湖南省长沙市天心区明德教育集团2018-2019学年九年级(下)期中数学试卷(含答案)
2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（下）期中数学试卷一.选择题、（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）﹣6的绝对值等于（）A．﹣6B．6C．﹣D．2．（3分）太阳半径约为696000km，将696000用科学记数法表示为（）A．696×103B．69.6×104C．6.96×105D．0.696×106 3．（3分）下列运算正确的是（）A．a+2a＝2a2 B．（﹣2ab2）2＝4a2b4C．（a﹣3）2＝a2﹣9D．a6÷a3＝a24．（3分）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．5．（3分）一个多边形的外角和与它的内角和相等，则多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形6．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为（）A．28°B．38°C．48°D．88°7．（3分）下列说法正确的是（）A．367人中至少有2人生日相同B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖8．（3分）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（）A．大和尚25人，小和尚75人B．大和尚75人，小和尚25人C．大和尚50人，小和尚50人D．大、小和尚各100人9．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x且x≠1B．x且x≠1C．x且x≠1D．x且x≠1 10．（3分）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m 11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．12．（3分）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x 轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（）A．≤m＜1B．＜m≤1C．1＜m≤2D．1＜m＜2二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）单项式5mn2的次数．14．（3分）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠DAC＝80°，则∠B＝度．15．（3分）如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则cos A＝．16．（3分）已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是．17．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个实根，那么k的取值范围是．18．（3分）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝cm．三．解答题（本大题共8小题，满分66分）19．（6分）计算：|﹣|+2﹣1﹣3tan45°20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝+1．21．（8分）”切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级，A：1小时以内；B：1小时﹣﹣1.5小时；C：1.5小时﹣﹣2小时；D：2小时以上．根据调查结果绘制了如图所示的两种不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）该校共调查了学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）表示等级A的扇形圆心角α的度数是；（4）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈，用列表表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．22．（8分）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE＝BF．（2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长．23．（9分）某五金商店准备从机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用900元正好可以购进50个甲种零件和50个乙种零件．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，通过计算求出该五金商店本次从机械厂购进甲、乙两种零件有哪几种方案？24．（9分）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB 于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF＝CF．（3）若sin G＝0.6，CF＝4，求GA的长．25．（10分）如图①，直线L：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做L的关联抛物线，而L叫做P的关联直线．（1）若L：y＝﹣x+2，则P表示的函数解析式为；若P：，则L表示的函数解析式为．（2）如图②，若L：y＝﹣3x+3，P的对称轴与CD相交于点E，点F在L上，点Q在P 的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图③，若L：y＝mx+1，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM＝，求出L，P表示的函数解析式．26．（10分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题、（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1．【解答】解：|﹣6|＝6，故选：B．2．【解答】解：将696000用科学记数法表示为：6.96×105．故选：C．3．【解答】解：A、a+2a＝3a，故A错误；B、（﹣2ab2）2＝4a2b4 ，故B正确；C、（a﹣3）2＝a2﹣6a+9，故C错误；D、a6÷a3＝a4，故D错误；故选：B．4．【解答】解：根据图形可得主视图为：故选：C．5．【解答】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°＝360°，解得：n＝4．故选：B．6．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠1＝∠B＝68°，∵∠E＝20°，∴∠D＝∠1﹣∠E＝48°，故选：C．7．【解答】解：A、367人中至少有2人生日相同，正确；B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，错误；C、天气预报说明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，错误；D、某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票不一定有1张中奖，错误；故选：A．8．【解答】解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据题意得：3x+＝100，解得x＝25则100﹣x＝100﹣25＝75（人）所以，大和尚25人，小和尚75人．故选：A．9．【解答】解：2x﹣1≥0且x﹣1≠0，解得x≥且x≠1，故选：B．10．【解答】解：设MN＝xm，在Rt△BMN中，∵∠MBN＝45°，∴BN＝MN＝x，在Rt△AMN中，tan∠MAN＝，∴tan30°＝＝，解得：x＝8（+1），则建筑物MN的高度等于8（+1）m；故选：A．11．【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，则一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝的图象在二四象限，故选：C．12．【解答】解：∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m（x﹣2）2﹣2且m＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x＝2．由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意．将（1，﹣1）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2．解得m＝1．此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2．由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得x1＝2﹣≈0.6，x2＝2+≈3.4．∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．则当m＝1时，恰好有（1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m＝1时）答案图2（m＝时）②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．此时x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．将（0，0）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣4m+0﹣2．解得m＝．此时抛物线解析式为y＝x2﹣2x．当x＝1时，得y＝×1﹣2×1＝﹣＜﹣1．∴点（1，﹣1）符合题意．当x＝3时，得y＝×9﹣2×3＝﹣＜﹣1．∴点（3，﹣1）符合题意．综上可知：当m＝时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，∴m＝不符合题．∴m＞．综合①②可得：当＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，故选：B．二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）13．【解答】解：单项式5mn2的次数是：1+2＝3．故答案是：3．14．【解答】解：如图，∵AC＝AD，∠DAC＝80°，∴∠ADC＝∠C＝50°，∵AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∴∠B＝∠ADC＝25°．故答案为：25．15．【解答】解：∵直角△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝2×2＝4，则cos A＝＝．故答案是：．16．【解答】解：根据平均数的定义可知，（5+10+15+x+9）÷5＝8，解得：x＝1，把这组数据从小到大的顺序排列为1，5，9，10，15，处于中间位置的那个数是9，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；故答案为：9．17．【解答】解：由题意知△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k）≥0，解得：k≥﹣，故答案为：k≥﹣，18．【解答】解：由垂径定理，AC＝AB＝12cm．由半径相等，得OA＝OD＝13cm．由勾股定理，得OC＝＝＝5．由线段的和差，得CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8cm，故答案为：8．三．解答题（本大题共8小题，满分66分）19．【解答】解：原式＝+﹣3×1＝+﹣3＝﹣1．20．【解答】解：，＝，＝，＝，当时，原式＝＝．21．【解答】解：（1）共调查的中学生数是：80÷40%＝200（人），故答案为：200；（2）C类的人数是：200﹣60﹣80﹣20＝40（人），补图如下：（3）根据题意得：α＝×360°＝108°，故答案为：108°；（4）设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，一共有12种等可能结果，其中2人来自不同班级共有8种，∴P（2人来自不同班级）＝＝．22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵BH⊥AE，∴∠BHE＝90°，∴∠AEB+∠EBH＝90°，∴∠BAE＝∠EBH，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）解：∵AB＝BC＝5，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴CF＝BE＝2，∴DF＝5﹣2＝3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝5，∠ADF＝90°，由勾股定理得：AF＝＝＝＝．23．【解答】解：（1）设每个甲种零件的进价为x元，每个乙种零件的进价为y元，依题意，得：，解得：．答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．（2）设购进乙种零件m个，则购进甲种零件（3m﹣5）个，依题意，得：，解得：23＜m≤25．∵m为整数，∴m＝24或25，3m﹣5＝67或70，∴该五金商店有两种进货方案：①购进甲种零件67个，乙种零件24个；②购进甲种零件70个，乙种零件25个．24．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE，∵CG∥AE，∴CG⊥OC，∴CG是⊙O的切线；（2）证明：连结AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠2+∠BCD＝90°，而CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠2，∵C是劣弧AE的中点，∴＝，∴∠1＝∠B，∴∠1＝∠2，∴AF＝CF；（3）解：∵CG∥AE，∴∠F AD＝∠G，∵sin G＝0.6，∴sin∠F AD＝＝0.6，∵∠CDA＝90°，AF＝CF＝4，∴DF＝2.4，∴AD＝3.2，∴CD＝CF+DF＝6.4，∵AF∥CG，∴＝，∴＝，∴DG＝，∴AG＝DG﹣AD＝5．25．【解答】解：（1）若l：y＝﹣x+2，则A（2，0），B（0，2）．∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴D（﹣2，0）．设P表示的函数解析式为：y＝a（x+2）（x﹣2），将点B坐标代入得：2＝a×2×（﹣2），解得a＝﹣，∴P表示的函数解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣2），即y＝﹣+2；若P：＝﹣（x+4）（x﹣2），则D（﹣4，0），A（2，0）．∴B（0，4）．设L表示的函数解析式为：y＝kx+b，将点A、B坐标代入得：，解得，，∴L表示的函数解析式为：y＝﹣2x+4；故答案为：y＝﹣+2；y＝﹣2x+4．（2）若L：y＝﹣3x+3，则A（1，0）、B（0，3），∴C（0，1）、D（﹣3，0）．求得直线CD的解析式为：y＝x+1．可求得P的对称轴为x＝﹣1．∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，∴FQ∥CE，且FQ＝CE．设直线FQ的解析式为：y＝x+b．∵点E、点C的横坐标相差1，∴点F、点Q的横坐标也是相差1．则|x F﹣（﹣1）|＝|x F+1|＝1，解得x F＝0或x F＝﹣2．∵点F在直线L：y＝﹣2x+4上，∴点F坐标为（0，3）或（﹣2，9）．若F（0，3），则直线FQ为：y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝，∴Q1（﹣1，）．若F（﹣2，9），则直线FQ为：，当x＝﹣1时，y＝，∴Q2（﹣1，）．∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，）；（3）如图2所示，连接OG、OH．∵点G、H为斜边中点，∴OG＝AB，OH＝CD．由旋转性质可知，AB＝CD，OG⊥OH，∴△OGH为等腰直角三角形．∵点G为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形．∴OG＝OM＝•＝．∴AB＝2OG＝．∵L：y＝mx+1，∴A（，0），B（0，1）．在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2＝AB2，即：（）2+12＝（）2，解得：m＝﹣3或m＝3．∵点B在y轴正半轴，∴m＝3舍去，∴m＝﹣3．∴L表示的函数解析式为：y＝﹣3x+1；∴B（0，1），D（﹣1，0）．又A（，0），利用待定系数法求得P：y＝﹣3x2﹣2x+1．26．【解答】解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+1，（2）∵AC∥x轴，A（0，1）∴x2+2x+1＝1，∴x1＝﹣6，x2＝0，∴点C的坐标（﹣6，1），∵点A（0，1）．B（﹣9，10），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，设点P（m，m2+2m+1）∴E（m，﹣m+1）∴PE＝﹣m+1﹣（m2+2m+1）＝﹣m2﹣3m，∵AC⊥EP，AC＝6，∴S四边形AECP＝S△AEC+S△APC＝AC×EF+AC×PF＝AC×（EF+PF）＝AC×PE＝×6×（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣9m＝﹣（m+）2+，∵﹣6＜m＜0∴当m＝﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，此时点P（﹣，﹣）；（3）∵y＝x2+2x+1＝（x+3）2﹣2，∴P（﹣3，﹣2），∴PF＝y F﹣y P＝3，CF＝x F﹣x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°同理可得：∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的Q，设Q（t，1）且AB＝9，AC＝6，CP＝3∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，∴，∴，∴t＝﹣4或t＝﹣8（不符合题意，舍）∴Q（﹣4，1）②当△CQP∽△ABC时，∴，∴，∴t＝3或t＝﹣15（不符合题意，舍）∴Q（3，1）。
2017-2018学年湖南省长沙市天心区明德中学九年级(下)期中数学试卷
2017-2018学年湖南省长沙市天心区明德中学九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列运算正确的是( )A ．235x x x +=B ．426x x x =C ．623x x x ÷=D ．238()x x =2．（3分）下面四个几何体中，俯视图为四边形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）不等式4326x x --…的非负整数解有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．（3分）方程221142x x x -=-+的解是( ) A ．1- B ．2或1- C ．2-或3 D ．35．（3分）如图，锐角ABC ∆的顶点A ，B ，C 均在O 上，20OAC ∠=︒，则B ∠的度数为( )A ．40︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒6．（3分）某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：C):28︒，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是( )A ．平均数为30B ．众数为29C ．中位数为31D ．极差为57．（3分）若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠满足a c b +=，则其图象必经过点( )A ．(1,0)B ．(1,0)-C ．(1,1)D ．(1,1)-8．（3分）下列因式分解中，正确的个数为( )①322(2)x xy x x x y ++=+；②2244(2)x x x ++=+；③22()()x y x y x y -+=+-A．3个B．2个C．1个D．0个9．（3分）下列命题是假命题的是()A．四条边都相等的四边形是菱形B．矩形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．平行四边形的对边相等10．（3分）如图，在ABC∆中，13AB AC==，10BC=，点D为BC的中点，DE AB⊥，垂足为点E，则DE等于()A．1013B．1513C．6013D．751311．（3分）如图，在矩形ABCD中，8AB=，30CAB∠-︒．若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM MN+的最小值为()A．B．8C．6D．412．（3分）如图，AB是圆O的直径，P为AB延长线上一个动点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC、BC，作APC∠的平分线交AC于点D．下列结论正确的是()①CPD DPA∆∆∽；②若30A∠=︒，则PB BC=；③若60CPA∠=︒，则ta n2A=；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，45CDP∠=︒．?A．①②③B．①③④C．②④D．②③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）13．（3分）关于x 的一元二次方程22410x x m -+-=有两个相等的实数根，则m 的值为 ．14．（3分）如果1x 与2x 的平均数是4，那么11x +与25x +的平均数是 ．15．（3分）已知圆锥的侧面积为216cm π，圆锥的母线长8cm ，则其底面半径为cm ．16．（3分）如图，一位同学将一块含30︒的三角板叠放在直尺上．若140∠=︒，则2∠=︒．17．（3分）如图，AB 是圆O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切圆O 于C ，若32A ∠=︒，则D ∠= ．18．（3分）已知：如图，在正方形ABCD 内取一点P ，连结PA 、PB 、PD ，将PD A ∆绕点A 顺时针旋转90︒得EBA ∆，连EP ．若2PA =，PB =PD =．下列结论：①EB EP ⊥；②点B 到直线AE 的距离为；③1APD APB S S ∆∆+=；④16ABCD S =+正方形．其中正确结论的序号是 ．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）计算：3201()|2|2sin 451)2----︒+20．（6分）先化简，再求值：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中a 满足2210a a +-=． 21．（8分）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是 ；（2）图1中α∠的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ．（4）测试老师想从4位同学（分别记为E 、F 、G 、H ，其中E 为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．22．（8分）如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG AP ⊥于点G ，在AP的延长线上取点E ，使AG GE =，连接BE 、CE ，作DM AG ⊥于M ．（1） 求证：DM AG =；（2） 若BCE ∆是等边三角形， 连DE ，ADE ∆的面积为 25 ，求BG 长 ．23．（9分）如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、C 、D 三点的圆O 交AB 于点E ，连接DE 、CE ，BCE CDE ∠=∠．（1）求证：直线BC 为圆O 的切线；（2）猜想AD 与CE 的数量关系，并说明理由；（3）若2BC =，30BCE ∠=︒，求阴影部分面积．24．（9分）湖南洞庭湖区盛产稻谷和棉花，销往全国各地，湖边某货运码头，有稻谷和棉花共3000吨，其中稻谷比棉花多500吨．（1）求稻谷和棉花各是多少吨；（2）现有甲、乙两种不同型号的集装箱共58个，将这批稻谷和棉花运往外地，已知稻谷35吨和棉花15吨可装满一个甲型集装箱；稻谷25吨和棉花35吨可装满一个乙型集装箱．在58个集装箱全部使用的情况下，共有几种方案安排使用甲、乙两种集装箱？（3）在（2）的情况下，甲种集装箱每箱收费1000元，乙种集装箱每箱收费1200元，乙种集装箱老板想扩大市场，提出惠民措施：每箱可优惠m 元(250)m <．问怎么安排集装箱这批货物总运输费最少？25．（10分）定义：用函数的最值来判定参数的取值范围，这种方法称为“最值判定法”．例如：当12x -剟时，0x a +…恒成立，求a 的取值范围．可令y x a =+，因为y 随x 的增大而增大，所以当x 取最大值2时，对应的y 取最大值2a +，由20a +…，得2a -…．（1）①对于反比例函数2y x=-，当0(0)x a a <>…时1y -…恒成立，求a 的取值范围． ②当2x …时，23x b --…恒成立，求b 的最小值． （2）若当11x -剟时，不等式23x ax x -+-…恒成立，求实数a 的取值范围．（3）若当11x -剟时，二次函数2(1)3y x a x =-+--有最大值a ，求实数a 的值．26．（10分）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，A 点坐标(1,0)，B 点坐标为(3,0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式（用含a 的代数式表示）及其对称轴；（2）抛物线的对称轴交线段BC 于点E ，点D 为抛物线对称轴上一点，若1a =，且ECD∆与ABC ∆相似，求点D 的坐标；（3）2a =时，直线2y x m =+与直线BC 交于点P ，与抛物线交于点M 、N ，若以点P 为圆心、12MN 为半径的圆恰与x 轴相切，求m 的值．。
2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德中学九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．在0，1，，四个数中，是无理数的是（）A．0B．1C．D．2．下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a2•a3＝a6C．a6÷a2＝a3D．（3a）3＝27a33．今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（）A．0.778×105B．7.78×104C．77.8×103D．778×1024．下列说法正确的是（）A．篮球队员在罚球钱上投篮两次都未投中，这是不可能事件B．天气预报说明天下雨的概率为95%，意味着明天一定下雨C．小明两次抛掷硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1D．调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查5．已知反比例函数的图象经过点P（﹣1，﹣2），则这个函数的图象位于（）A．第二、三象限B．第一、三象限C．第三、四象限D．第二、四象限6．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．7．如图矩形ABCD中，点E是边AD的中点，FE交对角线AC于点F，若△AFE的面积为2，则△BCF的面积等于（）A．8B．4C．2D．18．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°9．下列说法中正确的是（）A．平行四边形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线互相垂直且平分C．菱形的对角线互相垂直且相等D．正方形的对角线互相垂直平分且相等10．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝6，则BC的长是（）A．30B．24C．18D．1211．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分）13．分解因式：a2y﹣4y＝．14．一个不透明的袋子中装有12个球，其中有6个红球，4个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，它是黄球的概率是．15．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形面积是．16．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围．17．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O半径为．18．如图，正方形ABCD的对称中心在坐标原点，AB∥x轴，AD、BC分别与x轴交于E、F，连接BE、DF，若正方形ABCD有两个顶点在双曲线y＝上，实数a满足a3﹣a＝1，则四边形DEBF 的面积是．三、解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题6分，第23，24题每小题6分，第25，26题每小题6分，共66分）19．（6分）计算：|1﹣|+（π﹣3）0+（）﹣2+．20．（6分）化简求值：÷（1﹣），其中x＝﹣1．21．（8分）央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承﹣﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”、C表示“一般”，D表示“不喜欢”．（1）被调查的总人数是人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有人；（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．22．（8分）在△ABC中，CD是AB边上的高，AD＝3，CD＝6，BD＝12．（1）求证：△ADC∽△CDB；（2）求证：△ABC为直角三角形．23．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交于A（a，﹣1），B两点．（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）结合图象直接写出不等式x＞的解集；（3）若点P是反比例函数图象上位于第一象限内某一点，且点P在点B的右侧，过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC、AB的延长线于点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AE•AB；（3）若AC＝6，CE＝3，求的长度（结果保留π）25．（10分）在平面直角坐标系中，若点P的纵坐标比横坐标多3，则称点P为“梅花点”，例如点（﹣3，0），（2，5），（，+3），…都是“梅花点”（1）若点P（m，4）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梅花点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝kx+1（k为常数，且k≠0）的图象上存在“梅花点”吗？若存在，请求出“梅花点”的坐标（用含k的代数式表示）；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+4（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“梅花点”，令s＝（2﹣t）b+4a，当0≤b≤2时，试求s的最小值（用含t的代数式表示）26．（10分）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由．2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：在0，1，，四个数中，是无理数的是．故选：C．【点评】本题考查了无理数，关键是熟悉无限不循环小数是无理数的知识点．2．【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a3+a2，无法计算，故此选项错误；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、a6÷a2＝a4，故此选项错误；D、（3a）3＝27a3，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：77800＝7.78×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】直接利用概率的意义以及全面调查以及抽样调查的意义分别分析得出答案．【解答】解：A、篮球队员在罚球钱上投篮两次都未投中，这是随机事件，故此选项错误；B、天气预报说明天下雨的概率为95%，意味着明天下雨的可能性比较大，故此选项错误；C、小明两次抛掷硬币都是正面向上，但是抛掷硬币正面向上的概率是：，故此选项错误；D、调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了概率的意义以及全面调查以及抽样调查的意义，正确把握相关定义是解题关键．5．【分析】先根据反比例函数的图象经过点P（﹣1，﹣2）求出k的值，再根据反比例函数的性质进行解答．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点P（﹣1，﹣2），∴k＝（﹣1）×（﹣2）＝2＞0，∴此函数的图象位于一、三象限．故选：B．【点评】本题考考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy的特点是解答此题的关键．6．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案．【解答】解：，解不等式2x﹣1≥5，得：x≥3，解不等式8﹣4x＜0，得：x＞2，故不等式组的解集为：x≥3，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键．7．【分析】根据矩形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出BC＝AD＝2AE，求出△AFE∽△CFB，根据相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点E是边AD的中点，∴BC＝AD＝2AE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CFB，∴＝（）2＝（）2＝．∵△AFE的面积为2，∴△BCF的面积为8故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AFE∽△CFB是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．8．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OB，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝70°，由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，故选：D．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．9．【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可．【解答】解：A、平行四边形的对角线不一定相等，但是互相平分，此选项错误；B、矩形的对角线相等，且互相平分，此选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，且互相平分，但是不一定相等，此选项错误；D、正方形的对角线相等，且互相平分、垂直．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形对角线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、及他们之间的联系和区别．10．【分析】由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，可得＝，求出BC即可．【解答】解：∵AD：DB＝1：3，∴AD：AB＝1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝24，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．12．【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，而抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c＝﹣3a，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x＝1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分）13．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：a2y﹣4y，＝y（a2﹣4），＝y（a+2）（a﹣2）．故答案为：y（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子中共有12个小球，其中黄球有4个，∴摸出一个球是红球的概率是＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．15．【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：由题意得，n＝120°，R＝6，故可得扇形的面积S＝＝＝12π．故答案为12π．【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般．16．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣m∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣m）＞0，解得m＞﹣，故答案为：m＞﹣．【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．17．【分析】连结OC，设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r﹣2，根据垂径定理得到CE＝DE＝CD ＝6，在Rt△OCE中，利用勾股定理得到（r﹣2）2+62＝r2，然后解方程求出r即可．【解答】解：连结OC，设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r﹣BE＝r﹣2，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝6，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（r﹣2）2+62＝r2，解得r＝10，即⊙O半径为10．故答案为10．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．18．【分析】根据乘方，可得a的值，根据正方形的对称中心在坐标原点，可得B点的横坐标等于纵坐标，根据平行四边形的面积公式，可得答案．【解答】解：由a3﹣a＝1得a＝1，或a＝﹣1，a＝3．①当a＝1时，函数解析式为y＝，由正方形ABCD的对称中心在坐标原点，得B点的横坐标等于纵坐标，x＝y＝，四边形DEBF的面积是2x•y＝2×＝6②当a＝﹣1时，函数解析式为y＝，由正方形ABCD的对称中心在坐标原点，得B点的横坐标等于纵坐标，x＝y＝1，四边形DEBF的面积是2x•y＝2×1×1＝2；③当a＝3时，函数解析式为y＝，由正方形ABCD的对称中心在坐标原点，得B点的横坐标等于纵坐标，x＝y＝，四边形DEBF的面积是2x•y＝2×＝10，故答案为：6或2或10．【点评】本题考查了反比例函数的意义，利用乘方的意义得出a的值是解题关键，又利用了中心对称的正方形，平行四边形的面积．三、解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题6分，第23，24题每小题6分，第25，26题每小题6分，共66分）19．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+1+4+2＝3+4．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知代入计算即可求出值．【解答】解：÷（1﹣）＝•＝，∵x＝﹣1，∴原式＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C部分人数所占比例可得；（2）总人数减去其他类别人数求得B的人数，据此即可补全条形图；（3）用总人数乘以样本中A类别人数所占百分比可得；（4）用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．【解答】解：（1）被调查的总人数为5÷10%＝50人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝216°，故答案为：50、216°；（2）B类别人数为50﹣（5+30+5）＝10人，补全图形如下：（3）估计该校学生中A类有1800×10%＝180人，故答案为：180；（4）列表如下：所有等可能的结果为20种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，∴被抽到的两个学生性别相同的概率为＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．22．【分析】（1）利用数形结合的思想证明＝，即可解决问题；（2）利用相似三角形的性质即可解决问题；【解答】证明：（1）∵AD＝3，CD＝6，BD＝12，∴CD2＝36，AD•BD＝36，∴CD2＝AD•BD，∴＝，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB．（2）∵△ADC∽△CDB，∴∠ACD＝∠B，∵∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ACB是直角三角形．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．【分析】（1）把A（a，﹣1）代入y＝x，可得点A的坐标，再根据待定系数法，即可得到反比例函数的表达式；（2）依据函数图象，即可得到不等式x＞的解集；（3）设P（m，），则C（m，m），依据△POC的面积为3，列方程求解即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）把A（a，﹣1）代入y＝x，可得a＝﹣3，∴A（﹣3，﹣1），把A（﹣3，﹣1）代入y＝，可得k＝3，∴反比例函数的表达式为y＝，∵点B与点A关于原点对称，∴B（3，1）；（2）不等式x＞的解集是x＞3或﹣3＜x＜0；（3）设P（m，），则C（m，m），∵点P在点B的右侧，∴m＞3，依题意，得m（m﹣）＝3，解得m＝3或m＝﹣3（舍去）．∴P（3，）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．24．【分析】（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；（2）作OG⊥AE，知AG＝CG＝AC，证四边形ODEG是矩形得OA＝OB＝OD＝CG+CE，再证△ADE∽△ABD得AD2＝AE•AB，（3）据此得出BD的长及∠BAD的度数，利用弧长公式可得答案．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）如图，作OG⊥AE于点G，连接BD，则AG＝CG＝AC，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEG是矩形，∴OA＝OB＝OD＝CG+CE，∠DOG＝90°，∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ADE∽△ABD，∴，即AD2＝AE•AB；（3）由（2）可得：AG＝CG＝AC＝3，OA＝OB＝OD＝CG+CE＝6，∴AE＝3+6＝9，∵AD2＝AE•AB，∴即，∴AD2＝108，在Rt△ABD中，BD＝，在Rt△ABD中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°，则的长度为．【点评】本题考查圆的综合题和切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、矩形的判定与性质、垂径定理、弧长公式等知识点．25．【分析】（1）根据梅花点特征，求出P，代入解析式即可解答；（2）根据梅花点特征，设点坐标为（x，x+3），代入解析式求解关于x的方程即可；（3）设点坐标为（x，x+3），代入二次函数y＝ax2+bx+4得到关于x的方程，有且只有一个“梅花点”，即方程只有一个整数解，△＝0，即可得到（b﹣1）2＝4a，代入s＝（2﹣t）b+4a，得到s＝b2﹣bt+1，根据对称轴确定s的最小值．【解答】解：（1）∵点P（m，4）是“梅花点”，∴m＝4﹣3＝1即点P（1，4）是反比例函数y＝上，∴n＝1×4＝4，反比例函数的解析式为y＝．（2）设函数y＝kx+1（k为常数，且k≠0）的图象上存在“梅花点”M坐标为（x，x+3），∴x+3＝kx+1∴x＝，∴当k＝1时，x＝无意义，故函数y＝kx+1（k为常数，且k≠0）的图象上不存在“梅花点”，当k≠1且k≠0时，y＝+3＝，故函数y＝kx+1（k为常数，且k≠0）的图象上存在“梅花点”坐标为（，），（3）若二次函数y＝ax2+bx+4（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“梅花点”，设该点坐标为（x，x+3）∴ax2+bx+4＝x+3，即ax2+（b﹣1）x+1＝0∴△＝（b﹣1）2﹣4a＝0∴（b﹣1）2＝4a∴s＝（2﹣t）b+4a＝（2﹣t）b+（b﹣1）2＝b2﹣bt+1，∵当0≤b≤2时∴当时，b＝时s的最小值为＝，当时，b＝2时s的最小值为5﹣2t，【点评】本题综合考查了待定系数法求解析式和二次函数的最值，（3）根据特征点的性质代入解析式求出系数关系是解题的关键．26．【分析】（1）先根据时间t＝2，和P，Q的运动速度可得动点P和Q的路程OP和AQ的长，再根据中点坐标公式可得结论；（2）根据矩形的性质得：∠B＝∠PAQ＝90°，所以当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：①当△PAQ∽△QBC时，，②当△PAQ∽△CBQ时，，分别列方程可得t的值；（3）根据t＝1求抛物线的解析式，根据Q（3，2），M（0，2），可得MQ∥x轴，∴KM＝KQ，KE⊥MQ，画出符合条件的点D，证明△KEQ∽△QMH，列比例式可得点D的坐标，同理根据对称可得另一个点D．【解答】解：（1）如图1，∵点A的坐标为（3，0），∴OA＝3，当t＝2时，OP＝t＝2，AQ＝2t＝4，∴P（2，0），Q（3，4），∴线段PQ的中点坐标为：（，），即（，2）；故答案为：（，2）；（2）如图1，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，∴0＜t＜3，∵四边形OABC是矩形，∴∠B＝∠PAQ＝90°∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：①当△PAQ∽△QBC时，，∴，4t2﹣15t+9＝0，（t﹣3）（t﹣）＝0，t1＝3（舍），t2＝，②当△PAQ∽△CBQ时，，∴，t2﹣9t+9＝0，t＝，∵＞3，∴x＝不符合题意，舍去，综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或；（3）当t＝1时，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，∴顶点k（，﹣），∵Q（3，2），M（0，2），∴MQ∥x轴，作抛物线对称轴，交MQ于E，∴KM＝KQ，KE⊥MQ，∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ，如图2，∠MQD＝∠MKQ＝∠QKE，设DQ交y轴于H，∵∠HMQ＝∠QEK＝90°，∴△KEQ∽△QMH，∴，∴，∴MH＝2，∴H（0，4），易得HQ的解析式为：y＝﹣x+4，则，x2﹣3x+2＝﹣x+4，解得：x1＝3（舍），x2＝﹣，∴D（﹣，）；同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM＝∠MKQ＝∠QKE，由对称性得：H（0，0），易得OQ的解析式：y＝x，则，x2﹣3x+2＝x，解得：x1＝3（舍），x2＝，∴D（，）；综上所述，点D的坐标为：D（﹣，）或（，）．【点评】本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识，本题比较复杂，注意用t表示出线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决问题．。
2019-2020学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级(上)期中数学试卷试题及答案(Word解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）2018的相反数是( ) A ．12018B ．2018C ．2018-D ．12018-2．（3分）下列运算正确的是( ) A ．2510a a a = B ．326(3)6a a =C ．222()a b a b +=+D ．2(2)(3)6a a a a +-=--3．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）已知O 的半径为5cm ，若点A 到圆心O 的距离为3cm ，则点(A ) A ．在O 内 B ．在O 上C ．在O 外D ．与O 的位置关系无法确定5．（3分）国庆70周年大阅兵总编59个（方)梯队和联合军乐团，总规模约15000万人，是近几次阅兵中规模最大的一次，15000用科学记数法表示为( ) A ．31510⨯B ．41.510⨯C ．51.510⨯D ．50.1510⨯6．（3分）下列说法正确的是( )A ．调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式B ．数据2，0，2-，1，3的中位数是2-C ．可能性是99%的事件在一次实验中一定会发生D ．从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生7．如图所示，O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON AB ⊥，垂足为N ，则(ON = )A．5B．7C．9D．118．（3分）已知函数kyx=的图象过点(2,3)-，则该函数的图象必在()A．第二、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限D．第三、四象限9．（3分）如图，PA，PB分别切O于点A，B，OP交O于点C，连接AB，下列结论中，错误的是()A．12∠=∠B．PA PB=C．AB OP⊥D．2OP OA=10．（3分）如图，点B，C，D在O上，若130BCD∠=︒，则BOD∠的度数是()A．50︒B．60︒C．80︒D．100︒11．（3分）函数22(1)my m x-=+的图象是双曲线，则m的值是()A．1-B．0C．1D．212．（3分）如图，矩形ABCD中，2AB=，AD=动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH BP⊥，垂足为H．①ABP HCB∆∆∽；②AH③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积；④在运动过程中，点H的运动，其中正确的有()A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：100，112，102，105，112，110，则该同学这6次成绩的众数是 ．14．（3分）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =，3AD =，则CF 的长为 ．15．（3分）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则方程的另一个根为 ．16．（3分）函数y =x 的取值范围是 ． 17．（3分）已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则它的侧面展开图的面积等于 ． 18．（3分）如图，已知双曲线(0))ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k = ．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：021)|1()2π---．20．（6分）先化简，再求值：22161()3969x x x x +÷+--+，其中12x =．21．（8分）2017年9月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读，某校对A 《三国演义》、B 《红楼梦》、C 《西游记》、D 《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：（1）本次一共调查了 名学生； （2）请将条形统计图补充完整；（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．22．（8分）如图，已知一次函数111(0)y k x b k =+≠与反比例函数222(0)k y k x=≠的图象交于(4,1)A ，(,2)B n -两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）请根据图象直接写出12y y <时x 的取值范围．23．（9分）某街道积极响应垃圾分类号召，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌共需550元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）如果该街道至少需要安放垃圾箱48个，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且购买费用不超过10000元，请列举出所有购买方案，并指出哪种方案的资金最少？最少需多少元？24．（9分）如图，AB 是O 的直径，点D 是AE 上一点，且BDE CBE ∠=∠，BD 与AE 交于点F ． （1）求证：BC 是O 的切线；（2）若BD 平分ABE ∠，求证：2DE DF DB =；（3）在（2）的条件下，延长ED 、BA 交于点P ，若PA AO =，2DE =，求PD 的长．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为1(x ，1)y ，点Q 的坐标为2(x ，2)y ，且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“衍生矩形”．如图为点P ，Q 的“衍生矩形”的示意图． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(2,4)求点A ，B 的“衍生矩形”的面积； （2）已知点A 的坐标为(1,0)-，点C 在直线2x =上，若点A ，C 的“衍生矩形”为正方形，求直线AC 的解析式；（3）O ，点M 的坐标为(,3)m ．若在O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“衍生矩形”为正方形，求m 的取值范围．26．如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(1,0)A -、(4,0)B 、(0,2)C 三点． （1）求该二次函数的解析式；（2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足(DBA CAO O ∠=∠是坐标原点），求点D 的坐标；（3）点P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA 分别交BC 、y 轴于点E 、F ，若PEB ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．2019-2020学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）2018的相反数是( ) A ．12018B ．2018C ．2018-D ．12018-【解答】解：2018的相反数是：2018-． 故选：C ．2．（3分）下列运算正确的是( ) A ．2510a a a = B ．326(3)6a a =C ．222()a b a b +=+D ．2(2)(3)6a a a a +-=--【解答】解：A 、原式7a =，不符合题意； B 、原式69a =，不符合题意； C 、原式222a ab b =++，不符合题意；D 、原式26a a =--，符合题意，故选：D ．3．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．4．（3分）已知O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为3cm，则点(A) A．在O内B．在O上C．在O外D．与O的位置关系无法确定【解答】解：35OA cm cm=<，∴点A在O内．故选：A．5．（3分）国庆70周年大阅兵总编59个（方)梯队和联合军乐团，总规模约15000万人，是近几次阅兵中规模最大的一次，15000用科学记数法表示为()A．3⨯D．5⨯1.5100.15101.5101510⨯B．4⨯C．5【解答】解：415000 1.510=⨯，故选：B．6．（3分）下列说法正确的是()A．调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式B．数据2，0，2-，1，3的中位数是2-C．可能性是99%的事件在一次实验中一定会发生D．从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生【解答】解：A、调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式，正确；B、数据2，0，2-，1，3的中位数是1，错误；C、可能性是99%的事件在一次实验中不一定会发生，错误；D、从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为100，错误；故选：A．7．如图所示，O的半径为13，弦AB的长度是24，ON ABON=⊥，垂足为N，则( )A．5B．7C．9D．11【解答】解：由题意可得，13OA =，90ONA ∠=︒，24AB =， 12AN ∴=，5ON ∴===，故选：A ．8．（3分）已知函数ky x=的图象过点(2,3)-，则该函数的图象必在( ) A ．第二、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限 D ．第三、四象限【解答】解：函数ky x=的图象过点(2,3)-， 2(3)60k ∴=⨯-=-<， ∴函数的图象在二、四象限，故选：B ．9．（3分）如图，PA ，PB 分别切O 于点A ，B ，OP 交O 于点C ，连接AB ，下列结论中，错误的是( )A ．12∠=∠B ．PA PB =C ．AB OP ⊥D ．2OP OA =【解答】解：由切线长定理可得：12∠=∠，PA PB =，从而AB OP ⊥． 因此A ．B ．C 都正确．无法得出AB PA PB ==，可知：D 是错误的． 综上可知：只有D 是错误的． 故选：D ．10．（3分）如图，点B ，C ，D 在O 上，若130BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数是( )A ．50︒B ．60︒C ．80︒D ．100︒【解答】解：圆上取一点A ，连接AB ，AD ，点A、B，C，D在O上，130BCD∠=︒，50BAD∴∠=︒，100BOD∴∠=︒，故选：D．11．（3分）函数22(1)my m x-=+的图象是双曲线，则m的值是() A．1-B．0C．1D．2【解答】解：函数22(1)my m x-=+的图象是双曲线，∴210 21m m +≠⎧⎨-=-⎩，解得1m=．故选：C．12．（3分）如图，矩形ABCD中，2AB=，AD=动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH BP⊥，垂足为H．①ABP HCB∆∆∽；②AH③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积；④在运动过程中，点H的运动，其中正确的有()A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【解答】解：由矩形ABCD可得//AD BC，APB HBC∴∠=∠，90BAP∠=︒，又CH BP⊥，垂足为H，90CHB BAP∴∠=∠=︒，ABP HCB∴∆∆∽，故①正确；如图所示，连接AH ，AO ，HO ，则AH HO AO +…， ∴当A ，H ，O 在同一直线上时，AH 最短，此时AH AO HO =-=-=-即AH ②正确；③如图所示，在运动过程中，BP 扫过的面积ABD =∆的面积11222AB AD =⨯=⨯⨯=，CH 扫过的面积=等边COQ ∆的面积+扇形BOQ 的面积2π=+=， BP ∴扫过的面积不等于CH 扫过的面积，故③错误；④在运动过程中，点H 的运动路线（轨迹）长为BD ==，故④正确；故正确的有①②④． 故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：100，112，102，105，112，110，则该同学这6次成绩的众数是 112 ．【解答】解：在这组数据中出现次数最多的是112， 所以这组数据的众数为112， 故答案为：112．14．（3分）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =，3AD =，则CF 的长为3．【解答】解：四边形ABCD 为矩形， AB CD ∴=，AD BC =，//AB CD ， FAE FCD ∴∠=∠，又AFE CFD ∠=∠， AFE CFD ∴∆∆∽， ∴2CF CDAF AE==． 225AC AB ==，2105213CF CF AC CF AF ∴==⨯=++．故答案为：103．15．（3分）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则方程的另一个根为 2- ． 【解答】解：设另一根为1x ， 则136x =-， 解得，12x =-， 故答案为：2-．16．（3分）函数y =x 的取值范围是 2x …且3x ≠ ． 【解答】解：根据题意得：2030x x -⎧⎨-≠⎩…，解得：2x …且3x ≠． 故答案是：2x …且3x ≠． 17．（3分）已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则它的侧面展开图的面积等于 224cm π ．【解答】解：它的侧面展开图的面积2124624()2cm ππ==． 故答案为224cm π．18．（3分）如图，已知双曲线(0))ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k = 2 ．【解答】解：设(,)F x y ，(,)E a b ，那么(,2)B x y ， 点E 在反比例函数解析式上， 1122COE S ab k ∆∴==， 点F 在反比例函数解析式上， 1122AOF S xy k ∆∴==， COE AOF ABCO OEBF S S S S ∆∆=--矩形四边形，且2OEBF S =四边形，112222xy k xy ∴--=，112222k k k ∴--=，2k ∴=．故答案为：2．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：021)|1()2π---．【解答】解：原式11)4=--+，114=-+-，2=-．20．（6分）先化简，再求值：22161()3969x x x x +÷+--+，其中12x =． 【解答】解：原式236[](3)(3)(3)(3)(3)x x x x x x -=+⨯-+-+-23(3)(3)(3)x x x x +=⨯--+3x =-，把12x =代入得：原式15322=-=-． 21．（8分）2017年9月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读，某校对A 《三国演义》、B 《红楼梦》、C 《西游记》、D 《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：（1）本次一共调查了 50 名学生； （2）请将条形统计图补充完整；（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率． 【解答】解：（1）本次一共调查：1530%50÷=（人)； 故答案为：50；（2）B 对应的人数为：501615712---=， 如图所示：（3）列表：共有12种等可能的结果，恰好选中A 、B 的有2种， P ∴（选中A 、21)126B ==． 22．（8分）如图，已知一次函数111(0)y k x b k =+≠与反比例函数222(0)k y k x=≠的图象交于(4,1)A ，(,2)B n -两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）请根据图象直接写出12y y <时x 的取值范围．【解答】解：（1）反比例函数222(0)k y k x=≠的图象过点(4,1)A ， 2414k ∴=⨯=，∴反比例函数的解析式为24y x=．点(,2)B n -在反比例函数24y x=的图象上， 4(2)2n ∴=÷-=-， ∴点B 的坐标为(2,2)--．将(4,1)A 、(2,2)B --代入11y k x b =+， 114122k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：1121k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴一次函数的解析式为112y x =-． （2）观察函数图象，可知：当2x <-和04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象下方， 12y y ∴<时x 的取值范围为2x <-或04x <<．23．（9分）某街道积极响应垃圾分类号召，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌共需550元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）如果该街道至少需要安放垃圾箱48个，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且购买费用不超过10000元，请列举出所有购买方案，并指出哪种方案的资金最少？最少需多少元？【解答】解：（1）设温馨提示牌的单价为x 元，则垃圾箱的单价为3x 元， 根据题意得，233550x x +⨯=， 50x ∴=， 3150x ∴=元，即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）设购买温馨提示牌y 个(y 为正整数），则垃圾箱为(100)y -个， 根据题意得，1004850150(100)10000y y y -⎧⎨+-⎩……， 5052y ∴剟，y 为正整数，y ∴为50，51，52，共3种方案；即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个， 设费用为W 元根据题意，50150(100)10015000W y y y =+-=-+， 1000-<，W ∴随y 的增大而减小，当52y =时，所需资金最少，最少是9800元． 24．（9分）如图，AB 是O 的直径， 点D 是AE 上一点， 且BDE CBE ∠=∠，BD 与AE 交于点F ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若BD 平分ABE ∠，求证：2DE DF DB =；（3）在（2）的条件下，延长ED 、BA 交于点P ，若PA AO =，2DE =，求PD 的长 ．【解答】（1） 证明：AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒， 90EAB ABE ∴∠+∠=︒，EAB BDE ∠=∠，BDE CBE ∠=∠，90CBE ABE ∴∠+∠=︒，即90ABC ∠=︒， AB BC ∴⊥， BC ∴是O 的切线；（2） 证明：BD 平分ABE ∠，12∴∠=∠，而2AED ∠=∠，1AED ∴∠=∠，FDE EDB ∠=∠， DFE DEB ∴∆∆∽，::DE DF DB DE ∴=， 2DE DF DB ∴=；（3） 连结OD ，如图，OD OB =， 2ODB ∴∠=∠，而12∠=∠，1ODB ∴∠=∠， //OD BE ∴， POD PBE ∴∆∆∽，∴PD POPE PB=， PA AO =， PA AO BO ∴==，∴23PD PE =，即223PD PD =+， 4PD ∴=．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为1(x ，1)y ，点Q 的坐标为2(x ，2)y ，且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“衍生矩形”．如图为点P ，Q 的“衍生矩形”的示意图． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(2,4)求点A ，B 的“衍生矩形”的面积； （2）已知点A 的坐标为(1,0)-，点C 在直线2x =上，若点A ，C 的“衍生矩形”为正方形，求直线AC 的解析式；（3）O，点M的坐标为(,3)m．若在O上存在一点N，使得点M，N的“衍生矩形”为正方形，求m的取值范围．【解答】解：（1）点A的坐标为(1,0)-，点B的坐标为(2,4)由定义可知：点A，B的“衍生矩形”的底与高分别为3和4，∴点A，B的“衍生矩形”的面积为3412⨯=；（2）由定义可知：AC是点A，C的“衍生矩形”的对角线，又点A，C的“衍生矩形”为正方形，∴直线AC与x轴的夹角为45︒，(2,3)C∴或(2,3)-，设直线AC的解析为：y kx b=+，把A，C坐标分别代入得，32k bk b=-+⎧⎨=+⎩或32k bk b=-+⎧⎨-=+⎩，解得：11kb=⎧⎨=⎩或11kb=-⎧⎨=-⎩，综上所述，若点A，C的“衍生矩形”为正方形，直线AC的表达式为1y x=+或1y x=--；（3）设直线MN的解析式为y kx b=+，点M，N的“衍生矩形”为正方形，∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45︒，1k∴=±，点N在O上，∴当直线MN与O有交点时，点M，N的“衍生矩形”为正方形，当1k=时，作O的切线AD和BC，且与直线MN平行，其中A、C为O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，连接OA ，OC ，把(,3)M m 代入y x b =+， 3b m ∴=-，∴直线MN 的解析式为：3y x m =+-45ADO ∠=︒，90OAD ∠=︒，2OD ∴==，(0,2)D ∴，同理可得：(0,2)B -， ∴令0x =代入3y x m =+-，3y m ∴=-，232m ∴--剟， 15m ∴剟，当1k =-时，把(,3)M m 代入y x b =-+， 3b m ∴=+，∴直线MN 的解析式为：3y x m =-++，同理可得：232m -+剟， 51m ∴--剟；综上所述，当点M ，N 的“衍生矩形”为正方形时，m 的取值范围是：15m 剟或51m --剟26．如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(1,0)A -、(4,0)B 、(0,2)C 三点． （1）求该二次函数的解析式；（2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足(DBA CAO O ∠=∠是坐标原点），求点D 的坐标；（3）点P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA 分别交BC 、y 轴于点E 、F ，若PEB ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．【解答】解：（1）由题意可得016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）当点D 在x 轴上方时，过C 作//CD AB 交抛物线于点D ，如图1，A 、B 关于对称轴对称，C 、D 关于对称轴对称， ∴四边形ABDC 为等腰梯形，CAO DBA ∴∠=∠，即点D 满足条件，(3,2)D ∴；当点D 在x 轴下方时，DBA CAO ∠=∠，//BD AC ∴，(0,2)C ，∴可设直线AC 解析式为2y kx =+，把(1,0)A -代入可求得2k =， ∴直线AC 解析式为22y x =+，∴可设直线BD 解析式为2y x m =+，把(4,0)B 代入可求得8m =-， ∴直线BD 解析式为28y x =-，联立直线BD 和抛物线解析式可得22813222y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩或518x y =-⎧⎨=-⎩， (5,18)D ∴--；综上可知满足条件的点D 的坐标为(3,2)或(5,18)--；（3）设213(,2)22P t t t -++， 5AB =，2OC =，22113515(2)5522244PAB S t t t t ∆∴=-++⨯=-++， 21131222OF t t t =+-++， 1(4)2OF t ∴=--， 1111[(4)](4)224AFO S t t ∆∴=⨯⨯--=--，且1242BOC S ∆=⨯⨯， 222125151558165(4)44()4444455S S t t t t t t ∴-=-+++--=-+=--+， ∴当85t =时，有12S S -有最大值，最大值为165．。
2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（上）期末数学试卷一、选择题（下列每小题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共l2个小题，每小题3分，共36分）1．实数2019的相反数是（）A．B．C．﹣2019D．20192．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．2、3、6D．2、3、53．根据阿里巴巴公布的实时数据，截至2018年11月11日24时，天猫双11全球狂欢节总交易额约2135亿元，2135用科学记数法表示为（）A．2.135×103B．0.2135×104C．2.135×104D．21.35×1034．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．5．下列计算正确的是（）A．（ab4）4＝a4b8B．（﹣2019）0＝1C．（a2）3÷（a3）2＝0D．（﹣x）6÷（﹣x3）＝x36．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．7．如图所示，下列图形绕直线l旋转360°后，能得到空心圆柱的是（）A．B．C．D．8．下列说法中，正确的是（）A．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨B．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C．一组数据8，8，7，3，6，8，9的中位数是8D．若甲组数据的方差是0.15，乙组数据的方差是0.3，则乙组数据比甲组数据波动小9．估算+3的值应在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间10．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（）A．B．C．D．11．我国明朝时期的书《直指算法统宗》中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（）A．大和尚40人，小和尚60人B．大和尚60人，小和尚40人C．大和尚25人，小和尚75人D．大、小和尚各50人12．如图，M点是△ABC的边AB的中点，且MC＝MB＝2，设AC+BC＝x，则x的取值范围是（）A．x＞4B．4＜x≤5C．x≤4D．4＜x≤4二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．化简：÷（a2﹣b2）＝．14．长沙市明德华兴中学举行“书香校园”系列活动，倡导同学们多看书，看好书．某班为了让班级图书角的书籍更丰富，同学们纷纷捐书．如图，所捐书籍中，故事书所对应的扇形的圆心角大小为．15．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是．16．两同学玩扔纸团游戏，在操场上固定了如下图所示的矩形纸板，E为AD中点，且∠ABD＝60°，每次纸团均落在纸板上，则纸团击中阴影区域的概率是．17．已知关于x的一元二次方程x2+5x+2m＝0有一个根为1，则另一根为．18．如图，把三角板中30°角的顶点A放在半径为3的⊙O上移动，三角板的长直角边和斜边与⊙O 始终相交，且交点分别为P、Q，则长为．三、解答题19．（6分）计算：（﹣2）﹣1+（π+）0﹣+2tan60°20．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a﹣1）2﹣2a，其中a＝﹣1，b＝．21．（8分）“赏中华诗词，品生活之美”，雅实举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下：请结合图表完成下列各题：（1）①求表中a的值；②将频数分布直方图补充完整；（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（3）在第5组10名同学中，要选2名同学自愿去参加市级比赛，但只有4名同学（两男两女）提出了申请，请用列表法或画树状图法，求选中的同学当中正好是一男一女的概率．22．（8分）如图所示，将在2019年年底完工的湖南省内高速﹣﹣龙琅高速公路建设中需要确定某条隧道AB的长度，已知在离地面3000米高度C处的飞机上，测量人员测得正前方AB两点处的俯角分别是60°和30°，求隧道AB的长．（结果保留根号）23．（9分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求∠APC的度数．（2）求证：△PCM为等边三角形．（3）若PA＝1，PB＝3，求△PCM的面积．24．（9分）某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？25．（10分）若将函数C1的图象沿直线y＝a对折，与函数C2的图象重合，则称函数C1与C2互为“孪生函数”，直线y＝a叫作函数C1、C2的“摇篮线”，如函数y＝x与函数y＝﹣x互为“孪生函数”，x轴为他们的“摇篮线”．（1）若“摇篮线”为y＝1，求一次函数C1：y＝﹣2x的“孪生函数”C2的解析式．（2）已知（1）中求出的“孪生函数”C2的图象与y轴相交于点M，与以x轴为“摇篮线”的反比例函数y＝（k＜0）的“孪生函数”的图象在第一象限相交于N点，已知△OMN的面积为4，求k的值．（3）若函数C1：y＝x2+4x+3与x轴交于A、B两点（x A＞x B），顶点为D，直线AD与双曲线y＝交于点P、Q两点（x P＞x Q），若P、Q两点中有点在函数C1的“孪生函数”C2上，求函数C1、C2的“摇篮线”．26．（10分）y＝﹣2x+4直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣（x﹣m）（x﹣6）（m ＞0）经过点A，交x轴于另一点C，如图所示．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD 于点E．①当∠DPE＝∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN＝EM时，求t的值．2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列每小题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共l2个小题，每小题3分，共36分）1．实数2019的相反数是（）A．B．C．﹣2019D．2019【分析】根据相反数的意义，直接可得结论．【解答】解：因为a的相反数是﹣a，所以2019的相反数是﹣2019．故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义．理解a的相反数是﹣a，是解决本题的关键．2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．2、3、6D．2、3、5【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，1+2＝3，不能组成三角形；B中，2+3＞4，能组成三角形；C中，2+3＜6，不能够组成三角形；D中，2+3＝5，不能组成三角形．故选：B．【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．3．根据阿里巴巴公布的实时数据，截至2018年11月11日24时，天猫双11全球狂欢节总交易额约2135亿元，2135用科学记数法表示为（）A．2.135×103B．0.2135×104C．2.135×104D．21.35×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将2135用科学记数法可表示为：2.135×103．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．下列计算正确的是（）A．（ab4）4＝a4b8B．（﹣2019）0＝1C．（a2）3÷（a3）2＝0D．（﹣x）6÷（﹣x3）＝x3【分析】直接利用积的乘方运算法则以及零指数幂的性质和同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、（ab4）4＝a4b16，故此选项错误；B、（﹣2019）0＝1，正确；C、（a2）3÷（a3）2＝1，故此选项错误；D、（﹣x）6÷（﹣x3）＝﹣x3，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及零指数幂的性质和同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【解答】解：由3x﹣2＞1，解得x＞1，3﹣2x≥﹣1，解得xx≤2，不等式组的解集为1＜x≤2，在数轴上表示为：故选：A．【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．7．如图所示，下列图形绕直线l旋转360°后，能得到空心圆柱的是（）A．B．C．D．【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体．以长方形或正方形的一边为轴，旋转一周，长方形或正方形的另外两个顶点绕轴旋转构成两个等圆，这两个圆面是圆柱的两个底，与轴平行的一边构成一个曲面，这就是圆柱的侧面，就是说正方形或长方形绕一边旋转一周会得到一个圆柱．【解答】解：以与长方形的一边平行的直线为轴，旋转一周可以得到一个空心圆柱体．故选：D．【点评】此题主要考查立体图形中旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定．8．下列说法中，正确的是（）A．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨B．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C．一组数据8，8，7，3，6，8，9的中位数是8D．若甲组数据的方差是0.15，乙组数据的方差是0.3，则乙组数据比甲组数据波动小【分析】利用概率的意义、调查方式的选择、中位数的定义及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的可能降雨，不一定是有40%的时间都在降雨，故错误；B、为了了解一批炮弹的杀伤半径，因杀伤范围广，应采用抽样调查的方式，故错误；C、一组数据8，8，7，3，6，8，9的中位数是8，正确；D、若甲组数据的方差是0.15，乙组数据的方差是0.3，根据方差越大波动越大确定甲组数据比乙组数据波动小，故错误；故选：C．【点评】本题考查了概率的意义、调查方式的选择、中位数的定义及方差的知识，难度不大．9．估算+3的值应在（）A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间【分析】利用夹逼法可得，4＜＜5从而进一步可判断出答案．【解答】解：∵4＜＜5，∴7＜+3＜8，即在7和8之间．故选：C．【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握“夹逼法”的运用．10．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．11．我国明朝时期的书《直指算法统宗》中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（）A．大和尚40人，小和尚60人B．大和尚60人，小和尚40人C．大和尚25人，小和尚75人D．大、小和尚各50人【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据100个和尚分100个馒头及大和尚1人分3个、小和尚3人分1个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意，得：，解得：．故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．如图，M点是△ABC的边AB的中点，且MC＝MB＝2，设AC+BC＝x，则x的取值范围是（）A．x＞4B．4＜x≤5C．x≤4D．4＜x≤4【分析】首先判断△ABC是直角三角形，利用三角形的三边关系判断出x＞4，由x＝＝，当△ACB是等腰直角三角形时，△ABC的面积最大，最大值＝×4×2＝4，推出2•AC•BC的最大值＝16，推出x≤4，由此即可判断．【解答】解：∵AM＝BM，MC＝MB，∴MC＝MA＝MB，∴△ACB是直角三角形，∵AB＝2BM＝4，∴AC+BC＞AB，即x＞4，∵x＝＝，∵当△ACB是等腰直角三角形时，△ABC的面积最大，最大值＝×4×2＝4，∴2•AC•BC的最大值＝16，∴x≤4，∴4＜x，故选：D．【点评】本题考查三角形的三边关系，直角三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．化简：÷（a2﹣b2）＝．【分析】直接利用公式法分解因是，进而利用分式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝×＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键．14．长沙市明德华兴中学举行“书香校园”系列活动，倡导同学们多看书，看好书．某班为了让班级图书角的书籍更丰富，同学们纷纷捐书．如图，所捐书籍中，故事书所对应的扇形的圆心角大小为54°．【分析】求得故事书所占的百分比后乘以360°即可求解．【解答】解：观察扇形统计图知：故事书有15本，占×100%＝15%，所以故事书所对应的扇形的圆心角大小为360°×15%＝54°，故答案为：54°．【点评】本题考查了扇形统计图的知识，解题的关键是从统计图中读懂有关解题的信息，难度不大．15．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是（0，0）．【分析】根据坐标的平移规律解答即可．【解答】解：将点A（﹣3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是（﹣3+3，2﹣2），即（0，0），故答案为（0，0）．【点评】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．16．两同学玩扔纸团游戏，在操场上固定了如下图所示的矩形纸板，E为AD中点，且∠ABD＝60°，每次纸团均落在纸板上，则纸团击中阴影区域的概率是．【分析】先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再根据E 为AD 中点得出S △ODE ＝S △OAD ，进而求解即可．【解答】解：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为等底等高的三角形，故其面积相等， 又∵E 为AD 中点，∴S △ODE ＝S △OAD ，∴S △ODE ＝S 矩形纸板ABCD ，∴击中阴影区域的概率是．故答案为．【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 17．已知关于x 的一元二次方程x 2+5x +2m ＝0有一个根为1，则另一根为 ﹣6 ．【分析】设方程x 2+5x +2m ＝0的解为x 1、x 2，根据根与系数的关系即可得出x 1+x 2＝﹣5，代入x 1＝1即可求出x 2的值．【解答】解：设方程x 2+5x +2m ＝0的解为x 1、x 2， 则有：x 1+x 2＝﹣5， ∵x 1＝1， ∴x 2＝﹣6． 故答案为：﹣6．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和等于﹣是解题的关键．18．如图，把三角板中30°角的顶点A 放在半径为3的⊙O 上移动，三角板的长直角边和斜边与⊙O 始终相交，且交点分别为P 、Q ，则长为 π ．【分析】连结OP、OQ，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，得出∠POQ＝2∠A＝60°，再根据弧长公式列式计算即可．【解答】解：如图，连结OP、OQ，则∠POQ＝2∠A＝60°．∵⊙O的半径为3，∴的长＝＝π．故答案为π．【点评】本题考查了弧长的计算，圆周角定，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式以及圆周角定理的内容．三、解答题19．（6分）计算：（﹣2）﹣1+（π+）0﹣+2tan60°【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（﹣2）﹣1+（π+）0﹣+2tan60°＝﹣+1﹣2+2＝．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等考点的运算．20．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a﹣1）2﹣2a，其中a＝﹣1，b＝．【分析】原式利用单项式乘以多项式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b 的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝a2﹣2ab﹣（a2﹣2a+1）﹣2a＝a2﹣2ab﹣a2+2a﹣1﹣2a＝﹣2ab﹣1当a＝﹣1，b＝时，原式＝1﹣1＝0．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（8分）“赏中华诗词，品生活之美”，雅实举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时默写50首古诗，若每正确默写出一首古诗词得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下：请结合图表完成下列各题：（1）①求表中a的值；②将频数分布直方图补充完整；（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（3）在第5组10名同学中，要选2名同学自愿去参加市级比赛，但只有4名同学（两男两女）提出了申请，请用列表法或画树状图法，求选中的同学当中正好是一男一女的概率．【分析】（1）首先用A等级的学生人数除以A等级的人数所占的百分比，求出总人数；然后用总人数减去A、B、D三个等级的人数，求出C等级的人数，补全条形图；用C等级的人数除以总人数，得出C等级的人数所占的百分比，补全扇形图；（2）用加权平均数的计算公式求解即可；（3）应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．【解答】解：（1）①由题意和表格，可得：a＝50﹣6﹣8﹣14﹣10＝12，②补充完整的频数分布直方图如下图所示，（2）∵测试成绩不低于80分为优秀，∴本次测试的优秀率是：×100%＝44%；（3）列表为：由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种，所以选中的同学当中正好是一男一女的概率＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图、条形统计图的应用．22．（8分）如图所示，将在2019年年底完工的湖南省内高速﹣﹣龙琅高速公路建设中需要确定某条隧道AB的长度，已知在离地面3000米高度C处的飞机上，测量人员测得正前方AB两点处的俯角分别是60°和30°，求隧道AB的长．（结果保留根号）【分析】过点C作过CE⊥AB交线段AB的反向延长线于点E，根据正切的概念分别求出BE、AE，结合图形计算，得到答案．【解答】解：过点C作过CE⊥AB交线段AB的反向延长线于点E，由题意得∠CAE＝60°，∠CBE＝30°，在Rt△AEC中，AE＝CE÷tan60°＝3000÷＝1000（m），在Rt△BEC中，BE＝CE÷tan30°＝3000（m），∴AB＝3000﹣1000＝2000（m）．答：隧道AB的长为2000m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（9分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）求∠APC的度数．（2）求证：△PCM为等边三角形．（3）若PA＝1，PB＝3，求△PCM的面积．【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角；（2）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边三角形，进而求得PH的长，利用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠APC＝∠ABC＝60°；（2）∵∠BPC＝∠BAC＝60°，∵CM∥BP，∴∠PCM＝∠BPC＝60°，又由（1）得∠APC＝60°，∴△PCM为等边三角形；（3）解：∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM＝∠BCP+∠PCA，∴∠BCP＝∠ACM，在△BCP和△ACM中，，∴△BCP≌△ACM（SAS），∴CM＝CP，AM＝BP＝3，∴CM＝PM＝1+3＝4，作PH⊥CM于H，在Rt△PMH中，∠PMH＝60°，PM＝4，∴PH＝2，＝PH•CM＝×4×2＝4．∴S△PCM【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及三角形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．24．（9分）某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据题意列方程解答即可；（2）①设购进甲种笔记本m本，则乙种笔记本为（200﹣m）本，由条件可得到关于m的不等式组，则可求得m的取值范围，且m为整数，则可求得m的值，即可求得进货方案；②用m可表示出W，可得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质可求得答案．【解答】解：（1）设乙种笔记本每本的售价为x元，则甲种笔记本每本的售价为（x+2）元，根据题意可得20（x+2）+30x＝340，解得x＝6，x+2＝8，答：该网店甲种笔记本每本的售价为8元，乙种笔记本每本的售价为6元；（2）①若购进甲种笔记本m本，则乙种笔记本为（200﹣m）本，根据题意可得，，解得75＜m≤80，∵m为整数，∴m的值为76、77、78、79、80，∴进货方案有5种；②根据题意可得W＝（8﹣4）m+（6﹣3.5）（200﹣m）＝1.5m+500，∵1.5＞0，∴W随m的增大而增大，且75＜m≤80，∴当m＝80时，W最大，W最大值为W＝1.5×80+500＝620（元），答：当m＝80时，所获利润最大，最大利润为620元．【点评】本题考查一次函数的性质、一元一次方程、一元一次不等式等知识，解题的关键是学会设未知数建立方程或不等式，属于中考常考题型．25．（10分）若将函数C1的图象沿直线y＝a对折，与函数C2的图象重合，则称函数C1与C2互为“孪生函数”，直线y＝a叫作函数C1、C2的“摇篮线”，如函数y＝x与函数y＝﹣x互为“孪生函数”，x轴为他们的“摇篮线”．（1）若“摇篮线”为y＝1，求一次函数C1：y＝﹣2x的“孪生函数”C2的解析式．（2）已知（1）中求出的“孪生函数”C2的图象与y轴相交于点M，与以x轴为“摇篮线”的反比例函数y＝（k＜0）的“孪生函数”的图象在第一象限相交于N点，已知△OMN的面积为4，求k的值．（3）若函数C1：y＝x2+4x+3与x轴交于A、B两点（x A＞x B），顶点为D，直线AD与双曲线y＝交于点P、Q两点（x P＞x Q），若P、Q两点中有点在函数C1的“孪生函数”C2上，求函数C1、C2的“摇篮线”．【分析】（1）在直线y＝﹣2x上找两点（0，0），（﹣，1），求出这两点关于直线y＝1的对称点，用待定系数法可求解；（2）由三角形面积公式可求点N横坐标，即可求点N坐标，即可求点N关于x轴的对称点，即可求解；（3）由题意可求点A，点B，点D坐标，即可求直线AD解析式，即可求点P，点Q坐标，分点P，点Q在函数C1的“孪生函数”C2上，即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x与y轴的交点为（0，0），而（0，0）关于直线y＝1的对称点为（0，2）．。
明德初三数学期中试卷答案
一、选择题（每题4分，共40分）1. 若方程x^2 - 4x + 3 = 0的解为x1、x2，则x1 + x2的值为（）A. 1B. 3C. 4D. 5答案：C解析：根据韦达定理，x1 + x2 = -(-4)/1 = 4。
2. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = x^2C. y = 1/xD. y = 3/x^2答案：C解析：反比例函数的一般形式为y = k/x（k ≠ 0），故选C。
3. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于y轴的对称点坐标为（）A.（-2，-3）B.（2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）答案：B解析：点P关于y轴的对称点坐标为（-x，y），即（2，3）。
4. 若a > b > 0，则下列不等式成立的是（）A. a^2 > b^2B. a + b > a - bC. ab > a^2D. a/b > b/a答案：B解析：由于a > b > 0，则a + b > a - b。
5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，则下列说法正确的是（）A. a > 0，b > 0B. a > 0，b < 0C. a < 0，b > 0D. a < 0，b < 0答案：B解析：函数f(x)的图像开口向上，则a > 0；对称轴为x = -b/2a，故b < 0。
6. 下列各组数中，成等差数列的是（）A. 1，4，9，16B. 2，4，6，8C. 1，3，5，7D. 1，3，6，10答案：C解析：等差数列的相邻两项之差为常数，故选C。
7. 若等比数列的首项为a1，公比为q，则其第n项an的表达式为（）A. an = a1 q^(n-1)B. an = a1 / q^(n-1)C. an = a1 q^nD. an = a1 / q^n答案：A解析：等比数列的通项公式为an = a1 q^(n-1)。
湖南省长沙市明德洞井中学2018_2019学年度初三数学期中复习卷
湖南省长沙市明德洞井中学2018_2019学年度初三数学期中复习卷一、单选题1．2018的相反数是（ ）A ． 12018B ． 2018C ． -2018D ． 12018- 2．一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（ ）A ． -3B ． 2C ． 0D ． 13．随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ）A ． 70.2110⨯B ． 62.110⨯C ． 52110⨯D ． 72.110⨯4．下列运算正确的是（ ）A.2510a a a =B.326(3)6a a =C.222()a b a b +=+D.2(2)(3)6a a a a +-=--5．关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=的根的情况是（ ）A.有两不相等实数根B.有两相等实数根C.无实数根D.不能确定6．不等式组22314x x x -≥-⎧⎨->-⎩的最小整数解是（ ）A ． -1B ． 0C ． 1D ． 27．函数y =x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ． 2x ≥ C ．2x ≥且x≠3 D ． 3x ≠8．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式A ． 24y x =-B ． 24y x =+C ． 22y x =+D ． 22y x =-9．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y 与时间x 之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（ ）A ． 小明吃早餐用了25minB ． 小明读报用了30minC ． 食堂到图书馆的距离为0.8kmD ． 小明从图书馆回家的速度为0.8km/min第9题 第12题 第13题101的值在（ ） A ． 2和3之间 B ． 3和4之间 C ． 4和5之间 D ． 5和611．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米 12. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论：①20a b +> ②0abc >③420a b c -+>④0a c +>正确的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点P 是反比例函数2y x=图象上的一点，PA X ⊥轴于点A ，则POA ∆的面积为___________.14．某口袋里装有红色、黑色球共80个，他们除了颜色外其他都相同，已知摸到红球的概率为0.2，则口袋里红球的个数为15．如图，ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于D 点，DE AB ⊥于点E ，BF AC ⊥于点F ，3DE cm =，则BF =__________cm16．如图， P 是ABC ∆的内心，连接,,PA PB PC ，,,PAB PBC PAC ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，则1S ___________23S S +.(填“<”或“=”或“>”) .第15题 第16题 第18题17．已知关于x 方程x 2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____．18．如图，点A ，B ，D 在⊙O 上，∠A=20°，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交BC 于点C ，则∠OCB=_____度．三、解答题19．计算: ()2013.1413π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭20．先化简，再求值: 22111121x x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+-++⎝⎭，其中x =21.某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果（A ：特别好B ：好C:一般D ：较差）绘制成以下两幅不完整的统计图。
湖南省长沙市天心区明德教育集团2019年中考数学模拟试卷(5月份)(包含答案解析)
2019年湖南省长沙市天心区明德教育集团中考数学模拟试卷（5月份）姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分）1、(3分) 下列四个数中，无理数是（）A.-23B.-√3C.0D.|-2|2、(3分) 下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3、(3分) 1cm2的电子屏上约有细菌135000个，135000用科学记数法表示为（）A.0.135×106B.1.35×105C.13.5×104D.135×1034、(3分) 下列运算正确的是（）A.a3+a3=a6B.a3•a4=a12C.a6÷a3=a3D.（a-b）2=a2-b25、(3分) 一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（）A.B.C. D.6、(3分) 下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形7、(3分) 把不等式组：{x +1>0x −1≤0的解集表示在数轴上，正确的是（ ）A.B.C.D.8、(3分) 下列说法正确的是（ ） A.平面内三个点确定一个圆 B.旅客上飞机前的安检应采用抽样调查C.方差越大，数据的波动越小D.在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾是必然事件9、(3分) 甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ） A.180x+6=120x−6 B.180x−6=120x+6 C.180x+6=120xD.180x=120x−610、(3分) 如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC=7m ，则树高BC 为（用含α的代数式表示）（ ）A.7sinαB.7cosαC.7tanαD.7tanα11、(3分) 已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2-ax-2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ） A.x 1≠x 2B.x 1+x 2＞0C.x 1•x 2＞0D.x 1＜0，x 2＜012、(3分) 二次函数y=ax 2+bx-2（a≠0）的图象的顶点在第三象限，且过点（1，0），设t=a-b-2，则t 值的变化范围是（ ） A.-2＜t ＜0 B.-3＜t ＜0C.-4＜t ＜-2D.-4＜t ＜0二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）13、(3分) 因式分解：x3-9x=______．14、(3分) 函数y=√1−x中自变量x的取值范围是______．15、(3分) 色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为______（结果精确到0.01）16、(3分) 已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的弧长为______（结果保留π）．17、(3分) 如图，在△ABC中，AC=BC，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若∠B=80°，则∠BAD的度数是______度．18、(3分) 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=4x上，第二象限的点B在反比例函数y=kx 上，且OA⊥OB，OBOA=34，则k的值为______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 58 分）19、(6分) 计算：(−12)−2+|−2sin60∘|−√12+(3−√5)0．20、(6分) 先化简，后求值：（2x−1x −1）÷x2−1x，其中x=2018．21、(8分) 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD，延长CE、BA交于点F，连接AC、DF（1）如图1，求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）如图2，连接BE，若CF=4√5，tan∠FBE=12，求AE的长．22、(9分) 电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？23、(9分) 如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）若AC=2√10，CE：EB=1：4，求CE，AF的长．24、(10分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x=-2上是否存在点M，使得∠MAC=2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．25、(10分) 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A≠∠C ，∠A=75°，∠D=85°，则∠C=______；（2）已知：在“等对角四边形”ABCD 中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=4，AD=3．求对角线AC 的长；（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 是“等对角四边形”，其中A （-2，0）C （2，0）B （-1，-√3），点D 在y 轴上，抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）过点A 、C ，点P 在抛物线上，当满足∠APC=12∠ADC 的P 点至少有3个时，总有不等式2n-94≤2c 2+16a −8√2成立，求n 的取值范围．四、计算题（本大题共 1 小题，共 8 分）26、(8分) 某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）； （2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？ （3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．2019年湖南省长沙市天心区明德教育集团中考数学模拟试卷（5月份）【第 1 题】【答案】B【解析】是分数，是有理数，故选项不符合题意；解：A、-23B、-√3是无理数，选项符合题意；C、0是整数，是有理数，选项不符合题意；D、|-2|=2，是整数，是有理数，选项不符合题意．故选：B．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．【第 2 题】【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．【第 3 题】【答案】B【解析】解：将135000用科学记数法表示为：1.35×105．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【第 4 题】【答案】C【解析】解：A、a3+a3=2a3，原式计算错误，故本选项错误；B、a3•a4=a7，原式计算错误，故本选项错误；C、a6÷a3=a3，计算正确，故本选项正确；D、（a-b）2=a2-2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误．故选：C．结合选项分别进行同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确选项．本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法等知识，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．【第 5 题】【答案】C【解析】解：由该几何体的主视图和俯视图知，该几何体是三棱柱，故选：C．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图为矩形，俯视图为三角形，易判断该几何体是一个三棱柱．本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．【第 6 题】【答案】C【解析】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；故选：C．根据菱形的性质解答即可得．本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线是解题的关键．【第 7 题】【答案】B【解析】解：解不等式①，得x＞-1，解不等式②，得x≤1，所以不等式组的解集是-1＜x≤1．故选：B．分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画．＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示．“＜”，“＞”要用空心圆圈表示．【第 8 题】【答案】D 【 解析 】解：A 、平面内不在同一直线上的三个点确定一个圆，本选项错误； B 、旅客上飞机前的安检应采用全面调查，本选项错误； C 、方差越大，数据的波动越大，本选项错误D 、在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾是必然事件，本选项正确； 故选：D ．根据随机事件、必然事件、确定圆的条件、方差的性质判断即可．本题考查的是随机事件、确定圆的条件、方差的性质，掌握相关的概念和性质是解题的关键．【 第 9 题 】 【 答 案 】 A 【 解析 】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为： 180x+6=120x−6． 故选：A ．直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．【 第 10 题 】 【 答 案 】 C 【 解析 】解：在Rt△ABC 中，tan α=BCAC ，则BC=AC•tanα═7tan αm ， 故选：C ．根据正切的概念进行解答即可．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握以仰角俯角的概念以及锐角三角函数的定义是解题的关键．【第 11 题】【答案】A【解析】解：A∵△=（-a）2-4×1×（-2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，∴x1•x2=-2，结论C错误；D、∵x1•x2=-2，∴x1、x2异号，结论D错误．故选：A．A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=-2，结论C错误；D、由x1•x2=-2，可得出x1、x2异号，结论D错误．综上即可得出结论．本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．【第 12 题】【答案】D【解析】解：y=ax2+bx-2，当x=0时，y=-2，即抛物线与y轴的交点是（0，-2），过点（1，0）和点（0，-2）的直线的解析式是y=2x-2，当x=-1时，y=2x-2=-4，而x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c，∵t=a-b-2，∴-4＜a-b+c＜0，即-4＜t＜0，故选：D．先利用待定系数法求出经过点（1，0）和（0，-2）的直线解析式为y=2x-2，则当x=-1时，y=2x-2=-4，再利用抛物线的顶点在第三象限，所以x=-1时，对应的二次函数值为负数，从而得到所以-4＜a-b+c＜0，再根据抛物线的顶点坐标得出即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．【第 13 题】【答案】x（x+3）（x-3）【解析】解：x3-9x，=x（x2-9），=x（x+3）（x-3）．先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．【第 14 题】【答案】x≤1【解析】解：由题意得，1-x≥0，解得x≤1．故答案为：x≤1．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【第 15 题】【答案】0.07【解析】解：观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右，故男性中，男性患色盲的概率为0.07，故答案为：0.07．观察随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率．本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是仔细观察表格，找到频率稳定到的常数，难度不大．【第 16 题】【答案】23π【解析】解：依题意，n=60，r=2，∴扇形的弧长=nπr180=60π×2180=23π．故答案为23π．已知扇形的圆心角为60°，半径为2，代入弧长公式计算．本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=nπr180．【第 17 题】【 答 案 】60【 解析 】解：∵AB=AC ，∴∠CAB=∠B=80°，∴∠C=180°-80°-80°=20°，由作法得DE 垂直平分AC ，∴DA=DC ，∴∠DAC=∠C=20°，∴∠BAD=∠CAB -∠DAC=80°-20°=60°．故答案为60．先利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠CAB=80°，∠C=20°，再利用基本作图得到DE 垂直平分AC ，所以DA=DC ，则∠DAC=∠C=20°，然后计算∠CAB -∠DAC 即可．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．【 第 18 题 】【 答 案 】-94【 解析 】 解：作AC⊥x 轴于C ，BD⊥x 轴于D ，如图，∵OA⊥OB ，∴∠BOD+∠AOC=90°，∵∠BOD+∠OBD=90°，∴∠AOC=∠OBD ，∴Rt△OBD∽Rt△AOC ， ∴S △OBD S △AOC =（OB OA ）2=（34）2=916， ∵S △OBD =12|k|，S△AOC=12×4=2，∴12|k|2=916，而k ＜0， ∴k=-94．故答案为-94．作AC⊥x 轴于C ，BD⊥x 轴于D ，如图，证明Rt△OBD∽Rt△AOC ，利用相似三角形的性质得到S △OBDS △AOC =916，利用反比例函数k 的几何意义得到12|k|2=916，从而解绝对值方程得到满足条件的k 的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k x （k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．也考查了k 的几何意义和相似三角形的判定与性质．【 第 19 题 】【 答 案 】解：原式=4+√3−2√3+1=5−√3．【 解析 】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等考点的运算．【 第 20 题 】【 答 案 】解：原式=2x−1−x x •x (x+1)(x−1) =x−1x•x (x+1)(x−1)=1x+1，当x=2018时，原式=12019．【 解析 】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．【 第 21 题 】【 答 案 】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AB=CD ，AB∥CD ，∴∠DCF=∠BFC ，又∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCF=∠FCD ，∴∠BFC=∠BCF ，∴BF=BC=AD ，∵AD=2AB ，∴BF=2AB ，∴AB=AF=CD ，又∵AB∥CD ，∴四边形ACDF 是平行四边形；（2）解：由（1）得：BF=BC ，同理：DE=DC ，∵AD=2AB=2CD ，∴AE=DE ，∵四边形ACDF 是平行四边形∴EF=CE=12CF=2√5，AE=12AD ，又∵BF=BC ，∴BE⊥CF ，∴CE=FE=12CF=2√5，∵tan∠FBE=EF BE =12，∴EF=12BE ，BE=CF=4√5，∴BF=√BE 2+CE 2=10，∴AE=12AD=12BF=5．【 解析 】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质得出∠DCF=∠BFC ，由角平分线得出∠BCF=∠FCD ，证出∠BFC=∠BCF ，得出BF=BC=AD ，由已知得出BF=2AB ，AB=AF=CD ，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出EF=CE=12CF=2√5，AE=12AD ，由等腰三角形的性质得出BE⊥CF ，由三角函数得出BE=4√5，求出BF=10，得出AE=12AD=12BF=5．本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．【第 22 题】【答案】解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，根据题意列方程：150（1+x）2=216，解得x1=-220%（不合题意，舍去），x2=20%．答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%．（2）二月份的销量是：150×（1+20%）=180（辆）．所以该经销商1至3月共盈利：（2800-2300）×（150+180+216）=500×546=273000（元）．【解析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x．等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．【第 23 题】【答案】（1）证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB=90°，即∠DAB+∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ABD．∵BA=BC，∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD．∴∠ABC=2∠CAF．（2）解：如图，连接AE．∴∠AEB=90°．设CE=x，∵CE：EB=1：4，∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2．即（2√10）2=x2+（3x）2．∴x=2．∴CE=2，∴EB=8，BA=BC=10，AE=6．∵tan∠ABF=AEEB =AFBA．∴6 8=AF10．∴AF=152．【解析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（2√10）2=x2+（3x）2．然后由tan∠ABF=AEEB =AFBA，求得答案．此题考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．【第 24 题】【答案】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），∴{9a −3b +c =0c =3a +b +c =0，解得：{a =−1b =−2c =3， 所以，抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3；（2）∵A （-3，0），B （0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF⊥x 轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，又∵PD⊥AB ，∴△PDE 是等腰直角三角形，∴PD 越大，△PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3，设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ，联立{y =x +m y =−x 2−2x +3， 消掉y 得，x 2+3x+m-3=0，当△=9-4（m-3）=0，即m=214时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长， 此时x=-32，y=154， ∴点（-32，154），△PDE 的周长最大；（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2∴ME=√3∴点M （-2，√3）或（-2，-√3）．【 解析 】（1）把A 、B 、C 点坐标代入抛物线y=ax 2+bx+c ，即可求解；（2）证明△PDE 是等腰直角三角形，则PD 越大，△PDE 的周长越大，则直线AB 的解析式为y=x+3，与AB 平行的直线解析式为y=x+m ，联立{y =x +m y =−x 2−2x +3，当△=9-4（m-3）=0，即m=214时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长，即可求解；（3）证明∠CMD=∠DCM ，则MD=CD=2，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质、根的判别式的应用等，其中（2），根的判别式的应用，是本题的亮点．【 第 25 题 】【 答 案 】（1）∠B=∠D=85°，则∠C=360°-2×85°-75°=115°，故答案为115°；（2）①如图1，∠B=∠D=90°时延长AD ，BC 交于点E ，∵∠DAB=60°，∴∠E=30°，又∵AB=4，AD=3∴BE=4√3，AE=8，DE=5， CE=5cos30∘=10√33，BC=4√3-10√33=2√33， AC=√42+(2√33)2=2√393； ②如图，∠A=∠C=60°时，过D 分别作DE⊥AB 于E ，DF⊥BC 于点F ，∵∠DAB=∠BCD=60°，又∵AB=4，AD=3， AE=32，DE=BF=3√32，∴BE=DF=52， CF=5√36，BC=5√36+3√32=7√33， AC=√42+(7√33)2=√2913； 综上，AC=2√393或√2913； （3）∵A （-2，0）、C （2，0）、B （-1，-√3），∴AB=2，BC=2√3，AC=4，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴∠ABC=90°，∵AD=CD ，AB≠BC ，∴∠BAD≠∠BCD ，∵四边形ABCD 是“等对角四边形”∴∠ADC=∠ABC=90°，∴D （0，2）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点A 、C ，∴y=a （x+2）（x-2）=ax 2-4a ，即：a=-14c ，令t=2c 2+16a-8√2，则t=2c 2-4c-8√2，以D （0，2）为圆心，AD 长为半径作⊙D ，以D’（0，-2）为圆心，AD 长为半径作⊙D’， 如图所示，⊙D 交y 轴正半轴于点E ，⊙D’交y 轴负半轴于点F ．当点P 在优弧AEC 和优弧AFC 上时，∠APC=12∠ADC ，当抛物线过E 点时满足题意的P 点有3个，此时，c=OE=OD+ED=2+2√2，当满足∠APC=12∠ADC 的P 点至少有3个时，c≥2+2√2，当c≥2+2√2时，t=2c2-4c-8√2≥16，∵总有不等式2n-94≤2c 2+16a-8√2成立∴2n -94≤16，∴n≤738．【 解析 】解：（1）∠B=∠D=85°，则∠C=360°-2×85°-75°=115°，即可求解；（2）①如图1，BE=4√3，AE=8，DE=5，CE=5cos30∘=10√33，BC=4√3-10√33=2√33，即可求解；②如图2，同理可得CF=5√36，BC=5√36+3√32=7√33，即可求解； （3）以D （0，2）为圆心，AD 长为半径作⊙D ，以D’（0，-2）为圆心，AD 长为半径作⊙D’，如图所示，⊙D 交y 轴正半轴于点E ，⊙D’交y 轴负半轴于点F ．当点P 在优弧AEC 和优弧AFC 上时，∠APC=12∠ADC ，当抛物线过E 点时满足题意的P 点有3个，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的性质、四边形的内角和等，本题的关键在于理解新定义，正确画出相应的图形．【 第 26 题 】【 答 案 】解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），喜欢乒乓球的人数为50-8-20-6-2=14（人），所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=1450×100%=28%，补全条形统计图如下：（2）500×12%=60，所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率=212=16．【 解析 】（1）先利用喜欢足球的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；（2）用500乘以样本中喜欢排球的百分比可根据估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的写生数；（3）用360°乘以喜欢篮球人数所占的百分比即可；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．。
2018-2019学年第二学期九年级数学下册期中考试卷及答案有详细解析
2018-2019学年第二学期九年级数学下册期中考试卷一、单选题1、如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）A ．b 2＞4ac B ．ax 2+bx+c ≥﹣6C ．若点（﹣2，m ），（﹣5，n ）在抛物线上，则m ＞nD ．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣12、﹣3的相反数是（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．3、如图，直线AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点E ，F ，EC ⊥EF ，垂足为E ，若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°（第3题图） （第5题图） （第6题图） 4、若a ﹣b+c=0，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一根为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．25、如图，△ABC 中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE 是中位线，则DE 的长为（ ） A ．4 B ．3 C ．D ．26、如图，△ABO 的面积为3，且AO=AB ，双曲线y=经过点A ，则k 的值为（ ）A ．B ．3C ．6D ．9二、填空题7、因式分解3x 2﹣3y 2=_____。
8、几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是_____。
（第8题图） （第9题图）9、如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD 的面积为_____。
10、在函数y=中，自变量x 的取值范围是_____。
11、小明用S 2=[（x 1﹣3）2+（x 2﹣3）2+…+（x 10﹣3）2]计算一组数据的方差，那么x 1+x 2+x 3+…+x 10=_____。
2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意得.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）的倒数是（）A．B．3C．﹣3D．2．（3分）下列银行标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．B．（a3）2＝a5C．（﹣a）3÷（﹣a）＝﹣a2D．3x3×（﹣2x2）＝﹣6x54．（3分）由陈可辛执导的电影《夺冠》，于2020年9月25日在中国内地上映，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历，截至目前已突破8.1亿的票房．其中数据8.1亿用科学记数法表示为（）A．8×108B．8.1×108C．81×107D．0.81×109 5．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，6cmC．4cm，6cm，8cm D．5cm，6cm，12cm6．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：S甲2＝0.48，S乙2＝0.52，S丙2＝0.56，S丁2＝0.58，则成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（3分）若线段2cm，4cm，x，10cm成比例，则x等于（）A．cm B．20cm C．5cm D．8cm8．（3分）已知，△ABC≌△DEF，且∠A＝55°，∠E＝45°，则∠C＝（）A．55°B．45°C．80°D．90°9．（3分）如图，△ABC≌△CDA，那么下列结论错误的是（）A．AB＝CD B．∠1＝∠2C．∠B＝∠D D．AD＝AB 10．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．问：城中有多少户人家？（）A．55B．65C．75D．8511．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC ∽△AED的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④12．（3分）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．14．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，其中＝，则＝．15．（3分）如图，矩形OABC，点B在反比例函数y＝的图象上，则矩形OABC面积为．16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分）17．（6分）计算：|﹣4|﹣（）﹣1﹣（π﹣2020）0+．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣3（x+y）（x﹣y）+2x2，其中，x＝1，y＝﹣1．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣5，1）（1）将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，请画出线段AC，并写出C点坐标；（2）请画出折线BAC关于y轴的对称图形．20．（8分）中秋节有吃月饼的习俗，长沙市某食品厂为了解市民对去年中秋节期间销售量较好的A、B、C、D四种不同口味月饼的喜爱情况，在今年中秋前对芙蓉区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整），请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有人；（2）将两幅不完整的统计图补充完整；（3）若有外型完全相同的A、B、C、D四种月饼各一个，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃的月饼恰好是C种月饼的概率．21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象交于点A（1，8）、B（2，4）两点．（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合图象直接写出不等式kx+b≤的解集．22．（9分）随着现代互联网技术的广泛应用和快递行业的高速发展，网上购物的人越来越多，“双十一”当天更是成为了全民狂欢的网购节．据统计，某天猫官方旗舰店在2017年和2019年“双十一”当天的订单量分别为20万件和45万件，现假设该旗舰店每年“双十一”当天的订单量增长率相同．（1）求该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率；（2）如果该旗舰店的客服平均每人每天最多可以处理0.2万件订单，那么该旗舰店现有的250名客服能否当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单？如果不能，请问至少还需要增加多少名客服？23．（9分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，DC＝DB，延长CD 交直线BA于点E，过点D作DF⊥AB，交直线AB于点F．（1）若∠ACD＝35°，求∠CAD的度数；（2）求证：直线DF为⊙O的切线；（3）若BC＝8，AD＝5，求AB的长．24．（10分）若“子函数”y1、y2满足y＝y1+y2，则称函数y是“子函数”y1、y2的“母函数”．例如，“子函数”分别为一次函数y1＝x+1和二次函数y2＝x2+2x﹣3，则“子函数”y1、y2的“母函数”为y＝y1+y2＝x2+3x﹣2．（1）“子函数”分别为反比例函数y1＝和一次函数y2＝kx﹣1，它们的“母函数”过点（1，5），求k的值；（2）若“子函数”y1＝ax2+bx+c为二次函数，且a+b+c＝3，在x＝t时取得最值，“子函数”y2是一次函数，且“母函数”为y＝x2+2x﹣3，当﹣2≤x≤3时，求“子函数”y1的最小值（用含t的式子表示）；（3）“子函数”分别为二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝﹣ax﹣b，其中a+b+c＝0且a＞b＞c，若它们的“母函数”与x轴交点为A（x1，0）、B（x2，0），求|x1﹣x2|的取值范围．25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M和坐标原点O，一次函数y＝mx﹣4m与x轴交于点M．（1）求出抛物线的对称轴；（2）如图1，以线段OM为直径作⊙C，在第一象限内的圆上存在一点B，使得△OBC 为等边三角形，求⊙C过点B的切线l的函数解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，当a＞0时，若抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，过点B的切线与抛物线交于P、Q两点，试问：在直线PQ下方的抛物线上是否存在一点N，使得△PNQ的面积最大？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意得.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）的倒数是（）A．B．3C．﹣3D．【解答】解：的倒数是：3．故选：B．2．（3分）下列银行标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．3．（3分）下列计算正确的是（）A．B．（a3）2＝a5C．（﹣a）3÷（﹣a）＝﹣a2D．3x3×（﹣2x2）＝﹣6x5【解答】解：A、＝3，故本选项错误；B、（a3）2＝a6，故本选项错误；C、（﹣a）3÷（﹣a）＝a2，故本选项错误；D、3x3×（﹣2x2）＝﹣6x5，故本选项正确．故选：D．4．（3分）由陈可辛执导的电影《夺冠》，于2020年9月25日在中国内地上映，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历，截至目前已突破8.1亿的票房．其中数据8.1亿用科学记数法表示为（）A．8×108B．8.1×108C．81×107D．0.81×109【解答】解：8.1亿＝810000000＝8.1×108．故选：B．5．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，6cmC．4cm，6cm，8cm D．5cm，6cm，12cm【解答】解：A、1+2＝3，不能构成三角形；B、2+3＜6，不能构成三角形；C、4+6＞8，能构成三角形；D、5+6＜12，不能构成三角形．故选：C．6．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为：S甲2＝0.48，S乙2＝0.52，S丙2＝0.56，S丁2＝0.58，则成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：∵S甲2＝0.48，S乙2＝0.52，S丙2＝0.56，S丁2＝0.58，∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，∴成绩最稳定的是甲，故选：A．7．（3分）若线段2cm，4cm，x，10cm成比例，则x等于（）A．cm B．20cm C．5cm D．8cm【解答】解：根据题意得：＝，解得x＝5cm．故选：C．8．（3分）已知，△ABC≌△DEF，且∠A＝55°，∠E＝45°，则∠C＝（）A．55°B．45°C．80°D．90°【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E＝45°，在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣55°﹣45°＝80°．故选：C．9．（3分）如图，△ABC≌△CDA，那么下列结论错误的是（）A．AB＝CD B．∠1＝∠2C．∠B＝∠D D．AD＝AB【解答】解：A、∵△ABC≌△CDA，∴AB＝CD，本选项说法正确，不符合题意；B、∵△ABC≌△CDA，∴∠1＝∠2，本选项说法正确，不符合题意；C、∵△ABC≌△CDA，∴∠B＝∠D，本选项说法正确，不符合题意；D、当△ABC≌△CDA时，AD与AB不一定相等，本选项说法错误，符合题意；故选：D．10．（3分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．问：城中有多少户人家？（）A．55B．65C．75D．85【解答】解：设城中有x户人家，依题意，得：x+x＝100，解得：x＝75．故选：C．11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC ∽△AED的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【解答】解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵＝，∴＝∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．12．（3分）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【解答】解：如图，延长CD交⊙O于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．∵OA⊥PC，OB⊥CT，∴CD＝DP，CE＝TE，∴DE＝PT，∴当PT是直径时，DE的长最大，连接OC，∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，∴∠AOB＝∠COA+∠COB＝∠POT＝90°，故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠1．【解答】解：∵分式在实数范围内有意义，∴1﹣x≠0，解得：x≠1，则x的取值范围是：x≠1．故答案为：x≠1．14．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，其中＝，则＝．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∴，故答案为：．15．（3分）如图，矩形OABC，点B在反比例函数y＝的图象上，则矩形OABC面积为4．【解答】解：∵点B在反比例函数y＝的图象上，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，∴故矩形OABC的面积S＝|k|＝4．故答案为4．16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是16．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∵点P是AB的中点，∴AB＝2OP，∵PO＝2，∴AB＝4，∴菱形ABCD的周长是：4×4＝16，故答案为：16．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分）17．（6分）计算：|﹣4|﹣（）﹣1﹣（π﹣2020）0+．【解答】解：原式＝4﹣3﹣1+2＝2．18．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣3（x+y）（x﹣y）+2x2，其中，x＝1，y＝﹣1．【解答】解：（x﹣2y）2﹣3（x+y）（x﹣y）+2x2＝x2﹣4xy+4y2﹣3（x2﹣y2）+2x2＝x2﹣4xy+4y2﹣3x2+3y2+2x2＝7y2﹣4xy，当x＝1，y＝﹣1时，原式＝7×（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝7+4＝11．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣5，1）（1）将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，请画出线段AC，并写出C点坐标；（2）请画出折线BAC关于y轴的对称图形．【解答】解：（1）如图，线段AC即为所求．C（0，0）．（2）如图，折线CEF即为所求．20．（8分）中秋节有吃月饼的习俗，长沙市某食品厂为了解市民对去年中秋节期间销售量较好的A、B、C、D四种不同口味月饼的喜爱情况，在今年中秋前对芙蓉区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整），请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有600人；（2）将两幅不完整的统计图补充完整；（3）若有外型完全相同的A、B、C、D四种月饼各一个，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃的月饼恰好是C种月饼的概率．【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民有：60÷10%＝600（人），故答案为：600；（2）A组所对应的百分比是×100%＝30%，C组的人数是600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所占的百分比是×100%＝20%，将两幅不完整的统计图补充完整如下：（3）画出树状图如图：共有12个等可能的结果，小王第二个吃的月饼恰好是C种月饼的结果有3个，∴小王第二个吃的月饼恰好是C种月饼的概率＝＝．21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象交于点A（1，8）、B（2，4）两点．（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合图象直接写出不等式kx+b≤的解集．【解答】解：（1）点A（1，8）、B（2，4）代入y＝kx+b得：，解得：．则一次函数的解析式是：y＝﹣4x+12．把B（2，4）代入y＝得：m＝8，则反比例函数的解析式是：y＝；（2）由图象可知，不等式kx+b≤的解集为0＜x≤1或x≥2．22．（9分）随着现代互联网技术的广泛应用和快递行业的高速发展，网上购物的人越来越多，“双十一”当天更是成为了全民狂欢的网购节．据统计，某天猫官方旗舰店在2017年和2019年“双十一”当天的订单量分别为20万件和45万件，现假设该旗舰店每年“双十一”当天的订单量增长率相同．（1）求该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率；（2）如果该旗舰店的客服平均每人每天最多可以处理0.2万件订单，那么该旗舰店现有的250名客服能否当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单？如果不能，请问至少还需要增加多少名客服？【解答】解：（1）设该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率为x，依题意得：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率为50%．（2）45×（1+50%）＝67.5（万件）．∵0.2×250＝50（万件），50＜67.5，∴该旗舰店现有的250名客服不能当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单．设需要增加m名客服，依题意得：0.2×（250+m）≥67.5，解得：m≥87，又∵m为正整数，∴m的最小值为88．答：该旗舰店现有的250名客服不能当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单，至少还需要增加88名客服．23．（9分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，DC＝DB，延长CD 交直线BA于点E，过点D作DF⊥AB，交直线AB于点F．（1）若∠ACD＝35°，求∠CAD的度数；（2）求证：直线DF为⊙O的切线；（3）若BC＝8，AD＝5，求AB的长．【解答】（1）解：∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣35°＝55°．（2）证明：连接DO，并延长DO交BC于点T．∵DB＝DC，∴＝，∴DT⊥BC，CT＝BT，∴∠DTB＝90°，∵AC是直径，∴∠CBA＝90°，∵DF⊥BE，∴∠DFB＝90°，∴四边形DFBT是矩形，∴∠TDF＝90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．（3）解：∵四边形DFBT是矩形，∴DF＝BT，∵CT＝BT＝BC＝4，∴DF＝BT＝4，∵∠AFD＝90°，AD＝5，∴AF＝＝＝3，设EF＝x，DE＝y，则有，解得x＝（负根已经舍弃），∴EF＝，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CBE＝90°，∴∠DBC+∠DBE＝90°，∠DCB+∠E＝90°，∴∠DBE＝∠E，∴DB＝DE，∵DF⊥BE，∴FB＝FE＝，∴AB＝FB﹣AF＝﹣3＝．24．（10分）若“子函数”y1、y2满足y＝y1+y2，则称函数y是“子函数”y1、y2的“母函数”．例如，“子函数”分别为一次函数y1＝x+1和二次函数y2＝x2+2x﹣3，则“子函数”y1、y2的“母函数”为y＝y1+y2＝x2+3x﹣2．（1）“子函数”分别为反比例函数y1＝和一次函数y2＝kx﹣1，它们的“母函数”过点（1，5），求k的值；（2）若“子函数”y1＝ax2+bx+c为二次函数，且a+b+c＝3，在x＝t时取得最值，“子函数”y2是一次函数，且“母函数”为y＝x2+2x﹣3，当﹣2≤x≤3时，求“子函数”y1的最小值（用含t的式子表示）；（3）“子函数”分别为二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝﹣ax﹣b，其中a+b+c＝0且a＞b＞c，若它们的“母函数”与x轴交点为A（x1，0）、B（x2，0），求|x1﹣x2|的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：y1，y2的“母函数”为：y＝y1+y2．＝+kx﹣1．将点（1，5）代入得：5＝+k﹣1．∴k＝5．（2）由题意：y2＝y﹣y1＝（1﹣a）x2+（2﹣b）x﹣3﹣c．∵y1是二次函数，y2是一次函数．∴1﹣a＝0，a≠0．∴a＝1．∵y1＝ax2+bx+c在x＝t取得最值．∴t＝﹣．∴b＝﹣2t．∵a+b+c＝3．∴c＝3﹣b﹣a．＝3+2t﹣1．＝2+2t．∴y1＝x2﹣2tx+2+2t．开口向上，对称轴：x＝t．∵﹣2≤x≤3．∴当t＜﹣2时，x＝﹣2，y1min＝（﹣2）2﹣2t×（﹣2）+2+2t＝6+6t．当﹣2≤t＜3时，x＝t，y1min＝t2﹣2t2+2+2t．＝﹣t2+2t+2．当t≥3时，x＝3，y1min＝9﹣6t+2+2t＝11﹣4t．综上：y1min＝．（3）设y＝ax2+（b﹣a）x+c﹣b与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）．则x1，x2是方程ax2+（b﹣a）x+c﹣b＝0的两根．∴x1+x2＝．x2＝．∵a+b+c＝0，a＞b＞c．a＞0，c＜0∴|x1﹣x2|＝＝＝＝＝＝．∵b＝﹣a﹣c，b＞c．∴﹣a﹣c＞c．﹣a＞2c．﹣＞．∵b＜a．∴﹣a﹣c＜a．﹣c＜2a．∴﹣＜2．∴＜+2＜4．∴＜16．∴＜12．∴＜|x1﹣x2|＜2．25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M和坐标原点O，一次函数y＝mx﹣4m与x轴交于点M．（1）求出抛物线的对称轴；（2）如图1，以线段OM为直径作⊙C，在第一象限内的圆上存在一点B，使得△OBC 为等边三角形，求⊙C过点B的切线l的函数解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，当a＞0时，若抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，过点B的切线与抛物线交于P、Q两点，试问：在直线PQ下方的抛物线上是否存在一点N，使得△PNQ的面积最大？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y＝mx﹣4m＝0，解得x＝4，故点M（4，0），∵抛物线y＝ax2+bx+c过原点O，则c＝0，故抛物线的表达式为y＝ax2+bx，将点M的坐标代入上式得：16a+4b＝0，即b＝﹣4a，故抛物线的表达式为y＝ax2﹣4ax①，则抛物线的对称轴为x＝2；（2）由（1）知，OC＝2，则△OBC为边长为2的等边三角形，则该三角形的高为2×sin60°＝，故点B的坐标为（1，），在Rt△EBC中，∠BEC＝90°﹣∠ECB＝90°﹣60°＝30°，故OE＝2BC＝4，则点E的坐标为（﹣2，0），设切线l的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线l的表达式为y＝x+②，（3）存在，理由：∵抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，则有一个点D为抛物线的顶点，如下图，根据函数的对称轴，则△OMD为边长为4的等边三角形，同理可得，点D（2，﹣2），即抛物线的顶点为D，将点D的坐标代入①得：﹣2＝4ax﹣8a，解得a＝，则抛物线的表达式为y＝x2﹣2x③，联立②③并整理得：3x2﹣14x﹣4＝0，解得x＝，则x Q﹣x P＝，过点N作NH∥y轴交PQ于点H，设点N（x，x2﹣2x），则点H（x，x+），则S△PQN＝S△HNP+S△HNQ＝•HN•（x Q﹣x P）＝（x+﹣x2+2x）＝（﹣x2+x+），∵a＜0，故抛物线开口向下，△PNQ的面积存在最大值，此时x＝，则点N的坐标为（，﹣）．。
湖南省长沙市天心区明德天心中学九年级(下)期中数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）在 3.14， ， ， ， ，
，0.2020020002…，﹣ ，
中，无理数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
B．（x2y3）2＝x4y5
C．（xy）2÷ ＝（xy）3
D．2xy﹣3yx＝xy
4．（3 分）函数 y＝ 中自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x＞4
B．x≥4
C．x≤4
D．x≠4
5．（3 分）在 50 包型号为 L 的衬衫的包裹中混进了型号为 M 的衬衫，每包 20
件衬衫，每包中混入的 M 号衬衫数如表：
（1）判断函数 y＝3x+2 与 y＝2x+1 在﹣2≤x≤0 上是否为“相邻函数”，并说明 理由；
（2）若函数 y＝ 与 y＝﹣2x+a 在 1≤x≤2 上是“相邻函数”，请求出 a 的最大 值与最小值．
（3）若函数 y＝x2﹣（2a﹣1）x 与 y＝x﹣2 在 1≤x≤2 上是“相邻函数”，求 a
Q、点 P，过点 Q 作直线 QR∥OB，当 OP＝QP 时，∠PQR 的度数是
．
18．（3 分）已知，圆锥的底面圆周长为 2π，母线长为 5，则此圆锥的侧面展开
图的面积为
．
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三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤．）
19．（6 分）计算：2﹣2﹣（π﹣ ）0+|﹣3|﹣ cos60°．
（3）请计算扇形统计图中“乒乓球”所在扇形的圆心角度数；