九年级数学上册圆 几何综合单元测试卷(含答案解析)

九年级数学上册圆 几何综合单元测试卷（含答案解析）

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标；

（3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由

【答案】（1）y=x 2

+2x-8（2）（-1，-

72）（3）（-8，40），（-15

4，-1316），（-174

，-25

16

） 【解析】

分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值；

（2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点

G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值，

从而求出点E 的坐标；

（3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则2

28,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时

和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标.

详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-

（2）由（1）可得：2

28y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=;

∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=， 当0x =时，8y =-， ∴8OC =

过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，,

则11

6322

AG AB =

=?= ，

设

，则

， 在Rt AGE ?中，，

在

中，

()2

22218CE EF CF a =+=+-，

∵AE CE = ，

∴()2

2918a a +=+- ，

解得：7

2a =

， ∴712E ?

?-- ??

?

，

； （3）设点()2,28a a a P +-，

则2

28,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ?∽CBO ?时，

PQ CO

BQ OB =，即228822

a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）；

22a =（舍去）；38a =- ，

∴()18,40P - ；

b.当PBQ ?∽BCO ?时，

PQ BO

BQ CO =，即228228

a a a +-=-， 解得：12a =（舍去），2154a =-；317

4

a =- ， ∴21523,416P ??-

- ???；31725416P ??

- ???

， ； 综上所述，点P 的坐标为：()18,40P -，21523,416P ??--

???，31725416P ??

- ???

， 点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.

2．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ． （1）求证：CD 是⊙M 的切线；

（2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：（1）证明：连接CM ，

∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ． ∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ． ∴

．

又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线． （2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，．

∴545(x )x 5)12152-

=--（，∴，解得10

OD 3

=

． 又∵D 为OB 中点，∴

1552

+．∴D 点坐标为（0，154)．

连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有

解得．

∴直线AD 为

．

∵二次函数的图象过M （5

6

，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x=

15

4

． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=15

4

交于点P ， ∴PD+PM 为最小．

又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=15

4

的交点． 当x=

15

4时，45y (x )x 5)152

=

--（． ∴P 点的坐标为（15

4，56

）． （3）存在．

∵

，5

y a(x )x 5)2

=--（

又由（2）知D （0，154)，P （15

4，56

）， ∴由

，得

，解得y Q =±

103

．

∵二次函数的图像过M(0，5

6

)、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为，

又∵该图象过点D （0，15

4

)，∴，解得a=

512

． ∴二次函数解析式为

．

又∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103

． ∴当y Q =103

时，，解得x=

15524

-或x=1552

4+；

当y Q =5

12

-

时，，解得x=

15

4

． ∴点Q 的坐标为（1552-，103)，或（1552+，10

3)，或（154，512-）．

【解析】

试题分析：（1）连接CM ，可以得出CM=OM ，就有∠MOC=∠MCO ，由OA 为直径，就有∠ACO=90°，D 为OB 的中点，就有CD=OD ，∠DOC=∠DCO ，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论．

（2）根据条件可以得出2222OC OA AC 534=-=-=和OC OB

tan OAC AC OA

∠=

=，从而求出OB 的值，根据D 是OB 的中点就可以求出D 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD 交对称轴于P ，先求出AD 的解析式就可以求出P 的坐标． （3）根据PDM DAM PAM S S S ???=-，求出Q 的纵坐标，求出二次函数解析

式即可求得横坐标．

3．在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、 AD 、BD ．已知圆O 的半径长为5，弦AB 的长为8．

（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC=x ，

ACO OBD

S S

=y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；

（3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．

【答案】（1）2；（2）2825

x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6．

【解析】 【分析】

(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC 的长.

(2)分别作OH ⊥AB ，DG ⊥AB ，用含x 的代数式表示△ACO 和△BOD 的面积，便可得出函数解析式.

(3)分OB ∥AD 和OA ∥BD 两种情况讨论. 【详解】

解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB=8， ∴OD ⊥AB ，AC=

1

2

AB=4， 在Rt △AOC 中，∵∠ACO=90°，AO=5， ∴22AO AC -，

∴OD=5， ∴CD=OD ﹣OC=2；

（2）如图2，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ， 则由（1）可得AH=4，OH=3， ∵AC=x ， ∴CH=|x ﹣4|，

在Rt △HOC 中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴22HO HC +223|x 4|+-2825x x -+ ∴CD=OD ﹣OC=52825x x -+ 过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ，

∴

OH OC

DG CD

=， ∴DG=OH CD OC ?

35， ∴S △ACO =

12AC ×OH=12x ×3=32

x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣

x ）×（3

35）=3

2

（8﹣

x ）

∴y=

ACO OBD

S S

=

()32

3582x x -

=()

58x -（0＜x ＜8）

（3）①当OB ∥AD 时，如图3，

过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ， 则OF=AE ， ∴S=12AB?OH=1

2

OB?AE ， AE=

AB OH OB ?=24

5

=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，

AO=5，

∴7

5

∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，

∴AD=2AF=

145

． ②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，

则由①的方法可得DG=BM=

245

， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5

，

∴75，AG=AO ﹣GO=185

， 在Rt △GAD 中，∠

DGA=90°，

∴

综上得AD=

14

5

或6．

故答案为（1）2；（2）y=()

282558x x x x -+-（0＜x ＜8）;（3）AD=14

5或6．

【点睛】

本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.

4．如图，已知直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ， （1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；

（2）OA ，OB 分别交⊙O 于点D ，E ，AO 的延长线交⊙O 于点F ，若AB ＝4AD ，求sin ∠CFE 的值．

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形性质得出OC ⊥AB ，根据切线的判定得出即可；

（2）连接OC 、DC ，证△ADC ∽△ACF ，求出AF=4x ，CF=2DC ，根据勾股定理求出DC=

35

x ，DF=3x ，解直角三角形求出sin ∠AFC ，即可求出答案． 【详解】

（1）证明：连接OC ，如图1，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC⊥AB，

∵OC过O，

∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：连接OC、DC，如图2，

∵AB＝4AD，

∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x，

∵DF为直径，

∴∠DCF＝90°，

∵OC⊥AB，

∴∠ACO＝∠DCF＝90°，

∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，

∵OF＝OC，

∴∠AFC＝∠OCF，

∴∠ACD＝∠AFC，

∵∠A＝∠A，

∴△ADC∽△ACF，

∴

1

22

AC AD DC x

AF AC CF x

====，

∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，

∵AD＝x，

∴DF＝4x﹣x＝3x，

在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，

解得：DC

35

x，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴∠AOC＝∠BOC，

∴DC EC

=，

∴∠CFE＝∠AFC，

∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝

DC

DF

＝

35

5

5

3

x

x

=

．【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．

5．已知：

图1 图2 图3 （1）初步思考：

如图1， 在PCB ?中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：

1

2

PN PC =

（2）问题提出：

如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求

1

2

PD PC +的最小值．

（3）推广运用：

如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求1

2

PD PC -的最大值．

【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】 【分析】

（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ?∽BCP ?，得到PN BN

PC BP

=，即可得到结论成立；

（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到1

2

PG PC =，当D 、P 、G 共线时，1

2

PD PC +

的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到1

2

PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，1

2

PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】

（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===， ∴2

4,4PB BN BC =?=， ∴2PB BN BC =?，

∴

BN BP

BP BC =， ∵B B ∠=∠，

∴BPN BCP ??∽， ∴

1

2

PN BN PC BP ==， ∴1

2

PN PC =

； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，

∵24

2,212PB BC BG PB ====， ∴

,PB BC

PBG PBC BG PB

=∠=∠， ∴PBG CBP ??∽， ∴

1

2

PG BG PC PB ==， ∴1

2

PG PC =， ∴1

2

PD PC DP PG +

=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，1

2

PD PC +

的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；

（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，

与（2）同理，可证

1

2

PG PC

=，

在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，

∴DF=CD?sin60°=23，CF=2，

在Rt△GDF中，DG=22

(23)537

+=，

∴

1

2

PD PC PD PG DG -=-≤，

当点P在DG的延长线上时，

1

2

PD PC

-的值最大，

∴最大值为：37

DG=.

【点睛】

本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．

6．四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°．

（1）如图1，求证：AC＝BC；

（2）如图2，E为⊙O上一点，AE＝BE，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接

AT，若∠BFC＝∠BDC+1

2

∠ABD，求证：AT平分∠DAB；

（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2

【解析】

【分析】

（1）只要证明∠CAB=∠CBA即可．

（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．想办法证明TL=TH即可解决问题．

（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，证明

Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，设DH=x，则AB=2x，

由S△ADB=1

2

?BD?AQ=

1

2

?AD?h+

1

2

?AB?h+

1

2

?DB?h，可得AQ=

5

2

h，再根据

sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，构建方程组求出m即可解决问题．【详解】

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，

∵2∠BDC+∠ADB＝180°，

∴∠ABC＝∠BDC，

∵∠BAC＝∠BDC，

∴∠BAC＝∠ABC，

∴AC＝BC．

（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．

∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，

∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，

∵∠BFC＝∠BDC+1

2

∠ABD，

∴∠ABF＝1

2

∠ABD，

∴BT平分∠ABD，

∵AE＝BE

∴∠ADE＝∠BDE，

∴DT平分∠ADB，

∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．

∴TR＝TL，TR＝TH，

∴TL＝TH，

∴AT平分∠DAB．

（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．

∵AE＝BE

∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，

∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，

∴∠TAE＝∠ATE，

∴AE＝TE，

∵DT＝TE，

∴AE＝DT，

∵∠AGE＝∠DHT＝90°，

∴△EAG≌△TDH（AAS），

∴AG＝DH，

∵AE＝EB，EG⊥AB，

∴AG＝BG，

∴2DH＝AB，

∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），

∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，

设DH＝x，则AB＝2x，

∵AD＝8，DB＝12，

∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，

∴x＝5，

∴DH＝5，AB＝10，

设TR＝TL＝TH＝h，DT＝

m，

∵S△ADB=1

2

?BD?AQ=

1

2

?AD?h+

1

2

?AB?h+

1

2

?DB?h，

∴12AQ＝（8+12+10）h，

∴AQ＝5

2 h，

∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得h

m

＝

AP

AD

＝

AP

8

，

sin∠AED＝sin∠ABD，可得AP

m

＝

AQ

AB

＝

AQ

10

＝

5

2

10

h

，

∴AP

m

＝

5

28

10

mAP

，

解得m＝42或﹣42（舍弃），

∴DE＝2m＝82．

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．

7．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为

边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ= 3

4

，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直

线m⊥l，过△ABQ的外接圆圆心O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上

取点F，使DF=1

3

CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒．

（1）直接用含t的代数式表示BQ、DF；

（2）当0＜t＜1时，求矩形DEGF的最大面积；

（3）点Q在整个运动过程中，当矩形DEGF为正方形时，求t的值．

【答案】（1）BQ=5t，DF=2

3

t;（2）

1

6

;（3）t的值为

3

5

或3．

【解析】

试题分析：（1）AB 与OD 交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ 的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH 的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD 的长，即可表示出FD ；

（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解； （3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1）5t BQ =，2

DF=

t 3

； （2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()2

2211

·t 13326

S DF DE t t ??==-=--+ ???，∴当t=

12时，矩形DEGF 的最大面积为

1

6

； （3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=

-=或,解得3

35

t t ==或.

8．已知ABD △内接于圆O ，点C 为弧BD 上一点，连接BC AC AC 、，交BD 于点E ，CED ABC ∠=∠．

（1）如图1，求证：弧AB =弧AD ；

（2）如图2，过B 作BF AC ⊥于点F ，交圆O 点G ，连接AG 交BD 于点H ，且

222EH BE DH =+，求CAG ∠的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，圆O 上一点M 与点C 关于BD 对称，连接ME ，交AB 于点N ，点P 为弧AD 上一点，PQ BG ∥交AD 于点Q ，交BD 的延长线于点R ，

AQ BN =，ANE 的周长为20，52DR =O 半径．

【答案】（1）见解析；（2）∠CAG=45°；（3）r=62 【解析】 【分析】

（1）证∠ABD=∠ACB 可得；

（2）如下图，△AHD 绕点A 旋转至△ALE 处，使得点D 与点B 重合，证△ALE ≌△AHE ，利用勾股定理逆定理推导角度；

（3）如下图，延长QR 交AB 于点T ，分别过点N 、Q 作BD 的垂线，交于点V ，I ，取QU=AE ，过点U 作UK 垂直BD.先证△AEN ≌△QUD ，再证△NVE ≌△RKU ，可得到NV=KR=DK ，进而求得OB 的长. 【详解】

（1）∵∠CED 是△BEC 的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA ∵∠ABC=∠ABD+∠EBC

又∵∠CED=∠ABC

∴∠ABD=∠ACB

∴弧AB=弧AD

（2）如下图，△AHD绕点A旋转至△ALE处，使得点D与点B重合

∵△ALB是△AHD旋转所得

∴∠ABL=∠ADB，AL=AH

设∠CAG=a，则∠CBG=a

∵BG⊥AC

∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a

∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a

∴∠LAE=∠EAH=a

∵LA=AH，AE=AE

∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH

∵HD=LB，222

=+

EH BE DH

∴△LBE为直角三角形

∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45°

∴∠CAG=45°

（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD

由（2）得∠BAD=90°

∴点O在BD上

设∠R=n，则∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n

∴∠AEN=2n

∵SQ⊥AC

∴∠TAS=∠AQS=∠DQR，AN=QD

∵QU=AE

∴△AEN≌△QUD

∴∠QUD=∠AEN=2n

∴UD=UR=NE，

∵△ANE的周长为20

∴QD+QR=20

在△DQR中，QD=7

∵∠ENR=∠UDK=∠R=n

∴△NVE≌△RKU

∴NV=KR=DK=

52

∴BN=5

∴BD=122，OB=62r

【点睛】

本题考查了圆的证明，涉及到全等、旋转和勾股定理，解题关键是结合图形特点，适当构造全等三角形

9．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．

（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；

（2）求证：PC是⊙O的切线；

（3）若tan F＝2

3

，AG﹣BG＝

5

3

3

，求ED的值．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝133

9

．

【解析】

【分析】

（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是

∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．

（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=2

3

=

BG

CG

，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是

直径，连接AC，则∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BG?AG，可得出AG的表达式（用

x表示），再根据AG-BG=53

3

求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，

最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．【详解】

解：（1）证明：因为BE＝DE，

所以∠FBD＝∠CDB，

在△BCD和△DFB中：

∠BCD＝∠DFB

∠CDB＝∠FBD

BD＝DB

所以△BCD≌△DFB（AAS）．

（2）证明：连接OC．

因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，

∠COB＝2∠EDB，

所以∠COB＝∠PEC，

因为PE＝PC，

所以∠PEC＝∠PCE，

所以∠PCE＝∠COB，

因为AB⊥CD于G，

所以∠COB+∠OCG＝90°，

所以∠OCG+∠PEC＝90°，

即∠OCP＝90°，

所以OC⊥PC，

所以PC是圆O的切线．

（3）因为直径AB⊥弦CD于G，

所以BC＝BD，CG＝DG，

所以∠BCD＝∠BDC，

因为∠F＝∠BCD，tanF＝2

3

，

所以∠tan ∠BCD ＝

23＝BG CG

， 设BG ＝2x ，则CG ＝3x ． 连接AC ，则∠ACB ＝90°，

由射影定理可知：CG 2＝AG?BG ，

所以AG ＝229922

x C x

G x G B ==

，

因为AG ﹣BG ，

所以

23

92x x -=

，

解得x ＝

3

，

所以BG ＝2x CG ＝3x ＝

所以BC =，

所以BD ＝BC ＝

3

， 因为∠EBD ＝∠EDB ＝∠BCD ， 所以△DEB ∽△DBC ， 所以

B

DB DC DE

D =，

因为CD ＝2CG ＝

所以DE ＝2DB CD =

． 【点睛】

本题为圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆心角与圆周角的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、射影定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等重要知识点．第（1）、（2）问解答的关键是导角，难度不大，第（3）问解答的要点在于根据射影定理以及条件当中告诉的两个等量关系求出BG 、CG 、BC 、BD 、CD 的值，最后利用“共边子母型相似”（即△DEB ∽△DBC ）列比例方程求解ED ．

10．△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，交⊙O 于点E ，连接AE ．