《数学分析》(华师大二版)课本上的习题18

第十八章隐函数定理及其应用 习题

P.151 隐函数 习题

1. 方程xy e y x =+sin cos 能否在原点的某领域内确定隐函数)(x f y =或)(y g x =.

2. 方程1ln =++xz e y z xy 在点（0，1，1）的某领域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数.

3. 求由下列方程所确定的隐函数的导数：

(1) ;,0433

4

2

dx dy y x y x 求

=-+ (2) ;,ln 2

2dx

dy x y atctg y x 求

=+ (3) ;,,02y

z x z e z e

z xy

∂∂∂∂=+--求

(4) ;),0(,22222

2

dx

y

d dx dy a a y a x u y

e y a a u

，求>-+==-+

(5) ;,,054222

22y

z

x z z y x z y x ∂∂∂∂=--+-++求

(6) ;,,),,(z

y y x x z xyz z y x f z ∂∂∂∂∂∂++=求求

4. 设22y x z +=，其)(x f y =中为由方程12

2=+-y xy x 所确定的隐函数，求

22dx

z d dx dz 及. 5. 设222z y x u ++=，其中),(y x f z =是由方程xyz z y x 32

22=++所确定的隐函数，

求x u 及xx u .

6. 求由下列方程所确定的隐函数的偏导数： (1) 的一阶与二阶偏导数；

对于求y x z e

z y x z y x ,,)

(++-=++ (2) .,,0),,(22x

z

y z x z z y x y x x F ∂∂∂∂∂∂=+++和求

7.

.0

,0)(0),(:''3y

x

y yy xy

x xy xx y y F F F F F F F F y F F x f y y x F =≠==有时具有二阶导数，则当所确定的隐函数设方程证明

8. 设f 是一元函数,试问应对f 提出什么条件,方程)()()(2y f x f xy f +=在点(1,1)的领域内就能确定出唯一的x y 为德函数? P.157 隐函数组习题

1. 试讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=

+2

2222z y x z y x 在点)2,1,1(-的附近能否确定形如)(),(z g y z f x ==的

隐函数组。

2. 求下列方程组所确定的隐函数组的导数：

(1) ⎩⎨⎧=+=++;,2

22222dx dz dx dy ax y x a z y x 求，， (2) ;,,,,0,02

2y

v

y u x v x u xu v y yv u x ∂∂∂∂⎩⎨⎧∂∂∂∂=--=--求 (3) ；求x

v

x u y v x u g v y v ux f u ∂∂∂∂⎩⎨

⎧-=+=,),,(),,(2

3. 求下列函数组所确定的反函数组的偏导数;

(1) ;,,,,

cos ,sin y y x x u

u v u v u v u e y v u e x ⎩⎨⎧-=+=求 (2) .,,,332

2x z v u z v u y v u x 求⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=+=

4. 设函数),(y x z z =由方程组

uv z e y e x v u v u ===-+,,

),(为参量v u 所定义的函数,求当.0,0ds v u 时的==

5. 设以v u ,为新的自变量变换下列方程: (1) ;,ln ,0)()

(22x

y arctg v y x u y z y x x z y x =+==∂∂--∂∂+设

(2) .,,02

2

2222

y x v xy u y

z y x z x ===∂∂-∂∂设 6. 设函数),(y x u u =由方程组0),(,0),,(),,,,(===t z h t z y g t z y x f u 所确定,

求

.,y

u

x u ∂∂∂∂ 7. 设),(),,(),,(),,(),,,(t s z z t s y y t s x z y x v v z y x u u =====和都具有连续的一阶偏

导数,证明:

.)

,()

,(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(t s x z x z v u t s z y z y v u t s y x y x v u t s v u ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂

8. 设,sin ,x

y

v tgx y u ==

证明:当0,20><

.)

,()

,()

,()

,(2,1,并验证它们互为倒数和算所对应的坐标曲线；计平面上的函数；画出、作为v u y x y x v u v u xy v u y x ∂∂∂∂==9. 将以下式子中的的形变换成球面坐标),,(),,(ϕθγz y x 式:

.

,)()()(

22222222221z

u y u x u u z

u

y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆∂∂+∂∂+∂∂=∆

10. 设.,,,2

22222z y x r r

z w r y v r x u ++====

其中 (1) 试求以w v u ,,为自变量的反函数组; (2) 计算

.)

,,()

,,(z y x w v u ∂∂

P.163 几何应用 习题 1. 求平面曲线)0(32323

2>=+a a y x

上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所

截取的线段等长。

2. 求下列曲线在所示点处的切线与法平面： (1) ;4

,cos ,cos sin ,sin 2

2

π

=

===t t c s t t b y t a x 在点