初中数学——方程思想解题实例
-- -- 方程思想解题实例
一、 知识梳理 方程思想是指从分析问题的数量关系入手，适当设定 未知数,把所研究的数学问题中已知量 和未知量之间的数量关系,转化为方程 或方程组的数学模型，从而使问题得到 解决的思维方法 方程思想的独特优势是使问题简单化,方便解题，我们在初中阶段陆续学习了一元一次方程，二元一次方程（组),分式方程,一元二次方程，感受到了方程思想在解决实际问题中的魅力。同样，方程思想在几何问题及函数问题中仍然有相当广泛的应用,我们会经常利用到这些方程、方程组作为解题的工具 方程思想的本质是用设未知数用未知量表示已知量的方法，通过分析题中的等量关系，利用所学定理、性质等寻找出等量关系。本专题主要从几何中的方程思想及函数中的方程思想展开讨论。 二、课堂案例讲练 几何中的方程思想
在几何中建立等量关系的常用方法有
错误!利用勾股定理建立等量关系； 错误!利用图形中的线段相等建立等量关系； 错误!利用图形中的相似三角形对应边成比例建立等量关系。 ○，4利用三角形外角定理及三角形内角和建立等式
(一)利用勾股定理建立等量关系 例1如图所示，折叠长方形(四个角都是直角)的一边AD使点Ｄ落在BC边的点Ｆ处,已知AB=Ｄ
C=8cm,AＤ=BC＝10cm，求EC的长．
解析:想求得EC长,利用勾股定理计算，需求得FC长,那么就需求出BＦ的长，利用勾股定理即可求得B
Ｆ长 解：设EC的长为xcm, ∴DE=(8－x）ｃm． ∵△ＡDE折叠后的图形是△AFＥ, ∴AＤ=AＦ,∠D＝∠ＡＦE，DE＝ＥF. ﻫ∵AD=BC=1０cm，ﻫ∴ＡF=AＤ=１０cm. 又∵AB=8cm，在Rｔ△ABF中,根据勾股定理，得AB２+BＦ２=AF2ﻫ∴82+BF２=102 ∴BF＝6cm． ∴FC=ＢC-BF=1０-６=4ｃm. ﻫ在Rt△EFC中，根据勾股定理,得:FＣ2+EC2＝ＥF2ﻫ∴４2+ｘ2=（8-x)2,即１6+ｘ２=64-16x+ｘ２,ﻫ化简，得1６x=48． ∴x=3. 故ＥＣ的长为３cｍ．
-- -- 前思后想：翻折中较复杂的计算,需找到翻折后相应的直角三角形,利用勾股定理求解所需线段,另本题也
可以利用三角形相似，及线段相等建立等量关系来解决. 课堂训练: 1． 有两张相同的矩形纸片，边长分别为2和８,若将两张纸片交叉重叠,则得到重叠部分面积最小是
__＿＿_＿，最大的是 _____＿＿_＿.
2.动手操作：在一张长１2cm、宽５cm的矩形纸片内,要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EＦGＨ（见方案一),小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CＡＤ,∠ACF=∠AＣＢ的方法得到菱形AＥＣＦ(见方案二).ﻫ(１)你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗? (2)请你通过计算,比较小颖和小明同学的折法中,哪种菱形面积较大?
（二）利用三角形相似的性质建立等量关系 例1:有一块两直角边长分别为３cm和4cm的直角三角形铁皮,要利用它来裁剪一个正方形,有两种方法:一
种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图(1）;另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上,另一个顶点在斜边上，如图（２）.两种情形下正方形的面积哪个大？
解析:(１)利用三角形的面积关系求出ＡB边上的高，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长;
(2）设出正方形的边长,再利用相似三角形的性质求出正方形的边长. --
-- 前思后想:(1)利用面积法求出直角三角形斜边上的高是解答此题的关键； (2）也可根据△ADE∽△ＡCB或△BFＥ∽△ＢＣA来解答． 课堂训练： 1. 如图，铁道口的栏杆AB的短臂OA=１．２5ｍ,长臂OＢ=16．5m,•当短臂端点A•下降０.85m时,长臂端点B升高多少？ 下面是小明的解题过程：
“如图,连接AA′,BＢ′，因为AO=A′Ｏ，BO=Ｂ′O，所以''AOAOBOBO.又∠1＝∠
2,所以△AＡ•′O∽△BB′Ｏ，有''AOAABOBB,因为AO=1.2５，ＢO＝１6.5,AA′=0.85,所以1.250.8516.5'BB,解得BB′＝11.22，•即长臂端点B升高了11.２2ｍ”． 你认为小明的解题过程正确吗?如果不正确,请写出你的答案．
2.如图，在矩形FGＨN中,点Ｆ、G在边BC上,点N、H分别在边AB、AC上,且AD⊥BC，垂足为D,AＤ交ＮH于点E,AD＝8cｍ，BＣ=24cm,NF：NH＝1：２,求此矩形的面积．
3. 如图３，在梯形ABCD中,354245ADBCADDCABB∥，，，，∠．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒.
（1）求BC的长.
(2）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形． A D
C B M
N
图3 -- -- （三）利用线段相等建立等量关系 例1. 如图，等腰梯形AＢCD中，ＡＤ∥BC，ＡB=CD，AＤ=10ｃm，ＢC=３0cｍ,动点P从
点Ａ开始沿AD边向点D以每秒1cm的速度运动,同时动点Ｑ从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动,当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ｔ秒． （1)ｔ为何值时，四边形ＡBＱP是平行四边形? （2）四边形ＡBQP能成为等腰梯形吗?如果能，求出t的值；如果不能,请说明理由.
解析：(1）当AＰ=ＢQ时,四边形ABQP是平行四边形； (2)若四边形ABQP能成为等腰梯形，则一定要满足PD＝ＣQ.
解：（1)当AP＝ＢQ时,四边形ABＱＰ是平行四边形,而AP＝t×1=t；BQ=BC－CQ=30-t×3=30－3t ∴t=30－3t解之得：t=7.５ （2)四边形ABQＰ能成为等腰梯形.∵四边形AＢCD为等腰梯形 ∴AB=CD,∠B=∠Ｃ． 若四边形ABQＰ是等腰梯形.则AＢ=PQ，∠B=∠PQB， ∴ＣD=ＰQ,∠C=∠ＰＱB ∴CD∥PＱ ∴四边形PQＣD为平行四边形 ∴PＤ=CQ ． 而ＰD=AD-AP=10-ｔ×1=1０-t；CQ＝t×3=3t,则１0-ｔ=3ｔ, 解得t=2.5．
前思后想：做此类运动题时要先在图上画出符合题意的大致图象,然后设出未知量，根据题意寻找等量关系，第(2）问可这样思考：先逆向假设四边形AＢQＰ能成为等腰梯形，则PＤ=CQ,建立相关的等式,若能解出符合题意的值,则存在，然后再顺向写出过程 -- -- 课堂训练: 1. 如图,在直角梯形AＢCD中,AＤ∥BＣ，∠C=９0°,BＣ＝1６，DC=12,ＡD=21。动点
Ｐ从点D出发，沿射线ＤA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点Ｃ出发,在线段CB上以每秒１个单位长的速度向点B运动，点P,Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点Ｂ时，点Ｐ随之停止运动。设运动的时间为t(秒)。当ｔ为何值时,以B，P，Ｑ三点为顶点的三角形是等腰三角形？
２. 如图，直角梯形ABＣD中,ＡD∥ＢＣ，∠ABC＝90°,已知ＡD=AB＝3，BC=４,动点P从Ｂ点出发，沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D 出发,沿线段DA向点A作匀速运
动．过Q点垂直于AD的射线交AＣ于点Ｍ,交ＢC于点Ｎ．P、Ｑ两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，Ｐ、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒． (1)求NC、ＰＮ的长(用ｔ的代数式表示); (2）当t为何值时，四边形ＰCDＱ构成平行四边形？ (３） 当t为何值时，四边形ＰＣDQ构成等腰梯形?; (４) 是否存在某一时刻，使射线QＮ恰好将梯形ABCD的面积和周长同时平分？若存在，求出此时ｔ的值;若不存在,请说明理由
（四）设未知量求角度 例1：已知：如图所示,在△ＡBC中,AB＝ＡＣ,D为AC上一点,且ＢD＝ＢC,E为AB上一点，且
AD=DE=EB,那么∠A的度数是___＿__＿＿_度． 解析：设∠EBD＝x，根据等边对等角得出∠A=２x，∠C=∠ABC=３ｘ,根据三角形内角
和定理得出2x＋３x+３x=180°,所以∠A＝45° 前思后想：等腰三角形中求某个角的度数时,通常都可以根据“三角形内角 和、三角形外角的性质、等腰三角形的性质”,找出相应的等量关系，通过列 方程解决此类问题。
课堂练习:
Q A D C P
B --
-- 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__＿__＿_. 2.等腰三角形两角的度数之比为4:１,其内角的度数分别为＿______. ３. 如图,在△ABＣ中,AＢ=AC，点D在ＡC上,且BD=ＢC=AＤ,则∠A＝__＿_＿
__． 4． 如图，点O是等边△ABC内一点，连接OＡ、ＯB、OC，将△BOC绕点C按顺时
针方向旋转60°得△ADC,连接OD.(1)求证：△ＣOD是等边三角形；（2)若OA=3,OＣ＝4，OB=5，试判断△AOD的形状,并说明理由.（3）若∠AOＢ=１10°,∠BOＣ=α,请探究：当α为多少度时,△AＯD是等腰三角形?
函数中的方程思想 函数中的方程思想主要体现在:１.求两个函数图象的交点 问题； 2．已知y的值,求相应x的值。 例1:
___＿_＿＿___.
解析：根据题意分别求出A,B,C,D的坐标，再用S△AＣＤ－S△BCD即可求出△ABC的面积.
初中数学二元一次方程组的应用题型分类汇编——方案决策问题4(附答案)
初中数学二元一次方程组的应用题型分类汇编——方案决策问题4（附答案）1．威立到小吃店买水饺，他身上带的钱恰好等于15 粒虾仁水饺或20 粒韭菜水饺的价钱，若威立先买了9 粒虾仁水饺，则他身上剩下的钱恰好可买多少粒韭菜水饺（）A．6 B．8 C．9 D．122．某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位，要求租用的车辆不留空座，也不能超载。
租车方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种3．“保护好环境，拒绝冒黑烟。
”某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元.则每辆A型车的售价是（）A．14万元B．18万元C．22万元D．26万元4．小明在某商店购买商品A,B共两次,这两次购买商品A,B的数量和费用如下表:购买商品A 的数量/个购买商品B的数量/个购买总费用/元第一次购物 4 3 93第二次购物 6 6 162若小丽需要购买3个商品A和2个商品B,则她要花费()A．64元B．65元C．66元D．67元5．将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（）A．6种B．7种C．8种D．9种6．小刘同学用10元钱买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元，设1元的贺卡为张，2元的贺卡为张，那么、所适合的一个方程组是（）A．B．C．D．7．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到瑞金的人数为y人．下面所列的方程组正确的是（）A．B．C．D．8．购买甲、乙两种笔记本共用70元．若甲种笔记本单价为5元，乙种笔记本单价为15元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购笔记本的方案有（）A．2种B．3种C．4种D．5种9．某花农培育甲种花木10株，乙种花木8株，共需成本6400元；培育甲种花木4株，乙种花木5株，共需成本3100元。
初中数学数学思想及常见的解题方法
初中数学数学思想及常见的解题方法一、数学思想数学思想与方法是数学学习的灵魂，假如数学思想是战略的话，数学方法就是具体的战术，数学方法是在数学思想的指导下采取的具体的解题办法．如在“转化与化归”思想的指导下，采取加减消元法，将含有“两元”的方程组转化为含有“一元”的一元一次方程来解．常见的有四大数学思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合．1.函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程（组）来使问题获解．函数与方程有密切的关系，如一元一次函数b-+yax；b==，就可以看作关于x、y的二元方程0axy+二元方程0bax可以看成y是x的一次函数．可以说，函数的研究离不开+y-=方程．列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想的体现．2.转化与化归转化与化归是把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；消元法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了转化与化归思想．如很多四边形的问题可以转化为三角形的问题来研究；研究两直线的位置关系可以转化为研究角的数量关系；如学完初一有理数的运算法则后，将几种运算法则综合起来去认识：减法、乘法是转化为加法来研究的，除法、乘方是转化为乘法来研究的．再如求不规则图形的面积可以将其分割或将其补充，转化为规则图形来求，等等．3.分类讨论在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想．引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的．如|a|的定义分a>0、a ＝0、a<0三种情况．（2）问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的．如点与圆的位置关系可以分为三种情况．（3）解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论．如研究二次函数c+=2的图象的开口方向时，分a>0和a<0两种情况讨论；y+axbx研究其图象与x轴的位置时，就△>0，△>0，△<0，△=0三种情况进行考虑．（4）解某些条件开放题时，需要根据条件的几种可能情况进行分类．如“过一个三角形一边上一点，做一条直线，将原三角形分为两部分，使截得的三角形与原三角形相似，共有几种办法”，这就需要就直线的位置进行分类，共有四种办法．再如证明圆周角定理时，就圆心在圆周角的内部、外部、边上三种情况进行证明等．进行分类讨论时，要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复．4.数形结合初中数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如简单的几何图形、三角形、四边形、相似形、解直角三角形、圆等；一类是关于数形的结合，如数轴上的点和数之间的对应关系，再如锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的，等．数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质，再如“已知线段AB =2cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC =6cm ，则线段AC 的长是 ”，解本题可以画出图形，找出点C 的两种不同位置；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用函数解析式来精确地阐明函数图象的几何性质等，再如根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系或根据两圆的半径与圆心距之间的数量关系来判断两圆之间的位置关系等．二、常见的解题方法下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的．一、客观题的解题方法选择题是给出条件和结论，根据一定的关系找出正确答案的一类题型．填空题是未给出答案，需要根据已知条件，运用一定的推理来求得答案．要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧．下面结合实例介绍常用方法．1．直接法 直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论．如一个蚂蚁（看成一个点）在数轴上距原点2个单位长度，且位于原点左侧．若蚂蚁沿数轴向右移动3个单位，再向左移动4个单位，此时蚂蚁所表示的数是 ．解这道题必须画出图形，找出蚂蚁最后在数轴上的位置．再如某幢建筑物，从10米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，离地面403 米，则水流下落点B 离墙距离是（ ）A ．2米B ．3米C ．4米D ．5米解这道题要从已知条件入手，画出图形，利用待定系数法求出抛物线的解析式，进一步求解．2．验证法（代入法） 由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，也可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案．如若反比例函数y =xk （k 为常数，k 不为零）的图象经过点（3，4），则下列各点在该函数图象上的是（ ）A ．（6，8）B ．（-6，8）C ．（-3，4）D ． （-3，-4）解这道题就得将每个选择支中的横坐标代入函数关系式，求其对应的纵坐标的值，然后验证．3．特殊元素法 用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答． 如若20052006a =，20062007b = ，20072008c =，则下列不等式关系成立的是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<要比较a ，b ，c 的大小，可以转化为比较21，32，43再如如图，AB 是半圆O 的直径，AB =4，点C ，D是弧AB 的两个四等分点，点P 是AB 上任意一点，则图中阴影部分的面积是 ． 已知点P 是AB 上任意一点，当然也可以是特殊点即圆心O ，这样就将不规则图形的面积等价地转化为规则图形的面积．4．排除、筛选法 根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而得出正确的结论．如“嫦娥一号”卫星发射后首先被送入一个地球同步椭圆轨道，通过加速再进入一个更大的椭圆轨道，距离地面最远为12.8万公里，这个距离用科学计数法表示为（ ） A ．310128⨯公里 B ．61028.1⨯公里 C ．51028.1⨯公里 D ．610128.0⨯公里从四个选择支看，A ，D 显然不符合定义，从而在B ，C 中选一个即可．二、综合题目的解题方法1．配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和的形式，用的最多的是配成完全平方式．配方法在因式分解、化简根式、解方程、证明等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用．==，则x y = ．解这题需通过配方，将x y 变为()y x y x 32-+，然后运用韦达定理求值．2．因式分解法 因式分解就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式．因式分解在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用．因式分解的方法有提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、拆项添项法等等． 如在求分式的值时可以将分子分母分解因式，然后约分，达到化简的目的，再如十字相乘法在解一元二次方程时经常用到．3．换元法 换元法是用新的变元去代替原代数式的一部分或改造后的一部分，得到新的代数式，使问题简化．体现了转化的数学思想．如在解一元二次方程121686-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 时，可设16+=x y ，则原方程就等价地变为01272=++y y ，再解就容易了．4．判别式法 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式△=b 2-4ac ，不仅用来判定根的性质、判断二次函数图象与x 轴的位置关系，而且作为一种解题方法，在代数式变形、解方程(组)、解不等式（组）、研究函数等方面有广泛的应用．如求函数212+-=x x y 的自变量x 的取值范围．二次函数22+-x x 的开口向上，△<0，无论x 取何实数，22+-x x 的值均是正数，从而x 的取值范围是全体实数．5．待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值，从而解答数学问题．如求函数解析式时，经常用到这种方法．6．图解法 有些题目，可以用数形（或数表）结合的方法来解，通过对图形（或函数图象或表格）的观察、分析，然后作出正确的判断，叫做图解法．如解方程组：⎩⎨⎧=-=+32,12y x y x ．可先把方程组中的每个方程化成一次函数的形式，在平面直角坐标系中，画出这两个一次函数的图象，其图象的交点坐标就是原方程组的解．再如：一次函数b kx y +=（k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等式0>+b kx 的解集为 ．不等式0>+b kx 的解集，就是一次函数的图象上位于x 轴上方的射线上所对应的x 的值．7．反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已知定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种方法称为反证法．直接证明有困难时常用反证法．反证法是一种常用的间接证明方法，其逻辑依据是排中律：两个互相矛盾的判断不能都是假的．运用反证法的关键是找出所证明的结论的反面是什么．用反证法证明的一般步骤是：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、公理、已知定理或已知条件相矛盾的结果；（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．如若1a ，2a ， 3a ，4a 都是正数，且4321a a a a +++=1，则这四个数中至少有一个大于或等于41．利用反证法证明这一结论时，关键是要确定“这四个数中至少有一个大于或等于41”的反面是什么．一定要正确理解“至少有一个”“大于或等于”的反面的含义．再如证明“圆的切线垂直于过切点的直径”时也可以用反证法．8．不完全归纳法 通过对特殊情形的观察、实验、猜想，从而归纳出一般的结论的方法叫做不完全归纳法．不完全归纳法多用于探索规律题．如将一张矩形纸片对折，可以得到1条折痕；对折2次（对折时折痕与上次的折痕保持平行），可以得到3条折痕；对折3次，可以得到7条折痕；对折4次，可以得到15条折痕；如果对折n 次，可以得到多少条折痕？这题的数学模型是：已知1，3，7，15，…，求第n 个数．解题的关键是找出各项与对应的序号之间的关系．再如计算：211-= ；221111-= ；222111111-= ；…；猜想 = ．解这道题用到的方法也是不完全归纳法． 2221111ΛΛ-n 个22n 个19．构造法 在解题时，会通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决．运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决．如点E 是△ABC 的边AC 上一点，且AE =2EC ，BE =8，AD ⊥BC 于D ，1tan 4EBC ∠=．求AD 的长．解这题的关键是通过添加辅助线，构造∠EBC 所在的直角三角形．初中所学的三角函数都是在直角三角形中定义的，已知一个角的三角函数，一般是找出或者构造这个角所在的直角三角形．10．等积法 平面几何中讲的面积公式，不仅可用于计算面积，而且用它证明平面几何题．面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过解方程达到求证的结果．如在Rt △ABC 中，∠C=︒90，AB =13，AC =12，BC =5，求AB 边上的高AD 的长．这题的解法是：因为S △ABC =12AB ×C D ，又S △ABC =12AC ×BC ，所以 12AB ×CD =12AC ×BC ，即13×CD =12×5，得CD =6013．不用添加辅助线做出高，利用等积法，列出等式，解方程即可．。
七年级数学一元一次方程应用——比赛计分问题
比赛计分问题列方程解应用题是初中数学的重要内容之一，其核心思想就是将等量关系从情景中剥离出来，把实际问题转化成方程或方程组，从而解决问题。
列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审——审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2）设——设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列——列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答——检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）【典例探究】某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。
已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了多少道题。
解：设这个人选对了x道题目，则选错了(45-x)道题，于是3x-（45-x）=1034x=148解得 x=37则 45-x=8答：这个人选错了8道题.某校高一年级有12个班．在学校组织的高一年级篮球比赛中，规定每两个班之间只进行一场比赛，每场比赛都要分出胜负，每班胜一场得2分，负一场得1分．某班要想在全部比赛中得18分，那么这个班的胜负场数应分别是多少？因为共有12个班，且规定每两个班之间只进行一场比赛，所以这个班应该比赛11场，设胜了x场，那么负了（11-x）场，根据得分为18分可列方程求解．【解析】设胜了x场，那么负了（11-x）场．2x+1•（11-x）=18x=711-7=4那么这个班的胜负场数应分别是7和4．【方法突破】比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有：每队的胜场数＋负场数+平场数＝这个队比赛场次;得分总数+失分总数＝总积分;失分常用负数表示，有些时候平场不计分，另外如果设场数或者题数为x，那么x最后的取值必须为正整数。
初中数学代数方程思想总结
初中数学代数方程思想总结代数方程是初中数学中的重要内容，它通过符号和字母的运算来表示数与数之间的关系，并通过解方程的方法求得未知数的值。
在学习代数方程的过程中，我们可以总结出以下的思想：第一、分析问题，明确未知数解决一个代数方程的第一步是要分析问题，明确未知数。
通过阅读题目，我们可以分析出需要求解的问题，并将未知数用字母表示出来，建立起问题与未知数之间的关系。
比如小明去买苹果，每个苹果2元，他一共买了x个苹果，他总共花了多少钱？我们可以分析出“总共花了多少钱”是问题的目标，未知数可以用x来表示。
第二、列方程，建立方程与问题的关系在建立方程时，我们需要将题目中的关键信息用数学语言进行表达。
通过观察题目中的条件和问题的关系，引入未知数，建立起问题与方程之间的关系。
比如小明去买苹果，每一个苹果2元，他一共买了x个苹果，他总共花了多少钱？我们可以建立方程2x=花了的钱。
第三、解方程，求得未知数的值解方程就是找到使得方程等式成立的未知数的值。
通过利用等式的性质和运算法则，我们可以对方程进行变形和化简，直到得到未知数的值。
比如2x=花了的钱，我们可以将方程两边同时除以2，得到x=花了的钱/2，可以得出小明买了多少苹果。
第四、检验解，验证求得的答案在解决代数方程的过程中，我们需要反复检验解，验证所得的答案是否满足原方程中的条件。
只有经过检验验证的解，才是正确的解。
比如小明花了的钱是10元，那么根据x=花了的钱/2，我们可以计算出x=10/2=5，也就是小明买了5个苹果。
接下来，我们可以将x=5代入原方程2x=花了的钱中验证，是否成立，若成立，则说明x=5是方程的解。
通过这样的思想总结，我们可以更好地理解和掌握代数方程的解题方法，提高解题的效率和准确性。
在实际运用中，我们还需要灵活运用代数方程的思想，结合具体问题，解决实际生活中的各种问题。
最后，我们需要加强对代数方程的练习和巩固，提高代数方程的解题能力。
八年级数学上册《列分式方程解应用题工程问题》优秀教学案例
3.鼓励学生主动探索课外工程问题，将所学知识运用到实际中，提高解决问题的能力。
4.教师对学生的作业进行批改，了解学生的学习情况，为下一节课的教学提供参考。
五、案例亮点
1.生活情境的巧妙融入
本案例将工程问题与学生的生活实际紧密结合，通过创设生活化的教学情境，让学生在熟悉的环境中感受数学知识的魅力。这样的设计不仅增强了学生的学习兴趣，而且有助于学生理解数学知识在实际生活中的应用，提高数学素养。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学内容，归纳解决工程问题的方法步骤。
2.强调分式方程在解决实际问题中的重要作用，培养学生的数学应用意识。
3.让学生认识到团队合作的重要性，培养团结协作精神。
4.针对本节课的教学内容，教师进行总结评价，为学生提供反馈意见。
（五）作业小结
1.教师布置与工程问题相关的分式方程练习题，巩固所学知识。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过向学生展示一些生活中常见的工程问题，如修路、建桥等，引导学生思考如何运用数学知识来解决这些问题。
2.提问学生对分式方程的认识，以及它们在实际问题中的应用，从而引出本节课的主题——《列分式方程解应用题工程问题》。
3.通过导入新课，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。
三、教学策略
（一）情景创设
在本章节的教学中，教师应充分利用生活实例，创设与学生生活密切相关的情景，让学生在具体情境中感受数学知识的实际应用。例如，可以引入一些关于道路建设、房屋装修等工程问题，让学生了解分式方程在解决这些实际问题中的作用。通过情景创设，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索数学知识。
七年级上册数学一元一次方程的解法
一、概述一元一次方程是初中数学中的重要内容之一，对于七年级学生来说，掌握一元一次方程的解法是非常重要的。
本文将从理论知识、解题方法以及实例演练等方面对七年级上册数学一元一次方程的解法进行详细介绍，希望能够帮助广大学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、理论知识1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
一元一次方程的一般形式可以表示为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。
2. 一元一次方程的解法解一元一次方程的基本原理是利用等式的性质，通过一系列的运算将方程化简成求解未知数的形式。
常用的解方程方法包括加减消元法、配方法、分式法等。
三、解题方法1. 加减消元法加减消元法是解一元一次方程最常用的方法之一。
其基本思想是通过对方程两边同时进行加减等操作，最终将未知数的系数化简为1，从而求得未知数的值。
2. 配方法配方法是一种比较灵活的解题方法，其核心思想是通过在方程两边进行加减乘除等操作，使得方程的形式更加简洁，便于求解未知数。
3. 分式法当一元一次方程中含有分式形式时，分式法是一种有效的解题方法。
通过对方程进行化简，将方程转化为一般形式，然后采用常规的解方程方法求解未知数。
四、实例演练1. 例题1求解方程2x+3=11。
解：我们可以采用加减消元法，首先将等式两边减去3，得到2x=8，然后再除以2，得到x=4。
因此方程的解为x=4。
2. 例题2求解方程4(x-2)=20。
解：这道题可以采用配方法，首先将4乘以括号内的每一项，得到4x-8=20，然后加上8，得到4x=28，最后再除以4，得到x=7。
因此方程的解为x=7。
五、总结一元一次方程是初中数学中的重要内容，掌握一元一次方程的解法对于学生来说是非常必要的。
本文从理论知识、解题方法以及实例演练等方面对七年级上册数学一元一次方程的解法进行了详细介绍，希望能够帮助学生更好地掌握这一知识点。
在学习过程中，学生们还需多加练习，不断巩固解题方法，提高解题能力。
方程思想
数学思想方法与新题型解析数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。
在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅，分析、探求解题的思路，优化解题的过程，验证所得的结论。
在初中数学中最常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。
（一）方程思想在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。
例如，一元一次方程、一元二次方程，可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程组、三元一次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组，问题就容易解决了。
所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。
用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。
1. 方程思想的最基本观点——几个未知数，列几个独立的方程我们知道在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。
在涉及数量关系的问题中，用这一基本思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。
例1. 已知：x x 12、是关于x 的方程x x m 2220++=的两个实数根，且x x 12222-=，求m 的值。
分析：本题中涉及三个未知数x x m 12、、，需列出三个方程，题目中已给出了一个关于x x 12、的方程x x 12222-=，那么只需再找出两个关于x x 12、和m 的方程即可。
解法1 依题意，得∆=->+=-=-=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪440222121221222m x x x x mx x ①②③④④②，得⑤②⑤，得把代入②，得÷-=-+=-=-=-x x x x x 121121323212∴==m x x 21234∴=±=±=->∴=±m m m m 3232440322又当时，为所求∆ 说明：一般地，有几个未知数，则需列几个方程。
思维可视化视角下的初中数学应用题教学——以浙教版七年级“５．４一元一次方程的应用”为例
思维可视化视角下的初中数学应用题教学 以浙教版七年级 ５．４一元一次方程的应用 为例◉杭州市钱塘区学正中学㊀王㊀艳㊀㊀摘要:数学解题教学中的一个重要内容是应用题教学．教师通过语言转化㊁列表画图等教学活动让学生的思维过程可视化,经历从多角度设未知数列方程,找到解应用题的一般途径,从而培养学生的思维习惯,提高学生的模型观念㊁应用意识．关键词:核心素养;思维过程;可视化;列表;画图㊀㊀１问题提出在多年教学中,笔者发现七年级学生在学习列方程解应用题时总存在困难,并导致了学生学习的分化．学生的主要困难是不会分析问题中的数量关系,还有少部分学生不能读懂题意;读题审题过程过于简单化,只停留在看题层面的比较多,没有具体有效的方式呈现自己的思考过程．总而言之,学生的阅读概括能力㊁分析表达能力㊁信息处理能力比较欠缺．针对如何破解学生解应用题的困难问题,笔者结合教材内容,实施了以下的教学策略．２教学策略针对学生的问题,笔者提出了思维可视化的策略,即通过一些具体可操作的活动,把学生读题过程㊁分析过程中抽象的思维活动具体化．如用数学符号写出来㊁列出来㊁画出来,让自己㊁同学和老师都能看得见,然后将表达出来的内容用于交流讨论㊁分析整理㊁计算推理等,最后达到解决问题的目的．简而言之,即用具体的表达方式让学生呈现抽象的思维过程．应用题解题是一个包括了阅读概括㊁收集信息㊁筛选数据到处理各种数量关系㊁逻辑表达等思维活动的建模过程,是培养学生认识世界㊁发展能力㊁提升数学核心素养的重要途径．苏联数学教育学家斯托里亚尔曾说 数学教学也就是数学语言的教学 ．教师要在教学过程中善于运用文字㊁符号和图形等数学语言,帮助并引导学生理解数学语言㊁运用数学语言,培养学生在数学抽象㊁符号意识等方面的数学素养,感受数学语言的简洁之美．２．１尝试信息转化,让读题过程可视化解应用题的第一步是会读题．怎样做到 会读题 ?首先,学生能从具体问题情境中抽象出数学问题;其次会找等量关系,把条件概括精炼,将文字语言 翻译 并用简单的文字㊁数与字母等代数符号㊁运算符号表示成符号语言,实现读题过程的可视化．例１㊀学校组织植树活动,已知在甲处植树的有２３人,在乙处植树的有１７人．现调２０人去支援,使在甲处植树的人数是乙处植树人数的２倍,应调往甲㊁乙两处各多少人?教师:请你认真读题,并尽可能的把问题中的文字语言用数学式子的形式表示出来．如:①甲处人数＋支援甲处的人数＝支援后甲处人数．试一试．生１:我写的是 乙处人数＋支援乙处的人数＝支援后乙处人数 ．(教师标记②)生２:我写的是 支援后甲处人数＝２ˑ支援后乙处人数 ．(教师标记③)师:还有可以转化的语句吗?生３:我还有一个式子是 支援甲处的人数＋支援乙处的人数＝２０ ．(教师标记④)师:读题时我们要尽可能的把题目中的文字信息翻译成数学符号,用简洁的语言表达出来,每个表达式就是一个等量关系式,它们分别刻画了各已知量㊁未知量之间的数量关系．设计意图:以往学生读题过程只是单一的看题目,看懂了什么㊁看不懂什么经常是含糊不清的．在读题可视化环节中,教师首先要改变学生原来的读题习惯,引导学生边读边进行数学语言的转化,尝试尽可能把读到的内容用数学符号的形式表示出来．本题题意较简单,但文字信息中包含的数量关系较多,这时就需要用更简洁的语言来表达,即数学化处理．通过这样的教学活动,可以 去情境化实现数学抽象 [１],培养学生数学语言符号的转化能力,文字概括抽象等数学思维能力．２．２尝试列表量化,让数据收集过程可视化解应用题的第二步是会表示㊁分析数量关系．这是学生感到困难的地方,表现为思维无序,不能用合适的方式表达出自己的思维过程．尝试列表,用代数式的形式表达出各关系式中的数量再进行分析,可以让学生的数据处理过程可视化㊁有序化,将问题中的隐性数量关系显性化,使抽象关系具体化,并选择合适的设元方式,列出方程,实现数量符号化的思维过程．师:刚才找到的等量关系式中包含了许多数量,是否可以用简洁的方式把它们都表达出来今天我们学习用列表的方法来处理这些数量间的关系．本题数量代表的意义是什么?生１:甲㊁乙两处变化前后的人数．师:有哪几个变化阶段?生２:原来人数㊁支援的人数㊁支援后的人数．教师随即在黑板上横向书写 原来人数㊁支援人数㊁支援后人数 ,纵向书写 甲㊁乙 ,搭好表格框架,请学生先把已知量填写好后提问(表１)．表１原来人数支援人数支援后人数甲２３乙１７㊀㊀师:未知量有几个?怎样去表示它们?生３:未知量有４个,可以设甲处支援人数为x ,即可表达其他量了(表２)．表２原来人数支援人数支援后人数甲２３x２３＋x 乙１７２０－x３７－x㊀㊀师:你是根据什么填写出其他３个空格的?生３:由上面的关系式①㊁②㊁④可表示其他３个量．师:那么关系式③怎么用?生３:根据关系式③列方程,可得２３＋x ＝２(３７－x )．追问:你还可以设其他量为未知数吗?试一试,再填表,并列出方程．你有什么发现?生４:我设支援后乙人数为y ,列出表３,根据关系式④列方程．表３原来人数支援人数支援后人数甲２３２y －２３２y乙１７y －１７y方程２y －２３＋y －１７＝２０㊀㊀生５:我设支援后乙处人数为y ,列出表４,根据关系式③列方程．表４原来人数支援人数支援后人数甲２３２０－(y －１７)４３－(y －１７)乙１７y －１７y方程４３－(y －１７)＝２y㊀㊀生６:我还有想法,列出表５,根据关系式①来列方程．表５原来人数支援人数支援后人数甲２３２０－(y －１７)２y乙１７y －１７y方程２３＋２０－(y －１７)＝２y㊀㊀师:根据大家的讨论交流,你有什么收获?生５:我发现每一个未知的量都可设未知数,并表示出其他未知量．生６:我发现表格中横向㊁纵向的数量之间都能找到关系．生７:我发现只要选定其中一个等量关系式列方程,其他是用来表示与未知数有关的数量的,比我原来想的思路要多多了．师:是的,我们可选一个等量关系式作为主线列方程,其余作为副线用来列代数式表示其他量．你知道一共会有多少种思路列方程吗?师生一起讨论,归纳出共有１６种,学生感叹表格的用处很强大,简洁有序,拓宽了大家的思路．设计意图:教材中例题第一次采用列表法分析,但只出现了表３．列表法对于学生来说是一种新方法,所以在例题的教学中,教师不能直接把表格呈现给学生,而是给出充足的时间让学生经历怎么列表,怎样用表格整理㊁分析数据,选择哪个量设元,如何表示其他未知量,选择哪个关系式列方程等一个完整的建模过程,逐步学会将每个未知量符号化,同时要尝试多角度思考,进一步挖掘表格的作用,体验列表法的普适性㊁有效性,培养学生发散性思维和符号观念．目标检测:课本作业题２,要求(１)写出问题中所有的等量关系式;(２)表格分析只列方程．分析:本题关系式较多,要通过 实际 与 计划 两个阶段的分析才能列出表格,表格中会有６处空格,可选任一个未知量设未知数．学生解答:(１)写出的等量关系式共６个．①原计划时间＝实际时间＋１;②前２３工作量＝原计划工作效率ˑ提效前时间;③后１３工作量＝提效后工作效率ˑ提效后时间;④提效后工作效率＝原计划工作效率ˑ５４;⑤前２３麦地面积＋后１３麦地面积＝麦地总面积;⑥提效前时间＋提效后时间＝实际时间; (２)部分学生列出的分析表格(表６㊁表７):表６效率时间工作量实际提效前１２１１８x２３x 提效后１２ˑ５４１４５x１３x 计划１２１１２x x 方程１１２x－１１８x＋１４５x()＝１表７效率时间工作量实际提效前１２８１２t８t 提效后１２ˑ５４４１５t４t 计划１２t１２t 方程t－８１２t＋４１５t()＝１㊀㊀设计意图:练习时,部分学生最先采用的是列算式,但是条件复杂很难列式,都以失败告终;而部分学生采用列表㊁设元㊁列方程的途径就顺利解决问题．这样鲜明的对比引发了学生的思维冲突,感受到列方程解题的优越性．其次,在练习后师生需要做学习小结,得出常用思路是利用各部分的内部联系列代数式,再根据外部联系列方程．如关系式②是内部联系,关系式①是外部联系．２．３尝试画图优化,让深度思维过程可视化图示法是用图形大小表示问题中的总体与各部分的数量,即代数问题几何化,通过图形间的数量关系确立等量关系．本环节是从整体的角度思考问题,通过推理探究发现某一类问题的本质特征,实现深度思维过程的可视化．师:列表法能帮助我们多角度地分析数量关系,理解题意,你们是否还有更直观的方法体现数量间的关系呢?生８:老师,我发现例１还有等量关系式可以写:⑤甲处人数＋乙处人数＋支援人数＝支援后甲处人数＋支援后乙处人数＝总人数,那么总人数是已知量,而调整前后总人数是不变的,所以⑥总人数＝３ˑ支援后乙处人数＝１．５ˑ支援后甲处人数,这样列算式就可以解出来了．师:你是怎么发现的?生８:把之前的关系式①＋②后可得,甲处人数＋支援甲处的人数＋乙处人数＋支援乙处的人数＝支援后甲处人数＋支援后乙处人数,左边有一部分用关系式④代换后就得到关系式⑤,右边再用关系式③代换后就得到式⑥了．师:太棒了(此处有掌声),同学８是从整体角度来思考,在变化过程中发现保持不变的量是总人数,在变化前总人数可以分为３部分组成,变化后分为２部分组成．这样通过对条件的再加工,我们发现了更简洁的思路:总量＝各部分之和．这类题我们常常会用什么方法来分析呢?生:以前行程问题㊁工程问题画过线段图．师:试一试,如果用一条线段表示总人数,先把它分成几部分从左到右依次表示哪个量?生９:分成３部分,依次是甲处人数㊁乙处人数和支援人数２０人．师:那请你继续表示出变化后各部分的人数．生９:哎呀,甲变化后的人数表示不了,还有一条线段在后面了．(图１)图１师:那有什么办法可以同时表示出变化后甲㊁乙人数的线段生８:应该把支援部分人数放中间,然后它的左边部分给甲,右边部分给乙．(图２)图２根据总人数＝１．５倍支援后甲的人数,得１．５ˑ(２３＋x )＝６０;根据总人数＝３倍支援后乙的人数,得３ˑ(３７－x )＝６０;根据支援后甲乙人数比例,可列方程２３＋x ＝２(３７－x )．追问:目标检测问题,你能用线段图分析吗?分析:用线段表示工作天数(图３),设这片麦地有x 公顷,根据图示可列方程１１２x ＝１１８x ＋１４５x ＋１．图３师:接下来请大家独立完成例２．例２㊀某班有学生４５人,已知会下象棋的人数是会下围棋人数的３．５倍,两种棋都会或都不会的都是５人．求只会下围棋的有多少人?学生方法１:列表８,全班４５人由四部分组成,只会下象棋的人数＋只会下围棋的人数＋两种棋都会的人数＋两种棋都不会的人数＝４５,设只会下围棋有x 人,可列方程:３．５(x ＋５)－５＋x ＋５＋５＝４５．表８只会下象棋只会下围棋两种都会两种都不会合计人数３．５(x ＋５)－５x５５４５㊀㊀方法２:用线段的长短表示人数(图４),如线段A B 表示总人数４５,由A C ＋C E ＋E B ＝AB 或A D ＋D E ＋E B ＝A B 或A C ＋D E －D C ＋E B ＝A B 即可列出方程３．５x ＋x －５＋５＝４５,得x ＝１０,所以,C E ＝x －５＝５．图４设计意图:表格可以呈现问题中丰富的数量关系,学生有时会因为关系反而把问题复杂化．所以教师应继续启发学生寻找各关系式之间是否存在联系,归纳得出这一类问题的共性,优化思路,提升学生的思维深度．３教学感悟章建跃博士强调,数学活动的本质是数学思维活动,没有 过程 ＝没有 思想 [２]．教学中教师可以尝试通过以上途径 搭建脚手架 ,尝试让学生的思维过程可视化,培养数学素养．３．１用数学语言描述实际问题,实现读题过程的思维可视化,提升学生的抽象概括能力㊀㊀实际问题中语言比较生活化,读题时需要把生活语言数学化,并用数或式㊁运算符号㊁逻辑符号等常用的数学语言去表示出来．在教学或练习时,教师要引导学生尽可能多地进行这样的语言转化,并逐一写出来,这些表达式就是问题中各数量之间包含的等量(或不等量)关系式,也是解题中的第一次抽象概括的过程．如例题１中,表达式①~④都是题意中可以直接 翻译 出来的,是显性条件,表达式⑤~⑥就是隐性条件,是对条件的第二次高度概括的结果．所以读题过程的思维可视化教学,可以培养学生抽象概括的能力,培养学生 学会用数学的眼光看世界 ．３．２用表格形式描述数量,实现数据处理过程的思维可视化,培养学生的符号意识㊀㊀通过读题表达出来的关系式比较多,每个表达式中数量间的关系是单一化的,怎样把所有的数量关系都能更清楚地表示出来,借助于表格是比较合适的,如何列表㊁用表是本节课中学生重点学习的内容之一．首先,列表过程是循序渐进的,要让学生有充分的时间去体验;其次,整个过程体现了思维的顺序和层次,体验用字母表示数的代数思想㊁用方程建模的思想;再次通过不同的设元方法,让学生从不同角度思考,把原来狭窄的思路打开,提高分析问题的能力,培养学生 学会用数学语言描述世界 ．３．３用图形大小表示数量,实现深度思维过程的可视化,培养学生的推理与模型观念㊀㊀本环节的设想是初步培养学生的集合思想㊁推理㊁建模观念．列表主要是分析各个部分即各元素间的关系,而图形更直观地表示某一个量各部分间的关系,是部分与整体的关系,即集合的思想．教师要引导学生从整体的角度思考,探究各个集合间的交㊁并㊁补等关系．同时思考整个变化过程,通过推理说明是否存在不变的量,如果有,根据这个不变量也可以列方程．在分析问题时,我们尽可能从多角度㊁多种方法寻找解决问题的策略,让学生经历方法的积累过程,体验思维的宽度和深度,培养学生 学会用数学思维分析世界 ．总之,列表㊁画图等方式是让学生思维可视化的有效途径,也是今后不等式㊁函数等知识的学习中常用的工具．当然应用题的教学策略不止于此,定还会有其他方法可探索．参考文献:[１]崔永学．列方程解应用题数量关系的分析与思考[J ]．中学数学教学参考,２０１６(Z ２):１６Ｇ１８．[２]章建跃．章建跃数学教育随想录[M ]．杭州:浙江教育出版社,２０１７:２３．Z。
新初中数学方程与不等式之二元二次方程组技巧及练习题附答案(1)
新初中数学方程与不等式之二元二次方程组技巧及练习题附答案(1)一、选择题1．解方程组：2223,44 1.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】111,1;x y =⎧⎨=⎩221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可.详解：2223441x y x xy y ①②+=⎧⎨-+=⎩由②得：()221x y -=即：21x y -=或21x y -=-所以原方程组可化为两个二元一次方程组： 23,21;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 23,21;x y x y +=⎧⎨-=-⎩分别解这两个方程组，得原方程组的解是111,1;x y =⎧⎨=⎩ 221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.2．解方程组：22120y x x xy y -=⎧⎨--=⎩． 【答案】21x y =-⎧⎨=-⎩，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程分解因式可得：x ﹣2y =0或x +y =0，分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可．【详解】解：22120y x x x y -=⎧⎨--=⎩①② 由②得：（x ﹣2y ）（x +y ）=0x ﹣2y =0或x +y =0原方程组可化为11200y x y x x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩， 解得原方程组的解为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩， ∴原方程组的解是为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩，． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．3．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩①② 由②得2(2)1x y -=，所以21x y -=③，21x y -=-④由①③、①④联立，得方程组： 2321x y x y +=⎧-=⎨⎩，2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组2321x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{11x y ==解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以原方程组的解为：1111x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．4．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩ 【答案】1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+⎧⎨-+=⎩由②得，()224x y -= ③，把①代入③，得 ()2214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，即：()224x +=，所以，x+2=2或x+2=-2所以，x 1=-4,x 2=0,把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.所以，方程组的解是 1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.5．计算：（1（2）解方程组：3534106x y x y -=-⎧⎨-+=⎩（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：6234 2111 32x xx x-≥-⎧⎪--⎨-<⎪⎩【答案】（1）12-；（2）35xy=⎧⎪⎨=⎪⎩；（3）21137x-≤≤.【解析】【分析】(1)先求开方运算，再进行加减；（2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再在数轴上表示解集.【详解】解：（1）原式=-3+4-32=12-（2）3534106x yx y-=-⎧⎨-+=⎩①②①×2+②，得x=0把x=0代入①式 y=35所以，方程组的解是35xy=⎧⎪⎨=⎪⎩（3）6234211132x xx x-≥-⎧⎪⎨---<⎪⎩①②由①式得，x≥-23由②式得，x＜117所以，不等式组的解集是21137x-≤≤，把解集在数轴上表示：【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组.解题关键点：掌握相关解法.6．解方程组：【答案】，．【解析】【分析】先由①得x=4+y ，将x=4+y 代入②，得到关于y 的一元二次方程，解出y 的值，再将y 的值代入x=4+y 求出x 的值即可.【详解】 解：由①得：x =4+y ③，把③代入②得：（4+y ）2-2y 2=（4+y ）y ，解得：y 1=4，y 2=-2，代入③得：当y 1=4时，x 1=8，当y 2=-2时，x 2=2， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，. 【点睛】本题考查了解高次方程.7．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.【详解】解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，解这个方程，得121,4x x ==，把11x =代入（3），得13y =，把24x =代入（3），得29y =，所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.8．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】 由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①② , 由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．9．解方程组：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩【答案】11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩由②得：()()250x y x y -+=原方程组可化为620x y x y -=⎧⎨-=⎩或650x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得：11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩． ∴原方程组的解为11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．10．解方程:22310x y x y ⎧-=-⎨++=⎩ 【答案】12x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y ，代入方程1，得到一个关于y 的一元二次方程，求出y 值，进而求x ．【详解】解：()()2231102x y x y ⎧-=-⎪⎨++=⎪⎩ 由（2）得：1x y =--（3）把（3）代入（1）：22(1)3y y ---=-∴2y =-∴1x =原方程组的解是12x y =⎧⎨=-⎩【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．11．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩【答案】1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】【分析】 根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．【详解】解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩①②， 由①，得x=17+y③，把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，解之，得y 1=-15，y 2=-2．把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．故原方程组的解为1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩. 【点睛】本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．12．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩【答案】12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.【详解】22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩①②, ①式左边分解因式得，()20x y x y -++=（），∴x-y+2=0或x+y=0，原方程组转化为以下两个方程组：（i ）22208x y x y -+=⎧⎨+=⎩或（ii ）22+08x y x y =⎧⎨+=⎩ 解方程组（i ）得，12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，解方程组（ii）得，3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩,所以，原方程组的解是:12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.13．k为何值时，方程组2216x yx y k⎧+=⎨-=⎩只有唯一解？【答案】k=±.【解析】【分析】将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.【详解】2216(1)(2)x yx y k⎧+=⎨-=⎩由（2）得， y=x-k（3）将（3）代入（1）得，2222160x kx k-+-=，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即22(2)42(16)0k k--⨯⨯-=，解得，k=±.所以当k=±2216x yx y k⎧+=⎨-=⎩只有唯一解.【点睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．14．解方程组：222232()x yx y x y⎧-=⎨-=+⎩.【答案】111,1x y =⎧⎨=-⎩；223232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；331252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】分析：把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，转化为两个一次方程，再分别和第一方程组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解.详解：由方程222()x y x y -=+可得，0x y +=，2x y -=；则原方程组转化为223,0.x y x y ⎧-=⎨+=⎩（Ⅰ）或 223,2.x y x y ⎧-=⎨-=⎩（Ⅱ）， 解方程组（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩， 解方程组（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩， ∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ 331,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；（2）将两个新的方程组消去y ，即可得到关于x 的一元二次方程.15．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．【详解】 222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．16．解方程组： 2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩． 【答案】1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】【分析】根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可【详解】2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，2x ﹣3y ＝±4，即原方程组化为23234x y x y -=⎧⎨-=⎩和23234x y x y -=⎧⎨-=-⎩， 解得： 1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 即原方程组的解为：1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩． 【点睛】本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组17．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩（2）217,11 1.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①②所以①＋②得：36x y =+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-， 所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．18．解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩． 【答案】1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【解析】【分析】先由②得(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩最后分别解这两个方程组即可． 【详解】解：2226691,x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，所以原方程组变为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩解这两个方程组得：41xy=⎧⎨=⎩，16575xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以原方程组的解为1411xy=⎧=⎨⎩，2216575xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．19．温州三垟湿地的瓯柑名气很大，但今年经济不景气，某经销商为了打开销路，对1220斤瓯柑进行包装优惠出售．包装方式及售价如下图．假设用这两种包装方式恰好装完全部瓯柑．（1）若销售2箱纸盒装和3筐萝筐装瓯柑的收入共元(请直接写出答案).（2）假如预计这批瓯柑全部售完，总销售额为3210元时．请问纸盒装包装了多少箱，箩筐装包装了多少筐？（3）但由于天气原因，瓯柑腐烂了a斤（不能出售），在售价不变的情况下，为了保证总．销售额为．．．．3210元，剩余瓯柑必须用以上两种方式重新包装，且恰好装完,那么纸盒装箱, 箩筐装箱.(请直接写出答案)【答案】（1）495；（2）纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐；（3）41，6【解析】（1）根据题意可得出方程解出即可；（2）设纸盒装包装了x箱，箩筐装包装了y筐，根据等量关系列出方程组，解出即可；（3）根据（3）问的条件直接写出答案即可.解：（1）495元（2）设纸盒装包装了x箱，箩筐装包装了y筐，根据题意得：20501220601253210x yx y+=⎧⎨+=⎩1618x y =⎧⎨=⎩解得 答：纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐.（3）41箱，6箱.“点睛”本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是仔细审题，理解题目所给条件，转化为方程思想求解.20．解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩【答案】1131x y =⎧⎨=⎩ 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程，再分别与方程②组成方程组，解二元一次方程组即可得到答案．【详解】 解：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由①得：x 3y 0-= 或 x y 0+=原方程组化为： 302x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解得：1131x y =⎧⎨=⎩ 或 2211x y =⎧⎨=-⎩ ∴ 原方程组的解为1131x y =⎧⎨=⎩ 或 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握利用因式分解降次是解题关键．。
初中八年级数学教案-公式法解一元二次方程(省一等奖)
2022年“华渔杯”全国中小学教师信息化教学设计能手大赛---教学设计课题：§一元二次方程的解法第二课时——公式法教材分析方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并通过解方程来解决实际问题是培养学生实践能力的关键。
本节课是上海科学技术出版社八年级下册第十七章第二节第二课时的内容，是本章的难点之一。
本节课内容是在学完直接开平方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握求根公式解一元二次方程，培养学生由特殊到一般的解题思想。
它不仅是解一元二次方程的基本方法，又是后续学习一元二次方程根的判别式，根与系数关系的依据，所以这节课既能起到了承上启下的作用，又能在探究求根公式过程中让学生进一步体会方程模型的实际意义、体会由特殊到一般，类比转化的数学思想方法，这对于以后的方程、函数等知识学习奠定了基础，具有很好地导向作用。
学情分析在此之前，学生已经了解和学习过一元二次方程的概念及一般形式，掌握了一些根据实际问题列方程的能力，并且学生已经学习了直接开平方法、配方法解一元二次方程。
八年级的学生数学思维已有一定程度的发展，具有一定分析推理能力，同时在探索、讨论、交流学习等方面有较为丰富的知识和经验，因此，用类比配方法求解系数是字母的一元二次方程，探究得出一元二次方程的求根公式对学生来说是水到渠成的。
鉴于上述分析，所以我确定这节课的教学目标、重点和难点如下：教学目标1、知识与技能①会熟练应用公式法解一元二次方程；②理解一元二次方程求根公式的推导过程;③能利用方程解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。
2、过程与方法经历探索求根公式的过程，培养学生的推理能力，发展分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：培养学生积极参与﹑主动探究的精神与意识，让学生体念到通过自身努力，学会运用数学知识解决实际问题后的成功喜悦与乐趣。
教学重点掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程。