初中数学北师大版八年级上册《11探索勾股定理》学案
数学
课题：探索勾股定理 课型：新授课 授课时间：
【学习目标】1.探究直角三角形三边之间的数量关系，理解、掌握勾股定理的内容。 2.运用拼图的方法证明勾股定理。 3.应用勾股定理解决简单的实际问题。 【重点难点预见】 重点：1. 理解、掌握勾股定理的内容。 2. 运用拼图的方法证明勾股定理。 难点：应用勾股定理解决实际问题。 【热身赛场】 1.在Rt△ABC中，若∠C=90°，则AB边称为 边，BC和AC 边称为 边。 2.在Rt△ABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形 的面积可表示为S= 。 3.正方形的面积公式：边长为a的正方形面积S= 。 【探索规律】 问题1：参看教材2P的图形 1. 观察图1-2，请计算出正方形A、B、C的面积；并猜想它们之间的关系： (1)左图中，_______;_______,______,CBASSS (2)右图中，_______;_______,______,CBASSS 2.正方形A、B、C的面积之间有什么关系： 。 问题2：参看书2P的图形 1.观看图1-3，请计算出正方形A、B、C的面积；并猜想它们之间的关系： (1)左上图中，_______;_______,______,CBASSS (2)右下图中，_______;_______,______,CBASSS 2．正方形A、B、C的面积之间有什么关系： 。 结论： 以直角三角形 为边的正方形面积和，等于以 为 边的正方形面积。 【数学实验室】 【教法、学法指导】
备注（教师复备栏或
学生笔记栏）
A
B
C c b a
B
实验任务：利用拼图的方法验证勾股定理。 证明1： 大正方形的面积表示为 ， 或者为 . 所以： = 。 化简为： 。 证明2： 大正方形的面积表示为 ， 或者为 。 所以： = 。 化简为： 。 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c， 那么 【实战训练场】 ① 号场：求出下列直角三角形中未知边的长度。 ②号场：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm， CD⊥AB于D.求(1)AC的长；(2) △ABC的面积； 【达标测评】 1. 在Rt△ABC中，已知∠C=90°.
（国际数学家大会
会标）
b
c
a
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
C
B
D A
x
8
6
13
5
y
①若a=3，b=4，则c= ； ②若a=6,c=10，则b= . 2.在Rt△ABC中，已知∠A=90°，若a=13,b=5,则c= . 3.某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m，宽为 1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为： . 【思维拓展】 （总统证明法）美国总统伽菲尔德用下图的方法证明勾股定理，请你帮他写出证明过程：
自主反思：
作业记载：
a
b
c
b
a
c
A B C D E
北师大八上-1-勾股定理 预习学案
1.1探索勾股定理「引入课」勾股定理的引入「概念课」证法最多的定【勾股定理的引入】．理学习目标了解勾股定理及其内容引导问题1勾股定理是什么？1.相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家2做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映出了直角三角形三边的某种数量关系．小正方形的面积和S 1+S 2等于________个小三角形面积和，大正方形的面积S 3等于________个小三角形面积和，所以能够得出：S 1+S 2___S 3．.中间这个三角形的三边分别是三个正方形的边，表示为a 、b 、c ，那么在小正方形中1S =________，2S =________，3S =________．因为123S S S +=，所以我们有________________．这就是勾股定理的表达式．它的含义是直角边的________等于斜边的________．（图中a b =）「概念课」几何证法学习目标了解勾股定理的几何证法构造一个直角三角形，分别以三边为边长作三个正方形，如图所示．要证明勾股定理，即两直角边的________等于斜边的________（22a b +=________）．在引导问题1如何用几何方法证明勾股定理？这幅图中，三个正方形的面积分别是________、________、________，证明两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，即可证明勾股定理．1.过三角形直角顶点向斜边作垂线，并延长至大正方形底边．大的________面积________，从而得出结论．2.要证明11S S =矩形，如图连接AM 、CN ，可以证正方形被分割成了两个________．我们的目标是：证明左边的________和左边的________面积相等，右边的________和右边明ABM NBC △≌△（SAS ）．ABM NBC S S =△△．212ABM S a =△．21S a =．12ABM S S =△．12NBC S =△________．1S ch =矩形．12S =矩形________．11S S =矩形．3.右半部分的证明思路与左边相同，请你自己试着证明2S S =矩形2：4.3S S S +=矩形1矩形2．________+________3S =．∴a 2+b 2=c 2．引导问题1如何用代数方法证明勾股定理？「概念课」代数证法学习目标了解勾股定理的代数证法1.如图，构造四个全等的直角三角形，拼成一个中间是小正方形的大正方形，其中直角三角形的两直角边分别是a 、b ，中间小正方形的边长就是________．利用面积证明勾股定理．2.∵S 大正方形=4S S +直角三角形小正方形=4⨯________+()2_______=________________________=________________________又∵2S c =大正方形．3.将两个全等的直角三角形如图摆放，构成一个直角梯形∴a 2+b 2=c 2．引导问题2如何用“总统法”证明勾股定理？．∵=S 梯形________．．又∵S 梯形=S △AED +S △EBC +S △CED =________________所以________________________．化简得a 2+b 2=c 2．「概念课」用勾股定理计算边长－上能力目标已知直角三角形两边，会求第三边拔高练习已知Rt ABC △中，直角边分别是a 、b ，斜边是c ，5a =，12b =1.求下列三角形的边长，并写出过程．，求c 的长度．已知Rt ABC △中，直角边分别是a 、b ，斜边是c ，45b =，1c =，求a 的长度．已知Rt ABC △中，直角边分别是a 、b ，斜边是c ，3a m =，4b m =，求c 的长度．已知Rt ABC △中，直角边分别是a 、b ，斜边是c ，2a m =，5b n =，求c 的长度．2.已知Rt ABC △中，直角边分别是a 、b ，斜边是c ，直角边a =________________，直角边b =________________，斜边c =________________．3.已知Rt ABC △，3a =，4b =，求第三边c 的长度．4.已知Rt ABC △，5a =，2b =，第三边c 的长度．5.「概念课」特殊直角三角形的三边关系学习目标☐了解等腰直角三角形与含30︒角的直角三角形的三边关系☐会利用特殊直角三角形转化线段关系=________=________．三边长就是________，________引导问题1等腰直角三角形的三边之间有什么关系？设等腰直角三角形的直角边为a ，根据勾股定理，斜边和________．等腰直角三角形的三边之比是________________．2.若等腰直角三角形腰长是13，斜边长是________．若等腰直角三角形斜边长是8，腰长是________．3.定理：在直角三角形中，30︒角所对直角边等于斜边的________．设30︒引导问题2含30︒角的直角三角形的三边之间有什么关系？所=________________=________．三边从小到大排列就对的直角边为a ，斜边就是2a ，根据勾股定理，另一条直角边是________________，三边之比是________________．4.在Rt ABC △中，30A ∠=︒，AB =AC的长．5.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，AC =，求AB 的长．6.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D 点，如果60A ∠=︒，求证：3BD AD =引导问题3如何利用特殊三角形转化线段关系？．「解题课」两类特殊三角形的面积能力目标计算两类特殊三角形的面积拔高练习1.已知等腰直角三角形的直角边长为a，求三角形的面积．2.已知等腰直角三角形的面积是9，求三角形的直角边长．3.已知等腰直角三角形的斜边长为b，求三角形的面积．4.已知等腰直角三角形的斜边长为，求三角形的面积．5.如图，由两个等腰直角三角形拼成的四边形，已知AB=，求四边形ABCD的面积．已知等边三角形的边长是a ，求三角形的面积．7.，求三角形的面积．8.已知等边三角形的面积是，求它的边长．9.已知△ABC 是等边三角形，△BCD 是等腰直角三角形，已知6AB =，求四边形ABDC 的面积．「解题课」用勾股定理计算边长－下能力目标巧用代数知识优化计算拔高练习1.已知直角三角形的两直角边长分别是25、60，求斜边长度．2.已知直角三角形的两直角边长分别是9、12，求斜边长度．3.已知直角三角形的两直角边长分别是52、65，求斜边长度．4.已知直角三角形的斜边长61，一条直角边长60，求另一条直角边长度．5.在ABC △中，90C ∠=︒，周长为900，斜边与一直角边比是13:5，求三角形的三边长．攻略常见勾股数及其倍数攻略提公因式攻略平方差公式能力目标用面积法求直角三角形斜边上的高拔高练习1.已知直角三角形的两条直角边分别为5、12，求斜边上的高．2.已知直角三角形的两条直角边分别为7、24，求斜边上的高．3.已知直角三角形两直角边之比是3:4，斜边是25，求斜边上的高．能力目标利用勾股定理求三角形的高拔高练习1.已知等腰三角形的腰长为8、底边长为12，求底边上的高和三角形面积．2.等腰三角形的腰长为10，底边长为14，求腰上的高．3.已知ABC △中，20AB =，15AC =，BC 边上的高为12，求三角形ABC的面积．攻略勾股定理求线段攻略勾股定理求线段面积法1.2一定是直角三角形吗「概念课」勾股定理的逆定理学习目标会用勾股定理的逆定理判断三角形形状1.勾股定理是直角三角形的________，勾股定理的逆定理是________直角三角形的方法引导问题1勾股定理与直角三角形的关系是什么？．2.三角形三边长分别为1，引导问题2如何用勾股定理的逆定理判定直角三角形？和3，它是不是直角三角形？将较短的两边作为a 、b ，较长的边作为c ，代入公式，得到________________，所以这个三角形________直角三角形．3.三角形三边长分别为4，7和8，它是不是直角三角形？4.三角形三边长分别为12，13和14，它是不是直角三角形？（提示：可以将三边长先通分，再提出分母．）5.三角形三边长分别为21a n =-，2b n =和21c n =+，1n >，它是不是直角三角形？6.钝角三角形中，钝角边的平方________（填写“大于”、“小于”或“等于”）其它两边引导问题3如何用勾股定理的逆定理判定锐角、钝角三角形？的平方和，锐角三角形较长的边的平方________其它两边的平方和．7.三边长为3，4，6的三角形是什么形状的？∵________________，∴它是______________．「解题课」证明直角三角形能力目标利用勾股定理逆定理证直角拔高练习直角三角形，并说明理由1.如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，请根据所学知识判断△ABC 是不是．2.在四边形ABCD 中，2AB AD ==，60A ∠=︒，BC =，4CD =，求ADC ∠的度数．3.如图所示，在锐角三角形ABC 中，12AD =，13AC =，5CD =，14BC =，则AB的长是多少？攻略证明直角三角形↓勾股定理逆定理∵222a b c +=∴90C ∠=︒1.3勾股定理的应用「解题课」狗蛋班的勾股定理能力目标利用勾股定理解决应用题拔高练习米后，拖把底端B 向外移动了多远1.墙角斜立着一根1米长的拖把AB ，拖把上端A 距离地面0.8米．当拖把上端A 下滑0.3？2.体育课，雷姐开始巡视方阵．离她20m 之内的人都会受到雷姐霸王色的霸气影响，开始不由自主地颤抖，也就是说她的气场范围是半径20m 的圆．李狗蛋坐在雷姐开始位置右边32米，，雷姐的行动轨迹是右往上偏30 ，每秒走2m ．问李狗蛋会受到雷姐气场波及颤抖吗？如果会的话，他颤抖时间是多少？攻略做几何应用题先画图把题目翻译成数学语言「解题课」立体图形中的最短路径能力目标用勾股定理求最短路径2.如图，长方体中，6BC =，5CD =，14DD =．点M 是BC 中点，求沿长方体表面1.如图，正方体棱长为2，M 是BC 中点．沿正方体表面，求M 点到D 1点的最短距离．，从M 点到1D点的最短距离．攻略1.展开立体图形转化为平面图形2.利用勾股定理求线段长能力目标利用勾股定理列方程拔高练习1.一个直角三角形，斜边长比一条直角边大52.如图，等腰ABC △中，底边20BC =，CD AB ⊥于D ，16CD =，求ABC △的周长．3.在ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若12a b +=，ABC △的面积等于7，求斜边c 的长度．攻略将复杂的数量关系转化为数学式子（设未知数）列方程（勾股定理）能力目标利用勾股定理列多个方程拔高练习2.如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的中线，1.如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ．若AD =2BD ，AC =7，BC =4，求BD的长．AD =，5BE =，求AB 的长．3.将矩形ABCD 分成四个全等的矩形，如图所示，29AE =，41AF =，求AC的长度．攻略利用直角三角形列方程列方程要用上所有条件根据目标代数变形能力目标利用折叠找全等转化线段关系拔高练习落在直线AC 上，形成的折痕是AD ．求线段CD 的长度1.如图所示，在△ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =16．把△ABC 折叠，使AB ．2.如下图，长方形ABCD 中，4AB =，3BC =，将其沿直线MN 折叠，使点C 与点A 重合，求CN的长．攻略折叠↓全等↓转换边长↓勾股定理AB=，3.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，点D落在BC边的点F处．已知8BC=，求EC的长．104.如图，将边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使D落在BC中点E处，点A落在点F处，折痕为MN．求线段CN的长．「解题课」利用勾股定理作证明能力目标利用勾股定理证明含平方的式子2.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 是AC 中点，DE AB ⊥于E ，试证1.如图，在△ABC 中，∠A =90︒，DE 垂直平分BC ，求证：BE 2-AE 2=AC 2．：222BE BC AE =+．3.如图，在ABC △中，90A ∠=︒，点D 、E 分别在AC 和AB 上．求证：2222BD DE BC CE -=-．攻略利用勾股定理转化线段的平方根据目标做代数变形攻略利用勾股定理转化线段的平方根据目标做代数变形攻略利用勾股定理转化线段的平方根据目标做代数变形满分必学「解题课」含15°角的直角三角形能力目标计算含15︒角直角三角形的三边关系1.如图，在△ABC 中，∠C =90︒，∠A =15︒，BC =1，求AC 、AB 拔高练习．攻略巧用30︒、45︒这两个特殊角构造直角三角形「解题课」特殊角在计算中的应用能力目标通过特殊角构造直角三角形拔高练习（1）若1.如图，在△ABC 中，∠B =45︒，∠C =60︒．AB =AC 的长度；（2）若20BC =，求ABC △的周长．2.“洋葱实验中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到30A ∠=︒，20AC =，15BC =，若B ∠为钝角，请求出这块花圃的面积．3.如图，在ABC △中，15B ∠=︒，45C ∠=︒，1AB =，求BC．攻略构造特殊直角三角形攻略构造特殊直角三角形构造时最好不要破坏特殊角和重要边长「解题课」已知三角形两边及夹角求第三边能力目标构造特殊直角三角形计算边长拔高练习1.已知ABC △中，5AB =，BC =45B ∠=︒，求AC 边的长．2.已知ABC △中，3AB =，BC =45B ∠=︒，求AC 边的长．3.如图，在ABC △中，7AC =，BC =，150ACB ∠=︒，求AB．攻略已知两边长和所夹特殊角求第三边↓构造特殊直角三角形攻略已知两边长和所夹特殊角求第三边↓构造特殊直角三角形区分锐角和钝角「解题课」构造特殊的直角三角形能力目标利用特殊角构造直角三角形拔高练习连接AD ．求证：AD AC =1.如图，在△ABC 中，∠B =60︒，AB =10，BC =6，D 为BC 上一点，且BD =2DC ，．2.如图，在ABC △中，AB AC =，30A ∠=︒，在AB 上取点D ，AC 上取点E ，使BD AE =，45DEC ∠=︒．求证：DC DE =．3.已知，如图，BD DC AC ==，2ACD ABD ∠=∠，求证：120A B ∠=︒-∠．攻略利用特殊角构造特殊直角三角形攻略利用特殊角构造特殊直角三角形作垂直利用三边关系转化线段能力目标已知三角形三边，求一边上的高拔高练习2.在ABC △中，3AB =，5BC =，7AC =，求AB 边上的高CH 1.如图，在△ABC 中，AB =13，BC =14，AC =15，求△ABC 的面积．．攻略1.设未知数，利用勾股定理列方程求高2.设未知数，要从底边入手能力目标已知三角形三边求中线长拔高练习的长1.如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，且AB =7，BC =5，AC =6，求CD ．2.如图，在ABC △中，CD 是AB 边上的中线，且AB c =，BC a =，AC b =，设CD l =，求证：222224a b c l +=-．攻略先求出与中线同一边上的高，再利用勾股定理计算中线长「解题课」作垂线计算线段长度能力目标作垂直计算线段长度拔高练习1.如图，ABCD 中，AB∥CD ，AD =DC =BD =3，BC =4，求AC 的长．ABED 、BCFK 、ACGH ，再作Rt △PQR ，使∠R =90︒，点H 在边QR 上，点D 、E 在边PR 上，点G 、F 在边PQ 上，求PQ 的长2.如图，Rt △ABC 中，∠BAC =30︒，AB =4，分别以AB 、BC 、AC 为边作正方形．攻略1.勾股定理可以转化不共线的线段2.作垂直求线段长度「解题课」构造直角三角形能力目标构造直角三角形拔高练习BC 边上的点，且DE DF ⊥，请说明：222AE BF EF +=1.如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC =AC ，D 是斜边AB 的中点，E 、F 分别是AC 、．2.如图，在等腰Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 、E 是BC 上两点，且45DAE ∠=︒，求证：222DE BD CE =+．3.已知P 为等腰Rt ABC △斜边AB 上一点，求证：2222AP BP CP +=．攻略1.构造直角三角形2.中点→倍长攻略1.构造直角三角形2.中点→倍长「解题课」勾股定理与构造等边三角形能力目标构造等边三角形转化线段拔高练习222BD AB BC =+1.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =30︒，∠ADC =60︒，AD =DC ．证明：．2.P 是等边ABC △内一点，2PA =，PB =，4PC =，求APB ∠．攻略通过构造等边三角形找全等，把线段转化到同一个三角形中能力目标作对称找路径计算最短路程拔高练习8QB km =．他下班回家的路上先把马牵到小河边去饮水，然后再到回家中．求他下班回家要走的最短路程1.如图，将军的军营在A 处，与河岸的距离OA =4km ，将军家在B 处，QA =7km ，．2.如图，20POQ ∠=︒，A 为OQ 上的点，且1OA =，2OB =，在OB 上取点1A ，在AQ 上取点2A ，求1122AA A A A B ++的最小值．3.45AOB ∠=︒，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求PQR △周长的最小值．攻略1.先画路径再求长度2.用勾股定理求最短路径能力目标把二次根式构造成线段拔高练习1.已知0a >，求三角形的面积．2.已知12x <<，求的最小值．攻略利用勾股定理把抽象的二次根式转化成具体几何图形。
数学北师大版八年级上册《1.1探索勾股定理》
《1.1探索勾股定理》教学设计教学目标教学目标1、知识与技能目标用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．2、过程与方法让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．3、情感态度与价值观在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习．重点难点教学重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
教学难点：勾股定理的发现教学过程一、创设问题情境，导入课题:同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受.你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！二、合作交流，解读探究：1.阅读课本，回答问题：（投影展示）（1）小正方形的边长为1，怎样求正方形P，Q,R的面积。
（2）正方形P，Q的面积可以数格子，正方形R的面积怎样求呢？（3）割补法2.探究勾股定理：（1）SA+SB=Sc（2）两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.（3）中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方----（勾股定理）（4）面积法也可以推导勾股定理。
三、例题讲解，拓展应用：1. 例：如图,一根旗杆在离地面9 m 处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处.旗杆原 有多高?（图形讲解见投影）2.拓展训练：小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗？（图形讲解见投影）四、课堂小结内容：教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流．在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么.2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；② 面积法；③ “割、补、拼、接”法.3．思想：① 特殊—一般—特殊；② 数形结合思想．五、布置作业内容：作业：1．教科书习题1.1；2．阅读《读一读》——勾股世界；3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足.222c b a =+222c b a =+a bc a b c要求：A组（学优生）：1、2、3 B组（中等生）：1、2C组（后三分之一生）：1。
探索勾股定理学案.doc
第一章勾股定理§1.1探索勾股定理（1）【学习目标】1. 探索勾股定理.2. 理解勾股定理并会应用勾股定理解决实际问题.【学习重点】理解勾股定理并会应用勾股定理解决实际问题.【学习过程】%1.学习准备1._______________________________________________________________________ 直角三角形的定义：__________________________________________________________________ 直角三角形中边最长.%1.学习探究•操作探究观察下图，并回答问题：（图中每个小方格代* 个单位觎）（1）观察图1.正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积；正方形B中含有个小方格，即B的面积是个单位面积；正方形C中含有—个小方格，即C的面积是—个单位面积.（2）在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流.（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A, B, C的面积关系吗？A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1•归纳概括我国古代称直角三角形的较短的直角边为,较长的直角边为,斜边为,这就是勾股定理的由来.1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么.2、勾股定理的变式：（1） /= , b- =注意：勾股定理只对直角三角形适用.■试一试在RttSABC中，4 = 90°,如果 a=5, b=12,贝!j c=•变式练习在ZXABC 中，ZC=90。
⑴若 a=8, b=6,则 c=；⑵若 c=20, b=12,则 a=；⑶若 a ： b=3 : 4, c=10,贝U a=, b=.•典例分析已知直角三角形的三边长分别为3、4、m,求秫2.•想一想小米妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小米量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你是怎么样认为的？•自主测评一1.下列说法正确的是（）A.若 a、b、c 是ZXABC 的三边，则a' +b'B.若 a、b、c 是 RtAA B C 的三边，则。
北师大版数学八年级上册1.1探索勾股定理(第1课时)教学设计
-利用多媒体展示勾股定理在生活中的具体实例，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.自主探究，发现规律
-设计探究活动，让学生通过观察、实践、思考，发现直角三角形边长之间的数量关系，引导学生自主发现勾股定理。
-分组讨论，让学生在
5.总结反思，拓展提升
-引导学生总结勾股定理的学习过程，反思自己的学习方法和策略。
-拓展勾股定理的应用，如涉及勾股定理的趣味题目、实际应用等，激发学生的学习兴趣。
6.情感态度与价值观的培养
-在教学过程中，关注学生的情感需求，鼓励学生克服困难，增强自信心。
-培养学生严谨、认真的学习态度，使学生形成良好的学习习惯。
3.知识讲解，突破难点
-采用直观、生动的教学手段，如动画、模型等，帮助学生理解勾股定理中的平方关系。
-结合具体例题，引导学生运用勾股定理解决实际问题，突破难点。
4.多元化练习，巩固知识
-设计不同难度、类型的练习题，使学生在练习中巩固勾股定理的知识。
-针对学生的不同需求，提供个性化辅导，帮助学生克服困难，提高解题能力。
7.教学评价
-采用多元化评价方式，如课堂表现、练习成绩、小组合作等，全面评估学生的学习情况。
-关注学生的成长过程，及时给予反馈，指导学生调整学习方法和策略。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教师通过提问方式引导学生回顾直角三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
-问题1：直角三角形有什么特点？
（四）课堂练习，500字
1.设计具有针对性和层次性的练习题，让学生独立完成。
-练习题1：已知直角三角形的边长，判断是否符合勾股定理。
北师大版数学八年级上册1.1探索勾股定理教学设计
-结合多媒体教学，使用动画、图表等直观工具，帮助学生理解和记忆勾股定理及其证明过程。
-设计梯度性练习题，从简单到复杂，让学生在练习中逐步提高解题能力。
2.教学步骤：
-导入：通过实际问题，引导学生回顾直角三角形的定义和性质。
-探索：让学生通过剪纸、测量等实际活动，观察直角三角形三边关系，引导他们发现勾股定理。
2.引导学生通过观察、猜想、归纳等方法，发现勾股定理。
3.运用数学证明方法，如代数法、几何法等，证明勾股定理的正确性。
4.通过解决实际问题，培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
本章节教学旨在培养学生以下情感态度与价值观：
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发他们探索数学问题的积极性。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用能力，特布置以下作业：
1.基础练习题：
-完成课本第15页的练习题1、2、3，涉及勾股定理的基本应用。
-通过解答这些题目，学生可以进一步熟悉勾股定理的公式及其在直角三角形中的应用。
2.提高拓展题：
-选择课本第16页的拓展题1、2，让学生在解决实际问题的过程中，运用勾股定理。
2.培养学生的团队合作意识，让他们在探索勾股定理的过程中，学会与他人交流、分享、合作。
3.培养学生勇于尝试、敢于质疑的精神，让他们在解决问题的过程中，形成批判性思维。
4.增强学生的民族自豪感，了解我国古代数学家在勾股定理研究方面的贡献，激发他们为国家和民族作出贡献的愿望。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了直角三角形的基本概念和性质，能进行简单的几何图形计算。在此基础上，他们对勾股定理的学习具备以下特点：
数学：【教案】1.1探索勾股定理1 (北师大版八年级上)
第一章勾股定理1．探索勾股定理（一）教学目标1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
重点、难点重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点：勾股定理的发现。
教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。
对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。
那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
出示投影1（章前的图文 P1 ）我国是最早了解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周期数学家）。
出示投影2。
（书中 P3 图1一2）并回答：1、观察图1一2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。
正方形 B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位。
正方形 C 中有个小方格，即C的面积为个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。
3、图 l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？在学生交流后形成共识老师板书。
A + B＝C ，接着提出图1一1中A、B、C的关系呢？二、做一做出示投影3（书中P3 图1一2，图1一3）提问： 1、图1一 2中，A 、B、C之间有什么关系？2、图1 一 3中，A 、 B 、C 之间有什么关系？3、从图1一1、1一2 、1一3中你发现了什么？在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议1、图1一1、1一2、1一3中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
最新北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理学案(3)
第一章勾股定理研学案 §1.1探索勾股定理（3）备课时间：第一周 上课时间：第一周学习目标：1.通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的 内在联系；2.经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
重点：拼图验证勾股定理的过程，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
难点：利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。
学习过程： 课前热身：勾股定理的内容是什么？ 自主学习：探究活动：1、内容：五巧板的制作（动手操作，合作探究）教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板”。
步骤：做一个Rt △ABC ，以斜边AB 为边向内做正方形ABDE ，并在正方形内画图，使DF ⊥BI ，CG=BC ，HG ⊥AC ，这样就把正方形ABDE 分成五部分①②③④⑤。
沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。
B1．利用五巧板拼“青朱出入图”。
2．取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C 为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a 、b 的正方形，你能拼出来吗？3．用上面的两幅五巧板，还可拼出其它图形，你能验证勾股定理吗？ 4．利用五巧板还能通过怎样拼图来验证勾股定理？练习：1.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。
2、一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端滑_________________m ．3、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是________________cm 2．归纳总结：过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获. 一分钟记忆：勾股定理 反馈检测：1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）．（A ）24cm 2 （B ）36cm 2（C ）48cm 2（D ）60cm 22．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）． （A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+ （C ）321S S S <+ （D ）无法确定7cmDACB 321S S S3．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的 路线探宝. 他们登陆后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往 西走3km ，再折向北走6km 处往东一拐，仅走1km 就找到了宝藏，则 登陆点到埋宝藏点的直线距离为_____________km ． 布置作业A 组：本学案检测题B 组：教材15页 习题1.3 2 教学反思教师反思：为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．学生反思： 132168埋宝藏点登陆点。
北师大版-数学-八年级上册-1.1《探索勾股定理(1)》教学设计
《探索勾股定理（1）》教学设计教学目标：1．用面积法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．3．发展和情推理能力，进一步体会数学与现实生活的紧密联教学重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。
教学难点：计算以斜边为边长的大正方形面积及割补思想的理解与应用。
教学过程：一、导入新课你能算出方格中的正方形面积吗？简要说明计算方法活动过程：设置问题情境，在预先准备好的方格纸上将图形剪一剪，拼一拼，采用用数格子（或割、补、拼等）的办法求四边形的面积。
活动成果：为下面探索勾股定理做铺垫。
【设计意图】：通过数格子（或割、补等）方法求解方格纸中的四边形的面积，为下面探索勾股定理埋下辅笔。
同时也增强学生求解不规则图形面积的能力。
二、探究新知活动一：观察下图正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积，正方形B的面积是个单位面积，正方形C的面积是个单位面积。
你能发现每组图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？活动过程：通过学生观察上图，采用数格子或割补法求出对应图形的面积，然后猜想正方形A、B、C面积之间的数量关系，然后再用另一组图形进行验证猜想。
活动成果：通过观察、计算，类比、猜想并验证，经历了勾股定理的面积证法。
【设计意图】：通过面积的计算，找到由等腰直角三角形三边为边画出的三个正方形面积之间的内在关系，经历了猜想、验证的过程，由特殊延伸到一般的历程。
活动二：观察下图正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积，正方形B的面积是个单位面积，正方形C的面积是个单位面积。
你能发现每组图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？活动过程：通过学生观察上图，此时采用数格子的办法得到三个正方形的面积已经不容易了，引导学生采用割补法求出对应图形的面积，然后先猜想正方形A、B、C面积之间的数量关系，然后再验证，并用另一组图形进行同样的过程。
八年级数学上册1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理教学设计（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理》这一节内容，主要让学生了解勾股定理的定义、证明和应用。
通过这一节的学习，使学生能够理解并掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决一些实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对一些基本的几何图形和性质有一定的了解。
但是，对于勾股定理的证明和应用可能还比较陌生，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究来理解勾股定理。
三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的定义、证明和应用。
2.培养学生观察、思考、探究的能力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的证明。
2.运用勾股定理解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、探究法、案例教学法等，引导学生通过观察、思考、探究来理解勾股定理。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关教学案例和习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：在一个直角三角形中，已知两条直角边的长度分别是3cm和4cm，求斜边的长度。
让学生思考如何解决这个问题，从而引出勾股定理。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，介绍勾股定理的定义、证明和应用。
让学生了解勾股定理的背景和意义。
3.操练（10分钟）让学生通过观察、思考、探究，尝试证明勾股定理。
可以分组讨论，每组给出自己的证明方法。
教师在过程中给予引导和指导。
4.巩固（10分钟）通过一些相关的例题和练习题，让学生运用勾股定理解决问题。
教师在过程中给予解答和指导。
5.拓展（10分钟）让学生思考：勾股定理在实际生活中有哪些应用？可以举例说明。
教师在过程中给予引导和指导。
6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，包括勾股定理的定义、证明和应用。
教师在过程中给予补充和指导。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学内容。
北师大版数学八年级上册1.1.1探索勾股定理优秀教学案例
（一）情景创设
1.生活情境：通过引入实际生活中的情景，如房屋装修、道路设计等，让学生感受到勾股定理的实际应用，引发学生对勾股定理的兴趣。
2.故事情境：讲述勾股定理的发现背景和故事，让学生了解勾股定理的历史意义，激发学生对勾股定理的好奇心。
3.问题情境：设计一些与勾股定理相关的问题，引发学生的思考和探究，激发学生对勾股定理的学习兴趣。
1.利用多媒体展示勾股定理的证明过程，引导学生理解和掌握证明的关键步骤和思路。
2.通过示例和讲解，让学生掌握勾股定理的表达式，并能够运用勾股定理进行三角形的计算和求解。
3.结合现实生活中的实例，让学生体验到勾股定理的应用价值，增强对勾股定理的理解和记忆。
（三）学生小组讨论
1.设计一些与勾股定理相关的问题，让学生进行小组讨论和探究，培养学生的合作意识和交流能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一些实际生活中的勾股定理应用场景，如建筑物、道路设计等，引发学生对勾股定理的好奇心和兴趣。
2.向学生提出一个问题：“你们听说过勾股定理吗？它是什么？”，激发学生的思考和探究欲望。
3.简要介绍勾股定理的历史背景和意义，引发学生对勾股定理的重视和兴趣。
（二）讲授新知
北师大版数学八年级上册1.1.1探索勾股定理优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版数学八年级上册第一章《勾股定理》的第一课时，主要内容是探索勾股定理。学生在之前的学习中已经掌握了锐角三角函数、三角形的基本概念等知识，为本节课的学习打下了基础。然而，由于勾股定理的证明较为复杂，学生对其证明过程的理解和掌握存在一定的困难。因此，本节课的教学案例旨在通过创设有趣的教学情境，引导学生积极参与课堂活动，探索并证明勾股定理，提高学生的数学思维能力和探究能力。