经典均值不等式练习题.doc
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均值不等式
均值不等式又名基本不等式、 均值定理、 重要不等式。 是求范围问题最有利的工具之一， 在形式上均值不等式比较简单， 但是其变化多样、 使用灵活。 尤其要注意它的使用条件 （正、 定、等 ）。
2
b 2
1. (1) 若 a, b
R ，则 a 2
b 2
2ab
(2) 若 a,b
a
（当 且仅当 a
b
R ，则 ab
2
时取“ = ”）
2. (1) 若 a,b
R
* ，则
a
b ab
(2) 若 a,b
R * ，则 a b
2 ab （当 且仅当 a b
2
时取“ = ”）
*
a b (3) 若 a,b R ，则 ab
2
2
( 当且仅当 a
b 时取“ = ”）
a b 2 a
b
a 2
b 2
a b
3. 均值不等式链： 若 都是正数， 则
ab
，当且仅当 、
2
2
1 1
a b
时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）
一、 基本技巧
技巧 1：凑项
例 已知 x
5 y 4x 2
1
的最大值。
，求函数 4 x 5 4
技巧 2：分离配凑
例 求 y
x 2 7x 10 ( x 1) 的值域。
x 1
1
技巧 3：利用函数单调性
例
x2 5
求函数 y 的值域。
x2 4
技巧 4：整体代换
例已知 x 0, y 0 ，且19
1 ，求x y 的最小值。
x y
典型例题
1.若正实数 X， Y 满足 2X+Y+6=XY ，则 XY 的最小值是
2.已知 x＞0,y＞0，x,a,b,y 成等差数列， x,c,d,y 成等比数列，则a b2的最小值
cd
是 ()
D. 4
3. 若不等式 x2 +ax+4≥0 对一切 x∈（0，1］恒成立，则 a 的取值范围为 ( )
A. 0,
B. 4,
C. 5,
D. 4,4
4. 若直线 2ax+by-2=0 （a,b ∈R+）平分圆 x2+y2-2x-4y-6=0 ，则2 + 1的最小值是
a b
( )
+2
2 2
5. 已知 x>0,y>0 ， x+2y+3xy=8, 则 x+2y 的最小值是.
6. 已知 x, y
x y
R ，且满足1，则xy的最大值为.
3 4
7. 设 a 0, b 0. 若3是 3a与 3b的等比中项，
则 1 1 的最小值为 ( )
a b
A 8
B 4
C 1
D 1 4
8. 若正数 x， y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是( )
24
B. 28
A.
5
5
9. 若 a 0, b 0, a b 2 ，则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的是( 写出所有正确命题的编号) ．
① ab 1 ；② a b2 ；③ a2 b2 2 ；④ a3 b3 3 ；2
⑤
1
1 2
a b
10. 设 a ＞b ＞0 ，则 a 2
1
1 的最小值是（ ）
ab
a a b
（ A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
11. 下列命题中正确的是 A 、 y x 1 的最小值是 2
B
、 y x
2
3
的最小值是 2
x
x 2
2
C 、 y 2 3x
4
( x 0) 的最大值是 2 4 3 D 、 y 2 3x
4
(x 0) 的最小
x
x
值是2 4 3
12. 若 x 2 y 1，则 2x 4y 的最小值是 ______
3