专题03(第三篇)-备战2021年高考满分秘籍之数学压轴题天天练(解析版)参照模板
专题03 备战2019高考满分秘籍之高考数学压轴试题天天练03
第一题
【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模理】已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由，得.
设，，则，，
.
又到直线的距离，
则的面积，
当且仅当，即时，的面积取得最大值.
此时，.
故选A
第二题
【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模理】已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为，且长方体的底面边长为2，高为；
取中点为，上底面中心为，连接，，则，，
因为三角形为直角三角形，所以点为三角形的外接圆圆心，
因此三棱锥的外接球球心，必在线段上，记球心为，设球的半径为，则，所以有，，
因此，解得，
所以该三棱锥的外接球表面积为.
故选C
第三题
【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模文】定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”.下列四个命题：
①函数不是“函数”；
②函数是“函数”，且；
③函数是“函数”；
④函数是“函数”，且.
其中正确的命题的个数为（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】
分析命题①：定义域为，，
，函数在上是单调递增，显然这个区间没有长度，因此函数不是“函数”，故命题①是真命题。
分析命题②：，定义域为，
当时，函数是增函数，
构造两个函数，，图象如下图所示：
通过图象可知当，而，即，，所以当时，函数是增函数，增区间的长度为，又因为显然有成立，所以函数
是“m函数”，即成立，故命题②是真命题。
分析命题③：函数定义域为，
显然时，，此时函数是单调递增函数，增区间为，而区间没有长度，故函数不是“函数”，故命题③是假命题。
分析命题④：函数定义域，
当时，是增函数，故只需成立，是增函数，
也就是成立，是增函数，构造二个函数，如下图所示：
通过图象可知：当时，，而，所以。从而有时，
时，函数是增函数，显然区间长度为，而
所以函数是“函数”，又，即。故命题④是真命题。
综上所述：正确的命题的个数为3个，故本题选B。
第四题
【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模理】赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
设，因此，又由题意可得，
所以，
因此；
延长交于，
记，，
则，所以；又由题意易知，则，
在三角形中，由正弦定理可得，
即，因此，
，
所以，
因为，所以，即，
整理得，
所以.
故选D
第五题
【四川省宜宾市2019届高三二诊理】若关于x的不等式成立，则的最小值是A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
令，
，函数单调递增，
，函数单调递减，且时，，
绘制函数的图象如图所示，
满足题意时，直线恒不在函数图象的下方，
很明显时不合题意，当时，令可得：，
故取到最小值时，直线在x轴的截距最大，
令可得：，据此可得：的最小值是．
故选：A．
第六题
【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三4月联考理】直线与双曲线C：的渐近线交于A、B两点,设P为双曲线C上的任意一点,若(a、b R,O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
双曲线C：的渐近线为，与直线交于，，设，
则，，，
因为，所以，，
由于点在双曲线上，故，解得，
则（当且仅当时取“=”）。
故答案为B.
第七题
【四川省宜宾市2019届高三二诊理】过直线上一点P，作圆C：的切线，切点分别为A、B，则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
根据题意，圆C：的圆心C为，半径；
点P为直线上一点，PA、PB为圆C的切线，则，，
则有，
则，
则当取得最小值时，四边形PACB面积最小，此时CP与直线垂直，
且，则C到AB的距离，
又由，则直线AB与直线平行，
且设AB的直线方程为，
则有，解可得：或舍，
则直线AB的方程为；
故选：B．
第八题
【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三4月联考理】设函数
，,若当0当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题意，，令，
则
而是上的单调递增函数，又是奇函数，于是.
故不等式恒成立，可得到，
则，即，
因为，所以，则，
故.
第九题
【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三4月联考理】如图，在正方体中,平面垂直于对角线AC,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为,周长为,则（）
A．为定值,不为定值B．不为定值,为定值
C．与均为定值D．与均不为定值
【答案】B
【解析】
设平面截得正方体的六个表面得到截面六边形为，与正方体的棱的交点分别为（如下图），
将正方体切去两个正三棱锥和，得到一个几何体，是以平行平面和为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，设正方体棱长为，，则，，故
，同理可证明，故六边形的周长为，即周长为定值；
当都在对应棱的中点时，是正六边形，计算可得面积，
三角形的面积为，当无限趋近于时，的面积无限趋近于，故的面积一定会发生变化，不为定值。
故答案为B.
第十题
【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模理】以抛物线焦点为圆心，为半径作圆交轴于，两点，连结交抛物线于点（在线段上），延长交抛物线的准线于点，若，且，则的最大值为_____．
【答案】32
【解析】
由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，
所以以为圆心，为半径的圆的方程为，
因为，两点为圆与轴的两个交点，不妨令为轴正半轴上的点，
由得，；
所以直线的斜率为，因此直线的方程为，
由得；
由得，
所以，，
，
又，且，所以，即，
因此，当且仅当时，取等号.
故答案为
第十一题
【四川省成都市2018届高三二诊理】已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________．【答案】
【解析】
由题意，，，设在第一象限，则，，则直线的方程为，以为直径的圆的圆心为，半径为，则到直线的距离为，
则圆截直线所得的弦长为，解得.
第十二题
【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三4月联考理】设数列的前项和为满足：，则____
【答案】
【解析】
由题意，时，，即，
时，，
所以，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以，
故.
第十三题
【四川省成都市2018届高三二诊理】已知直线与抛物线交于A、B两点，过B作x轴的平行线交抛物线的准线于点M，O为坐标原点，若：：2，则______．【答案】
【解析】
联立消去x得，
设，，则，则，，
，，，O，M三点共线，
：：：2，
，
，
，
，
，
，，，，
故答案为：．
第十四题
【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模理】一个经销鲜花产