结构随机振动理论2

二.随机变量
• 目的: 引入随机变量，可将高数(强大工具)应用到概率 研究中，进行运算。 • 思路:
样本数量化 用实数标识一个样本 随机变量 随机变量的分布函数
样本空间
映 射
语言描述
实数集
实数变量
随机变量是对随机现象的数量化描述
• 一个随机试验的所有基本事件的集合,称为样本空 间,记为Ω • 一个基本事件就是Ω 中的一个元素，记为ω • 按某种规则，对每一个ω指定一个数 X ( )，它是 ω的确定性函数。但其“自变量” ω不是数，而 X ( ) 定义域是 Ω。 X ( ) 就称为 是Ω 中的元素， 随机变量，简记为 X • 一个基本事件就可用随机变量取某个确定值表示， X x 任一事件就用随机变量取某一范围 记为 。而 x1 x x2 的值表示，记为 ，该事件发生的可能性 P[ x1 x 描述。 x2 ] 则用概率
2
（2）自协方差函数
C x ( t1 , t 2 ) E ( X ( t1 ) x ( t1 ))( X ( t 2 ) x ( t 2 )) R x ( t1 , t 2 ) x ( t1 ) x ( t 2 )
如： t1 t2 t
则：C x ( t , t ) x ( t )

xyp( x, y )dxdy
当X与Y统计独立时，有：
E[ XY ] xp( x )dx yp( y )dy x y

如 E[ XY ] 0时，则称 X与 Y正交。 *（n，m）阶联合中心矩
E[( X x ) n (Y y ) m ]
d p( x ) F ( x) dx
几种重要的分布函数： 正态分布（Gauss分布） 瑞利分布 泊松分布 韦布尔分布 平均分布
三、多维随机变量及其分布
* 样本可能具有多个特征，多个随机变量描述一个样本。 * 多维随机变量的概率分布函数（联合分布函数）。 * 边缘分布
四、随机变量的数字特征 ——把握随机变量的有效途径 分布函数，完整描述随机变量的概率分布， 但实际上求分布函数很困难。这时去关心随机变 量的特征。 常有：数学期望、方差、相关系数、矩 * 重点：理解数字特征的意义； 掌握其求法及互推关系。 * 强调：随机变量之间“相关”是指“线性相关”； 相互独立：没有任何关系； “不相关”不一定“相互独立”。
x
（二阶原点矩） 均方值(mean square value) ，反映随机变量的能量 水平。 几何意义：
x0 轴的“惯性矩”。 上述讨论的针对 x 0轴的矩，是原点矩。
A对 p
p( x )
三、中心矩（对形心轴 x x 之矩）
n阶中心矩： n E[( X x ) ] ( x x )n p( x )dx 一阶：
x E[ X 2 ] x
2 2
推导过程：
x ( x x ) p x dx
2 2




( x 2 2 x x x ) p x dx
2 2 2 x
E[ X ] 2 x x
2 E[ X 2 ] x
( p( x )dx Ap 1)
E X x 0
D( X ) E[( X x )2 ]
xc
*
x
dx dAp p( x)dx
x
二阶：
D( X )
2 X 也称 的方差（variance），常用 x 表示
2 x 的平方根，即 x
称为标准差（standard deviation）。
中心二阶矩与原点二阶矩互推关系


四、联合矩 多维随机变量（也称随机矢量）。 以二维为例 X,Y * (n,m)阶联合矩
E[ X Y ]
n m

x n y m p( x, y )dxdy
常用的（1,1）阶， 也称相关矩（Correlation moment）。
E[ XY ]


（3）方差函数（Variance function）
2
x (t ) E X (t ) x 2 p( x, t )dx
2 2
x ( t ) E ( X ( t ) x ( t )) 2 x ( t ) x ( t )
2 2
x ( t ) ：描述随机过程的平均发展趋势；
{ pi , i 1,2,3,} 称为离散型随机变量 X 的概率分布列
* 对于连续型随机变量X，n阶矩表示为：
E[ X ]
n
x n p( x )dx
其中：p ( x) 为 X 的概率密度函数。 最常用的是一阶矩和二阶矩。
一、一阶矩 （原点一阶矩）
E[ X ]

1 xy 1
xy 反映X，Y线性相关程度。
xy 1 ，线性相关；
xy 0 ，不相关。
§ 2-3随机过程的基本概念
一、定义 如对每个 ，按某种规则,指定时间 的函 t 数 X (t , ) ，那么考虑所有不同 ，就有一族函数 ，这族函数就看作为随机过程。 随机过程被认为是概率论的“动力学”部 分（J.Negman，1960），意思是讲，它的研究 对象是随时间演变的随机现象。
R x ( t 1 , t 2 ) E X ( t 1 ) X ( t 2 )


x1 x p( x1 , t1 ; x 2 , t 2 )dx1dx2
2
反映两个随机变量 X ( t1 ) 和 X ( t 2 ) 间的相关程度。 如：t1 t 2 t
Rx ( t , t ) x ( t ) 则：
状态 可分为离散或连续的， 参数 t 可分为离散或连续的。
X (t )分四类： ①连续参数的连续随机过程 ②连续参数的离散随机过程 ③离散参数的连续随机过程 ④离散参数的离散随机过程
随机过程的概率描述分： 完全描述、不完全描述 ★完全描述 ①维概率分布密度函数 px ( x1 , t1 ) 一维： 二维： p x ( x1 , t1 ; x2 , t 2 ) …… …… p x ( x1 , t1 ; x2 , t 2 ;; xn , t n ) n维：
Chap.2 随机振动的数学基础
§2-1 《概率统计》知识要点 一.概率论中的基本概念 1.利用集合及其运算对涉及的概念的描述 如：样本空间、随机事件、和事件、积事件 2. 实例 概率 频率
（描述发生的可能性， 并不科学） （定义出集合函数）
3.
基本事件的 概率特征
对试验分类
概型
4. 求解古典概型的几个有力工具 条件概率公式 乘法原理 全概率公式和贝叶斯公式 “全”最具威力； 柯尔莫哥洛夫(kolmogorov ) （前苏联）1933 将概率论实现公理化




( x x ) ( y y ) p( x, y )dxdy
n m
（1,1）阶联合中心矩，重要 用 C xy 表示。
E XY x y
协方差（Covariance），
C xy Cov ( X , Y ) E[( x x )( y y )]
四、随机过程的数字特征 * 时域数字特征（Time domain）
★一维分布 （1）均值函数（Mean value function） （2）均方值函数（Mean square function）
1 n x ( t ) E X ( t ) xp( x , t )dx lim x k ( t ) n n k 1
C xy 0 ， X 与 Y 是不相关的。 如：
讨论：① X 与 Y 独立，则
E XY x y
C xy 0
X与Y必不相关。 ②反之，不一定成立（仅在一类特殊场合 —正态分布时，独立性与不相关性等价）。
* 协方差 C xy 无量纲化
xy
C xy
x y
称为相关系数。取值范围：
1.
语言描述
实数变量
样本空间
映射
实数集
随机变量是对随机现象的数量化描述
2. 几种离散型随机变量的分布律 3. 定义分布函数 4.分布函数
连续积分式 定义
概率密度函数
转化
概率
概率密度函数积分
p( x )
F ( x)
1
概率密度函数
p( x )
x
概率分布函数
x
F ( x)
F ( x)
x

p( )d
* X ( t ) 的任意抽样 i ，即 x i ( t ) 表示一个样本函数， 是一个确定性的时间历程曲线； * X ( t )当固定一个时刻 t j ，得到一个随机变量 X ( t j ) ，称为截口随机变量。
★两种解释: 1.可看成是一族函数 x1 ( t ), x2 ( t ), , xn ( t ) 组成的集合。 2.一组随机变量 X ( t1 ), X ( t 2 ), , X ( t m )的集合。 （多维随机变量）
p( x )
xc
x p( x )dx
x
* 形心
dx dAp p( x)dx
考察几何意义
x
概率密度函数
p( x )
p( x )
总面积： AP


xc

p( x)dx 1
x

*
dx dAp p( x)dx
x
EX x p( x)dx xdAp Ap xc xc
为帮助理解，让我们看一个例子。设想让一位司机驾 驶一辆装货不变的卡车在一段规定的路面上以预定的速度 规律从A处开到B处，测量远离发动机的主梁上某点的正应 力。虽然所有实验者能控制的因素都保持不变，但由于实 验者所不能控制的因素（主要是路面不平度）的随机性， 使得每次测得的应力时间历程都是彼此不同的，因而这是 一个随机实验。实验可进行无穷多次，得到无穷多个不同 的应力时间历程，所有可能得到的应力时间历程的全体就 构成一个随机过程，而其中任一个时间历程就是一个样本 函数。如果将所有应力时间历程如图1.那样排列起来，那 么在固定时刻上，随机过程就化为一个随机变量。
2
2 2 均方值 x ( t )、方差 x ( t )、自相关 Rx ( t1 , t 2 )、协方差 C x ( t1 , t 2 ) 均属于二阶矩。
定义：如果一个随机过程 X ( t ) 的二阶矩函数存在，
称 X ( t ) 为二阶矩过程。 讨论：对二阶矩过程，不完全描述中： ① 只有 x ( t )与 Rx ( t )是独立的，其余的数字特征函数均可由 x ( t ) 和 Rx ( t ) 推出。 ②实际过程， 如 x (t ) 0 （或平移、中心化处理），仅余
§2-2随机变量的数字特征——矩
随机变量
X 的n阶矩，定义为 x n 的集合平均。
* 对于离散型随机变量 X ，n阶矩表示为：
E[ X n ] xin pi
其中： xi (i 1,2,3 ) 为随机变量 X 可能取得数值；
i
Leabharlann Baidu
X 取 x i 的概率记为 pi P( X xi )

xc —
A p 形心处的x坐标。
E X 表示均值（mean value）或者数学期望 （expected value）。 反映集合的平均。 鉴于很重要，地位特殊，专用符号 x 表示。
p( x )
二、二阶矩
E X
xc

2


x 2 p( x )dx
x
*
dx dAp p( x)dx
x ( t )：描述随机过程偏离原点的平均分散程度随时间的变化；也描述
2
X ( t ) 平均功率随时间的变化。
x ( t ) ：描述随机过程偏离平均趋势的平均分散度随时间的变化。
2
★ 二维分布 X (t 2 ) * 两个截口随机变量 X ( t1 )、 （1）自相关函数（autocorrelation function）
②特征函数 p x 的Fourier变换 ③矩函数
★不完全方法（数字特征） ①时域描述——相关分析： 一维 E X ( t ) 相关函数 Rx (t1 , t 2 ) E X (t1 ) X (t 2 ) 方差函数D 均方差函数 协方差函数 ②频域描述——谱分析
数字特征虽不能像概率分布那样较完善的描述 随机过程，但能集中反映过程的主要统计特性。