指数与对数的运算

指数与对数的运算

【课标要求】

(1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的 14

C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函

数模型的实际背景；

(2 )理解有理指数幕的含义，通过具体实例了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算。 (3)理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；

通过阅读材料,

了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；

【命题走向】

指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。 大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质

为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算 理，能对

常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 【要点精讲】

1、整数指数幕的概念。 (1)概念：a n a a a a(n N*)

a 0

1(a 0)

1

a n

n (a 0,n N*)

a

n 个a

m

n a a

m

a i n

(m, n Z) (2)运算性质：

(a m )n mn

a (m, n Z)

两点解释：①

a m a n

可看作

m

a a

(ab)n

n

a b n (n Z)

•

m n m

…a a = a n

m a =a

n

② (a )n 可看作a n b n

••• (-)n =a n b n

n

a

b

b

b n

2、根式：

(1 )定义：若x n

a(n 1, n N ) 则x 叫做a 的n 次方根。

m

m

定义,a 下是玄“的门次方根，即：a 7 n -a m

(2)同样规定: 1 / c

m (a 0, m,n a^

N *且n 1) ； 0的正分数指数幕等于 0, 0的负分数指数幕没有意义。

(2 )求法：当n 为奇数时：正数的

n 次方根为正数，负数的

n 次方根为负数记作：x n a

当n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个(互为相反数) 负数没有偶次方根

0 的任何次方根为 0

名称：n a 叫做根式

n 叫做根指数

a 叫做被开方数

(3)公式：(叮a)n a ；当n 为奇数时 va n

a ；当n 为偶数时

v

a n

a

a(a 0) a(a 0)

3、分数指数幕 (1)有关规定:

事实上，(a k )n

a kn 若设 a >0, k m (n 1,n

N*) ，(a k )n n

a m 由n 次根式

r s r s / a a a (a 0 , r , s Q ) (a ) a ( a 0 , r , s Q )

(ab ) r

a r

b r

(a 0 , b 0 , r

Q )

(注)上述性质对 r 、s R 均适用。

4、对数的概念

(1)定义：如果a( a 0,且

a 1)的

b 次幕等于 N,就是a b N ，那么数b 称以a 为底 其中a 称对数的底， N 称真数。

①以10为底的对数称常用对数，log 10 N 记作lg N ;

②以无理数e(e 2.71828 )为底的对数称自然对数， log e N ，记作 ln N ；

(2)基本性质：

①真数N 为正数 (负数和零无对数)； 2) log a 1 0;

③ log a a 1 ； 4)对数恒等式：a log a

N N o

(3 )运算性质：如果 a 0,a

0,M 0, N 0,则

① log a (MN ) log a M log a N

；

(3)指数幕的性质：整数指数幕的运算性质推广到有理指数幕。 N 的对数，记作log a N b,

② log a M log a M N log a N :③ lo 9a

M n nlog a M (n R )o

(4)换底公式：log a N

沁(a Qa

log m a 0, m 0, m 1,N

0),

两个非常有用的结论① log a b log b a 1 ② log a m b n

—log a b o

m

【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型: (1) a f(x) =b f(x)=log a b, log a f(x)=b f(x)=a (定义法) f(x) g(x)

a

=a f(x)=g(x), log a f(x)=log a g(x) f(x)=g(x)>0

(转化法)

a f(x) =

b g(x) f(x)log "a=g(x)log 力(取对数法) log a f(x)=log b g(x) log a f(x)=log a g(x)/log a

b(换底法)

【典例解析】 题型1：指数运算 例1.( 1)计算: 3 [(3

8)

喝)

。.5

2 (0.008) 3

1 (0.02)

2 1

(0.32)2

]

0.25

0.0625

(2)化简 (3) 4

1

,竹

a' 8a'b

化简： 2

2

4b' 23 ab a 3

2

(a?

23 b) a