《边界元法》
边界元法1_275007510
Zheng Xiaoping 2014
1. 引言
1.5 参考资料
郑小平：《边界元方法》PPT课件. 姚振汉：边界元法，高等教育出版社，2010. 杜庆华等：边界积分方程边界元法， 高等教育出版社，1989. 稽醒等： 边界元进展及通用程序，同济大学出版社，1997. Aliabadi MH. The Boundary Element Method, Vol. 2, Applications in Solids and Structures. Wiley, NY, USA, 2002.
对于椭圆问题，边界积分方程被公认为是达到了数学 形式的最高境界。
Zheng Xiaoping 2014
1. 引言
1.2 边界积分方程发展过程
间接边界积分方程方法：求解的边界未知量并不是 原问题未知场变量的边界值，而是为求解而引进的辅 助变量，例如对于位势问题引进的单层势和双层势。 间接边界积分方程方法的早期工作： 位势问题：A. M. O. Smith & J. Pierce (1958), J. L. Hess (1962), M. A. Jaswon (1963), G. T. Symm (1963), M. A. Jaswon & A. R. Ponter (1963。 弹性力学问题：M. A. Jaswon (1963), C. E. Massonet (1965), E. R. A. Oliveira (1968), G. Rieder (1968), R. Butterfield & P. K. Bannerjee(1970等。
1. 引言
1.1 边界元方法概述
边界元法： 首先将对应的数学物理问题转化为边界积分方程 形式，然后采用边界单元离散和分片插值技术将 边界离散为边界单元，将边界积分方程离散为代 数方程组，再采用数值方法求解得到原问题边界 积分方程的数值解。它是求解工程与科学问题的 常用数值分析方法之一。
11_边界元法
u1 u U 2 un
q1 q Q 2 qn
=
(2.38)
8
2012/10/22
以细线为参考，导入下列部分矩阵
H11 H H1 = 21 H n1 H12 H1l H 22 H 2l H n 2 H nl
2012/10/22
按积分中值公式 θ 其中的 α (2.22)
等号右边的第二项 lim
→ ∗ ∗
, , Γ
Γ (2.25)
为圆弧上某一点。又因为 lim ln
→
1
0
(2.23)
等号右边的第四项 lim
→ ∗
所以 lim
→ ∗
,
Γ Γ (2.26)
, ln 1 α
Γ 0 (2.24)
lim
→
1 lim → 2
0 P Q ， P=Q
(1.3)
它的值由 (观察点)和 (源点)两点的相对位置决 定，所以叫做二点函数。二维、三维场合，拉克 函数的性质可以写成 =1
一维狄拉克 函数如图所示， 点(观察点)和 点(源 点)的坐标分别以 和 表示。它具有下列性质：
(1.6) (1.7)
在区域 内 不在区域 内 二维时为面积分，三维时为体积分。
lim
→
1 1 ln 2 1 1 ln 2
和 的方向相同，有 1 所以， lim
→ ∗
等号右边的第五项 lim
→ ∗
, ,
Γ Γ
(2.28)
, 1
Γ
lim
→
∗
lim
→
1 2 1 2 ′ α
把上述结果代入式（2.20），得 (2.27)
边界元法-详解
边界元法-详解边界元法（boundary element method）目录• 1 什么是边界元法• 2 边界元法的特点• 3 边界元法的发展• 4 相关条目什么是边界元法边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
边界元法的特点边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的方法。
又称边界积分方程-边界元法。
它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。
它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。
又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。
特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。
由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。
对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。
边界元法的发展经过近40年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。
在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。
51416018-《边界元法》
《边界元法》课程教学大纲课程名称：边界元法英文名称：boundary element method课程编码：51416018学时/学分：36/2课程性质：必修适用专业：工程力学先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等一、课程的目的与任务本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
二、教学内容及基本要求第一章引言教学目的和要求：掌握边界元的基本概念；了解边界元法的分类和学习边界元法的基础条件。
教学重点和难点：重点掌握边界元法的基本解题思路。
难点怎么利用积分法解微分方程的基本解。
教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限元法相比，具有自己的特点，即力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。
课时安排：1学时教学内容：第一节边界元法的数学基础第二节边界元法的发展历史第三节我国边界元法研究概况第四节边界元法研究的最新进展第五节边界元法的应用举例第六节边界元法的优缺点第七节本书的内容安排复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。
第二章位势问题的边界积分方程与边界元法教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯(Laplace)方程的解法，位势问题中的边界条件，了解珀松方程的基本概念。
要求学生能够利用微积分知识推导拉普拉斯方程的基本解，并将它应用于格林(Green)定理，得到拉普拉斯方程问题的积分方程和边界积分方程。
边界元法
表 量曲E面外(外r)其 n它，电且荷为产已生知的量电。位(5移.9矢)式量把在边曲界面面上上的的法未向分知
电荷之间的关系以及与其它已知电荷之间的关系联系在
一起。
(先r)用的边分界 布，元再法取解积T＝分l方的程(5式.8()5式.9计)，算求区得域面V'电内荷的密场度。
如果考查区内只有带电导体而无其它电荷分布，应去
( yi ( yi ( yi ( yi
y j ) yi y j )2
y j ) yi y j )2
, ,
x
i
a cos
i
0.5
N
,
yi
a sin
i
0.5 ,
N
(5.13)
(5.12)式的这 8 个线性代数方程是齐次的，必有一个方程是不独
立的。我们还差一个方程。把(5.10)式在 r=0 处作相似的离散处
r V ' S'
得：T (r )
1
4
V'
(r') dV '
R
1
4
S'
(r' )n'
R R3
1 R
(r' )
n'
dS'
(6)
当r V '时T 1的这个公式在电动力学教科书中都能找到。(6) 式 场就(r是)与与边泊界松上方的程场对应(r的')及格林(函r'数) 联积系分在形一式起解。。它把区域内的
T (r)
1
4
V '
有限元法与边界元法ppt
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
=
⎪⎪3 f ⎪⎨3 f ⎪⎩
+ 6g + 6g
U
+ 6U ⎪⎪
+
6U
⎬ ⎪
⎪⎭
解得 u2 = u3 = U + g + f/2 与解析解及例5.3计算结果完全相同
问题：区域边界形状复杂时，寻找满足需要的插值基函数十分困难。
思路：将求解区域划分为形状规则的小区域，进行分片插值 →有限单元法的思想。
2
，则 u2 = u(1) = U + g + f/2
17
∑ 如何使近似解
u~ =
n
j=1 α j φ j 满足第一类边界条件 u Γ1
=u
？
如果区域边界形状规则，可在区域上选择n个结点，以结 点函数值构成插值函数作为近似解：
∑ u~ = n u jφ j （uj代替了αj） j =1
例5.3 用伽辽金法求解一维泊松方程
13
∫ ∫ 1 0
⎜⎜⎝⎛
−
d 2u dx 2
−
f
⎟⎟⎠⎞ δudx = −δu
du dx
1 0
+
1 ⎜⎛ du dδu − fδu ⎟⎞dx = 0
0 ⎝ dx dx
⎠
∫ ∫ ∫ 1 ⎜⎛ du dδu ⎟⎞dx =
1 fδudx + δu du 1 =
1
fδudx + δu(1)g
0 ⎝ dx dx ⎠
Ω
∇
•
(δu∇u )dΩ
=
∫
Γ
δu
∂u dS ∂n
所以
( ) ∫ ∫ ∫ δu − ∇ 2u dΩ = ∇u • ∇δudΩ − δu ∂u dS
边界元法课件
模拟算例
耦合轧制接触模型－边界元法
陈一鸣在肖宏和黄庆学等人基础上 给出3维弹塑性摩擦接触边界元法及滚动轧
制FORTRAN源程序 将板带的弹塑性变形同轧辊弹性变形耦联
起来，“同时”、“并行”模拟轧制过 程 给出了9组不同轧制参数、宽厚比为200板 带冷轧过程数值模拟结果 带材边部出现了明显的“猫耳”形凸峰
弹塑性BEM
陈政清博士给出弹塑性大变形边界元法 完成了拉伸试件颈缩定量数值模拟
肖宏博士建立三维弹塑性有限形变边界元 法和轧制过程模拟边界元法源程序
给出板带轧制过程变形－面力－应力场 很好的处理奇异问题
规模局限性
典型边界元法计算结构（边界积分方程－影响系 数数值积分－矩阵方程及消去法求解）局限性
系数积分计算和方程组的求解时间长，占用大量 的计算机内存和主机CPU的时间
裂纹的生成及扩展 流体运动 骨骼生长
接触问题等研究领域
Байду номын сангаас
国内简史
在国内，1978年起步 杜庆华院士
率先推动工程中边界元法
冯康、胡海昌、何广乾院士等 加入到边界元法的研究者行列
我国边界元法研究得到了迅速的发展
研究起点和热点
我国大部分工程中边界元法 固体力学方面开始
后迅速转入非线性问题领域 出版自然边界元法1993
户泽－石川轧制模型
柳本－木内轧制模型
20世纪90年代初 柳本潤和木内学给出拉格朗日乘数3维刚塑性有
限元法和流线速度接触弹性有限元法耦合计算 宽厚比为15和238 给出变形区内三维6个应力分量分布 单位轧制压力分布图中看到 “猫耳”形凸峰趋
势 显出变形区入口和出口单位轧制压力不等于零 （刚塑性有限元法模拟带钢变形的结果）
数值方法课件_边界元法
第四讲 边界元法
直接法 直接法
土
工
数
值
计
算
方
法
4.5 理论基础 论基础
第四讲 边界元法
• • • • • • • • • • • •
定解问题 加权余量法 变分法 函数 Dir Dirac 基本解 格林公式及其应 格林公式及其应用 积分方程 边界积分方程 广义傅里叶展开 特征函数及基本 特征函数及基本解 积分的算术化 二重积分的离散 二重积分的离散计算
线 理 处 题 问 性
土
工
数
值
计
算
方
法
4.1 优点与局限 点与局限性
第四讲 边界元法
1 变系数 数 线 性 及 时 1 变系 变系数 数 非 非 线 性 及 时 变系 相 关问题较 较 难适应 间 关问题 间 相 关问题较 较 难适应 关问题 2 所求解的 的 方程有 基于 所求解 2 基于所求解 基于所求解 所求解的 的 方程有 基于 所求解 无 基 本解 无 基 本解
土
工
数
值
计
算
方
法
4.1 优点与局限 点与局限性
和其他数值方法如有 其他数值方法 如有 限元法联用 广泛应 用于岩土工程有无限 域 半无限域的问题 及流体力学问题中
第四讲 边界元法
显示了巨 巨 大的优越 越 性 要 体现在: : 显示了 大的优 体现在 显示了巨 巨 大的优越 越 性 主 主 体现在: : 显示了 大的优 要 体现在 算 简单 问题降 降 维 求解 1 问题 1 计 计 简单 将 将 问题降 降 维 求解 算 问题 2 算 精度高 应力 与 位 移 具有 2 计 计 算 应力与 与 位 移 具有 精度高 应力与 应力 同 样 精度 同 样 精度 3 处 理 无限域 域 和 半无限 限 域 问题 无限 半无 3 可 可 处 理 无限域 域 和 半无限 限 域 问题 无限 半无
边界元法的基本原理
边界元法的基本原理1边界元法的概念边界元法（Boundary Element Method，BEM）是一种基于边界数值的解决外型边界值问题的数值分析方法，又称为边界元分析，是一类新型数值分析技术。
它由Boundary Element Method Research Group提出，被认为是积分几何方法（Integral Equation Method）的有限元分析方法，是基于数值几何的积分方程数值解法之一。
2基本原理边界元法的基本原理是指将物理过程抽象为具有一定几何形状的边界，对其的描述由一维的边界（边界缘）扩展为一系列的元构成的边界（边界元）。
边界元与体元的求解过程同理，即：为求解区域的问题，基于假设的准则，将整个区域划分为若干边界元，再分别为各边界元建立方程，得出每个边界元的应力值，通过约束条件，此时仍不能求解出空间（多边界）中的应力分布，通过边界元连续性条件，即建立边界元之间的线性组合关系，从而结合约束条件，求出空间中物体的应力分布，从而求解出最终的分析结果。
3主要特点边界元法最大的优点是求解简单，信息的输入相对较少，对计算机的内存及数据处理的要求也比较低。
虽然该法并不能提供完整的矢量场的分布，但具有节约时间及内存的优点。
另外，该方法可以方便地将边界源信息与上游的有限元分析结果联系起来，来实现同一复杂结构的分析及求解。
4应用范围另外，边界元法还具有一定的普适性，因此已经拥有了很广阔的应用范围，例如：大型结构的失稳分析，力学系统振动和热传导的非线性分析，连接模块的分析及设计，力学水力的长期波动及动态流场分析，固态与流态的界面分析，柔性结构的振动分析，以及其他复杂和难以求解的结构力学及流体分析。
总之，边界元法是一种数值有限元分析方法，它以描述几何形状的边界为基础，以建立边界元连续性条件为根据，将空间物体的应力分布求解出来，可以用来解决复杂外形边界值问题，具有计算量少、计算快的特点，目前已被广泛应用于力学水力、热传导及柔性结构振动分析等领域。
泰勒展开边界元法
泰勒展开边界元法1. 引言泰勒展开边界元法（Taylor Expansion Boundary Element Method，TEBEM）是一种用于解决边界值问题的数值计算方法。
它结合了泰勒展开和边界元法两种技术，能够高效、精确地求解各种物理问题的边界条件。
本文将详细介绍泰勒展开边界元法的原理和应用，并探讨其优缺点以及未来发展方向。
2. 泰勒展开原理泰勒展开是一种将一个函数在某个点附近进行多项式逼近的方法。
对于一个在点x0处连续可导的函数f(x)，其在x0附近的泰勒展开式可以表示为：其中，f^(n)(x0)表示函数f(x)在点x0处的n阶导数。
利用泰勒展开，我们可以将一个复杂的函数逼近为多项式形式，从而简化计算和分析。
3. 边界元法原理边界元法是一种求解偏微分方程边值问题的数值计算方法。
它基于格林第二定理，将偏微分方程转化为积分形式，并利用物理量在边界上的边界条件进行求解。
边界元法的基本思想是将求解域分为内部区域和边界两部分，通过在边界上离散化物理量，并利用格林第二定理建立方程组。
通过求解这个方程组，可以得到内部区域的物理量分布。
4. 泰勒展开边界元法原理泰勒展开边界元法将泰勒展开和边界元法相结合，利用泰勒展开将内部区域的物理量在某个点附近进行多项式逼近，然后利用边界元法求解逼近后的方程。
具体而言，泰勒展开边界元法首先利用泰勒展开将内部区域的物理量在某个参考点附近进行多项式逼近。
然后，在该参考点附近进行网格划分，并在每个网格点上离散化物理量。
接下来，根据边界条件建立方程组，并利用格林第二定理和离散化后的物理量进行积分计算。
通过求解这个方程组，可以得到内部区域各点的物理量分布。
5. 泰勒展开边界元法应用泰勒展开边界元法在各个领域都有广泛的应用，如流体力学、电磁学、弹性力学等。
在流体力学中，泰勒展开边界元法可以用于求解空气动力学问题、水波传播问题等。
通过将流体的速度和压力进行多项式逼近，并利用边界条件建立方程组，可以得到流体内部各点的速度和压力分布。
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《边界元法》课程教学大纲课程名称：边界元法英文名称：boundary element method课程编码：51416018学时/学分：36/2课程性质：必修适用专业：工程力学先修课程：高等数学、偏微分方程、数值分析和有限元法等一、课程的目的与任务本课程是工程力学专业的必修课程，是学习相关后续课程的基础，一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
二、教学内容及基本要求第一章引言教学目的和要求：掌握边界元的基本概念；了解边界元法的分类和学习边界元法的基础条件。
教学重点和难点：重点掌握边界元法的基本解题思路。
难点怎么利用积分法解微分方程的基本解。
教学方法与手段：采用多媒体教学，边界元法的研究方法和学习方法与有限元法相比，具有自己的特点，即力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。
课时安排：1学时教学内容：第一节边界元法的数学基础第二节边界元法的发展历史第三节我国边界元法研究概况第四节边界元法研究的最新进展第五节边界元法的应用举例第六节边界元法的优缺点第七节本书的内容安排复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：边界元法的基础条件、微分方程的定解问题、插值求解的数值方法。
第二章位势问题的边界积分方程与边界元法教学目的和要求：掌握位势问题中的拉普拉斯(Laplace)方程的解法，位势问题中的边界条件，了解珀松方程的基本概念。
要求学生能够利用微积分知识推导拉普拉斯方程的基本解，并将它应用于格林(Green)定理，得到拉普拉斯方程问题的积分方程和边界积分方程。
能够熟练的采用最简单的常用单元说明边界积分方程的离散化方法。
能够熟练的简述珀松(Poisson)方程和多连域问题的边界元法。
教学重点和难点：重点讲解求解多连域珀松方程问题的计算程序和数值计算，以及数值积分所使用的一维、二维高斯方程积分公式。
难点求解方程的方法和计算程序的确定。
教学方法与手段：采用多媒体教学，结合实例。
课时安排：4学时教学内容：第一节调和方程的基本定解问题第二节Green等式、基本解及解的积分表达式第三节边界积分方程的建立第四节对于一般问题的推广第五节位势问题的边界元法简介复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：拉普拉斯(Laplace)方程的求解方法、格林(Green)定理和珀松(Poisson)方程。
第三章线弹性静力学问题的边界积分方程教学目的和要求：掌握静力学线弹性问题的边界元方法，理解和掌握根据基本解的物理意义，能够利用弹性力学方法求出平面弹性问题的基本解。
能够由按位移求解平面弹性问题的基本方程和基本解出发，应用积分定理，求解积分方程和边界积分方程，并用常用单位进行离散化求解。
了解具有体积力的弹性问题解法，以及对无限域问题进行讨论。
教学重点和难点：重点掌握线弹性问题的边界元的解法，能够利用弹性力学知识求平面弹性问题。
难点弹性问题中的应力、应变和位移等矢量场的确定，以及积分和微分方程的求解方法。
教学方法与手段：采用多媒体教学。
课时安排：6学时教学内容：第一节线弹性静力学定解问题的微分提法第二节Betti定理、Kelvin解及Somigliana等式第三节线弹性静力学的边界积分方程第四节建立基本解的一种一般方法复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：Betti定理、Kelvin解及Somigliana等式，线弹性静力学的边界积分方程。
第四章几种常见的直接法和间接法边界积分方程教学目的和要求：掌握核函数的扩充，变截面轴的扭转问题，弹性薄板弯曲问题，半空间、半平面问题，位势问题的间接法边界积分方程，位移间断法建立的边界积分方程等知识。
要求学生能熟练的求解弹性薄板弯曲问题的基本边界积分方程和弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方程。
教学重点和难点：本章重点掌握弹性裂纹问题的对偶边界积分方程和位势问题的间接法边界积分方程。
重点域外回线虚载荷法建立的回线积分方程和域外奇点法建立的边界积分方程求解方法。
教学方法与手段：采用多媒体教学。
课时安排：4学时教学内容：第一节核函数的扩充第二节回转体问题4.2.1 变截面轴的扭转问题4.2.2 轴对称问题4.2.3 回转体的弯曲问题第三节弹性薄板弯曲问题4.3.1 弹性薄板弯曲问题的微分提法4.3.2 弹性薄板弯曲问题的基本边界积分方程4.3.3 弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方程第四节弹性裂纹问题的对偶边界积分方程4.4.1 位移边界积分方程4.4.2 面力边界积分方程第五节半空间、半平面问题4.5.1 半空间问题4.5.2 半平面问题第六节位势问题的间接法边界积分方程第七节虚应力法建立的边界积分方程第八节位移间断法建立的边界积分方程第九节域外回线虚载荷法建立的回线积分方程第十节域外奇点法建立的边界积分方程第十一节边界积分方程的正则化和基本解的恒等式复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：弹性薄板弯曲问题、半空间、半平面问题。
第五章二维问题的边界元数值方法与程序实现教学目的和要求：了解和掌握流动相和二维问题边界元数值方法和计算程序的现实。
教学重点和难点：一般了解流二维边界条件的离散化方法，边界积分方程的离散化、核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分、方程的求解以及边界应力、内点位移和应力的确定。
难点边界元法计算误差的一种直接估计和边界元子域法。
课时安排：5学时教学内容：第一节边界的离散化5.1.1 二维域边界线的几何描述及单元自动划分5.1.2 二维域的边界线元单元描述第二节边界积分方程的离散化5.2.1 由加权余量法配点格式将边界积分方程化为线性代数方程组5.2.2 核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分5.2.3 奇异积分的处理5.2.3.1 弱奇异积分的处理5.2.3.2 Cauchy主值积分和超奇异积分的简单特解法5.2.3.3 Cauchy主值积分和超奇异积分的有限部分积分的一般性处理方法第三节方程的求解以及边界应力、内点位移和应力的确定5.3.1 离散化的边界积分方程的求解5.3.2 边界应力的确定5.3.3 内点位移和应力的确定第四节边界元法计算误差的一种直接估计5.4.1 内点变量趋于边界点极限的确定5.4.2 边界元解误差的一种直接估计5.4.3 基于边界元解误差直接估计的边界元自适应计算简例第五节边界元子域法5.5.1 边界元链状子域法5.5.2 边界元重复相似子域法5.5.3 边界元行列子域法教学方法与手段：采用多媒体教学。
复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：边界积分方程的离散化、方程的求解以及边界应力、内点位移和应力的确定。
辅助教学活动：观察模型实验。
第六章三维问题的边界元数值方法教学目的和要求：本章重点掌握三维边界的离散化、边界积分的离散化、线性代数方程组的边界元数值解法等。
了解裂纹问题对偶边界元法和边界元一有限元耦合方法。
教学方法与手段：采用多媒体教学。
课时安排：4学时教学内容：第一节边界的离散化6.1.1 用I-J映射法自动划分单元6.1.2 三维域的边界面元单元描述第二节边界积分方程的离散化6.2.1 核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分6.2.2 弱奇异积分的处理6.2.3 奇异积分和近奇异积分的简单特解法6.2.4 Cauchy主值积分的直接计算法6.2.5 超奇异积分的有限部分积分第三节线性代数方程组的求解第四节裂纹问题对偶边界元法6.4.1 裂纹面的分元离散6.4.2 确定应力强度因子的方法第五节边界元一有限元耦合方法复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：三维离散化方法、线性方程组的边界元方法。
第七章与时间有关问题的边界元法教学目的和要求：掌握瞬态热传导问题的拉普拉斯变换发，能够熟练的解决考虑时间问题的边界元数值解。
了解弹性力学中考虑时间因素的边界元方法。
教学重点和难点：本章在前面知识的基础上，重点讲解时间对边界元法求解方程的影响，学习于与时间有关基本解的边界积分方程与边界元法，了解Laplace反演方法和双重互易法。
难点为弹性动力学问题的求解方法。
教学方法与手段：采用多媒体教学。
课时安排：4学时教学内容：第一节瞬态热传导问题7.1.1 Laplace变换法7.1.2 边界元一时间差分耦合法7.1.3 与时间有关的基本解第二节弹性动力学问题7.2.1 基于与时间有关基本解的边界积分方程与边界元法7.2.1.1 与时间有关的基本解7.2.1.2 时间一空间域的边界积分方程7.2.1.3 时间一空间域的弹性动力学边界元法7.2.2 Laplace变换法7.2.2.1 在Laplace变换空间的边界积分方程7.2.2.2 边界积分方程的离散7.2.2.3 Laplace反演方法7.2.3 双重互易法复习与作业要求：全面复习全章内容，作业要求独立、按时完成，平均每学时布置作业1～2题。
考核知识点：考虑时间效应的Laplace变换法、与时间有关的基本解、时间一空间域的边界积分方程。
三、课程教学的特色说明本课程以课堂教学为主（30学时），以讲解习题和实际编程计算演示为辅，力求形式多样，生动活泼充分激发学生的学习积极性，编写实际程序视具体情况而定。
教学过程中每节课后均布置一定数量的课外作业，以促进、检查学生的学习情况，发现普遍问题时，可安排适量的习题课或讨论课（2学时）。
实验学时为4学时。
编写程序的主要内容是：位势问题的边界积分方程与边界元法程序（2学时）、线性方程组的边界元方法程序（2学时）以及边界元一时间差分耦合法程序（2学时）。
四、考试大纲1．考试的目的与作用考试的目的与作用是为了让学生全面复习全书各章内容，掌握各章重点内容。
2．考核内容与考核目标考核内容包括本大纲各章所规定的基本要求、知识点及知识点以下的知识细目。
考试内容覆盖到章，并适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。
考核目标是全面掌握边界元学的基本内容和基本理论以及求解方程的基本方法和程序的编写。
3．主要参考书（1）边界元法，姚振汉主编，高等教育出版社，2010.（2）自然边界元法在力学中的应用，彭维红，董正筑主编，浙江大学出版社，2010.（3）边界元分析，祝家麟，袁政强主编，科学出版社，2009.4．课程考试内容与教材的关系课程考试内容要覆盖大纲全部内容，紧扣教材，难度与教材上的例题和习题难度相当。