(完整版)2018年全国卷3文科数学试题及参考答案

年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第1页（共13页） 绝密★启用前 试题类型：新课标Ⅲ 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合|10Axx，0,1,2B，则AB( ) A．0 B．1 C．1,2 D．0,1,2 【答案】C 【解析】:1Ax，1,2AB 【考点】交集 2．12ii( ) A．3i B．3i C．3i D．3i 【答案】D 【解析】21223iiiii 【考点】复数的运算 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第2页（共13页） 【答案】A 【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B答案能看见小长方体的上面和左面，C答案至少能看见小长方体的左面和前面，D答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失 【考点】三视图 4.若1sin3，则cos2( ) A．89 B．79 C．79 D．89 【答案】B 【解析】27cos212sin9 【考点】余弦的二倍角公式 5.某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( ) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【解析】10.450.150.4 【考点】互斥事件的概率 俯视方向D. C. B. A.
年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第3页（共13页） 6.函数2tan1tanxfxx的最小正周期为( ) A．4 B．2 C． D．2 【答案】C 【解析】2222tantancos1sincossin2221tan1tancosxxxfxxxxxkxxx，22T(定义域并没有影响到周期) 【考点】切化弦、二倍角、三角函数周期 7.下列函数中，其图像与函数lnyx的图像关于直线1x对称的是 A．ln1yx B．ln2yx C．ln1yx D．ln2yx 【答案】B 【解析】采用特殊值法，在lnyx取一点3,ln3A，则A点关于直线1x的对称点为'1,ln3A应该在所求函数上，排除A，C，D 【考点】函数关于直线对称 8．直线20xy分别与x轴、y轴交于点,AB两点，点P在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是( ) A．2,6 B．4,8 C．2,32 D．22,32 【答案】A 【解析】2,0,0,2A

B，22AB，可设22cos,2sinP，则42sin4222sin2,3242PABd 122,62ABPPABPABSABdd
年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第4页（共13页） 注：PABd的范围也可以这样求：设圆心为O，则2,0O，故2,2PABOABOABddd，而4222OABd，2,32PABd 【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数) 9．422yxx的图像大致为( ) 【答案】D 【解析】12f，排除A、B；32'42212yxxxx，故函数在20,2单增，排除C 【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑) 10.已知双曲线的2222:10,0xyCabab的离心率为2，则点4,0到C的渐近线的距离为 A．2 B．2 C．322 D．22 【答案】D xxxxyyyyD.C.B.A.OO11OO111111
年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第5页（共13页） 【解析】2212cbeabaa 渐近线为0xy 故4222d 【考点】双曲线的离心率、渐近线之间的互相转化 11.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若ABC的面积为2224abc，则C( ) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】2221sin24ABCabcSabC，而222cos2abcCab 故12cos1sincos242abCabCabC，4C 【考点】三角形面积公式、余弦定理 12.设,,,ABCD是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC的体积最大值为( ) A．123 B．183 C．243 D．543 【答案】B 【解析】如图，O为球心，F为等边ABC的重心， 易知OF底面ABC，当,,DOF三点共线， 即DF底面ABC时，三棱锥DABC的高最大，体积也最大. 此时： 693ABCABCABS等边， OFECBAD
年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第6页（共13页） 在等边ABC中，232333BFBEAB， 在RtOFB中，易知2OF，6DF，故max19361833DABCV 【考点】外接球、椎体体积最值 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 已知向量1,2a，2,2b，1,c. 若//2cab，则_______. 【答案】12 【解析】24,2ab，故24 【考点】向量平行的坐标运算 14. 某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方式有简单随机抽样，分层抽样和系统抽样，则最适合的抽样方法是______. 【答案】分层抽样 【解析】题干中说道“不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异”，所以应该按照年龄进行分层抽样 【考点】抽样方法的区别 15.若变量,xy满足约束条件23024020xyxyx，则13zxy的最大值是_________. 【答案】3 【解析】采用交点法：(1)(2)交点为2,1，(2)(3)交点为2,3，(1)(3)交点为2,7 分别代入目标函数得到53，3，13，故最大值为3(为了严谨可以将最大值点2,3代入方程(1)检验一下可行域的封闭性) 本题也可以用正常的画图去做
年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第7页（共13页） 【考点

】线性规划 16. 已知函数2ln11fxxx，4fa，则_______.fa 【答案】2 【解析】令2ln1gxxx，则2ln1gxxxgx， 14faga，而112fagaga 【考点】对数型函数的奇偶性 三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17. (12分) 等比数列na中，1531,4aaa. (1)求na的通项公式； (2)记nS为na的前n项和. 若63mS，求m. 【答案】(1)12nna或12nna；(2)6m 【解析】(1)25334aaaq，2q，12nna或12nna (2) 当2q时，112631mmS，解得6m 当2q时，112633mmS，得2188m无解 综上：6m 【考点】等比数列通项公式与前n项和公式 18. (12分)
年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第8页（共13页） 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图： 第一种生产方式 第二种生产方式 8 6 5 5 6 8 9 9 7 6 2 7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 8 1 4 4 5 2 1 1 0 0 9 0 (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：22nadbcKabcdacbd， 2PKk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有； 【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min之间，而第一组数据集中在80min~90min之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上168727677798283838485868787888990909191928420E同理274.7E，21EE，故第二组生产方式效率更高 (2)由茎叶图可知，中位数7981802m，且列联表为： 超过m 不超过m 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15
年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第9页（共13页） (3)由(2)可知222240155106.63520202020K， 故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验 19．(12分) 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是CD上异于,CD的点． (1)证明：平面AMD平面BMC； (2)在线段AM上是否存在点P，使得//MC平面PBD？说明理由. 【答案】(1)见解析；(2)P为AM中点 【解析】(1)ABCDCDMB

CDCMBCDMDMBMCADNBMCBCCDMCDM (这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容) (2)当P为AM的中点时，//MC平面PBD. 证明如下 连接BD，AC交于点O，易知O为AC中点，取AM中点P，连接PO，则//POAC，又MC平面PBD，PO平面PBD，所以//MC平面PBD MBCDAPOMBCDA
年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第10页（共13页） 【考点】面面垂直的判定、线面垂直、存在性问题 20. (12分) 已知斜率为k的直线l与椭圆22:143xyC交于,AB两点，线段AB的中点为1,0Mmm. (1)证明：12k； (2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0FPFAFB. 证明2FPFAFB. 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】(1) 点差法：设1122,,,AxyBxy，则22112222143143xyxy相减化简可得： 1212121234yyyyxxxx，34OMABkk(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，34mk，易知中点M在椭圆内，21143m，代入可得12k或12k，又0m，0k，综上12k 联立法：设直线方程为ykxn，且1122,,,AxyBxy，联立22143xyykxn可得， 2224384120kxknxn，则122212284341243knxxknxxk，121226243nyykxxnk 224143343MMknxknymk，两式相除可得34mk，后续过程和点差法一样(如果用算的话比较麻烦) (2) 0FPFAFB，20FPFM，即1,2Pm，214143m，304mm71,4knmk，
年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第11页（共13页） 由(1)得联立后方程为2171404xx， 22121223cacacFAFBxxaxxacaca(椭圆的第二定义) (或者2222111111131242xxFAxyx代入椭圆方程消掉1y 同理222xFB，12432xxFAFB) 而32FP 2FAFBFP 【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、向量的坐标运算、利用椭圆方程消12,yy 21. (12分) 已知函数21xaxxfxe. (1)求曲线yfx在点0,1处的切线方程； (2)证明：当1a时，0fxe. 【答案】(1)210xy；(2)见解析 【解析】(1)2212','02xaxaxfxfe 因此曲线yfx在点0,1处的切线方程为：210xy (2) 当1a时，211xxfxexxee(利用不等式消参) 令211xgxxxe则1'21xgxxe，1''20xgxe， 'gx单调增，又'10g， 故当1x时，'0gx，gx单减；当1x时，'0gx，gx单增； 故10gxg
年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第12页（共13页） 因此0fxe 【考点】切线方程、导数的应用 (二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修44：坐标系与参数方程(10分) 在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为cossinxy(为参数)，过点0,2且倾斜角为的直线l与O交于,AB两点. (1) 求的取值范围； (2) 求AB中点P的轨迹的参数方程. 【答案】(1)3,44；(2)2sin23,,2244cos222xy 【解析】(1)当2时，直线:0lx，符合题意； 当2时，设直线:2lykx，由题意得2211dk，即,11,k，又tank，3,,4224 综上，3,44 (2)可设直线参数方程为cos3,442sinxtyt，代入圆的方程可得： 222sin10tt 122sin2Pttt 2sincos3,4422sinsinxy
年全国卷3文科数学试题及其参考答案 第13页（共13页） 即点P的

轨迹的参数方程为223sin2,,2442cosxy (也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程 23. 选修45：不等式选讲(10分) 已知函数211fxxx. (1)画出yfx的图像； (2)当0,x时，fxaxb，求ab的最小值. 【答案】(1)见解析；(2)5 【解析】(1)13,212,123,1xxfxxxxx，图象如下 (2)由题意得，当0x时，axb的图象始终在fx图象的上方，结合(1)中图象可知，3,2ab，当3,2ab时，ab最小，最小值为5， 【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题 xy21.531-0.5O