2020 全品高考第二轮专题 数学 浙江省 听课手册 答案
(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何高考解答题的审题与答题示范(五)教案
高考解答题的审题与答题示范(五)
解析几何类解答题
[思维流程]——圆锥曲线问题重在“设”与“算”
[审题方法]——审方法
数学思想是问题的主线，方法是解题的手段．审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题的解决事半功倍．审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍．
典
例 (本题满分15分)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2
2＋y 2
＝1上，过点M 作x 轴的垂
线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →
.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →
＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 审题路
线 (1)要求P 点的轨迹方程⇒求点P (x ，y )的横坐标x 与纵坐标y 的关系式⇒利用条件NP →
＝2 NM →
求解．
(2)要证过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ⇒证明OQ →⊥PF →⇒OQ →·PF →
＝0.
标准答案
阅卷现场
(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，N (x 0，0)，则NP →
＝
(x －x 0，y )，
NM →
＝(0，y 0)，① 第(1)问 第(2)问 得 分 点 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
2 2 2 1 2 1 1 1 2 1
7分 8分。
2020浙江高考数学二轮专题强化训练：热考题型解法指导 第2讲 解答题审题技巧 Word版含解析
姓名，年级：时间：专题强化训练1．(2019·宁波模拟）在△ABC 中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ,c ,且错误!＋1＝错误!。
（1)求B ；（2）若cos 错误!＝错误!,求sin A 的值．解:（1）由错误!＋1＝错误!及正弦定理，得错误!＋1＝错误!, 所以sin B cos A ＋cos B sin Acos B sin A＝错误!，即错误!＝错误!，则错误!＝错误!。
因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0， 所以cos B ＝错误!.因为B ∈（0,π)，所以B ＝错误!. (2）因为0＜C ＜2π3， 所以错误!＜C ＋错误!＜错误!. 又cos 错误!＝错误!, 所以sin 错误!＝错误!。
所以sin A ＝sin （B ＋C )＝sin 错误! ＝sin 错误!＝sin 错误!cos 错误!＋cos 错误!sin 错误!＝错误!。
2。
如图所示，在三棱柱ABC .A 1B 1C 1中，AA 1B 1B 为正方形，BB 1C 1C 是菱形，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C .(1)求证：BC ∥平面AB 1C 1； (2)求证:B 1C ⊥AC 1;(3）设点E ,F ，H ,G 分别是B 1C ，AA 1，A 1B 1，B 1C 1的中点，试判断E ,F ，H ，G 四点是否共面，并说明理由．解：(1）证明：在菱形BB 1C 1C 中，BC ∥B 1C 1. 因为BC ⊄平面AB 1C 1,B 1C 1⊂平面AB 1C 1， 所以BC ∥平面AB 1C 1.（2）证明：连接BC 1。
在正方形ABB 1A 1中,AB ⊥BB 1.因为平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，平面AA 1B 1B ∩平面BB 1C 1C ＝BB 1，AB ⊂平面ABB 1A 1， 所以AB ⊥平面BB 1C 1C 。
因为B 1C ⊂平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥B 1C . 在菱形BB 1C 1C 中,BC 1⊥B 1C .因为BC 1⊂平面ABC 1，AB ⊂平面ABC 1，BC 1∩AB ＝B ， 所以B 1C ⊥平面ABC 1.因为AC 1⊂平面ABC 1，所以B 1C ⊥AC 1. （3)E ,F ,H ,G 四点不共面. 理由如下: 因为E ，G 分别是B 1C ，B 1C 1的中点， 所以GE ∥CC 1。
2020高考数学二轮复习 专题一第1讲集合与常用逻辑用语
一、选择题1．设集合M ＝{m ∈Z|m ≤－3或m ≥2}，N ＝{n ∈Z|－1≤n ≤3}，则(∁Z M )∩N ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：由已知得∁Z M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，所以(∁Z M )∩N ＝{－1,0,1}． 答案：B2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，且m ＝ta ＋b ，n ＝a －kb (t 、k ∈R)，则m ⊥n 的充要条件是( )A ．t ＋k ＝1B ．t －k ＝1C ．t ·k ＝1D ．t －k ＝0解析：∵a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝0，|a |＝|b |＝5，∴m ⊥n ⇔m ·n ＝0⇔(ta ＋b )(a －kb )＝0⇔ta 2－kta ·b ＋a ·b －kb 2＝0⇔5t －5k ＝0，即t －k ＝0.答案：D3．(2020·陕西高考)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R}，N ＝{x ||x －1i|＜2，i 为虚数单位，x ∈R}，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1] 解析：对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式 x 2＋1＜2，即x 2＜1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．答案：C4．已知命题p ：∀x ∈R,9x 2－6x ＋1>0；命题q ：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2，则( )A ．綈p 是假命题B ．綈q 是真命题C ．p ∨q 是真命题D ．綈p ∧綈q 是真命题解析：先分别判断两命题的真假，由于9x 2－6x ＋1＝(3x －1)2≥0，故命题p 假；又sin x＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故命题q 为真，因此p ∨q 为真命题． 答案：C二、填空题5．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． 解析：由题意知a 2＋4>3，故a ＋2＝3，即a ＝1，经验证，a ＝1符合题意，∴a ＝1.答案：16．[理]若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是____________．解析：因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真 命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案：－22≤a ≤2 2[文]命题：“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是__________． 解析：“有正实根”的否定是“无正实根”．故命题“对任意a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0有正实根”的否定是“存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根”．答案：存在a ∈R ，方程ax 2－3x ＋2＝0无正实根7．给出下列三个结论：①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；②函数f (x )＝x －sin x (x ∈R)有3个零点；③对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，f ′(x )>g ′(x )．其中正确结论的序号是________．(填写所有正确结论的序号)解析：①显然正确；由y ＝x 与y ＝sin x 的图像可知，函数f (x )＝x －sin x (x ∈R)有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，又奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.∴f ′(x )>g ′(x )，③正确．答案：①③三、解答题8．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．解：原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0.判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0.∴a ＜－14＜0. ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．即命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真命题．9．若集合A ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，x ∈R}，集合B ＝{1,2}，且A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：由A ∪B ＝B 得A ⊆B .(1)若A ＝∅，则Δ＝a 2－4<0，解得－2<a <2；(2)若1∈A ，则12＋a ＋1＝0，解得a ＝－2，此时A ＝{1}，符合题意；(3)若2∈A ，则22＋2a ＋1＝0，解得a ＝－52， 此时A ＝{2，12}，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围为[－2,2)．10．设命题p ：函数f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]上的值域为[－1,3]，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．解：∵f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数， ∴0<a －32<1.∴32<a <52. ∵f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]，则2≤a ≤4.∵“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，∴p 、q 为一真一假．若p 真q 假，得32<a <2， 若p 假q 真，得52≤a ≤4， 综上可知：a 的取值范围是(32，2)∪[52，4]．。
2020浙江新高考数学二轮复习教师用书：第3部分 1 抢分攻略一 考前必明的4大数学思想
抢分攻略一考前必明的4大数学思想一函数与方程思想[典型例题]设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m都成立，则x的取值范围为________．【解析】问题可以变成关于m的不等式(x 2－1)m －(2x －1)<0在m ∈[－2，2]上恒成立， 设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2（x 2－1）－（2x －1）<0，f （－2）＝－2（x 2－1）－（2x －1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2x －1<0，2x 2＋2x －3>0，解得7－12<x <3＋12，故x 的取值范围为(7－12，3＋12)．【答案】 (7－12，3＋12)一般地，对于多变元问题，需要根据条件和要求解的结果，确定一个变量，创设新的函数，求解本题的关键是变换自变量，以参数m 作为自变量构造函数式，不等式的问题就变成函数在闭区间上的值域问题．[对点训练]1．设0<a <1，e 为自然对数的底数，则a ，a e ，e a －1的大小关系为( ) A ．e a －1<a <a e B ．a e <a <e a －1 C ．a e <e a －1<aD ．a <e a －1<a e解析：选B.设f (x )＝e x －x －1，x >0，则f ′(x )＝e x －1>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )>0， 所以e x －1>x ，即e a －1>a .又y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，得a >a e ， 从而e a －1>a >a e .2．关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a >0在x ∈(2，＋∞)上恒成立，则a ＝________．解析：关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a >0在x ∈(2，＋∞)上恒成立⇔函数f (x )＝x ＋4x 在x ∈(2，＋∞)上的值域为(a 2－2a ＋1，＋∞)．因为函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上为增函数，所以f (x )>2＋42＝4，即f (x )在(2，＋∞)上的值域为(4，＋∞)，所以a 2－2a ＋1＝4，解得a ＝－1或a ＝3. 答案：－1或3应用二 函数与方程思想在数列中的应用[典型例题]已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ； (2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．【解】 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)因为S n ＝n (n ＋1)，则1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n ＋3.令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.(1)本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消法求b n ，构造函数，利用单调性求b n 的最大值．(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n 项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下：①由其表达式判断单调性，求出最值；②由表达式不易判断单调性时，借助a n ＋1－a n 的正负判断其单调性．[对点训练]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3，则nS n 的最小值为________． 解析：由已知得，a 5＝S 5－S 4＝2，a 6＝S 6－S 5＝3，因为数列{a n }为等差数列，所以公差d ＝a 6－a 5＝1.又S 5＝5（a 1＋a 5）2＝0，所以a 1＝－2，故S n ＝－2n ＋n （n －1）2＝n 2－5n 2，即nS n ＝n 3－5n 22，令f (n )＝n 3－5n 22(n >0且n ∈Z )，则f ′(n )＝32n 2－5n ，令f ′(n )>0，得n >103，令f ′(n )<0，得0<n <103，所以f (n )在⎝⎛⎭⎫0，103上单调递减，在⎝⎛⎭⎫103，＋∞上单调递增．又n 为正整数，所以当n ＝3时，f (n )取得最小值，即nS n 取得最小值，即为－9.答案：－92．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，ka n ，S n ，－1都成等差数列，求实数k 的值． 解：(1)因为a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝4，a 1（q 2－q ）＝6，因为q >0，所以q ＝3，a 1＝1.所以a n ＝1×3n －1＝3n －1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1. (2)由(1)知a n ＝3n －1，S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12，因为ka n ，S n ，－1成等差数列，所以2S n ＝ka n －1，即2×3n －12＝k ×3n －1－1，解得k ＝3.应用三 函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用[典型例题](1)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2上有解，则a 的取值范围是________．(2)已知a ，b ，c 为平面上三个向量，又a ，b 是两个相互垂直的单位向量，向量c 满足|c |＝3，c ·a ＝2，c ·b ＝1，x ，y 均为实数，则|c －x a －y b |的最小值为________．【解析】 (1)法一：把方程cos 2x －sin x ＋a ＝0变形为a ＝－cos 2x ＋sin x ， 设f (x )＝－cos 2x ＋sin x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2可得sin x ∈(]0，1，易求得f (x )的值域为(－1，1]，故a 的取值范围是(－1，1]．法二：令t ＝sin x ，由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，可得t ∈(0，1]．依题意得1－t 2－t ＋a ＝0，即方程t 2＋t －1－a ＝0在t ∈(0，1]上有解，设f (t )＝t 2＋t －1－a ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线t ＝－12，如图所示．因此，f (t )＝0在(0，1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <0，1－a ≥0，所以－1<a ≤1，故a 的取值范围是(－1，1]． (2)由题意可知|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0， 因为|c |＝3，c ·a ＝2，c ·b ＝1，所以|c －x a －y b |2＝|c |2＋x 2|a |2＋y 2|b |2－2x c·a －2y c·b ＋2xy a·b ＝9＋x 2＋y 2－4x －2y ＝(x －2)2＋(y －1)2＋4，当且仅当x ＝2，y ＝1时，|c －x a －y b |2min＝4， 所以|c －x a －y b |的最小值为2. 【答案】 (1)(－1，1] (2)2(1)研究含参数的三角函数方程的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域．二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．(2)平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想进行分析与处理，这是解决此类问题的一种比较常见的思维方式．[对点训练]1．已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2，1)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为()A．－1B．2C．1D．－2解析：选A.法一：由|a＋b|＝|a－b|，可得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，故a·b＝(λ，1)·(λ＋2，1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.法二：a＋b＝(2λ＋2，2)，a－b＝(－2，0)．由|a＋b|＝|a－b|，可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1.2．在△ABC中，D为BC边上一点，DC＝2BD，AD＝2，∠ADC＝45°，若AC＝2AB，则BD＝________．解析：在△ADC中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos 45°＝2＋DC2－22·DC·22＝2＋DC2－2DC.在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 135°＝BD2＋2＋22·BD·22＝2＋BD2＋2BD.又因为DC＝2BD，AC＝2AB，所以2·(2＋BD2＋2BD)＝2＋(2BD)2－2·2BD，整理得BD2－4BD－1＝0，解得BD＝2＋5(BD＝2－5舍去)．答案：2＋ 5应用四函数与方程思想在解析几何中的应用[典型例题]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12. (1)求椭圆E 的方程；(2)设点A ，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F 作直线交椭圆E 于C ，D 两点，求四边形OCAD 面积的最大值(O 为坐标原点)．【解】 (1)由题设得⎩⎨⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线CD 的方程为x ＝ky ＋1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，与椭圆方程x 24＋y 23＝1联立得(3k 2＋4)y 2＋6ky －9＝0.所以y 1＋y 2＝－6k 3k 2＋4，y 1y 2＝－93k 2＋4.所以S 四边形OCAD ＝S △OCA ＋S △ODA ＝12×2×|y 1|＋12×2×|y 2| ＝|y 1－y 2| ＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝12k 2＋13k 2＋4＝12t3t 2＋1 ＝123t ＋1t (其中t ＝k 2＋1，t ≥1)．因为当t ≥1时，y ＝3t ＋1t 单调递增，所以3t ＋1t ≥4，所以S 四边形OCAD ≤3(当k ＝0时取等号)，即四边形OCAD 面积的最大值为3.几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法．[对点训练]设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，求k 的值．解：依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.二 数形结合思想[典型例题](1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈(－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x－1，则关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上根的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 (1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 上点C 下方的部分的组合图．显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x得点C (5，8)．所以f (x )max ＝8.(2)因为对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x ＋2)＝f (2－x )＝f (x －2)，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f [(x ＋2)－2]＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的函数，则函数y ＝f (x )的图象与y ＝log 8(x ＋2)的图象交点的个数即方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0根的个数，作出y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2，6)上的图象有3个交点，所以方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根，故选C.【答案】 (1)C (2)C用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．[对点训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1]解析：选A.画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1，故选A.2．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________．解析：x ＝0显然是方程的一个实数解； 当x ≠0时，方程|x |x ＋4＝kx 2可化为1k＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)， 设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k，原题可以转化为两函数有三个非零交点．f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0且x ≠－4，其大致图象如图所示，由图易得0<1k <4，解得k >14.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 应用二 数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用[典型例题]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)【解析】 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x＋1)<f(2x)，则需⎩⎪⎨⎪⎧x＋1<0，2x<0，2x<x＋1或⎩⎨⎧x＋1≥0，2x<0所以x<0，故选D.【答案】 D求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算．[对点训练]若不等式|x－2a|≥12x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解析：作出y＝|x－2a|和y＝12x＋a－1的简图如图所示，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤12.答案：(－∞，12]应用三 数形结合思想在解析几何中的应用[典型例题]已知抛物线的方程为x 2＝8y ，点F 是其焦点，点A (－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．【解析】 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ .则△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－2，12(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解． (2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．[对点训练]1．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，|OP |＝|OF |，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54解析：选A.根据直线4x －3y ＋20＝0与x 轴的交点F 为(－5，0)，可知半焦距c ＝5， 设双曲线C 的右焦点为F 2，连接PF 2，根据|OF 2|＝|OF |且|OP |＝|OF |可得，△PFF 2为直角三角形．如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝|FF2|2－|PF2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝ca＝5.故选A.2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________．解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.求m 的最大值，即求圆C 上的点到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.答案：6三 分类讨论思想[典型例题]设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1，2，3，…)，则q 的取值范围是________．【解析】 由{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0，当q ＝1时，S n ＝na 1>0. 当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q >0，即1－q n 1－q>0(n ＝1，2，3，…)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n >0，①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0.②由①得－1<q <1，由②得q >1.故q 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)． 【答案】 (－1，0)∪(0，＋∞)本题易忽略对q ＝1的讨论，而直接由a 1（1－q n ）1－q >0，得q 的范围，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n 项和公式的使用就要分q ＝1，S n ＝na 1和q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q进行讨论．[对点训练]1．一条直线过点(5，2)，且在x 轴，y 轴上的截距相等，则这条直线的方程为( ) A ．x ＋y －7＝0 B ．2x －5y ＝0C ．x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0D ．x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝0解析：选C.设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ，当a ＝0时，直线过原点，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当a ≠0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，则求得a ＝7，直线方程为x ＋y －7＝0.2．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．解析：若a >1，则a 2＝4，a －1＝m ，故a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x ，为减函数，不合题意；若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意，所以a ＝14.答案：14应用二 由参数变化引起的分类讨论[典型例题]已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解】(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，若x∈(－∞，－ln a)，则f′(x)>0；若x∈(－ln a，＋∞)，则f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递增，在(－ln a，＋∞)上单调递减．(2)f(x)≤e2x⇔a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a 的取值范围是[－1，＋∞)．(1)①参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．②解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k 存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论．(2)分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．[对点训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a )＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C.当0<a <1时，a ＋1>1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， 因为f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．所以f (1a)＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，所以2(a －1)＝2a ，无解．综上，f (1a)＝6.2．设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x . f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0，1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0. 所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． 应用三 由图形位置或形状引起的分类讨论[典型例题](1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( ) A ．－12B.12 C ．0D ．－12或0(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________．【解析】(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示．由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kx －y ＋1＝0与y 轴或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k 的值为0或－12.(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.【答案】 (1)D (2)12或32(1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论．(2)相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．[对点训练]1．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C.因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l 与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件；当直线l 与实轴垂直时，有3－y 22＝1，解得y ＝2或y ＝－2，此时直线AB 的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条．综上，可知有3条直线满足|AB |＝4.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________． 解析：(1)若∠PF 2F 1＝90°， 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72. (2)若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， 所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|的值为72或2.答案：72或2四 转化与化归思想[典型例题](1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q等于( )A ．2a B.12a C ．4aD.4a(2)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．【解析】 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫0，14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a， 所以1p ＋1q＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ)， 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20]．由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 【答案】 (1)C (2)4 2 5(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．(2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．[对点训练]已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[12，＋∞) C ．[－1，12]D.⎣⎡⎦⎤－32，12 解析：选D.当a ＝0时，函数f (x )＝－3x ，x ∈[－1，1]，显然满足条件，故排除A 、B ； (注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0，1往往是首选．) 当a ＝－32时，函数f (x )＝32x 3－92x ，f ′(x )＝92x 2－92＝92(x 2－1)，当－1≤x ≤1时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除C.综上，选D.应用二 正与反的相互转化[典型例题]若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________． 【解析】 由题意得g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.【答案】 (－373，－5)(1)本题是正与反的转化，由于函数不为单调函数有多种情况，所以可先求出其反面情况，体现“正难则反”的原则．(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．[对点训练]若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．解析：如果在[－1，1]内没有值满足f (x )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，故实数满足条件的p 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－3，32. 答案：⎝⎛⎭⎫－3，32 应用三 常量与变量的相互转化[典型例题]已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对任意a ∈[－1，1]，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．【解析】 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－23，1. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－23，1(1)本题是把关于x 的函数转化为[－1，1]内关于a 的一次函数的问题．(2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看成“主元”，而把其他变元看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的．[对点训练]1．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．解析：设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4时恒为正等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.故x 的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)2．设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2，2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________．解析：设f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2，2]时，f (t )>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）>0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（log 2x ）2－4log 2x ＋3>0，（log 2x ）2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3，即0<x <12或x >8，故x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪(8，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫0，12∪(8，＋∞) 应用四 形、体位置关系的相互转化[典型例题]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.【证明】(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC，又因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.形体位置关系的转化是针对几何问题采用的一种特殊转化方法．主要适用于涉及平行、垂直的证明，如线面平行、垂直的推理与证明就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化．[对点训练]1．如图，在棱长为5的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF ＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积()A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量且有最大值和最小值D．是常数解析：选D.点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体PQEF的体积为常数．2．已知三棱锥P－ABC中，P A＝BC＝234，PB＝AC＝10，PC＝AB＝241，则三棱锥P－ABC的体积为________．解析：因为三棱锥P －ABC 的三组对边两两相等，故可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P －ABC 补成一个长方体AEBG -FPDC ，易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线． 不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB＝6×8×10－4×13×12×6×8×10＝160.答案：160应用五 函数、方程、不等式间的相互转化[典型例题]已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m )，m ∈Z ，且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，求m 的最大值．【解】 因为当t ∈[－1，＋∞)，且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， 所以f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .所以原命题等价转化为存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x ，对任意x ∈[1，m )恒成立．令h (x )＝1＋ln x －x (x ≥1)． 因为h ′(x )＝1x－1≤0，所以函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数．又x ∈[1，m )，所以h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m ，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1. 因为h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝⎛⎭⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1，h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝⎛⎭⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，且函数h (x )在[1，＋∞)内为减函数，所以满足条件的最大整数m 的值为3.(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因为借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求参变量的范围．[对点训练]1．已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1，总存在唯一的y ∈[－1，1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤1e ，eB.⎝⎛⎦⎤2e ，e C.⎝⎛⎭⎫2e ，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫2e，e ＋1e 解析：选B.设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1时，f ′(x )＝1－x x ≥0，f (x )是增函数，所以x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤a －1e ，a ； 设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，且g (－1) ＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1，总存在唯一的y ∈[－1，1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以⎣⎡⎦⎤a －1e ，a ⊆⎝⎛⎦⎤1e ，e ，解得2e<a ≤e. 2．关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a >0对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为______．解析：设f (x )＝x ＋4x (x >0)，则f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4(当且仅当x ＝2时，等号成立)．因为关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2＋2a >0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a 2－2a ＋1<4恒成立，解得－1<a <3，所以实数a 的取值范围为(－1，3)．答案：(－1，3)。
2020版高考数学浙江专用二轮课件：2.4 高考小题 1 空间几何体的表面积与体积计算
该几何体是一个正方体截去4个三棱锥后剩余的内接正
三棱锥B-A1C1D(如图所示).
设正方体的棱长为a,则几何体的体积是
V=a3-4×
1×
3
1 a2·a=
2
1 a3=
3
1,
3
所以a=1,所以三棱锥的棱长为 2 ,
因此,该三棱锥的表面积为S=4× 3 （ 2）2＝2 3.
4
答案: 2
23
【题型建模】
A. 1
B. 1
C. 1
D.1
6
3
2
【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三
棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S= 1 ×1×1= 1,所
以体积V=
1 3
Sh=
1.
6
2
2
2.(2019·北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一 个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正 方形的边长为1,那么该几何体的体积为______ .
2
2
【题眼直击】
题眼
思维导引
① 利用勾股定理求AC的长
② 求球的半径的最大值
【拓展提升】 空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与几何体的 位置和数量关系.
(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心 及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的 接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的 关系求解. (3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等 规则几何体.
面所截后的一部分,底面半径是1,所以几何体的体积是
1 ×12×π×1+π×12×(1+ ×21)= . 7
3
2020浙江新高考数学二轮复习教师用书：第3部分 2 抢分攻略二 考前必会的15个规律、结论及方法
姓名，年级：时间：抢分攻略二考前必会的15个规律、结论及方法集合运算的重要结论(1）A∩B⊆A，A∩B⊆B，A＝A∩A，A⊆A∪B,B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A,A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。
(2)若A⊆B，则A∩B＝A;反之，若A∩B＝A，则A⊆B。
若A⊆B，则A∪B ＝B；反之,若A∪B＝B，则A⊆B.（3)A∩∁U A＝∅,A∪∁U A＝U,∁U（∁U A）＝A.函数单调性的重要结论（1)单调函数必有反函数，且反函数与原函数有相同的单调性．（2）f（x）与f(x)＋c（c为常数）具有相同的单调性．(3)k>0，函数f（x)与kf（x）的单调性相同；k〈0，函数f(x)与kf（x）的单调性相反．(4)当f(x)恒不为0时，函数f(x）与错误!的单调性相反．(5)当f(x）非负时,f（x)与f（x）具有相同的单调性．(6)当f(x)，g（x)同时为增(减)函数时，f(x)＋g(x）为增(减）函数．（7）设f(x),g(x）都是增(减）函数，则当两者都恒大于0时，f(x)·g(x）是增(减)函数；当两者都恒小于0时，f（x）·g(x）是减(增）函数．(8)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．(9）复合函数的单调性已知μ＝g(x）在［a，b]上是单调递增（减）函数，y＝f(μ)在区间[g （a),g(b）］（或区间[g（b)，g(a）］)上是单调递增(减）函数，那么复合函数y＝f(g（x））在［a，b］上一定是单调的，具体分为以下四种情况，可记为“同增异减”。
μ＝g(x)y＝f（μ）y＝f（g(x））增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数减函数减函数增函数(1)f（x)为奇函数⇔f(x）的图象关于原点对称．(2)f（x）为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．（3）偶函数的和、差、积、商是偶函数;奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数;奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(4)函数f（x）与kf(x)，错误!（f(x）≠0）的奇偶性相同(其中k为非零常数)．（5）复合函数f(g(x))的奇偶性若f(x）为偶函数，则f（g(x）)为偶函数．若f(x)为奇函数，则当g（x）为奇函数时,f（g（x）)为奇函数；当g(x)为偶函数时，f（g（x）)为偶函数．（6)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f（0）＝0.（7）存在既是奇函数，又是偶函数的函数:f（x)＝0.函数图象平移变换的相关结论(1）把y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移｜c｜个单位长度（c〉0时向左平移，c<0时向右平移)得到函数y＝f（x＋c）的图象(c为常数)．(2)把y＝f（x)的图象沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度（b〉0时向上平移，b〈0时向下平移）得到函数y＝f(x）＋b的图象（b为常数）．函数图象伸缩变换的相关结论（1)把y＝f（x)的图象上各点的纵坐标伸长(a〉1)或缩短（0〈a<1）到原来的a倍，而横坐标不变,得到函数y＝af(x）（a〉0)的图象．（2)把y＝f（x)的图象上各点的横坐标伸长(0〈b<1)或缩短(b>1)到原来的错误!倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx）（b〉0)的图象．可导函数与极值点之间的关系(1）定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0）＝0，并且f′(x)在x0两侧异号，若“左负右正”，x0为极小值点,若“左正右负”，x为极大值点．（2）函数f(x)在点x0处取得极值时,它在这点的导数不一定存在，例如函数y＝｜x｜，结合图象知它在x＝0处有极小值,但它在x＝0处的导数不存在．(3)f′(x0)＝0既不是函数f(x)在x＝x0处取得极值的充分条件也不是必要条件，且要注意对极值点进行检验．三角恒等变换的常用技巧（1）常值代换：①“1”的代换,如1＝sin2θ＋cos2θ，1＝2sin 错误!＝2cos 错误!＝错误!sin 错误!，1＝tan 错误!；②特殊三角函数值的代换．(2）角的变换：涉及角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系,常见的拆角、拼角技巧有2α＝（α＋β)＋(α－β)，α＝（α＋β）－β＝（α－β)＋β,β＝错误!－错误!＝（α＋2β）－（α＋β）,错误!＋α＝错误!－错误!，20°＝30°－10°等．（3）已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加法或二倍角后再加减，观察是不是特殊角，只要是特殊角就可以从此入手．常见解三角形的题型及其解法(1)已知两角和一边，由三角形内角和定理求得第三个角,再由正弦定理计算另两边．(2)已知两边和其中一边的对角，应用正弦定理求出另一边对角的正弦值，进而确定这个角,由三角形内角和定理求出第三个角,再次应用正弦定理求出第三边．还可以利用余弦定理列出以未知边为元的一元二次方程来求解,而且可以根据一元二次方程根的判别式来判断三角形解的情况．（3）已知两边和它们的夹角，先利用余弦定理求出第三边，再利用余弦定理的推论求其他角．(4）已知三边，连续利用余弦定理的推论求出两较小边的对角，再由三角形内角和定理求第三个角．用向量法求最值常用到的结论（1)由a·b＝｜a｜｜b｜cos θ可知a·b≤｜a｜|b｜，当a与b同向时取等号．｜a·b｜≤｜a｜｜b|,当a与b平行时等号成立．（a·b）2≤｜a｜2｜b|2，当a与b平行时等号成立．(2)|a|－|b|≤|a＋b|≤｜a|＋|b|,当a与b反向且|a|≥｜b｜时左边不等式取等号，当a与b同向时右边不等式取等号．|a｜－|b|≤|a－b｜≤|a｜＋｜b｜,当a与b同向且|a|≥|b｜时左边不等式取等号，当a与b反向时右边不等式取等号．10等差数列的重要规律与推论设S n为等差数列{a n｝的前n项和，则（1)a n＝a1＋(n－1)d＝a m＋（n－m）d，p＋q＝m＋n⇒a p＋a q＝a m＋a n.(2）a p＝q，a q＝p(p≠q）⇒a p＋q＝0;S m＋n＝S m＋S n＋mnd.(3）S k，S2k－S k，S3k－S2k，…,构成的数列是等差数列．(4）错误!＝错误!n＋错误!是关于n的一次函数或常函数，数列错误!也是等差数列．(5）S n＝错误!＝错误!＝错误!＝….（6）若等差数列｛a n｝的项数为偶数2m，公差为d,所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m＝m（a m＋a m＋1)，S偶－S奇＝md，错误!＝a m＋1.a m(7）若等差数列{a n}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)a m，S奇＝ma m，S偶＝(m－1）a m，S－S偶＝a m,错误!＝错误!。
2020高考数学二轮复习 专题五第2讲椭圆、双曲线、抛物
一、选择题1．(2020·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：双曲线方程可变为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2,2a ＝4.答案：C2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13解析：由题意知点P 的坐标为(－c ，b 2a )或(－c ，－b 2a)，∵∠F 1PF 2＝60°， ∴2c b 2a＝3，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)． ∴3e 2＋2e －3＝0.∴e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：B3．(2020·浙江杭州模拟)双曲线x 23－y 2b＝1的一条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝2相交于M 、N两点且|MN |＝2，则此双曲线的焦距是( )A ．2 2B ．2 3C ．2D ．4解析：一条渐近线方程为y ＝ b 3x ，圆心到渐近线的距离为2b3＋b＝1，b ＝1，则c ＝3＋1＝2,2c ＝4.答案：D4．(2020·山东高考)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即4，根据已知只要|FM |>4即可．根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．答案：C 二、填空题5．(2020·新课标卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________．解析：根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝16．(2020·温州模拟)过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________.解析：由已知，得直线方程为y ＝33x ＋p2，与x 2＝2py 联立消去x 得12y 2－20py ＋3p 2＝0，∵点A 在y 轴左侧，∴y A ＝p 6，y B ＝32p .如图所示，过A 、B 分别作准线的垂线AM 、BN ，由抛物线定义知|AF |＝|AM |，|BF |＝|BN |， ∴|AF ||FB |＝|AM ||BN |＝p 6＋p232p ＋p 2＝13. 答案：137．经过点M (10，83)，渐近线方程为y ＝±13x 的双曲线的方程为________．解析：设双曲线方程为x 2－9y 2＝λ，代入点(10，83)∴λ＝36.∴双曲线方程为x 236－y 24＝1.答案：x 236－y 24＝1三、解答题8．(2020·江西高考)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC u u u r ＝OA u u u r ＋λOB u u u r，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC u u u r＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0，或λ＝2.9．(2020·西安模拟)已知直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且交椭圆C 于A 、B 两点．(1)若抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程；(2)对于(1)中的椭圆C ，若直线l 交y 轴于点M ，且MA u u u r ＝λ1AF u u u r ，MB u u u r ＝λ2BF u u u r，当m 变化时，求λ1＋λ2的值．解：(1)根据题意，直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ， ∴F (1,0)．∴c ＝1，又∵抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点， ∴b ＝ 3.∴b 2＝3. ∴a 2＝b 2＋c 2＝4.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵直线l 与y 轴交于M (0，－1m)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2－12＝0，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ＝144(m 2＋1)>0， ∴y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.∴1y 1＋1y 2＝2m3(*)． 又由MA u u u r ＝λ1AF u u u r ，∴(x 1，y 1＋1m)＝λ1(1－x 1，－y 1)，∴λ1＝－1－1my 1，同理λ2＝－1－1my 2，∴λ1＋λ2＝－2－1m (1y 1＋1y 2)＝－2－23＝－83.∴λ1＋λ2＝－83.10．(2020·杭州模拟)已知直线(1＋3m )x －(3－2m )y －(1＋3m )＝0(m ∈R)所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若125≤|FA |·|FB |≤187，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由(1＋3m )x －(3－2m )y －(1＋3m )＝0， 得(x －3y －1)＋m (3x ＋2y －3)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －1＝0，3x ＋2y －3＝0，解得F (1,0)．设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1.从而椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设过F 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因点F 在椭圆内，即必有Δ>0，有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，所以|FA |·|FB |＝(1＋k 2)|(x 1－1)(x 2－1)| ＝(1＋k 2)|x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1|＝91＋k23＋4k2. 由125≤91＋k 23＋4k 2≤187，得1≤k 2≤3， 解得－3≤k ≤－1或1≤k ≤3，所以直线l 的斜率的取值范围为[－3，－1]∪[1，3]．。
2020浙江高考数学二轮练习：小题专题练(五) Word版含解析
姓名，年级：时间：小题专题练(五) 解析几何1．“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行"的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若双曲线E：错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线E上，且|PF｜＝3，则|PF2｜等于( )1A．11 B．9C．5 D．33．已知A（1，2），B（2，11)，若直线y＝错误!x＋1（m≠0)与线段AB相交，则实数m的取值范围是( )A．[－2,0)∪[3,＋∞) B．(－∞,－1］∪(0,6]C．［－2,－1]∪［3,6] D．[－2，0）∪(0，6]4．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋（a－1）2＝0，若0〈a<1,则原点与该圆的位置关系是( )A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定5．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b>0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为错误!,过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4错误!，则C的方程为( ）A。
错误!＋错误!＝1 B。
错误!＋y2＝1C.错误!＋错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝16．已知圆C：x2＋y2＝2,直线l:x＋2y－4＝0，点P（x0，y0）在直线l上，若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ＝45°（O为坐标原点)，则x0的取值范围为( ）A.错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!7．已知抛物线y2＝4x，焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则｜AF｜－错误!的最小值为（)A．22－2 B。
错误!C．3－错误!错误!D．2错误!－28．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为错误!，E的右焦点与抛物线C:y2＝8x的焦点重合，A,B是抛物线C的准线与椭圆E的两个交点，则｜AB｜＝( ）A．3 B．6C．9 D．129．双曲线C1:错误!－错误!＝1（m＞0，b＞0）与椭圆C2：错误!＋错误!＝1（a ＞b＞0)有相同的焦点，双曲线C1的离心率是e1,椭圆C2的离心率是e2,则错误!＋错误!＝（)A.12B．1C.错误!D．210．若椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）和圆x2＋y2＝错误!错误!(c为椭圆的半焦距)有四个不同的交点,则椭圆的离心率e的取值范围是( ）A.错误!B。