函数极限存在的条件94583
3-3函数极限存在的条件
数学分析数学与信息科学学院罗仕乐§3.3 函数极限存在的条件本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限)(lim 0x f xx 为例一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：二单调有界定理:三Cauchy 准则:1.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义{}.)(),(,),(),(,)(.),(),,(2100时的子列当为函数即则称数列时使得有数列中或可以是设在过程a x x f x f x f x f x f a x n a x x x x a a x n n n n →→∞→≠→-+ 定理.)(lim ,)()(,)(lim A x f ax x f x f A x f n n n ax =→=∞→→则有当是数列若一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：证Ax f x x =→)(lim 0.)(,0,0,00ε<-δ<-<>δ∃>ε∀∴A x f x x 恒有时使当,lim 00x x x x n n n ≠=∞→且又 .0,,0,00δ<-<>>∃>δ∴x x N n N n 恒有时使当对上述,)(ε<-A x f n 从而有.)(lim A x f n x =∞→故数学分析第3.3节例如,1sin lim 0=→xxx xxy sin =,11sin lim =∞→nn n ,11sin lim =∞→nn n 1sin 1lim22=+∞→n n n 2 函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等Heine 定理，又称归结原则数学分析第3.3节一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：f0x 0()U xTh 3.8 设函数在点的某空心邻域内有定义.)(lim 0x f x x →⇔0()n x U x ∈)(lim ,0n n n x f x x ∞→→则极限存在,对任何且都存在且相等.{}()n f x lim ()n n f x →∞()f x {}()n f x 注１．是数列，是数列的极限。
数学分析3-3函数极限存在的条件
x1 , x2 , 使得
, xn ,
, xn U ( x0 , n ),
| f ( xn ) A | 0 , n 1, 2, .
另一方面,
0|
xn
x0
| n
n
,
所以
lim
n
xn
x0 .
这与
lim
n
f
( xn )
A
矛盾.
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注: 1、 若 lim f (x) A 存在, x x0
f
为定义在U
(
x0
)上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x) 存在 . x x0
（相信大家也能够写出关于 lim f ( x) , lim f ( x) ,
x x0
x
lim f ( x) 的单调有界定理 .）
x
y y f (x)
几何意义
f (x0)
•
o a x0 b
x 前页 后页 返回
证
从而 f ( x) f ( xN1 ) A . 因此 A f (x) A .
即 lim f ( x) A. x x0
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三、柯西收敛准则
这里 仅给出 lim f ( x) 的柯西收敛准则, 请大家自 x
行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证
明之.
定理3.12 设 f (x) 在 的某个邻域{x | x M }上 有定义, 则极限 lim f ( x) 存在的充要条件是:
不妨设
f
在
U
(
x0
)
递减
.
因为 f (x) 有界, 故 sup f ( x) 存在, 设为A .
xU
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件是什么
函数极限存在的条件：
1、单调有界准则。
函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等。
如果左右极限不相同、或者不存在。
则函数在该点极限不存在。
即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。
2、夹逼准则，如能找到比目标版数列或者函数权大而有极限的数列或函数，并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。
函数极限求值方法：
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
第三：以上解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。
（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。
函数极限存在的条件(精)
f (x) 存在.
三、单调有界定理 数列极限的单调有界定理: 在实数系中,有界的单调数列必有极限.
函数单侧极限的单调有界定理:
定理3.10
设f在
U
0
(
x0
)
单调有界, 则
证:
不妨设f在
U
0
(
x0
)
单调递增.
lim
x x0
f (x) 存在.
对任何含于
U
0
(
x0
)
且以
x0 为极限的递增数列{xn},
§3 函数极限存在的条件
教 学 要求
1．领会归结原则(海涅定理)、函数单侧极限的单调有界定理与柯西准则 的实质以及证明过程，掌握运用归结原则与柯西准则判定某些函数极 限的存在性。
2．掌握函数极限与数列极限的联系。 3．初步掌握用归结原则、柯西准则证明函数极限不存在的技巧。
§3 函数极限存在的条件
一、lim f (x) A 的 0 定义 xx0
x0
),
而
lim
n
f
(xn ) 不存在,
则lim xx0
f
(x)
不存在.
若
lim
n
xn'
x0 ,
lim
n
xn"
x0 ,
但
lim
n
f
(xn' )
lim
n
f
(xn" ),
则
lim f (x) 不存在.
xx0
例2
证明极限 limsin 1 不存在.
x0 x
y sin 1 x
例2 证明极限 limsin 1 不存在. x0 x
函数极限存在的条件
0 A + ε > f ( x) ≥ f ( x1 ) > A − ε . 可见, 当 x ∈ U − ( x0 , δ ) 时, f ( x1 ) − A < ε ,
f ( x) 存在且 f ( x0 − 0) = sup 因此 lim −
x → x0
f ( x) f ( x)
0 x∈U − ( x0 )
n→∞ n→∞
下证 A = B . 考虑数列 {z n } : x1 , y1 , x 2 , y 2 , L x n , y n , L ,易见 {z n } ⊂ U ( x 0 ) ,且 lim z n = x0 , 则由题
0
n →∞
设 lim f ( z n ) 存在,于是作为 { f ( z n )} 的两个子列, { f ( x n )} 与 { f ( y n )} 必有相同的极限,因
x → −∞
ε ,总存在某一正数 M ,使得对任何 x ′ < − M , x ′′ < − M ,都有 f ( x ′) − f ( x ′′) < ε
1
(2)设 f ( x) 为定义在 (−∞, a ] 上的函数,若存在正数 ε 0 ,对任给正数 M ,总存在 x1 、 x 2 , 尽管 x1 < − M , x 2 < − M ，而 f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≥ ε 0 ，则称 lim f ( x) 不存在.
0
(2)
f ( xn ) − A ≥ ε 0
,
n = 1,2,3,L ， 由 于
n →∞
0 x0 ∈ U + ( x0 , δ n )
,
故
有
0 < x n − x0 < δ n ≤
高等数学(2017高教五版)课件函数的极限函数极限存在的条件(工科类)
f ( xn ) A, f ( yn ) B, B A ,
这样就证明了对于任意的 { xn }, xn , lim f ( xn )
n
存在且相等. 由归结原则, lim f ( x ) 存在.
x
柯西收敛准则
注 由柯西准则可知, lim f ( x ) 不存在的充要条件是
A f ( x ) f ( x) A A .
*
这就证明了
x x0
lim f ( x ) A.
对于单调函数, 归结原则的条件就要简单得多.
单调有 界定理
例3 设 f ( x ) 在U ( x0 , )上单调， 则 lim f ( x ) x x0
归结原则
定理3.9
设 f ( x ) 在 x0 的某空心右邻域 U ( x0 ) 有定义, 则
任给 { x } U n ( x0 ), xn x0 , lim f ( x ) A x x0 必有 lim f ( xn ) A. n
x
证
U 不妨设 f 在 ( x0 ) 递减 . 因为 f (x) 有界, 故
xU ( x0 )
sup f ( x ) 存在, 设为A . 由确界定义,对于 0,
x* U ( x0 ), 使
A f ( x ) A.
*
单调有 界定理
令 x* x0 , 当 0 x x0 时, 由 f (x) 的递减性,
n
lim f ( xn ) A .
现分别取
| f ( x ) A | 0 .
1 , 2 , , n
函数极限存在的条件
x x0
x, x Q 2. 讨论函数 f ( x ) 的极限 x, x Q lim f ( x ) 是否存在. x x
0
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复习思考题
定理3.8 中的条件“并且相等”这几个字是否可以 省 略?
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作业
P57 2. 3. 7.
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§3 函数极限存在的条件
在这一节中, 我们仍以
x x0
为代 lim f ( x )
表, 介绍函数极限存在的条件. 对于其 他类型的极限,也有类似的结论. 一、归结原则 二、单调有界定理 三、柯西收敛准则
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一、归结原则
定理 3.8 设 f 在 U ( x0 , ) 有定义 . lim f ( x ) 存在 x x
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2 x2 , 0 x2 x0 2 , | f ( x2 ) A | 0 ;
2 min{ , x1 x0 },
n min{ , xn1 x0 }, n
xn , 0 xn x0 n , | f ( xn ) A | 0 ;
即
x x0
lim f ( x ) A.
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三、柯西收敛准则
这里 仅给出 xlim f ( x ) 的柯西收敛准则, 请读者自
行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证 明之. 定理3.11 设 f (x) 在 的某个邻域 { x | x M }上
有定义, 则极限 lim f ( x ) 存在的充要条件是: 任
x
给 0, 存在 X ( M ), 对于任意 x1 , x2 X , 均有
函数在某点有极限的条件
函数在某点有极限的条件函数在某点有极限的条件函数在某点有极限是数学中一个研究点极限概念的问题，这个问题有严格的数学定义和推导方法。
点极限是一种非常重要的数学概念，对于学习微积分、数学分析、物理等领域都有着广泛的应用。
函数在某点有极限的条件需要满足一些基本的条件：1. 函数必须在该点的左边和右边都有定义。
2. 函数必须在该点的左右两边都存在，并且相等。
3. 对于任意给定的正数，都存在另一个正数，使得函数在该点附近的所有取值和此点的函数值之差小于它。
这些条件是函数在某点有极限的基本条件，我们可以从几个方面来对这些条件进行进一步的解析。
首先，函数必须在该点的左边和右边都有定义。
这是因为我们在考虑某个函数在某点是否有极限时，需要知道这个点左右两边的函数取值是多少，而函数在该点左右两侧都有定义，才能够进行这种讨论。
其次，函数必须在该点的左右两边都存在，并且相等。
这个条件是点极限的重要定义，它表明在该点附近的函数值非常接近，可以近似看作等于。
这个条件也可以表述为“函数的左极限和右极限相等”。
最后，对于任意给定的正数，都存在另一个正数，使得函数在该点附近的所有取值和此点的函数值之差小于它。
这个条件是点极限的收敛性条件，它表明我们可以找到一个足够小的邻域，使得在这个邻域内函数值都非常接近指定的极限值。
这些条件是函数在某点有极限的基本条件，我们可以通过一些例子来更加深入地理解这些条件。
例如，我们考虑函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的极限。
首先，这个函数在$x=1$处除数为零，不满足条件1。
接着，我们通过计算发现，在$x=1$左侧$f(x)$的取值为$x+1$，在$x=1$右侧$f(x)$的取值为$x-1$，两者并不相等，因此也不符合条件2。
因此，我们可以得出，函数$f(x)$在$x=1$处没有极限。
再例如，我们考虑函数$g(x)=\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$处的极限。
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教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定 某些函数极限的存在性。
教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，其实质以 及证明的基本思路。
一、归结原则 (函数极限与数列极限的关系(海涅定理))
1 海涅(Heine)定理
定理1
设f
(
x)在U
0
(
x0
;
'
)内有定义，lim x x0
f
(x)存在
定理2 设函数f
在某U
0
(
x0
)内有定义，
lim
x x0
f (x)
A 对任何以x0为极限的
递减数列{xn
}
U
0
(
x0
)有
lim
n
f
(xn )
A
定理
3
设f
(
x)为定义在U
0
(
x0
;
)上的单调有
界函数，则右极限lim f (x)存在。 xx0
二 Cauchy收敛准则：
定理4
设函数 f ( x)在 U 0 ( x0; ) 的充要条件为：
又 lim n
xn
x0
且
xn
x0 ,
对上述 0, N 0,使当n N时, 恒有
0 xn x0 . 从而有 f ( xn ) A ,
故
lim
x
f
(xn )
A.
(充分性)若 lim f (x) A,不成立 x x0
则0 0, , x,尽管0 x x0 ,但
f (x) A 0
(
xn
),
lim
n
f
( xn )
都存在但不相等，则 lim f (x) 不存在。 xx0
例1 证明 lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
证 取 xn n1,
lim
n
xn
0,
且
xn
0;
取
x n
4n
1
1
,
lim
n
xn
0,
且
xn
0;
2
而 lim sin 1 lim sin n 0,
sin
1 x'
sin
1 x"
1 0
lim sin 1 不存在.
x0
x
综上所述：Heine定理和Cauchy准则是说明 极限不存在的很方便的工具。
作业 P45 1(6),(7),3
对任何含于U 0 (x0; ' )且以x0为极限的数列{xn}, 极
限 lim n
f
(xn )存在且相等.
注： 本定理有如下几点注释：
1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。
2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性。
证明:(必要性) 设 lim f (x) A xx0 则对 0, 0( '),使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
内有定义。lim x x0
f (x)存在
0, 0,使对x', x''U 0 (x0; ), 有 | f (x') f (x'') |
1 收敛函数的函数值在 U 0 ( x0; )几乎“挤”在了一起。
2 通常用 Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在。
注：按照Cauchy准则，可以写出
lim
n
f (xn )
n g(xn )
lim
n
g
(
xn
)
注２．从Heine定理可以得到一个说明 lim f (x) xx0
不存在
的方法，即(1)“若可找到一个数列 ，
xn
，
lim
n
xn
x0
使得
lim
n
f (xn )
不存在；”或(2)“找到两个都以x0
为极限的数列
xn , xn
，使
lim
n
f
现依次取: ', ' ,, ' ,
2n 则存在相应的点: x1, x2 ,, xn ,使得
0
xn
x0
' ,
n
f (xn ) A
0 , n 1,2,
显然数列{xn} U
0 (x0 ,
' )且 lim n
xn
x0但 lim n Nhomakorabeaf
(xn )
A, 矛盾.
例如,
lim sin x 1 x0 x
x x0
x x0
{xn}, xn
x0 (n
1,2,),
lim
n
xn
x0
lim
n
f (xn ) A,
lim
n
g ( xn
)
B
lim (
n
f
(xn )
g(xn ))
lim
n
f
(
xn
)
lim n
g(xn )
lim (
n
f
(xn )g(xn ))
lim
n
f
(
xn
)
lim
n
g(xn )
lim
f
(xn )
n
x n n
1, lim sin
n
1 xn
lim sin n
4n 1
2
lim1 n
二者不相等, 故 lim sin 1 不存在.
x0
x
2其它类型极限的归结原则(单调有界准则)：
lim f ( x);
x
lim f ( x);
x
lim f ( x);
x x0
lim f ( x);
x x0
以上4种极限有相互对应的单调有界准则。
lim nsin 1 1,
n
n
lim n sin 1 1,
n
n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1
1
y sin x x
注１ 这个定理把函数 f (x) 的极限归结为数列 f (xn)
的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”。由此， 可由数列极限的性质来推断函数极限性质。
如定理3.7
Pr oof : lim f (x) A, lim g(x) B
lim
xx0
f
(x)
不存在的充要条件：存在 0 0 ，对任意
( 0) ，存在 x, xU 0 (x0; ) 使得
f (x') f (x") 0
.
例证明lim sin 1 不存在。
x0 x
证明 0
1 ,
2
0, 取n
1，
令
x'
1
n
,
x"
n
1
；
2
则 : x', x" U 0 (0; ),
而: