；④2016年到2018年，我国博物馆参观人数平均年增长率超过10%其中正确的是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①②【分析】根据条形统计图中的信息对4个结论矩形判断即可．【解答】解：①2012年到2018年，我国博物馆参观人数持续增，正确；②10.08×（1+）＝10.45，故2019年末我国博物馆参观人数估计将达到10.45亿人次；故错误；③2012年到2018年，我国博物馆参观人数年增幅最大的是2017年；正确；④设平均年增长率为x，则8.50（1+x）2＝10.08，解得：x＝0.0889，故2016年到2018年，我国博物馆参观人数平均年增长率是8.89%，故错误；故选：A．【点评】此题考查了条形统计图，弄清题中图形中的数据是解本题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）在▱ABCD中，若∠B＝110°，则∠D＝110°．【分析】直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝110°．故答案为：110．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出对角相等是解题关键．12．（3分）八年级（1）班甲、乙两个小组的10名学生进行飞镖训练，某次训练成绩如下甲组成绩（环）87889乙组成绩（环）98797由上表可知，甲、乙两组成绩更稳定的是甲．【分析】根据方差计算公式，进行计算，然后比较方差，小的稳定，在计算方差之前还需先计算平均数．【解答】解：甲＝＝8，乙＝＝8，＝[（8﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4，＝[（9﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2]＝0.8∵＜∴甲组成绩更稳定．故答案为：甲．【点评】考查平均数、方差的计算方法，理解方差是反映一组数据的波动大小的统计量，方差越小，数据越稳定．13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有实数根，且所有实数根均为整数，请写出一个符合条件的常数m的值：m＝9．【分析】利用判别式的意义得到△＝62﹣4m≥0，解不等式得到m的范围，在此范围内取m＝0即可．【解答】解：△＝62﹣4m≥0，解得m≤9；当m＝0时，方程变形为x2+6x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣6，所以m＝9满足条件．故答案为9．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．14．（3分）如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海远洋号，长峰号两艘轮船同时离开港P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12nmile，“长峰”号每小时航行16nmile，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB＝20nmile，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，那么“长峰”号航行的方向是南偏东30°．【分析】由题意得：P与O重合，得出OA2+OB2＝AB2，由勾股定理的逆定理得出△PAB 是直角三角形，∠AOB＝90°，求出∠COP＝30°，即可得出答案．【解答】解：由题意得：P与O重合，如图所示：OA＝12nmile，OB＝16nmile，AB＝20nmile，∵122+162＝202，∴OA2+OB2＝AB2，∴△PAB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，∵∠DOA＝60°，∴∠COP＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°，故答案为：南偏东30°．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理的逆定理及方向角的理解及运用．利用勾股定理的逆定理得出△PAB为直角三角形是解题的关键．15．（3分）若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积，则称这样的矩形为“优美矩形”．某公园在绿化时工作人员想利用如图所示的直角墙角（两边足够长）和长为38m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD，其中边AB，AD为篱笆且AB大于AD．设AD为xm，依题意可列方程为（38﹣x）2＝38x．【分析】设AD为xm，根据“矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积”列出列出方程即可．【解答】解：设AD的长为x米，则AB的长为（38﹣x）m，根据题意得：（38﹣x）2＝38x，故答案为：（38﹣x）2＝38x．【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出另一边的长，难度不大．16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3与x，y轴分别交于点A，B，若将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，则k的值为±．【分析】根据菱形的性质知AB＝5，由一次函数图象的性质和两点间的距离公式解答．【解答】解：令y＝0，则x＝﹣，即A（﹣，0）．令x＝0，则y＝3，即B（0，3）．∵将该直线向右平移5单位，线段AB扫过区域的边界恰好为菱形，∴AB＝5，则AB2＝25．∴（﹣）2+32＝25．解得k＝±．故答案是：±．【点评】考查了菱形的性质和一次函数图象与几何变换，解题的关键是根据菱形的性质得到AB＝5．三、解答题（本题共26分，第17题8分，第18，20题各5分，第19，21题各4分）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣3＝0（用配方法）（2）2x2+5x﹣1＝0（用公式法）【分析】（1）根据配方法的步骤，可得答案；（2）根据公式法，可得答案．【解答】解：（1）移项，得x2+2x＝3配方，得x2+2x+1＝3+1即（x+1）2＝3开方得x+1＝±2，x1＝1，x2＝﹣3；（2）a＝2，b＝5，c＝﹣1，△＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，x＝＝，x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，配方得出完全平方公式是解题关键．18．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，且经过点A（1，6）（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）求一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）根据函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，且经过点A（1，6），即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．（2）先求出与x轴及y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，∴k＝2，又∵函数y＝2x+b的图象经过点A（1，6），∴6＝2+b，解得b＝4，∴一次函数的解析式为y＝2x+4；（2）在y＝2x+4中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣2；∴一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴交于（0，4）和（﹣2，0），∴一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积为×2×4＝4．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式及三角形的面积的知识，关键是正确得出函数解析式及坐标与线段长度的转化．19．（5分）下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形的尺规作图过程：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．作法：①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO＝BO②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形根据小丁设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵点O为AC的中点，∴AO＝CO又∵DO＝BO，∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明．【解答】解：（1）如图，矩形ABCD即为所求．（2）理由：∵点O为AC的中点，∴AO＝CO又∵DO＝BO，∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．（4分）方程x2+2x+k﹣4＝0有实数根（1）求k的取值范围；（2）若k是该方程的一个根，求2k2+6k﹣5的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4（k﹣4）≥0，然后解不等式即可；（2）利用方程解的定义得到k2+3k＝4，再变形得到2k2+6k﹣5＝2（k2+3k）﹣5，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）△＝22﹣4（k﹣4）≥0，解得k≤5；（2）把x＝k代入方程得k2+2k+k﹣4＝0，即k2+3k＝4，所以2k2+6k﹣5＝2（k2+3k）﹣5＝2×4﹣5＝3．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（4分）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度小东经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由．【分析】直接利用等边三角形的判定方法得出△ABD是等边三角形，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：同意小明的说法．理由：连接BD，∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝5m，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝90°，∵BC＝12m，BD＝5m，∴DC ＝＝13（m ），答：CD 的长度为13m ．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出△ABD 是等边三角形是解题关键．四、解答题（本题共13分，第22题7分，第23题6分）22．（7分）三月底，某学校迎来了以“学海通识品墨韵，开卷有益览书山”为主题的学习节活动为了让同学们更好的了解二十四节气的知识，本次学习节在沿袭以往经典项目的基础上，增设了十四节气之旅项目，并开展了相关知识竞赛该学校七、八年级各有400名学生参加了这次竞赛，现从七、八年级各随机抽取20名学生的成绩进行抽样调查 七年级：74 97 96 72 98 99 72 73 76 74 74 69 76 89 78 74 99 97 98 99 八年级：76 88 93 89 78 94 89 94 95 50 89 68 65 88 77 87 89 88 92 91 整理数据如下成绩 人数 年级 50≤x ≤5960≤x ≤6970≤x ≤7980≤x ≤8990≤x ≤100七年级 0 1 10 1 a 八年级 12386分析数据如下年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84.2 77 74 138.56 八年级84b89129.7根据以上信息，回答下列问题 （1）a ＝8 b ＝ 88.5 ；（2）你认为哪个年级知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．（3）学校对知识竞赛成绩不低于80分的学生颁发优胜奖，请你估计学校七、八年级所有学生中获得优胜奖的大约有180，280人．【分析】（1）从调查的七年级的人数20减去前几组的人数即可，将八年级的20名学生的成绩排序后找到第10、11个数的平均数即是八年级的中位数，（2）从中位数、众数、方差进行分析，调查结论，（3）用各个年级的总人数乘以样本中优秀人数所占的比即可．【解答】解：（1）a＝20﹣1﹣10﹣1＝8，b＝（88+89）÷2＝88.5故答案为：8，88.5．（2）八年级成绩较好，八年级成绩的众数、中位数比七年级成绩相应的众数、中位数都要大，说明八年级成绩的集中趋势要高，方差八年级较小，说明八年级的成绩比较稳定．（3）七年级优秀人数为：400×＝180人，八年级优秀人数为：400×＝280人，故答案为：180，280．【点评】考查频数分布表、众数、中位数、平均数、方差的意义及计算方法，明确各自的意义和计算方法是解决问题的前提．23．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF＝CE，连接AF．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF＝AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，∴AD∥BC且AD＝BC，∴∠ADF＝∠BCE，在△ADF和△BCE中，∵∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE，∠AFD＝∠BEC＝90°，∴AF∥BE，∴四边形ABEF是矩形；（2）解：由（1）知：四边形ABEF是矩形，∴EF＝AB＝6，∵DE＝2，∴DF＝CE＝4，∴CF＝4+4+2＝10，Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AF＝DF＝4，由勾股定理得：AC＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴OF＝AC＝．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．五、解答题（本题共13分，第24题6分，第25题7分）24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+7与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）（1）求k，m的值；（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线与直线y＝x﹣2交于点M，过点P 作垂直于x轴的直线与直线y＝kx+7交于点N（P与N不重合）．若PN≤2PM，结合图象，求n的取值范围．【分析】（1）把A点坐标代入y＝x﹣2中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入y ＝kx+7中，求得k的值；（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得PM、PN的值，根据PN ≤2PM，列出n的不等式，再求得结果．【解答】解：（1）把A（3，m）代入y＝x﹣2中，得m＝3﹣2＝1，∴A（3，1），把A（3，1）代入y＝kx+7中，得1＝3k+7，解得，k＝﹣2；（2）由（1）知，直线y＝kx+7为y＝﹣2x+7，根据题意，作出草图如下：∵点P（n，n），∴M（n+2，n），N（n，﹣2n+7），∴PM＝2，PN＝|3n﹣7|，∵PN≤2PM，∴|3n﹣7|≤2×2，∴1≤n≤，∵P与N不重合，∴n≠﹣2n+7，∴n≠，综上，1≤n≤，且n≠【点评】本题是一次函数图象的相交与平行的问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，第（2）小题关键是用n的代数式表示PM与PN的长度．25．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点O是△ABC所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得AE＝OA，连按OC，过点B作BD与OC平行，并使∠DBC＝∠OCB，且BD＝OC，连按DE．（1）如图一，当点O在Rt△ABC内部时，①按题意补全图形；②猜想DE与BC的数量关系，并证明．（2）若AB＝AC（如图二），且∠OCB＝30°，∠OBC＝15°，求∠AED的大小．【分析】（1）①根据要求画出图形即可解决问题．②结论：DE＝BC．连接OD交BC于F，连接AF．证明AF为Rt△ABC斜边中线，为△ODE的中位线，即可解决问题．（2）分两种情形：如图二中，当点O在△ABC内部时，连接OD交BC于F，连接AF，延长CO交AF于M．连接BM．证明△BMA≌△BMO（AAS），推出AM＝OM，∠BMO＝∠BMA＝120°，推出∠AMO＝120°，即可解决问题．如图三中，当点O在△ABC外部时，当点O在△ABC内部时，连接OD交BC于F，连接AF，延长CO交AF于M．连接BM．分别求解即可．【解答】解：（1）①补全图形如图所示：②结论：DE＝BC．理由：如图一中，连接OD交BC于F，连接AF．∵OC∥BD，∴∠FCO＝∠FBD，∵∠CFO＝∠BFD，OC＝BD，∴△FCO≌△FBD（AAS），∴BF＝CF，∵OA＝AE，∵DE＝2AF，∵∠BAC＝90°，BF＝CF，∴BC＝2AF，∴DE＝BC．（2）如图二中，当点O在△ABC内部时，连接OD交BC于F，连接AF，延长CO交AF于M．连接BM．由（1）可知：AF为Rt△ABC斜边中线，为△ODE的中位线，∵AB＝AC，∴AF垂直平分线段BC，∴MB＝MC，∵∠OCB＝30°，∠OBC＝15°，∴∠MBC＝∠MCB＝30°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠MBO＝∠MBA＝15°，∵∠BAM＝∠BOM＝45°，BM＝BM，∴△BMA≌△BMO（AAS），∴AM＝OM，∠BMO＝∠BMA＝120°，∴∠AMO＝120°，∴∠MAO＝∠MOA＝30°，∴∠AED＝∠MAO＝30°．如图三中，当点O在△ABC外部时，当点O在△ABC内部时，连接OD交BC于F，连接AF，延长CO交AF于M．连接BM．由∠BOM＝∠BAM＝45°，可知A，B，M，O四点共圆，∴∠MAO＝∠MBO＝30°﹣15°＝15°，∵DE∥AM，∴∠AED＝∠MAO＝15°，综上所述，满足条件的∠AED的值为15°或30°．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2018-2019学年北京八十中八年级(下)期中数学试卷(含答案解析)
2018-2019学年北京八十中八年级（下）期中数学试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 6 小题，共 18 分）1、(3分) 平行四边形ABCD中，若∠B=2∠A，则∠C的度数为（）A.120°B.60°C.30°D.15°2、(3分) 一次函数y=2x-4的图象不经过的是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、(3分) 下列根式中，最简二次根式是（）D.√0.5A.√a2+1B.√4aC.√a34、(3分) 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（）A.1，2，2B.1，1，√3C.4，5，6D.1，√3，25、(3分) 如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘B、C两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点A，然后测量出AB、AC的中点D、E，且DE=10m，于是可以计算出池塘B、C 两点间的距离是（）A.5mB.10mC.15mD.20m6、(3分) 下列计算正确的是（ ）A.(√3)2=9B.【formula error 】C.√3×√2=6D.√8÷√2=2二、填空题（本大题共 5 小题，共 16 分）7、(3分) 如果二次根式√x −2在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是______．8、(3分) 用20cm 的铁丝所围的长方形的面积S （cm 2）与长x （cm ）的关系______．9、(3分) 已知一次函数的图象经过点（1，3），且函数y 的值随自变量x 的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式______．10、(3分) 如图，一次函数y 1=x+b 与一次函数y 2=kx+4的图象交于点P （1，3），则关于x 的不等式x+b ＞kx+4的解集是______．11、(4分) 已知在平面直角坐标系中，有三点A （-2，2），B （1，-2），C （5，1）．若以A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，写出第四个顶点D 的坐标______．三、计算题（本大题共 1 小题，共 8 分）12、(8分) 计算：（1）(√3−12)2−√12．（2）(√24−√12)−(√18+√6)．四、解答题（本大题共 5 小题，共 27 分）13、(5分) 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=16 cm，AB=12 cm，DE平分∠ADC交BC 边于点E，求BE的长度．14、(5分) 已知，如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE 的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF，求证：CF∥AE．15、(5分) 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，AD=1，CD=3．（1）求∠DAB的度数．（2）求四边形ABCD的面积．16、(5分) 已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC，DF，CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE，CD相交于点P，且∠APD=45°，求证：BD=CE．17、(7分) 如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B．点P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C．过P点作直线MN平行于x 轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N．记AP=x，△PBC的面积为S．（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；（2）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当点P在线段AB上移动时，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，直接写出所有能使△PBC成为等腰三角形的x的值；如果不可能，请说明理由．2018-2019学年北京八十中八年级（下）期中数学试卷【第 1 题】【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，∵∠B=2∠A，∴∠A+2∠A=180°，∴∠A=∠C=60°．故选：B．先根据平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°，∠A=∠C，再由∠B=2∠A可求出∠A的度数，进而可求出∠C的度数．本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键．【第 2 题】【答案】B【解析】解：∵一次函数y=2x-4中，k=2＞0，b=-4＜0，∴函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选：B．根据一次函数的性质可求出函数图象所经过的象限．本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．【第 3 题】【答案】A【解析】解：A、√a2+1是最简二次根式；B、√4a=2√a，不是最简二次根式；C、√a3=√3a3，不是最简二次根式；D、√0.5=√22，不是最简二次根式；故选：A．根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【第 4 题】【答案】D【解析】解：A、∵12+22=5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；B、∵12+12=2≠（√3）2，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；C、∵42+52=41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；D、∵12+（√3）2=4=22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项正确．故选：D．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．【第 5 题】【答案】D【解析】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴BC=2DE=20m，故选：D．根据三角形中位线定理可得到BC=2DE，可得到答案．本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键．【第 6 题】【答案】D【解析】解：A、（√3）2=3，故本选项错误；B、√(−2)2=2，故本选项错误；C、√3×√2=√6，故本选项错误；D、√8÷√2=√4=2，故本选项正确；故选：D．根据平方、开平方及二次根式的乘除法则，分别进行各选项的运算，然后即可作出判断．本题考查了二次根式的乘除法及二次根式的化简，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．【第 7 题】【答案】x≥2【解析】解：由题意得：x-2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式有意义的条件可得x-2≥0，再解不等式即可．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．【第 8 题】【答案】S=-x2+10x【解析】解：∵矩形的长为xcm，宽为（10-x）cm∴S=x（10-x）=-x2+10x故答案为S=-x2+10x．利用矩形的面积公式即可解决问题；本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的面积公式．【第 9 题】【答案】y=x+2（答案不唯一）【解析】解：该一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），∵函数y的值随自变量x的增大而增大，∴k＞0，∵一次函数的图象经过点（1，3），∴k+b=3，∴当k=1时，b=2，∴符合条件的函数关系式可以为：y=x+2（答案不唯一）．故答案为：y=x+2（答案不唯一）．设该一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），再根据函数y的值随自变量x的增大而增大可知k＞0，由一次函数的图象经过点（1，3）可得出k、b的关系，写出符合条件的解析式即可．本题考查的是一次函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一．【第 10 题】【答案】x＞1【解析】解：根据图象得，当x＞1时，x+b＞kx+4，即关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．故答案为：x＞1．利用函数图象，写出一次函数y1=x+b的图象在一次函数y2=kx+4的图象上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【第 11 题】【答案】（2，5）或（-6，-1）或（8，-3）【解析】解：如图所示：D 的坐标（2，5）或（-6，-1）或（8，-3）．故答案为（2，5）或（-6，-1）或（8，-3）．根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形结合网格可找出D 点位置． 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．【 第 12 题 】【 答 案 】解：（1）原式=3−2√3+14-2√3 =2−5√32； （2）原式=2√6-√22-√24-√6=√6-3√24． 【 解析 】（1）先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【第 13 题】【答案】解：在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD BC，∴∠ADE=∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC，∴∠DEC=∠EDC，∴EC=CD，∵AB=12 cm，∴EC=CD=AB=12 cm，∵AD=16 cm，∴BC=16 cm，∴BE=BC-EC=16-12=4 cm．【解析】只要证明CD=CE即可解决问题；本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【第 14 题】【答案】证明：∵AF∥CE，∴∠AFD=∠CED，∵D是AC的中点，∴AD=CD，在△ADF和△CDE中，{∠AFD=∠CED ∠ADF=∠CDEAD=CD，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴DF=DE，在△FDC和△EDA中，{AD=CD∠FDC=∠EDAFD=DE，∴△FDC≌△EDA（SAS），∴∠CFD=∠DEA．∴FC∥AE．【解析】根据AF∥CE可得∠AFD=∠CED，然后再证明△ADF≌△CDE可得DF=DE，然后再证明△FDC≌△EDA，根据全等三角形的性质可得∠CFD=∠DEA．再根据内错角相等两直线平行可得FC∥AE．此题主要考查了平行线的判定和全等三角形的判定与性质，关键是找出证明△FDC≌△EDA的条件．【第 15 题】【答案】解：（1）连结AC，∵∠B=90°，AB=BC=2，∴AC=2√2，∠BAC=45°，∵AD=1，CD=3，∴AD2+AC2=12+(2√2)2=9，CD2=9，∴AD2+AC2=CD2，∴△ADC是直角三角形，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°．（2）在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，．∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+√2．【解析】（1）由于∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，从而易求∠BAD；（2）连接AC，则可以计算△ABC的面积，根据AB、BC可以计算AC的长，根据AC，AD，CD 可以判定△ACD为直角三角形，根据AD，CD可以计算△ACD的面积，四边形ABCD的面积为△ABC和△ADC面积之和．本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．【第 16 题】【答案】解：（1）∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，{AD=BC∠FAD=∠DBCAF=BD，∴△FAD≌△DBC（SAS）；∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形．（2）如图2，作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，∴∠FAD=90°．∵∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC=90°．在△FAD和△DBC中，{AF=BD∠FAD=∠DBCAD=BC，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴DF=DC，∠ADF=∠BCD．∵∠BDC+∠BCD=90°，∴∠ADF+∠BDC=90°，∴∠FDC=90°，∴∠FCD=45°．∵∠APD=45°，∴∠FCD=∠APD，∴CF∥AE．∵∠FAD=90°，∠ABC=90，∴∠FAD=∠ABC，∴AF∥BC．∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∴CE=BD．【解析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等即可，利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，就有DF=DC，∠ADF=∠BCD，就可以得出△DCF为等腰直角三角形，就有∠DCF=∠APD=45°，就有CF∥AE，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AFCE是平行四边形，就有AF=CE．此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．【第 17 题】【答案】证明：（1）如图，∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°∴四边形OBNM为矩形∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°∵OA=OB，∴∠1=∠3=45°∵MN∥OB∴∠2=∠3=45°∴∠1=∠2=45°，∴AM=PM∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM∴OM=PN∵∠OPC=90°，∴∠4+∠5=90°，又∵∠4+∠6=90°，∴∠5=∠6∴△OPM≌△PCN（2）解：①点C在第一象限时，x∵AM=PM=APsin45°=√22∴OM=PN=1-√2x，2∵△OPM≌△PCN∴CN=PM=√2x，2∴BC=OM -CN=1-√22x-√22x=1-√2x ， ∴S=S △PBC =12BC•PN=12×（1-√22x ）•（1-√2x ）=12x 2-3√24x+12（0≤x ＜√22）． ②如图1，点C 在第四象限时，∵AM=PM=APsin45°=√22x∴OM=PN=1-√22x ，∵△OPM≌△PCN∴CN=PM=√22x ，∴BC=CN -OM=√22x-（1-√22x ）=√2x-1，∴S=S △PBC =12BC•PN=12×（1-√22x ）•（√2x-1）=-12x 2+3√24x-12（√22＜x ＜√2）． （3）解：△PBC 可能成为等腰三角形①当P 与A 重合时，PC=BC=1，此时P （0，1）②如图，当点C 在第四象限，且PB=CB 时有BN=PN=1-√22x∴BC=PB=√2PN=√2-x∴NC=BN+BC=1-√22x+√2-x由（2）知：NC=PM=√22x∴1-√22x+√2-x=√22x整理得（√2+1）x=√2+1∴x=1∴PM=√22x=√22，BN=1-√22x=1-√22，∴P （√22，1-√22）由题意可知PC=PB 不成立∴使△PBC 为等腰三角形的点P 的坐标为（0，1）或（√22，1-√22）．【 解析 】（1）根据∠OPC=90°和同角的余角相等，我们可得出△OPM 和△PCN 中两组对应角相等，要证两三角形全等，必须有相等的边参与，已知了OA=OB ，因此三角形OAB 是等腰直角三角形，那么△AMP 也是个等腰三角形，AM=MP ，OA=OB=MN ，由此我们可得出OM=PN ，由此我们可得出两三角形全等．（2）分两种情况进行讨论：①点C 在第一象限时，②点C 在第四象限时．分别利用S=S △PBC =12BC•PN 求解即可．（3）要分两种情况进行讨论：①当C 在第一象限时，要想使PCB 为等腰三角形，那么PC=CB ，∠PBC=45°，因此此时P 与A 重合，那么P 的坐标就是A 的坐标．②当C 在第四象限时，要想使PCB 为等腰三角形，那么PB=BC ，在等腰RT△PBN 中，我们可以用x 表示出BP 的长，也就表示出了BC 的长，然后根据（1）中的全等三角形，可得出MP=NC ，那么可用这两个含未知数x 的式子得出关于x 的方程来求出x 的值．那么也就求出了PM 、OM 的长，也就得出了P 点的坐标．本题考查了一次函数的综合题，涉及全等三角形的判定及等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键．。
北京市燕山区2018-2019学年八年级下期末数学试题含答案
燕山地区2019—2019学年度第二学期八年级期末考试数 学 试 卷 2019月7月一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的，请将正确答案前的字母填入下面的答题表中．1．二次函数23)1y x =-+（的最小值是 A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－32．下列二次根式中，是最简二次根式的是A B ．3 C D 3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是A ．1，1B ．2，3，4C ．4，5，6D ．6，8，114．已知2=x 是一元二次方程2280x ax ++=的一个根，则a 的值为 A ．1 B ．－1 C ．3D ．－35．将抛物线24x y =向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为 A ．()2413y x =++ B ．()2413y x =-+ C ．()2413y x =+-D ．()2413y x =-－6．下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员参加男子跳高选拔赛成绩的平均数x 与方差2S ：根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．下列命题中的真命题是A ．有一组对边平行的四边形是平行四边形B ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C ．有一个角是直角的四边形是矩形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形8．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 、Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A →B →C 和A →D →C 的路径向点C 运动，设运动时间为x （单位：s ），四边形PBDQ 的面积为y （单位：cm 2），则y 与x （0≤x ≤8）之间的函数图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9有意义，则x 的取值范围为 ． 10．如图，□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为CD 边中点，已知B C ＝6c m ，则O E 的长为 c m ．11．某一型号的飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）之间的函数关系式是25.160t t S -=，则该型号飞机着陆后滑行 m 才能停下来．12．二次函数223y x ＝的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，…，C n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n -1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1＝∠A 1B 2A 2＝∠A 2B 3A 3＝…＝∠A n -1B n A n ＝60°，则A 1点的坐标E A BCDO为 ，菱形A n -1B n A n C n 的周长为 ．三、解答题（本题共26分．第13题～14题，每题各3分；第15题～18题，每题各5分） 1314．解方程：263x x -=．15．已知，如图，E ，F 分别是□ABCD 的边AD 和BC 上的点，且AE ＝CF ．求证：BE ＝DF ．16．已知二次函数213y x bx c =++的图象经过点A (－3，0），B (3，4)．求这个二次函数的解析式．17．列方程解应用题：“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2019年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2019年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．F A B CDE18．若关于x 的一元二次方程0342=++x kx 有实根． （1）求k 的取值范围；（2）当k 取得最大整数值时，求此时方程的根．四、解答题（本题共20分，每题各5分） 19．已知二次函数224y x x -＝．（1）将此函数解析式用配方法化成k h x a y +2)(－＝的形式；（2）在给出的直角坐标系中画出此函数的图象（不要求列对应数值表，但要求尽可能画准确）； （3）当0<x <3时，观察图象直接写出函数值y 的取值范围： ．20．如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OB ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AD ＝4，∠AOD ＝60°，求AB 的长．21．在某项针对18～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m ，规定：当0≤m ＜5时为A 级，5≤m ＜10时为B 级，10≤m ＜15时为C 级，15≤m ＜20时为D 级．现随机抽取部分符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，根据调查数据整理并制作图表如下： 请你根据以上信息解答下列问题：（1）在表中：a ＝ ，b ＝ ； （2）补全频数分布直方图；（3）参与调查的小聪说，他日均发微博条数是所有抽取的青年人每天发微博数量的中位数，据此推断他日均发微博条数为 级；（填A ，B ，C ，D ）（4）若北京市常住人口中18～35岁的青年人大约有530万人，试估计他们平均每天发微博的总条数．青年人日均发微博条数直方图青年人日均发微博条数统计表OABCD频 数m （条）22．在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连结两个网格格点的线段叫网格线段．点A 固定在格点上．（1的菱形 ABCD ，你画出的菱形面积为 ； （2）若a 是图中能用网格线段表示的最小无理数，b 是图中能用网格线段表示的最大无理数，求ba 的值．五、解答题（本题共14分，每题各7分） 23．已知抛物线217222y x mx m -+-＝的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）若抛物线的对称轴为直线3x ＝，求m 的值和C 点坐标；（3）如图，直线1y x -＝与（2）中的抛物线交于A 、B 两点，并与它的对称轴交于点D ．直线kx ＝交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．24．定义：如图⑴，若分别以△ABC 的三边AC ，BC ，AB 为边向三角形外侧作正方形ACDE ，BCFG和ABMN ，则称这三个正方形为△ABC 的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为△ABC 的外展双叶正方形．（1）作△ABC 的外展双叶正方形ACDE 和BCFG ，记△ABC ，△DCF 的面积分别为S 1和S 2．① 如图⑵，当∠ACB ＝90°时，求证：S 1＝S 2．② 如图⑶，当∠ACB ≠90°时，S 1与S 2是否仍然相等，请说明理由．（2）已知△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，作其外展三叶正方形，记△DCF ，△AEN ，△BGM 的面．积和．．为S ，请利用图⑴探究：当∠ACB 的度数发生变化时，S 的值是否发生变化，若不变，求出S 的值；若变化，求出S 的最大值．数学试卷参考答案与评分标准 2019年7月一、选择题（本题共24分，每小题3分） A ．B ．A ．D ． C ．A ．B ．D ． 二、填空题（本题共16分，每小题4分）备用图初三数学试卷第7页（共8页）图⑴ 图⑵图⑶GFED CBAABCDEFG9．3≥x ； 10．3； 11．600； 12．（0，1）， 4n三、解答题（本题共26分．第13题～14题，每题各3分；第15题～18题，每题各5分） 13．原式＝2322－ ………2分＝2－． ………3分 14．解法一：93962+=+-x x ，1232=-）（x ， …………1分323±=-x ， …………2分∴ 3231+=x ，3232－=x ． ………3分解法二：361-=-==c b a ，，，04831462>=⨯⨯=∆）（－－）（－， ………1分∴ 1248)6(⨯±--=x ………2分∴ 3231+=x ，3232－=x ． …………3分15．证法1：在□ABCD 中，AB ＝CD ，∠A ＝∠C ． ………2分∵AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF (SAS )， ……4分 ∴BE ＝DF ． …………5分证法2：在□ABCD 中，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴ED ∥BF ． …………2分 ∵AE ＝CF ，∴AD －AE ＝BC －CF ，即ED ＝BF ， ………3分 ∴四边形EBFD 是平行四边形， ………4分解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==,1,32－c b ……………4分∴这个二次函数的解析式132312－x x y +=． …………5分 17．解：设从2011年底至2019年底该市城区绿地总面积的年平均增长率为x ， ……1分根据题意得 1081752=+）（x ， …………2分 解得2.01=x ，2.22－=x （不合题意，舍去）． …………4分答：从2011年底至2019年底该市城区绿地总面积的年平均增长率为20%．…………5分 18．解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程0342=++x kx 有实根，∴0≠k …………1分 且 012163442≥-=⨯⨯=∆k k －， 解得 34≤k ∴ k 的取值范围是34≤k ，且0≠k ． ……2分 (2) 在34≤k ，且0≠k 的范围内，最大整数k 为1． ……………3分 此时，方程化为0342=++x x ．∴ 方程的根为11=x ，32=x ． ………5分四、解答题（本题共20分，每题各5分）19．(1) x x y 422-=＝2122－）（-x ；………2分 (2) 此函数的图象如图； ……4分(3) 观察图象知：－2≤y <6． ……5分20．(1)证明：在□ABCD 中，OA ＝OC ＝21AC ，OB ＝OD ＝21 ………1分又∵OA ＝OB ，∴AC ＝BD ， ……2分∴平行四边形ABCD 是矩形． ……3分(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，OA ＝OD ．又∵∠AOD ＝60°，∴△AOD 是等边三角形， ∴OD ＝AD ＝4，∴BD ＝2OD ＝8， ………4分在Rt △ABD 中，AB ＝22AD BD -＝34484822==-． ……5分21．(1)在表中：a ＝0.4，b ＝60； 2分(2)补全频数分布直方图如图； 3分 (3) B ； 4分(4) 5301.05.172.05.124.05.73.05.2⨯⨯+⨯+⨯+⨯）（ ＝4240（万条）． 5分22．(1)………1分菱形面积为5，或菱形面积为4． …………2分 (2)∵2=a ，52=b ， …………4分 ∴ab ＝252＝10． …………5分 五、解答题（本题共14分，每题各7分） 23．(1)Δ＝74)272(214)(22+-=-⨯⨯-m m m m － ＝3)2(2+-m ． ……………1分 ∵不论m 为何实数，总有0)2(2≥-m ，∴Δ＝3)2(2+-m ＞0，∴无论m 为何实数，方程0272212=-+-m mx x 总有两个不相等的实数根， ∴无论m 为何实数，抛物线272212-+-=m mx x y 与x 轴总有两个不同的交点．…2分(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x ＝3，∴ 212⨯--m＝3，即m ＝3， ……………3分 此时，抛物线的解析式为y ＝253212+-x x ＝()21322x --，∴顶点C 坐标为(3，－2)． …………4分(3) ∵CD ∥MN ，C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，∴四边形CDMN 是平行四边形或四边形CDNM 是平行四边形．由已知D (3，2)，M (k ，k －1)，N (k ，253212+-k k )， ∵C (3，－2)，∴ CD ＝4．∴MN ＝)25321(12+---k k k ＝CD ＝4． ………………5分 ①当四边形CDMN 是平行四边形，MN ＝k －1－(253212+-k k )＝4， 整理得 1582+-k k ＝0，解得 k 1＝3（不合题意，舍去），k 2＝5． ………6分②当四边形CDNM 是平行四边形，NM ＝253212+-k k －(k －1)＝4，数学试卷整理得 182--k k ＝0，解得 k 3＝174+，k 4＝174-．综上所述，k ＝5，或k ＝174+，或k ＝174-时，可使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形． …………………7分24．(1)证明：∵正方形ACDE 和正方形BCFG ，∴AC ＝DC ，BC ＝FC ，∠ACD ＝∠BCF ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴∠DCF ＝90°，∴∠ACB ＝∠DCF ＝90°，∴△ABC ≌△DFC ．∴S 1＝S 2． …………2分(2) S 1＝S 2．……………3分理由如下：如图，过点A 作AP ⊥BC 于点P ， 过点D 作DQ ⊥FC 交FC 的延长线于点Q ． ∴∠APC ＝∠DQC ＝90°． ∵四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，∴AC ＝CD ，BC ＝CF ，∠ACP ＋∠ACQ ＝90°，∠DCQ ＋∠ACQ ＝90°．∴∠ACP ＝∠DCQ ．∴△APC ≌△DQC ．（AAS ） …………………4分 ∴AP ＝DQ ．又∵S 1＝12BC •AP ，S 2＝12FC •DQ ， ∴S 1＝S 2．． …………………5分(3) 由(2)得，S 是△ABC 面积的三倍，要使S 最大，只需三角形ABC 的面积最大，∴当△ABC 是直角三角形，即∠ACB ＝90°时，S 有最大值． …………………6分 此时，S ＝3S △ABC ＝3×12×3×4=18． …………………7分 说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．P Q A B C D EF G。
2018-2019学年北京市西城区八年级(下)期末数学试卷解析版
2018-2019学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x＜1D．x≠12．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为（）A．140°B．120°C．110°D．100°3．（3分）把一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣4）2＝5D．（x﹣4）2＝3 4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，BD＝6．则AB的长为（）A．B．3C．2D．5．（3分）关于反比例函数y＝的图象，下列说法中，正确的是（）A．图象的两个分支分别位于第二、第四象限B．图象的两个分支关于y轴对称C．图象经过点（1，1）D．当x＞0时，y随x增大而减小6．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（）A．±2B．±C．﹣2D．27．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90°B．∠A+∠B＝∠CC．a＝1，b＝3，c＝D．a：b：c＝1：2：28．（3分）12名同学分成甲、乙两队参加播体操比赛，已知每个参赛队有6名队员，他们的身高（单位：cm）如表所示：队员1队员2队员3队员4队员5队员6甲队176175174172175178乙队170176173174180177设这两队队员平均数依次为甲，乙，身高的方差依次为S2甲，S2乙，则下列关系中，完全正确的是（）A．甲＞乙，S2甲＞S2乙B．甲＜乙，S2甲＜S2乙C．甲＝乙，S2甲＞S2乙D．甲＝乙，S2甲＜S2乙9．（3分）小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m后，发现这时绳子的下端正好距地面1m，学校旗杆的高度是（）A．21m B．13m C．10m D．8m10．（3分）将一个边长为4cm的正方形与一个长，宽分別为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分；第15～18题．每小题3分）11．（3分）计算：（）2＝．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围，13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC的度数为．14．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长为．15．（2分）已知反比例函数y＝，当1＜x＜2时，y的取值范围是．16．（2分）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若AE＝5，BE＝12，则EF的长为．17．（2分）如图，在矩形ABCD，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连按EC，若AB＝8，BC＝14，则FG的长为．18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B，以AB为底边作等腰直角三角形ABC，使得点C位于第四象限．（1）点C与原点O的最短距离是；（2）设点C的坐标为（x，y）（x＞0），点A在运动的过程中，y随x的变化而变化，y 关于x的函数关系式为．三、解答题（本题共50分，第19题3分，第20题8分，第21题6分，第22题5分，第23题7分，第24题6分，箱25题7分，第26题8分）19．（3分）计算﹣÷20．（8分）解下列方程（1）（x﹣3）2＝25（2）x2﹣3x﹣1＝021．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．22．（5分）如图，在平直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a）．（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；（2）点Q（n，0）是x轴上的一个动点，若PQ≤5，直接写出n的取值范围．23．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝4．①直接写出▱ABCD的边BC上的高h的值；②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过P作直线PA⊥x轴于点A，交直线y＝x于点M，过M作直线MB⊥y轴于点B．交函数y＝（x ＞0）的图象于点Q．（1）若点P的横坐标为1，写出点P的纵坐标，以及点M的坐标；（2）若点P的横坐标为t，①求点Q的坐标（用含t的式子表示）；②直接写出线段PQ的长（用含t的式子表示）．25．（7分）树叶有关的问题：如图1，一片树叶的长是指沿叶脉方向量出的最长部分的长度（不含叶柄），树叶的宽是指沿与主叶脉垂直方向量出的最宽处的长度，树叶的长宽比是指树叶的长与树叶的宽的比值．某同学在校园内随机收集了A树、B树、C树三棵的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据，计算长宽比，整理如表：表1A树、B树、C树树叶的长宽比统计表12345678910 A树树叶的长宽比 4.0 4.9 5.2 4.1 5.78.57.9 6.37.77.9 B树树叶的长宽比 2.5 2.4 2.2 2.3 2.0 1.9 2.3 2.0 1.9 2.0 C树树叶的长宽比 1.1 1.2 1.20.9 1.0 1.0 1.10.9 1.0 1.3表2A树、B树、C树树叶的长宽比的平均数、中位数、众数、方差统计表平均数中位数众数方差A树树叶的长宽6.2 6.07.9 2.5比B树树叶的长宽2.20.38比C树树叶的长宽1.1 1.1 1.00.02比解决下列问题：（1）将表2补充完整；（2）①小张同学说：“根据以上信息，我能判断C树树叶的长、宽近似相等．”②小李同学说：“从树叶的长宽比的平均数来看，我认为，如图3的树叶是B树的树叶．”请你判断上面两位同学的说法中，谁的说法是合理的，谁的说法是不合理的，并给出你的理由；（3）现有一片长103cm，宽52cm的树叶，请将该树叶的数用“★”表示在图2中，判断这片树叶更可能来自于A、B、C中的哪棵树？并给出你的理由．26．（8分）四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且CE＜BC，过点C 作FC⊥CE，且CF＝CE．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM交AE于点N．（1）如图1，若点E，F分别在BC，CD边上．求证：①∠BAE＝∠DAF；②DN⊥AE；（2）如图2，若点E在四边形ABCD内，点F在直线BC的上方，求∠EAC与∠ADN 的和的度数．四、填空题（本题共6分，第1题2分，第2题4分）27．（2分）甲、乙两人面试和笔试的成绩如表所示：候选人甲乙测试成绩（百分制）面试成绩8692笔试成绩9083某公司认为，招聘公关人员，面试成绩应该比笔试成绩重要，如果面试和笔试的权重分别是6和4，根据两人的平均成绩，这个公司将录取．28．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣2，1），B（1，﹣2）．结合图象，直接写出关于x的不等式ax+b＞的解集．五、解答题（本题共14分，每小题7分）29．（7分）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝2cm，E，F分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP＝xcm，PE＝y1cm，PF＝y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数y1的图象①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了y1与x的几组对应值：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y1/cm 1.120.50.71 1.12 1.58 2.06 2.55 3.04②在图2所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数y1的图象；（2）画函数y2的图象，在同一坐标系中，画出函数y2的图象；（3）根据画出的函数y1的图象、函数y2的图象，解决问题①函数y1的最小值是；②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是；③若PE＝PC，AP的长约为cm30．（7分）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W 是“中心轴对称”．对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N （点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A（1，0），点C（2，1），①下列四个点P1（0，1），P2（2，2），P3（﹣，0），P4（﹣，﹣）中，与点A是“中心轴对称”的是；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E 的取值范围；（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G（﹣2，2），H（2，2），J（2，﹣2），K（﹣2，﹣2），一次函数y＝x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．2018-2019学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x＜1D．x≠1【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0，解得x≥1．故选：A．【点评】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．本题属于基础题型．2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为（）A．140°B．120°C．110°D．100°【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，即可求∠B的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，且∠A+∠C＝140°∴∠A＝70°∴∠B＝110°故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．3．（3分）把一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣4）2＝5D．（x﹣4）2＝3【分析】移项，配方，变形后即可得出答案．【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，BD＝6．则AB的长为（）A．B．3C．2D．【分析】根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质即可求出AB的值．【解答】解：∵ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∵BD＝6，∴AB＝OB＝3，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．5．（3分）关于反比例函数y＝的图象，下列说法中，正确的是（）A．图象的两个分支分别位于第二、第四象限B．图象的两个分支关于y轴对称C．图象经过点（1，1）D．当x＞0时，y随x增大而减小【分析】反比例函数y＝的图象，是位于第一、三象限的双曲线，在每个象限内y随x 的增大而减小，双曲线关于直线y＝x，或y＝﹣x成轴对称，关于原点（0，0）成中心对称，图象上点的坐标满足xy＝2，即纵横坐标的积为2．【解答】解：∵k＝2＞0，∴图象位于一三象限，故A不正确，反比例函数的图象关于直线y＝x或y＝﹣x成轴对称，不关于y轴对称，因此B是不正确的，∵1×1≠2，∴图象不过（1，1）点，因此C是不正确的，∵k＝2＞0，∴图象位于一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小因此D是正确的，故选：D．【点评】考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握受不了函数的图象和性质是解决问题的关键．6．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（）A．±2B．±C．﹣2D．2【分析】根据一元二次方程的解定义把x＝0代入一元二次方程得a2﹣4＝0，解得a＝±2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．【解答】解：把x＝0代入方程，得a2﹣4＝0，解得a＝2或a＝﹣2，而a﹣2≠0，所以a的值为﹣2．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90°B．∠A+∠B＝∠CC．a＝1，b＝3，c＝D．a：b：c＝1：2：2【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的性质即可求出答案．【解答】解：（D）设a＝1，b＝2，c＝2，∵b＝c＞a，∴△ABC不是直角三角形，故D不能判断，故选：D．【点评】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用三角形的性质，本题属于基础题型．8．（3分）12名同学分成甲、乙两队参加播体操比赛，已知每个参赛队有6名队员，他们的身高（单位：cm）如表所示：队员1队员2队员3队员4队员5队员6甲队176175174172175178乙队170176173174180177设这两队队员平均数依次为甲，乙，身高的方差依次为S2甲，S2乙，则下列关系中，完全正确的是（）A．甲＞乙，S2甲＞S2乙B．甲＜乙，S2甲＜S2乙C．甲＝乙，S2甲＞S2乙D．甲＝乙，S2甲＜S2乙【分析】根据平均数的计算公式先分别算出甲和乙的平均数，再根据方差公式算出甲和乙的方差，然后进行比较即可．【解答】解：∵＝（176+175+174+172+175+178）÷6＝175（cm），＝（170+176+173+174+180+177）÷6＝175（cm），∴＝，∵S2甲＝[（176﹣175）2+2×（175﹣175）2+（174﹣175）2+（172﹣175）2+（178﹣175）2]＝，S2乙＝[（170﹣175）2+（176﹣175）2+（173﹣175）2+（174﹣175）2+（180﹣175）2+（177﹣175）2]＝10，∴S2甲＜S2乙．故选：D．【点评】本题考查方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．9．（3分）小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m后，发现这时绳子的下端正好距地面1m，学校旗杆的高度是（）A．21m B．13m C．10m D．8m【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为x米，在Rt△ACH利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，已知AB＝AC，CD⊥BD，CH⊥AB，CD＝1米，CH＝5米，设AB ＝AC＝x米．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴x2＝52+（x﹣1）2，∴x＝13，∴AB＝13（米），故选：B．【点评】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．10．（3分）将一个边长为4cm的正方形与一个长，宽分別为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（）A．B．C．D．【分析】分别计算出各个图形的重叠部分面积即可求解．＝2×4＝8（cm2）；【解答】解：A、S阴影B、设重叠的平行四边形的较短边为x，则较长边为由正方形的面积＝重叠部分的面积+2个小直角三角形面积，可得16＝2×+4（4﹣x）可求x＝，＝2×2×＝∴S重叠部分C、图C与图B对比，因为图C的倾斜度比图D的倾斜度小，所以，图C的底比图B的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；D、S＝＝8﹣4重叠部分故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质、三角形面积的计算，找出图A、图B、图C阴影部分四边形等高不等底的特征，倾斜度越大的面积越大，是解答本题的关键．二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分；第15～18题．每小题3分）11．（3分）计算：（）2＝3．【分析】原式利用平方根的性质判断即可．【解答】解：原式＝3，故答案为：3【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围m＜，【分析】根据根的判别式即可求出m的范围；【解答】解：由题意可知：4﹣8m＞0，∴m＜；故答案为：m＜【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC的度数为52°．【分析】根据直角三角形的性质得到DC＝AD，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝AB＝AD，∴∠DAC＝∠A＝26°，∴∠BDC＝∠DAC+∠A＝52°，故答案为：52°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长为4．【分析】首先根据菱形的性质可知菱形的对角线垂直平分，然后在Rt△AOD中利用勾股定理求出AD的长，再由菱形的四边形相等，可得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，DO＝BD＝2，在Rt△AOD中，AD＝＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．故答案为：4．【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分以及勾股定理等知识．15．（2分）已知反比例函数y＝，当1＜x＜2时，y的取值范围是5＜y＜10．【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．【解答】解：∵k＝10＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，又∵当x＝1时，y＝10，当x＝2时，y＝5，∴当1＜x＜2时，5＜y＜10．故答案为：5＜y＜10．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．16．（2分）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若AE＝5，BE＝12，则EF的长为7．【分析】由全等三角形的性质可得AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE，可得EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE+∠BAE＝90°，可证四边形EGFH是正方形，即可求EF的长．【解答】解：∵正方形ABCD是由四个全等的三角形围成的，∴AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE ∴EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE+∠BAE＝90°，∴四边形EGFH是菱形，且∠AEB＝90°∴四边形EGFH是正方形∴EF＝EG＝7故答案为：7【点评】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质，证明四边形EGFH是正方形是本题的关键．17．（2分）如图，在矩形ABCD，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连按EC，若AB＝8，BC＝14，则FG的长为5．【分析】由矩形的性质得出AB＝CD＝8，BC＝AD＝14，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，由角平分线的性质得出∠ABE＝∠ABC＝45°，则△ABE是等腰直角三角形，得出AB＝AE，求出DE＝6，由勾股定理求出CE＝10，易证FG是△BCE的中位线，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝14，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣AB＝14﹣8＝6，∴CE＝＝＝10，∵F是BE的中点，G是BC的中点，∴FG是△BCE的中位线，∴FG＝CE＝×10＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B，以AB为底边作等腰直角三角形ABC，使得点C位于第四象限．（1）点C与原点O的最短距离是；（2）设点C的坐标为（x，y）（x＞0），点A在运动的过程中，y随x的变化而变化，y 关于x的函数关系式为y＝﹣（x＞0）．【分析】（1）当AB落在直线y＝x上时，AB的长度最短，即可求解；（2）证明△CGA≌△BCH（AAS），AG＝CH，即x﹣a＝y+b，GC＝BH，即：b﹣y＝x+a，即可求解．【解答】解：（1）由反比例函数的对称性可得OA＝OB，△ABC是以AB为底边的等腰直角三角形，∴CO＝AB＝OA＝OB，当AB落在直线y＝x上时，AB的长度最短，此时A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1）OA＝OB＝OC＝＝，故答案为：；（2）如图，过点A作x轴的平行线，交过点C与y轴的平行线于点G，过点B作x轴的平行线交GC的延长线于点H，设点A、B的坐标分别为（a，b）、（﹣a，﹣b），ab＝1，∵∠GAC+∠GCA＝90°，∠GCA+∠BCH＝90°，∴∠CBH＝∠GAC，又AC＝BC，∠CGA＝∠BHC＝90°，∴△CGA≌△BCH（AAS），∴AG＝CH，即x﹣a＝y+b…①，GC＝BH，即：b﹣y＝x+a…②，联立①②并解得：x＝b，y＝﹣a，即：xy＝﹣ab＝﹣1，故答案为：y＝﹣（x＞0）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．三、解答题（本题共50分，第19题3分，第20题8分，第21题6分，第22题5分，第23题7分，第24题6分，箱25题7分，第26题8分）19．（3分）计算﹣÷【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣＝．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．20．（8分）解下列方程（1）（x﹣3）2＝25（2）x2﹣3x﹣1＝0【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）解：（x﹣3）2＝25，开方得：x﹣3＝±5，解得：x1＝8，x2＝﹣2；（2）x2﹣3x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13，x＝，x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．【分析】（1）根据判别式即可求出答案．（2）根据公式法即可求出答案两根，然后根据题意列出不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由于△＝m2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）由于（x+1）（x+m﹣1）＝0，∴x＝﹣1或x＝﹣m+1，∵此方程有一个根是负数，∴﹣m+1≥0，∴m的取值范围是m≤1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．22．（5分）如图，在平直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a）．（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；（2）点Q（n，0）是x轴上的一个动点，若PQ≤5，直接写出n的取值范围．【分析】（1）依据直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a），即可得到点P的坐标为（1，3），进而得出反比例函数的解析式为y＝．（2）依据点P的坐标为（1，3），Q（n，0）是x轴上的一个动点，PQ≤5，即可得到n的取值范围为﹣3≤n≤5．【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a），∴a＝1+2＝3．∴点P的坐标为（1，3），∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）∵点P的坐标为（1，3），Q（n，0）是x轴上的一个动点，PQ≤5，由勾股定理得＝4，∴1﹣4＝﹣3，1+4＝5，∴n的取值范围为﹣3≤n≤5．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．23．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝4．①直接写出▱ABCD的边BC上的高h的值；②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是DA．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形【分析】（1）由“AAS”可证△AOE≌△COF，可得OF＝OE，且AO＝CO，即可得结论；（2）①由锐角三角函数可求h的值，②当∠AOE＝90°时，是菱形，当∠AOE＝60°时，平行四边形AECF是矩形，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AO＝CO∴∠AEF＝∠CFE，∠EAC＝∠FCA，且AO＝CO∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF＝OE，且AO＝CO∴四边形AFCE是平行四边形；（2）①∵∠DAC＝60°∴sin∠DAC＝∴h＝×AC＝2②∵∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，根据三角形得内角和定理得，∠AOD＝105°，∴点E从D点向A点移动过程中，当∠AOE＝90°时，EF⊥AC，∵OA＝OC，∴AE＝CE，∴平行四边形AECF是菱形；当∠BCE＝90°时，平行四边形AECF是矩形，∴OE＝OC，∠ACE＝30°，∴∠OEC＝30°，∴∠AOE＝2∠ACE＝60°，即：∠AOE＝60°时，平行四边形AECF是矩形；综上述，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE 的变化是：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形．故选：D【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适中．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过P作直线PA⊥x轴于点A，交直线y＝x于点M，过M作直线MB⊥y轴于点B．交函数y＝（x ＞0）的图象于点Q．（1）若点P的横坐标为1，写出点P的纵坐标，以及点M的坐标；（2）若点P的横坐标为t，①求点Q的坐标（用含t的式子表示）；②直接写出线段PQ的长（用含t的式子表示）．【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到点P的纵坐标，以及点M的坐标；（2）①依据反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到点Q的坐标；②依据点P的坐标为（t，），点Q的坐标为（，t），即可得到PM＝QM＝|t﹣|，且△PQM是等腰直角三角形，进而得到线段PQ的长．【解答】解：（1）∵点P在函数y＝（x＞0）的图象上，∴当点P的横坐标为1时，y＝4，∴点P的纵坐标为4，∵PA交直线y＝x于点M，∴当点P的横坐标为1时，y＝1，∴点M的坐标为（1，1）．（2）①∵点P的横坐标为t，点P在函数y＝（x＞0）的图象上，∴点P的坐标为（t，）．∵直线PA⊥x轴，交直线y＝x于点M，∴点M的坐标为（t，t）．∵直线MB⊥y轴，交函数y＝（x＞0）的图象于点Q，∴点Q的坐标为（，t）；②点P的坐标为（t，），点Q的坐标为（，t）．∴PM＝QM＝|t﹣|，且△PQM是等腰直角三角形，∴线段PQ的长为|t﹣|．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．25．（7分）树叶有关的问题：如图1，一片树叶的长是指沿叶脉方向量出的最长部分的长度（不含叶柄），树叶的宽是指沿与主叶脉垂直方向量出的最宽处的长度，树叶的长宽比是指树叶的长与树叶的宽的比值．某同学在校园内随机收集了A树、B树、C树三棵的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据，计算长宽比，整理如表：表1A树、B树、C树树叶的长宽比统计表12345678910A树树叶的长宽比 4.0 4.9 5.2 4.1 5.78.57.9 6.37.77.9B树树叶的长宽比 2.5 2.4 2.2 2.3 2.0 1.9 2.3 2.0 1.9 2.0C树树叶的长宽比 1.1 1.2 1.20.9 1.0 1.0 1.10.9 1.0 1.3表2A树、B树、C树树叶的长宽比的平均数、中位数、众数、方差统计表平均数中位数众数方差A树树叶的长宽6.2 6.07.9 2.5比B树树叶的长宽2.20.38比C树树叶的长宽1.1 1.1 1.00.02比解决下列问题：（1）将表2补充完整；（2）①小张同学说：“根据以上信息，我能判断C树树叶的长、宽近似相等．”②小李同学说：“从树叶的长宽比的平均数来看，我认为，如图3的树叶是B树的树叶．”请你判断上面两位同学的说法中，谁的说法是合理的，谁的说法是不合理的，并给出你的理由；（3）现有一片长103cm，宽52cm的树叶，请将该树叶的数用“★”表示在图2中，判断这片树叶更可能来自于A、B、C中的哪棵树？并给出你的理由．【分析】（1）求出B树的叶子长宽比的中位数、众数填入统计表中即可，（2）根据三种树叶的长宽比的平均数，判断其说法的准确性，（3）计算该树叶的长宽比，根据长度为103，长宽比为2.0确定位置，在图中标注即可．【解答】解（1）将B树叶的长宽的比从小到大排序处在第5、6位的两个数平均数为（2.0+2.2）÷2＝2.1，因此中位数是2.1，出现次数最多的数是2.0，因此众数是2.0，补全的统计表如下：（2）小张同学的说法是合理的，C树叶的长宽比1：1左右；小李同学的说法是不合理的，该树叶来自A树，理由：观察该树叶其长是宽的6倍左右，应该是来自A树叶．（3）图2中，★表示这片树叶的数据，这片树叶来自B树；理由：这片树叶的长为103，宽为52，长宽的比大约为2.0，根据平均数可得它来自B数．【点评】考查统计表的制作方法，理解统计表中各个数据的意义，看懂统计图表，正确的计算是解决问题的前提．26．（8分）四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且CE＜BC，过点C 作FC⊥CE，且CF＝CE．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM交AE于点N．。
2018-2019学年北京市燕山地区八年级第二学期期末数学试卷(含答案)
燕山地区2018—2019学年度第二学期八年级期末考试数 学 试 卷 2019年7月考生 须 知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、班级、姓名和考号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．在答题纸上，选择题、画图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将答题纸和试卷一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．下列全国志愿服务标识的设计图中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ． 2．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若DE ＝6， 则BC ＝A ．18B ．12C ．10D ．83．如图，将X ABCD 的一边BC 延长至点E ，若∠1＝55°， 则∠A ＝A ．35°B ．55°C ．125°D ．145°4．要得到函数23y x +＝－的图象，只需将函数2y x ＝－的图象 A ．向上平移3个单位 B ．向下平移3个单位 C ．向左平移3个单位 D ．向右平移3个单位 5．用配方法解一元二次方程2430x x +=－，方程应变形为A ．2(2)1x -= B ．2(2)7x -= C ．2(2)1x += D ． 2(2)7x +=6．风尚服饰专卖店专营某品牌的衬衫，该店上个月不同尺码的衬衫平均每日销售情况统计如图所示．本周进货时，店主决定增加41码衬衫的进货量．影响该店主决策的统计量是 A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差7．如图，△AOB 绕点O 逆时针旋转65°得到△COD ，若∠A ＝100°，∠D ＝50°，则∠BOC 的度数是 A ．30° B ．35° C ．45° D ．60°8．小聪和小智兄弟俩骑自行车到离家2000米的世博园游览，他们的骑车速度v (单位：米/秒)与行驶路程s (单位：米)的关系如图所示，下列说法错误．．的是 A ．前1000米小智一直骑行在小聪的前面 B ．最后100米小智的速度比小聪快C ．第1000米至第1900米阶段小聪的用时比小智短D ．第1000米至第1900米阶段小聪一直骑行在小智的前面二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点P (2，5)在一次函数()30y kx k =≠－的图象上，则k 的值为 ． 10．方程230x x =－的根为 ．11．写出一个y 随x 的增大而减小，且不经过．．．第三象限的一次函数解析式 ． 12．若关于x 的方程220x mx m -+=有两个相等的实数根，则代数式22165m m -+的值为 ．13．小明和小亮练习掷实心球，下面是两人7次练习成绩的折线统计图，则这两人中掷实心球成绩方差较小的是 ．(填“小明”，或“小亮”)E D ABCE1ABCD42416824平均每日销量/件0391020301240八年级数学试卷第1页（共8页） 八年级数学试卷第2页（共8页）小亮小明1072584210成绩/米6634CDB190010006米)v (米/秒)2486.7小聪小智14．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相等且互相平分，再添加一个条件，使得四边形ABCD)15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△COD可以看作是△AOB经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△AOB得到△COD的过程：．16．甲和乙同时加工一种产品，他们的工作量与工作时间的关系如图所示，则当甲加工了这种产品70件时，乙加工了件．三、解答题（本题共68分．第17题～22题，每题各5分；第23题～26题，每题各6分；第27～28题，每题各7分）17．解方程：2x2－3x－2＝0．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2)，B(0，－3)，C(2，0)，请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并分别写出点A1，B1，C1的坐标．19．如图，一次函数()0y kx b k=+≠的图象经过A，B两点．(1)求此一次函数的解析式；(2)结合函数图象，直接写出关于x的不等式4kx b+<的解集．20．如图，X ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E．(1) 求证：AE＝AB；(2) 若BC＝8，CD＝6，求DE的长度．21．下面是小芸设计的“作三角形一边上的中线”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的中线AD．作法：（1）分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径画弧，两弧相交于P点；（2）作直线AP，AP与BC交于D点．线段AD就是所求作的BC边上的中线．根据小芸设计的尺规作图过程，(1) 使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2) 完成下面的证明：证明：连接BP，CP，∵AB＝CP，AC＝，∴四边形ABPC是平行四边形，（）（填推理的依据）∴BD＝DC，（）（填推理的依据）即线段AD是BC边上的中线．/分/分E DCBAAB C八年级数学试卷第3页（共8页）八年级数学试卷第4页（共8页）DABOC第14题22．已知关于x 的一元二次方程210x mx +-=．(1) 求证：无论实数m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的一个根是－1，求m 的值和方程的另一个根．23．请将下列解答过程补充完整：南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？” 解：设矩形田地的长为x 步，则宽为 步， 依题意，可列方程为 ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ． 答： ．24．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2BC ，E 为AD 的中点，∠ABD ＝90°． (1) 求证：四边形BCDE 是菱形；(2) 连接CE ，若CE ＝6，BC ＝5，求四边形ABCD 的面积．25．某快餐连锁店招聘外卖骑手，并提供了如下两种日工资方案：方案一：每日底薪60元，每完成一单快递业务再提成3元；方案二：每日底薪100元，快递业务的前40单没有提成，从第41单开始，每完成一单快递业务再提成5元．设骑手每日完成的快递业务量为n (n 为正整数，单位：单)，方案一，二中骑手的日工资分别为y 1，y 2(单位：元)．(1) 分别写出y 1，y 2关于n 的函数解析式；(2) 据统计，新聘骑手小文上班第一周每日完成的快递业务量的平均数约为60单．若仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？请说明理由．26．为了纪念建国70周年，学校开展了主题为“忆峥嵘岁月，话祖国发展”的百科知识竞赛．现从八，九两个年级各随机抽取20名参赛学生的成绩数据(百分制)进行调查分析，过程如下，请补充完整． 收集数据：八年级： 76 88 93 65 78 94 89 68 95 70 89 78 89 89 77 94 87 88 92 91九年级： 74 97 91 89 98 74 69 87 72 7899 72 97 86 99 74 99 73 98 74整理、描述数据：可以推断出 年级的同学竞赛成绩较好，理由为 . .八年级数学试卷第5页（共8页） 八年级数学试卷第6页（共8页）AB CDE27．如图，正方形ABCD中，点P在BC边上，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，过点E作EF⊥BC，分别交直线BC，AC于点F，G．(1) 依题意补全图形；(2) 求证：BP＝EF；(3) 连接PG，CE，用等式表示线段PG，CE，CD之间的数量关系，并证明．28．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)和直线y＝ax＋b，我们称点P((a，b)是直线y＝ax＋b的关联点，直线y＝ax＋b是点P(a，b)的关联直线．特别地，当a＝0时，直线y＝b(b为常数)的关联点为P(0，b)．如图，已知点A(－2，－2)，B(4，－2)，C(1，4)．(1) 点A的关联直线的解析式为；直线AB的关联点的坐标为；(2)设直线AC的关联点为点D，直线BC的关联点为点E，点P在y轴上，且S△DEP＝2，求点P的坐标．(3) 点M(m，n)是折线段AC→CB(包含端点A，B)上的一个动点．直线l是点M的关联直线，当直线l与△ABC 恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．燕山地区2018—2019学年度第二学期期末考试八年级数学试卷参考答案及评分标准2019.07说明：与参考答案不同，但解答正确相应给分． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项DBCAACBD9．4； 10．10x =，213x =； 11．答案不唯一，如1y x +＝－；12．5 13．小亮； 14．答案不唯一，如：AB ＝BC ；AC ⊥BD … 15．答案不唯一，如：以原点O 为中心，将△AOB 顺时针旋转90°，再将得到的三角形向下平移1个单位长度； 16．280．三、解答题（本题共68分．第17题～23题，每题各5分；第24题6分；第26题6分；第25题，第27～28题，每题各7分）17．解：∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2， ………………1分∴224(3)42(2)250b ac ∆==-⨯⨯=>－－－， ……………2分∴1,2(3)252b x a -±∆--±== ………………3分354±= ∴112x =-，22x =． …………………5分18．解：(1)画出△A 1B 1C 1，如图．...............2分 (2) 点A 1(－1，－2)，B 1(0，3)，C 1(－20)． (5)分19．解：(1) 将点A (3，4)，B (0，－2)的坐标分别代入y kx b =+中，得 342k b b +=⎧⎨=-⎩，， ………………2分解得 22k b =⎧⎨=-⎩，，…………3分∴一次函数的解析式22y x =-． ……………4分(2) 3x <． …………5分 20．(1) 证明：如图， ∵□ABCD ，∴AD //BC ， ……………………1分∴∠1＝∠2． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠2＝∠3， ……………………2分 ∴∠1＝∠3，∴AE ＝AB ． …………………3分 (2) 解：∵□ABCD ，∴AD ＝BC ＝8，AB ＝CD ＝6， …………………4分 ∴AE ＝AB ＝6，∴DE ＝AB －AE ＝2．5分 21．解：(1) 使用直尺和圆规，补全图形，如图； …………………2分 (2) BP ，(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，(平行四边形的对角线互相平分)． ………………………5分22．解：(1)△＝m 2－4×1×(－1) …………………1分＝m 2＋4． ……………………2分 ∵无论实数m 取何值，总有m 2＋4>0，即△>0，∴无论实数m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． ……………………3分 (2)将 x ＝－1代入方程210x mx +-=中， 得 110mx --=，∴0m =， …………………4分 此时原方程化为210x -=， 解得 1x =±，∴方程的另一根为1． ……………………5分 23．解：设矩形田地的长为x 步，则宽为 60－x 步， …………………1分 依题意，可列方程为 x (60－x )＝864 ， ………………………2分 整理得 x 2－60x ＋864＝0 ， ……………………3分 解得 x ＝36，或x ＝24（不合题意，舍去） ， ……………………4分 ∴ 60－x ＝60－36＝24步 ． ………………………5分C 1B 1A 1-3-3211y O x2-2-1-1-2BA 3C 3321E DC BAD P CBA答：矩形田地的长为36步，宽为24步． …………………6分 24．(1) 证明：∵AD ＝2BC ，E 为AD 的中点，∴DE ＝BC ， ∵AD ∥BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形． …………………1分 ∵∠ABD ＝90°，E 为AD 的中点， ∴BE ＝DE ，25．解：(1) 1； ……………………1分2100401005(40)40n y n n ⎧=⎨+->⎩≤，，， ………………………3分(2)方法1：小文每日快递业务量的平均数约为60单， 因此，方案一日工资约为60603240+⨯=， 方案二日工资约为()10060405200 240+-⨯=<，故小文应选择方案一． ………………………6分方法2：当40n >时，令12y y >， 即()603100540n n +>+-， 解得 80n <，即若骑手每日快递业务量4080n <<时，方案一的日工资大于方案二的日工资，而小文每日快递业务量的平均数约为60单，故小文应选择方案一．………………………6分26．解：整理、描述数据：2分 4分得出结论：答案不唯一，言之有理即可． 参考答案：可以推断出九年级的同学竞赛成绩较好，理由如下：八年级同学成绩的平均数为84.5，低于九年级，说明九年级整体水平高于八年级；可以推断出八年级的同学竞赛成绩较好，理由如下：八年级的同学竞赛成绩的中位数为88.5，九年级为86.5，说明八年级一半的同学竞赛成绩高于88.5分，而九年级一半的同学竞赛成绩仅高于86.5分．………………………………6分27．(1) 补全的图形如图所示； ………………………1分(2)∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝90°， ………………………………2分∴∠1＋∠2＝90°．∵线段PA 绕点P顺时针旋转90°得到线段PE ， ∴PA ＝PE ，∠APE ＝90°， ∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3． ………………………………3分 ∵EF ⊥BC 于F ， ∴∠EFP ＝90°＝∠B ， 在△ABP 和△PFE 中，∠B ＝∠EFP ，∠1＝∠3，PA ＝PE ， ∴△ABP ≌△PFE ，∴BP ＝EF ． ………………………………4分 (3) 22212PG CD CE +＝． ………………………………5分证明：如图，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝CD ． ∵△ABP ≌△PFE ， ∴AB ＝PF ， ∴BC ＝PF ＝CD ，∴BC －PC ＝PF －PC ，即BP ＝CF ． 又∵BP ＝EF ， ∴EF ＝CF ，∴△CEF 是等腰直角三角形，EF ＝2CE ． ∵∠FCG ＝∠ACB ＝12∠DCB ＝45°， ∴CF ＝FG ＝EF ，∴PF 为线段EG 的垂直平分线， ∴PE ＝PG ．在Rt △PFE 中，有222PE PF EF +＝，∴22212PG CD CE +＝． ………………………………7分28．解：(1) 点A 的关联直线的解析式为y ＝－2x －2；直线AB 的关联点的坐标为(0，－2)； ………………………………2分(2)∵点A (－2，－2)，B (4，－2)，C (1，4)． ∴直线AC 的解析式为y ＝2x ＋2， 直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋6，∴D (2，2)，E (－2，6)． ………………………………3分 ∴直线DE 的解析式为y ＝x ＋4， ∴直线DE 与y 轴交于点F (0，4)． 设点P (0，y )， ∵S △DEP ＝2，∴S △DEP ＝S △EFP ＋S △DFP＝1422y ⨯-⨯-＋1422y ⨯-⨯＝2， 解得5y =，或3y =，∴P (0，5)，或P (0，3)． ………………………………5分 (3) 223m <≤－，或24m <≤． ………………………F F PF GCDBAE。
2018-2019学年北京市朝阳区八年级(下)第二学期期末数学试卷及答案 含解析
2018-2019学年北京市朝阳区八年级第二学期期末数学试卷一、选择题1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．2，2，3D．1，2，2．用配方法解方程x2+6x+4＝0，下列变形正确的是（）A．（x+3）2＝﹣4B．（x﹣3）2＝4C．（x+3）2＝5D．（x+3）2＝±3．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为（）A．1B．2C．3D．54．已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝3x上的两个点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y1≥y25．已知y是x的一次函数，下表列出了部分y与x的对应值：x﹣1012y﹣2﹣10a 则a的值为（）A．﹣2B．1C．2D．36．5G是新一代信息技术的发展方向和数字经济的重要基础，预计我国5G商用将直接创造更多的就业岗位．小明准备到一家公司应聘普通员，他了解到该公司全体员工的月收入如下：月收入/元4500019000100005000450030002000人数12361111对这家公司全体员工的月收入，能为小明提供更为有用的信息的统计量是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差7．如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（）A．4B．C．2D．18．自去年9月《北京市打贏蓝天保卫战三年行动计划》发布以来，北京市空气质量呈现“优增劣减”特征，“蓝天”含金量进一步提高，下图是今年5月17日至31日的空气质量指数趋势图．（说明：空气质量指数为0﹣50、51﹣100、101﹣150分别表示空气质量为优、良、轻度污染）有如下结论：①在此次统计中，空气质量为优良的天数占；②在此次统计中，空气质量为优的天数多于轻度污染的天数；③20，21，22三日的空气质量指数的方差小于26，27，28三日的空气质量指数的方差．所有正确结论的序号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③二、填空题9．函数中，自变量x的取值范围是．10．如图，在数轴上点A表示的实数是．11．已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是．12．写出一个图象经过第二、第四象限的函数表达式，所写表达式为．13．笔直的公路AB，AC，BC如图所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC的长为3km，BC的长为4km，则C，D之间的距离为km．14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，AE＝CF，∠EFB＝45°，若AB＝6，BC＝14，则AE的长为．15．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b＞0的解集为；不等式x（kx+b）＜0的解集为．16．已知每购进100克巧克力糖的成本为4.8元．某超市开展促销活动，对巧克力糖采用两种包装进行销售，其包装费、销售价格如下表所示：型号精致装豪华装重量100克500克包装费0.8元 1.5元销售价格8元36元对于该超市而言，卖相同重量的巧克力糖，盈利更多的是．（填“精致装”或豪华装”）三、解答题17．解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．18．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE＝DF．19．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的延长线于点B；②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；③以点B为圆心，BP长为半径画孤，交BC于点Q；④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵PB＝PA，BC＝，BQ＝PB，∴PB＝PA＝BQ＝．∴PQ∥l（）（填推理的依据）．20．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k﹣2＝0有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且方程的根都是正整数，求此时k的值．21．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝kx交于点A（﹣1，n）．（1）求点A的坐标及直线y＝kx的表达式；（2）若P是坐标轴上一点（不与点O重合），且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．22．如图，在▱ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）连接DE交AB于点F，若DC＝，DC：DE＝1：3，求AD的长．23．北京市某中学开展了包含古建、民俗、中医药、造纸印刷、丝绸文化、非遗精品六大系列的实践项目课程，并用展板进行成果展览．为了装饰，学校用长为64dm的彩带紧紧围在一块面积为240dm2的矩形展板四周（彩带恰好围满，且不重叠）．（1）求这块展板较短边的长；（2）以同样的方式，用长为64dm的彩带能紧紧围在一块面积为260dm2的矩形展板四周吗？如能，说明围法：如不能，说明理由．24．如图，点C是线段AB的中点，∠ABD＝17°，点P是线段BD上的动点（可与点B，D重合），连接PC，PA．已知AB＝4cm，BD＝6cm，设BP长为xcm，PC长为y1cm，PA长为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm 2.00 1.080.59 1.23 2.17 3.14 4.13 y2/cm 4.00 3.06 2.17 1.43 1.66 2.47（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC的长度不小于PA的长度时，估计BP长度的取值范围是cm．25．某学校七、八年级各有学生300人，为了普及冬奥知识，学校在七、八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩，进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七、八年级成绩分布如下：成绩x年级0≤x≤910≤x≤1920≤x≤2930≤x≤3940≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100七0000437420八1100046521（说明：成绩在50分以下为不合格，在50～69分为合格，70分及以上为优秀）b．七年级成绩在60～69一组的是：61，62，63，65，66，68，69c．七、八年级成绩的平均数中位数优秀率合格率如下：年级平均数中位数优秀率合格率七64.7m30%80%八63.367n90%根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）小军的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是年级的学生（填“七”或“八”）；（3）可以推断出年级的竞赛成绩更好，理由是（至少从两个不同的角度说明）．26．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，﹣4），且与直线y＝2x互相平行．（1）求直线y＝kx+b的表达式及点A的坐标；（2）将直线y＝kx+b在x轴下方的部分沿x轴翻折，直线的其余部分不变，得到一个新图形为G，若直线y＝ax﹣1与G恰有一个公共点，直接写出a的取值范围．27．已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF．（1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME；（2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；②用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系（直接写出即可）28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A（﹣4，3），B（﹣4，﹣3），C（4，﹣3），D（4，3）．（1）在点P₁（﹣2，1），P2（﹣1，0），P3（3，3）中，矩形ABCD的和谐点是；（2）如果直线y＝上存在矩形ABCD的和谐点P，直接写出点P的横坐标t的取值范围；（3）如果直线y＝上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点（含端点）都是矩形ABCD的和谐点，且EF，直接写出b的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．2，2，3D．1，2，【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．解：A、12+22≠32；B、22+32≠42；C、22+22≠32；D、12+22＝（）2．故选：D．2．用配方法解方程x2+6x+4＝0，下列变形正确的是（）A．（x+3）2＝﹣4B．（x﹣3）2＝4C．（x+3）2＝5D．（x+3）2＝±【分析】把常数项4移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．解：∵x2+6x+4＝0，∴x2+6x＝﹣4，∴x2+6x+9＝5，即（x+3）2＝5．故选：C．3．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD＝3，EC＝2，则AB的长为（）A．1B．2C．3D．5【分析】首先证明DA＝DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，AB＝CD，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD＝3，∴CD＝CE+DE＝2+3＝5，∴AB＝5．故选：D．4．已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝3x上的两个点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y1≥y2【分析】先根据正比例函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣3＜2即可得出结论．解：∵直线y＝3x，k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，又∵﹣3＜2，∴y1＜y2．故选：A．5．已知y是x的一次函数，下表列出了部分y与x的对应值：x﹣1012y﹣2﹣10a 则a的值为（）A．﹣2B．1C．2D．3【分析】利用待定系数法即可求得函数的解析式，然后把x＝2代入解析式即可求得a 的值．解：设一次函数的表达式为y＝kx+b．代入（1，0），（0，﹣1）两点，得：∴．解得：．∴一次函数表达式为y＝x﹣1．把（2，a）代入y＝x﹣1，解得a＝1．故选：B．6．5G是新一代信息技术的发展方向和数字经济的重要基础，预计我国5G商用将直接创造更多的就业岗位．小明准备到一家公司应聘普通员，他了解到该公司全体员工的月收入如下：月收入/元4500019000100005000450030002000人数12361111对这家公司全体员工的月收入，能为小明提供更为有用的信息的统计量是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然小明想了解到该公司全体员工的月收入，那么应该是看多数员工的工资情况，故值得关注的是众数．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故小明应最关心这组数据中的众数．故选：B．7．如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是（）A．4B．C．2D．1【分析】连接AC，根据正方形ABCD的面积为8，求得AC＝4根据菱形的面积够大即可得到结论．解：连接AC，∵正方形ABCD的面积为8，∴AC＝4，∵菱形AECF的面积为4，∴EF＝＝2，故选：C．8．自去年9月《北京市打贏蓝天保卫战三年行动计划》发布以来，北京市空气质量呈现“优增劣减”特征，“蓝天”含金量进一步提高，下图是今年5月17日至31日的空气质量指数趋势图．（说明：空气质量指数为0﹣50、51﹣100、101﹣150分别表示空气质量为优、良、轻度污染）有如下结论：①在此次统计中，空气质量为优良的天数占；②在此次统计中，空气质量为优的天数多于轻度污染的天数；③20，21，22三日的空气质量指数的方差小于26，27，28三日的空气质量指数的方差．所有正确结论的序号是（）A．①B．①②C．②③D．①②③【分析】根据折线统计图的数据，逐一进行分析即可．解：①在此次统计中，空气质量为优良的天数占＝，此项正确；②在此次统计中，空气质量为优的天数5天，多于轻度污染的天数3天，此项正确；③20，21，22三日的空气质量指数波动范围小于26，27，28三日的空气质量指数波动范围，故20，21，22三日的空气质量指数的方差小于26，27，28三日的空气质量指数的方差，此项正确．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．函数中，自变量x的取值范围是x≠1．【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠1．10．如图，在数轴上点A表示的实数是．【分析】根据勾股定理，可得斜线的长，根据圆的性质，可得答案．解：由勾股定理，得斜线的长为＝，由圆的性质，得点A表示的数为，故答案为：．11．已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是﹣1．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入一元二次方程x2+mx+n＝0，即可求得m+n的值．解：∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，∴x＝1满足一元二次方程x2+mx+n＝0，∴1+m+n＝0，∴m+n＝﹣1；故答案为：﹣1．12．写出一个图象经过第二、第四象限的函数表达式，所写表达式为y＝﹣（答案不唯一）．【分析】反比例函数的图象经过第二、四象限，则k＜0，写出一个反比例函数即可．解：y＝﹣等．（答案不唯一，满足k＜0即可），故答案为：y＝﹣（答案不唯一）．13．笔直的公路AB，AC，BC如图所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC的长为3km，BC的长为4km，则C，D之间的距离为km．【分析】由勾股定理可得AB＝5，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，于是得到结论．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+CB2，∵AC的长为3km，BC的长为4km，∴AB＝5km，∵D点是AB中点，∴CD＝AB＝km．故答案为：．14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，AE＝CF，∠EFB＝45°，若AB＝6，BC＝14，则AE的长为4．【分析】过E点作EH⊥BC于H点，则BH＝AE，FH＝EH＝AB＝6，根据BC＝14可构造关于AE的方程求解．解：过E点作EH⊥BC于H点，则BH＝AE．∵∠EFH＝45°，∴FH＝EH＝AB＝6．设AE＝a，则BH＝FC＝a，∴a+6+a＝14，解得a＝4．即AE＝4．故答案为4．15．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b＞0的解集为x＞﹣3；不等式x（kx+b）＜0的解集为﹣3＜x＜0．【分析】利用函数图象写出直线y＝kx+b在x轴上方所对应的自变量的范围得到不等式kx+b＞0的解集；利用函数图象分别求kx+b＞0且x＜0和kx+b＜0且x＞0的解集得到不等式x（kx+b）＜0的解集．解：当x＞﹣3时，y＝kx+b＞0，所以不等式kx+b＞0的解集为x＞﹣3，当kx+b＞0且x＜0，则x（kx+b）＜0，所以﹣3＜x＜0；当kx+b＜0且x＞0，则x（kx+b）＜0，但没有满足条件的x的值，所以不等式x（kx+b）＜0的解集为﹣3＜x＜0．故答案为﹣3＜x＜0．16．已知每购进100克巧克力糖的成本为4.8元．某超市开展促销活动，对巧克力糖采用两种包装进行销售，其包装费、销售价格如下表所示：型号精致装豪华装重量100克500克包装费0.8元 1.5元销售价格8元36元对于该超市而言，卖相同重量的巧克力糖，盈利更多的是精致装．（填“精致装”或豪华装”）【分析】根据“利润＝售价﹣成本价”，分别得出两种包装卖出500克巧克力糖的利润，再比较即可．解：精致装卖出500克巧克力糖的利润为：5×（8﹣0.8﹣4.8）＝12（元）；豪华装卖出500克巧克力糖的利润为：36﹣4.8×5﹣1.5＝10.5（元）．∵12＞10.5，∴对于该超市而言，卖相同重量的巧克力糖，盈利更多的是精致装．故答案为：精致装．三、解答题（本题共68分，17-22题每小题5分，23-26题每小题5分，27，28题每小题5分）17．解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．解：分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，可得x﹣3＝0或x+1＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1．18．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE＝DF．【分析】由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可得证．【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB＝180°，∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，则四边形BFDE为矩形，∴BE＝DF．19．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的延长线于点B；②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；③以点B为圆心，BP长为半径画孤，交BC于点Q；④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵PB＝PA，BC＝BA，BQ＝PB，∴PB＝PA＝BQ＝QC．∴PQ∥l（三角形的中位线定理）（填推理的依据）．【分析】（1）根据要求画出图形．（2）利用三角形的中位线定理证明即可．解：（1）直线PQ即为所求．（2）证明：∵PB＝PA，BC＝BA，BQ＝PB，∴PB＝PA＝BQ＝QC．∴PQ∥l（三角形的中位线定理）．故答案为：BA，QC，三角形的中位线定理20．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k﹣2＝0有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且方程的根都是正整数，求此时k的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到）△＝（2k）2﹣4（k2+k﹣2）≥0，然后解不等式即可；（2）由于k为正整数，则k＝1或k＝2，然后分别求出k＝1和k＝2对应的方程的解，从而可判断满足条件的k的值．解：（1）△＝（2k）2﹣4（k2+k﹣2）≥0，解得k≤2；（2）当k＝1时，方程变形为x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，当k＝2时，方程变形为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，所以满足条件的k的值为2．21．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝kx交于点A（﹣1，n）．（1）求点A的坐标及直线y＝kx的表达式；（2）若P是坐标轴上一点（不与点O重合），且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．【分析】（1）把点A（﹣1，n）分别代入直线y＝﹣x+1与直线y＝kx，解方程组即可得到结论；（2）根据勾股定理得到OA＝，根据PA＝OA，得到PA＝，即可得到结论．解：（1）∵直线y＝﹣x+1与直线y＝kx交于点A（﹣1，n），∴，∴，∴点A的坐标（﹣1，2），直线y＝kx的表达式为y＝﹣2x；（2）如图，∵A的坐标（﹣1，2），∴OA＝，∵P是坐标轴上一点，PA＝OA，当点P在y轴上时，∴PA＝，∴OP＝2＝2，当点P在x轴上时，过A作AH⊥x轴于H，∴OP＝2OH＝2，点P的坐标为（0，2）和（﹣2，0）．22．如图，在▱ABCD中，BD＝AD，延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）连接DE交AB于点F，若DC＝，DC：DE＝1：3，求AD的长．【分析】（1）利用AD＝BE和AD∥BE说明四边形AEBD是平行四边形，再借助BE ＝BD，则可说明其为菱形；（2）在菱形AEBD中，AB⊥DE，则易知CD⊥DE，在Rt△EDC中利用勾股定理求出EC长，易知AD是EC的一半，可求结果．解：（1）∵BD＝AD，BD＝BE，∴AD＝BE．又四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥BE．∴四边形AEBD是平行四边形．∵BE＝BD，∴四边形AEBD是菱形；（2）∵四边形AEBD是菱形，∴AB⊥DE．∵AB∥CD，∴CD⊥DE．∵DC＝，DC：DE＝1：3，∴DE＝3．在Rt△DEC中，利用勾股定理可得EC＝＝10．∵BE＝AD＝BC，∴AD＝EC＝5．23．北京市某中学开展了包含古建、民俗、中医药、造纸印刷、丝绸文化、非遗精品六大系列的实践项目课程，并用展板进行成果展览．为了装饰，学校用长为64dm的彩带紧紧围在一块面积为240dm2的矩形展板四周（彩带恰好围满，且不重叠）．（1）求这块展板较短边的长；（2）以同样的方式，用长为64dm的彩带能紧紧围在一块面积为260dm2的矩形展板四周吗？如能，说明围法：如不能，说明理由．【分析】（1）设这块展板较短边的长为xdm，则较长边的长为（32﹣x）dm，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）设这块展板较短边的长为ydm，则较长边的长为（32﹣y）dm，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，由该方程根的判别式△＝﹣16＜0，可得出该方程无解，进而可得出不能用长为64dm的彩带紧紧围在一块面积为260dm2的矩形展板四周．解：（1）设这块展板较短边的长为xdm，则较长边的长为（32﹣x）dm，依题意，得：x（32﹣x）＝240，解得：x1＝12，x2＝20．∵x＜32﹣x，∴x＜16，∴x＝12．答：这块展板较短边的长为12dm．（2）不能，理由如下：设这块展板较短边的长为ydm，则较长边的长为（32﹣y）dm，依题意，得：y（32﹣y）＝260，整理，得：y2﹣32y+260＝0．∵△＝（﹣32）2﹣4×260＝﹣16＜0，∴该方程无解，即不能用长为64dm的彩带紧紧围在一块面积为260dm2的矩形展板四周．24．如图，点C是线段AB的中点，∠ABD＝17°，点P是线段BD上的动点（可与点B，D重合），连接PC，PA．已知AB＝4cm，BD＝6cm，设BP长为xcm，PC长为y1cm，PA长为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm 2.00 1.080.59 1.23 2.17 3.14 4.13y2/cm 4.00 3.06 2.17 1.43 1.66 2.47（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC的长度不小于PA的长度时，估计BP长度的取值范围是x≥3.20cm．【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形的中位线定理即可解决问题．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）利用图象法解决问题即可．解：（1）x＝4时，y2的值等于x＝2时，PC的值的两倍，即y2＝2×0.59＝1.18．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当PC的长度不小于PA的长度时，估计BP长度的取值范围是x ≥3.20cm．故答案为x≥3.20．25．某学校七、八年级各有学生300人，为了普及冬奥知识，学校在七、八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩，进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七、八年级成绩分布如下：成绩0≤x10≤x20≤x30≤x40≤x50≤x60≤x70≤x80≤x90≤xx年级≤9≤19≤29≤39≤49≤59≤69≤79≤89≤100七0000437420八1100046521（说明：成绩在50分以下为不合格，在50～69分为合格，70分及以上为优秀）b．七年级成绩在60～69一组的是：61，62，63，65，66，68，69c．七、八年级成绩的平均数中位数优秀率合格率如下：年级平均数中位数优秀率合格率七64.7m30%80%八63.367n90%根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）小军的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，则小军是八年级的学生（填“七”或“八”）；（3）可以推断出八年级的竞赛成绩更好，理由是从中位数、及格率、优秀率上看，八年级均较高，因此成绩总体较好（至少从两个不同的角度说明）．【分析】（1）七年级的中位数，把七年级学生的成绩排序后找第10、11位的数据的平均数即为中位数，通过所给的表格数据和在60～69一组的成绩，可以得出第10、11位的数据，进而求出中位数，通过表格中可以计算出八年级优秀人数，再求出优秀率即可．解：（1）m＝（63+65）÷2＝64，n＝（5+2+1）÷20＝40%，答：m＝64，n＝40%．（2）因为平均数会受到极端值的影响，八年级有两个学生的成绩较差，使平均分较低，小军虽然高于平均成绩，仍可能排在后面，可以估计他是八年级学生，故答案为：八（3）八年级学生成绩较好，从中位数、及格率、优秀率上看，八年级均较高，因此成绩总体较好．26．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，﹣4），且与直线y＝2x互相平行．（1）求直线y＝kx+b的表达式及点A的坐标；（2）将直线y＝kx+b在x轴下方的部分沿x轴翻折，直线的其余部分不变，得到一个新图形为G，若直线y＝ax﹣1与G恰有一个公共点，直接写出a的取值范围．【分析】（1）与直线y＝2x互相平行，则k＝2，令y＝0即可得A的坐标值．（2）直线平行，k相等，翻折后k值为其负数．解：（1）∵直线y＝kx+b与y轴交于点B（0，﹣4），且与直线y＝2x互相平行，∴k＝2，b＝﹣4，∴直线y＝kx+b的表达式为y＝2x﹣4；当y＝0时，2x﹣4＝0，∴x＝2，∴A（2，0）；（2）如图G，翻折后的左侧直线为：y＝﹣2x+4，直线y＝ax﹣1与y轴交点为（0．﹣1），且与G恰有一个公共点，∴分别与G的两侧平行即为a的取值范围，左侧与直线y＝﹣2x+4平行，因此，a≤﹣2，右侧与直线y＝2x﹣4平行，因此，a≥2故a的取值范围为a≤﹣2或a≥2．27．已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF．（1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME；（2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；②用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系（直接写出即可）【分析】（1）证△BEM是等腰直角三角形即可得；（2）①先证△AEM≌△FBM得AM＝FM，由AE＝BF知EF＝BC＝AB，证△MEF≌△MBC得∠EMF＝∠BMC，FM＝MC，由∠FMC＝90°知△FCM是等腰直角三角形，从而得FC＝MF＝AM；②连接DE，证四边形CDEF是平行四边形得DE＝CF，由CF＝MF，MF＝AM知DE＝AM，结合BM＝EM，∠DME＝90°得DM2+EM2＝DE2，从而得出答案．解：（1）如图所示，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠ABD＝45°，∵BM⊥BD，∴△BEM是等腰直角三角形，∴MB＝ME；（2）①如图所示，连接CM、FM，∵△BEM是等腰直角三角形，∴MB＝ME，∠ABM＝∠BEM＝45°，∴∠AEM＝∠FBM＝135°，又∵AE＝FB，∴△AEM≌△FBM（SAS），∴AM＝FM，∵AE＝BF，∴EF＝BC＝AB，∴△MEF≌△MBC（SAS），∴∠EMF＝∠BMC，FM＝MC，∴∠FMC＝90°，∴△FCM是等腰直角三角形，∴FC＝MF＝AM，即AM＝FC；②DM2+BM2＝2AM2，如图，连接DE，∵AE＝BF，∴AE+BE＝BF+BE＝EF，又∵DC∥AB且DC＝AB，∴DC＝EF，DC∥EF，∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE＝CF，∵CF＝MF，MF＝AM，∴DE＝AM，又BM＝EM，∠DME＝90°，∴DM2+EM2＝DE2，则DM2+BM2＝2AM2．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P（点P在M内部或M上），给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤2，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A（﹣4，3），B（﹣4，﹣3），C（4，﹣3），D（4，3）．（1）在点P₁（﹣2，1），P2（﹣1，0），P3（3，3）中，矩形ABCD的和谐点是P1，P3；（2）如果直线y＝上存在矩形ABCD的和谐点P，直接写出点P的横坐标t的取值范围；（3）如果直线y＝上存在矩形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点（含端点）都是矩形ABCD的和谐点，且EF，直接写出b的取值范围．【分析】（1）如图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图象可知P1，P3是矩形ABCD的和谐点．（2）如图2中，求出满足条件的点P1，P2，P3，P4的坐标即可判断．（3）当b＝3时，图中线段EF上的点都是和谐点，且EF＝2．当b＝2时，图中线段E′F′上的点都是和谐点，且EF＞2．观察图象可知：满足条件的b的值为2≤b ＜3．根据对称性，同法可证，当﹣3＜b≤﹣2时，也满足条件．解：（1）如图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图象可知P1，P3是矩形ABCD的和谐点．故答案为：P1，P3．（2）如图2中，当直线y＝x+上的点P到直线AB的距离为2时，可得P2（﹣2，），同时P4（﹣4，﹣）也满足条件由题意此时P1，P4是矩形的和谐点，观察图象可知：当﹣4≤t≤﹣2时，点P是矩形的和谐点，当直线y＝x+上的点P到直线AD的距离为2时，可得P3（﹣1，1），同时P1（3，3）也满足条件，观察图象可知：当﹣1≤t≤3时，点P是矩形的和谐点．综上所述，满足条件的t的值为﹣4≤t≤﹣2或﹣1≤t≤3．（3）如图3中，当b＝3时，图中线段EF上的点都是和谐点，且EF＝2．当b＝2时，图中线段E′F′上的点都是和谐点，且EF＞2．观察图象可知：满足条件的b的值为2≤b＜3．根据对称性，同法可证，当﹣3＜b≤﹣2时，也满足条件．综上所述，满足条件的b的值为：2≤b＜3或﹣3＜b≤﹣2．。