复合函数的导数PPT教学课件
问题2:求下列函数复合的导数
2) y
sin(x
1
x
)
解: 2)因y = sinu , u
=
x+
1 x
而y
' u
=
cosu,u
' x
=
1-
1 x2
又y
' x
=
y
' u
gu
' x
∴
y
' x
= (1 -
1 )cos(x + x2
1) x
问题2:求下列函数复合的导数
3) y ln 3 e x 2
解: 3)因y ln u ,u 3 v ,v e x 2
FP ( b2 , ab ), cc
PA OP
ab c2
,
PA FP
ab c2
.
PA OP PA FP.
PA OP
ab c2
,
PA FP
ab c2
.
PA OP PA FP.
( 2)
y
a b
(x
c)
b2 x 2 a 2 y2 a 2b2
b2 x2
a4 b2
(x
k1k2
a2 2 a (a
2
a2 a)
a2 2a2
1,
2
抛 物 线 在 点P0 ( x0 , y0 )处 的 切 线
与 直 线AP0垂 直.
[例2] (长 郡05届 月 考 题)已 知 双 曲 线C：
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b 0), B是 右 顶 点, F是
右 焦 点,点A在x轴 正 半 轴 上, 且 满 足OA、
c)2
a 2b2 .
即(b2
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
(
a4c b2
2
a2b2 )
0,
x1
x2
(
a4c b2
2
a2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2 , c2 a2 a2 .
e2 2. 即e 2.
[例3] 已 知 点H (0,3),点P在x轴 上,点Q
在y轴 正 半 轴 上,点M在 直 线PQ上, 且 满 足
y 4) 3log2(x 2 2x 3)
3)y ln u ,u 3 v ,v e x 2
4)y 3u ,u log2 v ,v x 2 2x 3
2.复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)
的导数间关系为 yx yu ux ; 或 fx[ (x)] f (u) (x). 注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.
[答案] C
2. 若动点( x,
y)在曲线
x2 4
y2 b2
1
(b 0)上变化, 则x2 2 y的最大值为( )
A.
b2 4
4 (0
b
4)
是对中间变量 的求( x导) .
问题2:求下列函数复合的导数
1) y (a bx n )m
解: 1)因y = u m , u = a + bx n
而y
' u
=
m gu m - 1 ,u'x
=
nbx n- 1
又y
' x
=
y
' u
gu'x
∴
y
' x
=
nmbx n- 1(a + bx n )m - 1
[解析] (1) 设P(a,0),Q(0, B),则
HP PM (a,3) (a,b) a2 3b 0,
a2 3b, 设M ( x, y), PM 3 HQ. 2
x
a
2a,
y
3 2
b
3b,
y
1
x2.
1 3
1 3
4
2
2
[法一]
( 2)
设A( a
,
b),
S
(
x1
,
1 4
x12
),
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[解析] (1) AP ( x a, y a2 ) ( x a, x2 a2 )
则
f
( x)
2
AP
(x
a)2
(x2
a2 )2
x4 (1 2a2 )x2 2ax a4 a2 .
B.
b2 4
4 (0
b
2)
2b (b 4)
2b (b 2)
C. b2 4 4
D. 2b
2. 若动点( x,ຫໍສະໝຸດ y)在曲线x2 4
y2 b2
1
(b 0)上变化, 则x2 2 y的最大值为( A)
A.
b2 4
4 (0
b
4)
B.
b2 4
4 (0
b
2)
2b (b 4)
2b (b 2)
C. b2 4 4
的乘积.
如:求函数y=(3x-2)2的导数,
令y=u2,u=3x-2,
则 yu 2u , ux 3, 从而 yx yu ux 18 x 12
2)法则可以推广到两个以上的中间变量.
y f ( g (u(x )))
y'
f
g
'
gg
'
u
gu
x
'
3)在书写时不要把 f x[ (写x)]成 f,两[ (者x)]是不完 全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者
2. 注意利用某些代数式的几何特征 求范围问题（如斜率、两点的距离等）.
【课前导引】
1. 设P(x, y)是曲线C：x2+y2+4x+3=0
上任意一点，则 x 的取值范围是 ( ) y
A. [ 3, 3] B. (, 3) [ 3,)
C. [ 3 , 3 ] D. (, 3 ][ 3 ,)
33
33
A.y 2 2 cos(2x ) B.y cos 2x sin 2x
4
C.y sin 2x cos 2x D.y 2 2 cos(2x )
4
练习:求下列函数的导数
1).y
(2x3
x
1) x
1).y'
4(2x3
x
1 )3 (6 x2 x
1
1 x2
)
2).y 1 1 2x2
2).y'
f '( x) 4x3 2(1 2a2 )x 2a.
令f '( x) 0得 : 2x3 (1 2a2 )x a 0,
即 ( x a)(2x2 2ax 1) 0.
a 2,此 方 程 有 三 个 根x1 a,
x2 a
a2 2
2
,
x3
a
a2 2 , 2
1 当x a时, f '( x) 0;
交 于 点D、E , 求 双 曲 线C的 离 心 率e的 取 值
范 围.
[解析] (1) l：y a ( x c)
b
y y
b a
a b
x
(
x
c) ,
解
得
:
a2 P(
,
ab ).
OA 、OB
、OF
成等比数列,
cc
A( a2 ,0). PA (0, ab ).
c
c
OP ( a2 , ab ), cc
HP PM 0, PM 3 MQ. 2
(1)当 点P在x轴 上 移 动 时,求 动 点M的 轨 迹 曲 线C的 方 程;
(2) 过 定 点A(a, b)的 直 线 与 曲 线C相 交 于 两 点S、R,求 证 ： 抛 物 线S、R两 点 处 的 切 线 的 交 点B恒 在 一 条 直 线 上.
复合函数 内圈函数 外圈函数
函数
y=f(g(x))
u=g(x) y=f(u)
定义域 x∈A x∈A U∈D
值域 y∈B
U∈D y∈B
问题1:指出下列函数的复合关系
1) y (a bx n )m
2) y
sin(x
1)
x
解:1)y u m , u a bx n
2)y
sin u
,u
x
1
x
3) y ln 3 e x 2
D. 2b
【链接高考】
[例1] 设 抛 物 线y x2过 一 定 点A(a, a2 )
(a 2), P( x, y)是抛物线 上的动点.
2
(1) 将 AP 表示为关 于x的函数f ( x),并 求当x为何值时, f ( x)有极小值;
(2) 设(1)中使f ( x)取极小值 的正数x为 x0 ,求 证 ：抛 物 线 在 点P( x0 , y0 )处 的 切 线 与 直 线AP0垂 直.
OB 、OF 成 等 比 数 列,过F作 双 曲 线C在 第 一 、 三 象 限 的 渐 近 线 的垂 线l,垂 足 为P.
(1) 求 证: PA OP PA FP;
(2) 若l与双曲线C的左、右两支分别相 交 于 点D、E , 求 双 曲 线C的 离 心 率e的 取 值 范 围.
(2) 若l与双曲线C的左、右两支分别相
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《复合函数的导数》课件
复合函数的导数
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
5.2.1环节四+简单复合函数的导数课件(人教版)
答案：
设 = ℎ = 2 − 1( >
1
)，则
2
= = ln.
所以 = = ln(2 − 1)可以看做 = 和 = ℎ 经过
“复合”得到.
即： = = = (ℎ()).
探究新知
定义
一般地，对于两个函数 = 和 = ℎ ，如果通过中
间变量， 可以表示成的函数，那么称这个函数为函数 =
和 = ℎ 的复合函数，记作 = (ℎ()).
探究新知
问题2
如何求复合函数的导数？以函数 = sin2为例，研究其导数.
猜想 = sin2的导数与函数 = sin， = 2的导数有关.
以 ′表示对的导数， ′表示对的导数， ′表示对的导数.
3
×3
π
− )
2
= 0.
所以，弹簧振子在3s时的瞬时速度为0mm/s.
知识应用
追问3
函数 =
2
18(
3
− )还可以看作哪两个函数的复合函数？
2
答案：
2
−18 ，看作
3
函数化为 =
有′
=
′
⋅
′
当 = 3时，
= (−18cos)′ ⋅
′
= 12πsin
′
= 32 × 3 = 92 = 9 3 + 5 2 ；
（2）′ = ′ ⋅ ′ = ′ ⋅ −0.05 + 1
= −0.05 = −0.05 −0.05+1 .
′
知识应用
追问1
你能总结求复合函数 = () 的导数的一般步骤吗？
答案：
（1）视察函数结构，辨认构成复合函数的基本初等函数；
设 = ℎ = 2 − 1( >
1
)，则
2
= = ln.
所以 = = ln(2 − 1)可以看做 = 和 = ℎ 经过
“复合”得到.
即： = = = (ℎ()).
探究新知
定义
一般地，对于两个函数 = 和 = ℎ ，如果通过中
间变量， 可以表示成的函数，那么称这个函数为函数 =
和 = ℎ 的复合函数，记作 = (ℎ()).
探究新知
问题2
如何求复合函数的导数？以函数 = sin2为例，研究其导数.
猜想 = sin2的导数与函数 = sin， = 2的导数有关.
以 ′表示对的导数， ′表示对的导数， ′表示对的导数.
3
×3
π
− )
2
= 0.
所以，弹簧振子在3s时的瞬时速度为0mm/s.
知识应用
追问3
函数 =
2
18(
3
− )还可以看作哪两个函数的复合函数？
2
答案：
2
−18 ，看作
3
函数化为 =
有′
=
′
⋅
′
当 = 3时，
= (−18cos)′ ⋅
′
= 12πsin
′
= 32 × 3 = 92 = 9 3 + 5 2 ；
（2）′ = ′ ⋅ ′ = ′ ⋅ −0.05 + 1
= −0.05 = −0.05 −0.05+1 .
′
知识应用
追问1
你能总结求复合函数 = () 的导数的一般步骤吗？
答案：
（1）视察函数结构，辨认构成复合函数的基本初等函数；
《复合函数求导》课件
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。
数学人教A版(2019)选择性必修第二册5.2.3简单复合函数的导数(共17张ppt)
它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
yx yu ux . 逐层求导
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的 理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积.
例6 求下列函数的导数:
(1) y (3 x 5)3 ； (2) y e ； 0.05x1 (3) y ln(2 x 1).
程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1).
一般地, 对于两个函数y f (u)和u g( x), 如果通过中间变量u, y可以 表示成x的函数,那么称这个函数为函数y f (u)和u g( x)的复合函数 (composite function), 记作y f ( g( x)).
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去 第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
f (x)
g(x)
f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以
(3)设u 2x 1( x 1 ),则y ln u.
2
∴yx
yu
ux
(ln u) (2x
1)
12 u
2. 2x 1
1.求下列函数的导数
(1) y sin 2x (2) y cos2 x (3) y e2x (4) y 23x1 (5) y x2 1
(6) y
1
(1
2
x)
yx yu ux . 逐层求导
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的 理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积.
例6 求下列函数的导数:
(1) y (3 x 5)3 ； (2) y e ； 0.05x1 (3) y ln(2 x 1).
程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1).
一般地, 对于两个函数y f (u)和u g( x), 如果通过中间变量u, y可以 表示成x的函数,那么称这个函数为函数y f (u)和u g( x)的复合函数 (composite function), 记作y f ( g( x)).
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去 第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
f (x)
g(x)
f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以
(3)设u 2x 1( x 1 ),则y ln u.
2
∴yx
yu
ux
(ln u) (2x
1)
12 u
2. 2x 1
1.求下列函数的导数
(1) y sin 2x (2) y cos2 x (3) y e2x (4) y 23x1 (5) y x2 1
(6) y
1
(1
2
x)
《复合函数求导》课件
《复合函数求导》PPT课 件
本课件将详细介绍复合函数求导的概念和方法，并提供实例演练，帮助你掌 握这一重要的数学技巧。
什么是复合函数
复合函数是由一个函数作为另一个函数的输入而构成的函数。 复合函数的定义：设有函数y=f(u)，u=g(x)，则g(x)为f(u)的函数，称为复合函数，记作y=f(g(x))。 复合函数的示例：如sin(x^2)、e^(-2x)。
怎样对复合函数求导
1
链式法则的公式
2
若有f(u)和g(x)为可导函数，则(f(g(x)))'
= f'(u) * g'(x)。
3
链式法则的含义
链式法则是求解复合函数导数的重要 方法。
链式法则的应用
通过链式法则，我们可以将复杂的复 合函数求导问题简化为简单的导数计 算。
实例演练
实现链式法则的步骤
- 确定外函数和内函数- 分别求导外函数和内函数
2 复合函数求导的注意事项
注意在求导过程中使用链式法则，正确处理连锁关系。
3 复合函数求导的练习题提示
多做练习，加深对链式法则的理解和掌握。
实例演练2
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=cos(u)，g(x)=x^2-1。
实例演练1
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=u^2，g(x)=5x^3。
实例演练3
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=ln(u)，g(x)=2x+1。
总结
1 复合函数求导的考点
了解复合函数的概念和求导方法。
本课件将详细介绍复合函数求导的概念和方法，并提供实例演练，帮助你掌 握这一重要的数学技巧。
什么是复合函数
复合函数是由一个函数作为另一个函数的输入而构成的函数。 复合函数的定义：设有函数y=f(u)，u=g(x)，则g(x)为f(u)的函数，称为复合函数，记作y=f(g(x))。 复合函数的示例：如sin(x^2)、e^(-2x)。
怎样对复合函数求导
1
链式法则的公式
2
若有f(u)和g(x)为可导函数，则(f(g(x)))'
= f'(u) * g'(x)。
3
链式法则的含义
链式法则是求解复合函数导数的重要 方法。
链式法则的应用
通过链式法则，我们可以将复杂的复 合函数求导问题简化为简单的导数计 算。
实例演练
实现链式法则的步骤
- 确定外函数和内函数- 分别求导外函数和内函数
2 复合函数求导的注意事项
注意在求导过程中使用链式法则，正确处理连锁关系。
3 复合函数求导的练习题提示
多做练习，加深对链式法则的理解和掌握。
实例演练2
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=cos(u)，g(x)=x^2-1。
实例演练1
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=u^2，g(x)=5x^3。
实例演练3
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=ln(u)，g(x)=2x+1。
总结
1 复合函数求导的考点
了解复合函数的概念和求导方法。
复合函数求导法【高等数学PPT课件】
y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2
1 2
[(
2u
2
1 2
2u 1)
2
( 2u
1 2
2u
2
1)] 2
1 4
(2u2
2
2u
2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y
f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11
1 y
f12 z)
f
z(
f21
1 y
f22 z)
1x
2y 3z
1 y2
f11
2
z y
f12
z2
f
,
f21
2 f vu
,
f22
2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节 多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则
人教版高中数学 选择性必修二 A版5.2.3《简单复合函数的导数》课件PPT
′
= 2cosx ∙ + 2 ∙ −
=2
2
− 2
2
= 2cos2
知识梳理
=
= 2的导数为 ′ = ′() = 2
= = 的导数为 ′ = ′ = = cos2x
∴ ′()=′() ∙ ′ = 22
第三部分
课堂练习
跟踪练习
1.求下列函数的导数：
(1) = 2 − 2
(2) = ln
4
+ 5 2 + − 1
(3) = 2
跟踪练习
解析: 1 ′ = 22 + 22
′
3
1
4
(2) = 4() ∙ + 10+1= ()3 +10 + 1
=
2
′
= ′
(
≠ 0)
课堂总结
复合函数的求导法则：
一般地，对于由函数 = 和 =
数 =
复合而成的函
，它的导数与函数 = 和 =
的导
数间的关系为： ′ = ′ ∙ ′ . 即对的导数等于对
的导数与对 的导数的乘积。
2 3
即 =
2
3
课堂互动
2.求函数 = 2 + 2 的导数.
解析:
2
′()＝
2 2
=
1
2
+ 2 + 22
+ 2 + 22
课堂互动
3.求函数 = 3 + 2
解析: ′ =
2
(3
成人高考高数复合函数求导PPT课件
例子:求椭圆
在点
处的切线方程.
解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x 的函数)得:
于是所求切线方程为:
14
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:
(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程 是: (22))(过过x0椭椭-a圆圆)(x-a)+(y上0上-一b一)点(点yP-Pb0(0)x(=x0,r0y2,0y.)0的)的切切线线方方程程是是: :
又圆面积S=πR2,所以 =40π(cm)2/s. 故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
例4:在曲线
上求一点,使通过该点的切线平行于
x轴,并求此切线的方程.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:
切线斜率
把x0=0代入曲线方程得:y0=1. 所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论:
“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导 函数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加 以证明:
证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x
求导得:
,故
为
奇函数.
同理可证另一个命题.
我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数
量 的求导.
3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间
变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量.
简单复合函数的导数-高考数学复习PPT
1 C.ln 3
解析
f′(x)＝（x－11）ln
，故 3
f′(2)＝ln13.
D.－ln13
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索引
2.若函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a＝( A )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析 y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，
3.注意1个易错点 对复合函数求导不完全.
索引
拓展延伸分层精练 核心素养达成
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
一、基础达标
1.设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝( C )
A.ln 3
B.－ln 3
解析 设直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)相切于点(x0，y0)，则 y0＝1＋x0，y0＝ ln(x0＋a)， 又 y′＝x＋1 a， ∴y′|x＝x0＝x0＋1 a＝1，即 x0＋a＝1. 又 y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
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索引
训练3 曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面
积为( A )
A.13
B.12
C.23
D.1
解析 对 y＝e－2x＋1 求导得 y′＝－2e－2x，则 y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2，
∴曲线 y＝e－2x＋1 在点(0，2)处的切线方程为 y＝－2x＋2.
索引
7.某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160 km/h.假 设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v＝0.4t ＋ 0.6t2 ， 则 出 站 后 “ 绿 巨 人 ” 速 度 首 次 达 到 24 m/s 时 的 加 速 度 为
简单复合函数的导数 课件
（2）函数 = −.+ 可以看作函数 = 和 = −. + 的复合函数.根
据复合函数的求导法则，有
′ = ′ ∙ ′ = ′ ∙ −. + ′ = −. = −. −.+
（3）函数 = ln(2 − 1) 可以看作函数 = ln 和 = 2 − 1 的复合函数.根据
(2)令 u＝ex＋x2，则 y＝ln u，
ex＋2x
1 x 2
1
x
y′x＝y'u·u′x＝u·(e ＋x )′＝ x
·
(e
＋2x)＝ x
.
2
2
e ＋x
e ＋x
例3 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：
s）的函数满足关系式为 = (
− ) . 求函数y在t=3s 时的导数，并解
个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 且 ˊ = ˊ · ˊ .
复
合
函
数
求
导
分层——选择中间变量，写出
构成它的内、外层函数
求导——分别求内、外层函数对
应变量的导数
代回——把中间变量回代
相乘——把上述求导的结果相乘
课后提升
3
1．下列求导运算正确的是（ B）A．( + )′ = +
5.2 导数的运算
思 考
=
(1
+
)
的导数呢？
如何求函数 = (1 + ) 的导数呢？
3
= (1 + )3 = 3 + 3 2 + 3 + 1