(精心整理)高中三角函数公式大全及经典习题解答
用心辅导中心 高二数学
三角函数
知识点梳理:
⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2
1R 2
α=3602R n ?π
⒉正弦定理：
A a
sin =B b sin =C
c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）
⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos
c 2
=a 2
+b
2
-2ab C cos bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
⒋S ⊿=2
1a a h ?=2
1ab C sin =2
1bc A sin =2
1ac B sin =R
abc 4=2R 2A sin B sin C sin
=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C
B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p ---
(其中)(2
1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)
⒌同角关系：
⑴商的关系：①θtg =x y =θ
θ
cos sin =θθsec sin ? ②θθθ
θ
θcsc cos sin cos ?===
y x ctg ③θθθtg r
y
?==
cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?==
=tg x r ⑤θθθctg r
x
?==
sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?==
=ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++=
+b a b a
（其中辅助角?与点（a,b ）
在同一象限，且a
b tg =?）
⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω） 振幅A ，周期T =ω
π2, 频率f =T
1, 相位?ω+?x ，初相?
⒎五点作图法：令?ω+x 依次为ππππ2,2
3,,2
0 求出x 与y ， 依
点()y x ,作图 ⒏诱导公试 三角函数值等于α的同
名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号
看象限
三角函数值等于α的异
名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，
原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限
⒐和差角公式
①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β
αβ
αβαtg tg tg tg tg ?±=
± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=±
⑤γ
βγαβαγ
βαγβαγβαtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ?-?-?-??-++=
++1)( 其中当A+B+C=π时,有:
i).tgC tgB tgA tgC tgB tgA ??=++ ii).12
22222
=++C
tg B tg C tg A tg B tg A tg ⒑二倍角公式：(含万能公式) ①θ
θ
θθθ2
12cos sin 22sin tg tg +=
= ②θ
θ
θθθθθ2
22
2
2
2
11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2
θθ+=
⒒三倍角公式：
①)60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 3θθθθθθ+?-?=-= ②)60cos()60cos(cos 4cos 4cos 33cos 3θθθθθθ+?-?=+-=
③)60()60(31332
3θθθθ
θ
θθ+?-?=--=tg tg tg tg tg tg tg ⒓半角公式：（符号的选择由2
θ
所在的象限确定） ①2cos 12sin θθ-±= ②2cos 12sin 2θ
θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2
θθ
+=
⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2
cos 2cos 12θθ=+ ⑦2
sin
2
cos )2
sin 2
(cos sin 12θ
θθθθ±=±=±
⑧θ
θ
θθθθθ
sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12
-=+=+-±
=tg
⒔积化和差公式：
[])sin()sin(2
1
cos sin βαβαβα-++=
[])sin()sin(2
1
sin cos βαβαβα--+=
[])cos()cos(21
cos cos βαβαβα-++=
()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2
1sin sin ⒕和差化积公式： ①2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+ ②2
sin
2cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=-
③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2
sin
2sin 2cos cos β
αβαβα-+-=-
例题：
1．已知x ∈(－π2 ，0)，cos x ＝4
5 ，则tan2x 等于 （ ）
A. 7
24
B.－724
C. 24
7
D.－24
7
2．3 cos π12 －sin π
12 的值是 （ ）
A.0
B.－ 2
C.
2
D.2
3．已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝310
10，则α＋β的值为 （ ）
A. π4 或3π
4
B. 3π4
C. π4
D.2kπ＋π
4 (k ∈Z )
4．sin15°cos30°sin75°的值等于 （ ）
A. 3
4
B. 38
C. 1
8
D. 1
4
5．若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin π
12 )等于 （ ）
A. 1
2
B.－12
C.－3
2
D. 3
2
6．sin(x ＋60°)＋2sin(x －60°)－ 3 cos(120°－x )的值为 （
）
A. 12
B. 3
2 C.1
D.0
7．已知sin α＋cos α＝1
3 ，α∈(0，π)，那么sin2α，cos2α的值分别为 （ ）
A. 89 ，17
9 B.－89 ，179
C.－89 ，－179
D.－89 ，±17
9
8．在△ABC 中，若tan A tan B >1，则△ABC 的形状是 （ ）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
9．化简cos （π4 ＋α）－sin （π
4 ＋α）
cos （π4 －α）＋sin （π
4 －α）
的结果为 （ ） A.tan α
B.－tan α
C.cot α
D.－cot α
10．已知sin α＋sin β＋sinγ＝0，cos α＋cos β＋co sγ＝0，则cos(α－β)的值为 （ ）
A.－1
2
B. 1
2 C.－1
D.1
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．sin70＋cos150sin80
cos70－sin150sin80 的值等于_____________.
12．若1－tan A 1＋tan A ＝4＋ 5 ，则cot( π4 ＋A )＝_____________.
13．已知tan x ＝43 (π＜x ＜2π)，则cos(2x －π3 )cos(π3 －x )－sin(2x －π3 )sin(π
3 －x )＝_____.
14．sin(π4 －3x )cos(π3 －3x )－cos(π6 ＋3x )sin(π
4 ＋3x )＝_____________.
15．已知tan(α＋β)＝25 ，tan(β－π4 )＝14 ，则sin(α＋π4 )·sin(π
4 －α)的值为____________.
16．已知5cos(α－β2 )＋7cos β2 ＝0，则tan α－β2 tan α
2 ＝_____________.
1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）
A.y ＝sin2x
B.y ＝cos x
2
C.y ＝sin2x ＋cos2x
D.y ＝1－tan 2x 1＋tan 2x
2．设函数y ＝cos(sin x )，则 （ ）
A.它的定义域是［－1，1］
B.它是偶函数
C.它的值域是［－cos1，cos1］
D.它不是周期函数
3．把函数y ＝cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两
倍，然后把图象向左平移π
4 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 （ ）
A.y ＝2sin2x
B.y ＝－2sin2x
C.y ＝2cos(2x ＋π
4 )
D.y ＝2cos(x 2 ＋π
4 )
4．函数y ＝2sin(3x －π
4 )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ ）
A. π
3
B. 2π
3 C.π
D. 4π
3
5．若sin α＋cos α＝m ，且－ 2 ≤m ＜－1，则α角所在象限是 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
17．已知cos(α－π6 )＝1213 ，π6 ＜α＜π
2 ，求cos α.
18．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π
2 )，求sin α、tan α.
19．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求tan A 2 ＋tan C 2 ＋ 3 tan A 2 tan C
2 的值.