求切平面的简单方法
一
,
他 耍求教师 课 要 上 得有 在平 几 课 本 里 一 井 始就
,
以 比 较 抽象的数 学 语 言介 绍众 多 概念 ( 仅前两 章 统计
,
多 达 尸 百 多个
其 中黑体 字 的 四 十 多
,
个 )
,
,
如 果教者
“
照 本宣 科
,
”
,
学 生 会 感 到 枯燥无 味
,
、
.
所 以 我 认 为 作为成 功 的教 学
_
求 切
…平
一
面
黄
“
的 简 单
挚 敏
。
、
?
方 祛
前言
.
求 曲面 的切 平 面 方 程是 数学 分析 里 的向 题
,
但 正 因 如此
、
,
在有 关 的分 析教 材 里 往往
,
偏重 于 用 分 析方 法 推 导
正 交 的知 识
一
往 往 过 程 较烦
,
这 是 不 注 意 结台 解 儿 友法 之 故
本 文 结合解儿 的朱量
、
,
较越 地 推 导出 两 类 型的切平面 方 程 、 下分 l
F (x
,
l 两 点讨论 之
I
、
设 曲面 S 的方程 是
y
,
z
)
二
=
。 ,
0
y
、 ,
函数F (
`
. ,
x
,
y
,
z
)在 点M( F
o
,
x
。 ,
z
。
) 可
_ . 、 ,
微
’ 一
,
`
一
_ F 且饭 告
。
`
。
,
`
片 x
’
去于 y
d ,
在 点 M 不 同 时为 夭冬 Z
)
(器 ) 一
M`
,
=
”
谈谈 中学平 几起 始 阶段 的 教学 ’ d 1 e题
彭 立 文
“
几 何 头”
( 平几 起 始 阶 段 教 师 难教 即
,
学 生 怕 学 ) 的 问 题是 初 中数 学教 学 的 一 个 严 重 间
.
题
、
本 文就这 个 问 题 谈谈个人 的 一 些 看 法 和 意 见
一
、
要皿视 生动
:
、
形 象和 直 观 教 学
, ,
,
`
激 发学 生 学习 兴 趣 和 强 化 学 习 动机
.
列宁 说
,
“
没 有 人 的感 情
就 从来 没 有 也 不 可 能 有 人对 于 真 理 的追求
,
”
苏 联著 名的教 育
“
,
家苏霍姆 林斯 基 极力 主 张 通 过 教 学 发 展 学 生 的 学 习 兴 趣 和 求 知欲 趣 这就 是说 学 生 带 着 一 种高 涨 的激动 的情绪 从 事学 习 和 思考
,
.
这些
“
悬念
的提 出
,
可 以 大 大激发
学 习 兴 趣 和 求知欲 ”
几 何 研 究对 象的核 心 就 是 几 何 图形
这 是 儿 何 教学 的 第 一 个 重 点
辨证 唯物 主 义 的 认 识 论
( 上接第5 1 页 )
l
、
设 曲 面 S 由方 程
z =
f (x
,
y )
.
给出
,
只 要 有 连 续的偏 导数
.
从 第一 节
, ,
课 起 就 要 用 大 量 的材 料 诸 如 木工 的 划 线 的制 造 等 来 阐 明几 何 的研 究 对 象 与现 实 生 产 如地 图是怎 样
、
建 筑 工 人 使 用 的线 吊 机械 工 人 的放 样 放 缩 尺 生 活 紧密 相联 同 时还 要 有 意提 出 一 些 问题 诸
、
F 一
二
一_
_
d
一
”
”
-
一
`
-
熟
_ ` 可微
,
r .
因为 F ( x
_
,
,
y
,
z
)
、
x 在点M ( “
。
,
y
,
。 ,
z
。
)
。
-
,
且
为零
,
y 一诀 以 所 曲面 S 在点 M 的邻 域 里 存在光
”
F
x
,
O
一 、
’
去 于
”
F
.
一
七份在 点 M 不 同 时
d
F
z
J
~
、
,
。
、
. ,
一。
、
’
一
滑 的 曲面 块 艺 在 艺中任 取 一 点 P ( x
这样
,
我 们就
可 由解析 几 何
取 其点 M 的切平 面 的法 向 量
采 鲁
(
,
等荟
:
, M
则 过点 M的切 平 面 就有 向量的数 积 形式
N
x 而 M P= (
M P
z 。
=
0
一
x 。
,
y 一 了。 ,
Z
一
)
故 切 平面 可 为
(尝 ) 一 下
转第 5 2页
)
M (
)
一
一
(写 ;)
M (y
一
y
。
,
,
y
,
z
),
令
= x 亿 ( 一 x
。
)“
+
(y
一
y。
),
+
(z
,
一
z
。
)
2
因为 艺
p
,
O 这 个 极 限过 程 中
,
方七滑 由而
块
,
所以
,
当 p 一. > 0
时
,
有P ~ M
此时
,
艺~
“
(
“
为 过 M点 的 切 平 面 ) 即 在
.
二 曲面 块 E 可 近 似地 看 作 平 面 块
二 且 最 终 与平 面 重 合
;
“
造
”
出来 的 ;
;
一 个 纸 箱 贮 放 乒 乓 球 怎样放 法才能 放 得最多
为 什么 口盅
,
、
灌头
、
大多数 做成等 边圆 柱的形 状
四 六 边 形等
,
为 什 么 越 秀 山 的水 塔做 成球状
,
.
;
为什 么铺 地 阶砖
.
总是 做 成三
”
告 诉 学 生 这 些 问题
“
学 习 了几 何知 识 就可 以找 到答 案
。
z
,
上 述 的讨 论 也 仍适合
一 O 9
所以
一
1
一
_
,
这时
F
= I x 、x
,
一 y F
。 x
J
,
,
一
立 r
,
y
。 、X
,
Y
,
,
F
= Z
一
丈
所 以 曲 面 S 在点 M
(x
。 ,
甘
.
(f
y
`
x
(
z
x
,
y )
,
, f y (x
,
y )
,
一
1 )
。 ,
。
)
的切 面方 程 是
MP
=
言
f ( 二
人 x
。 ,
0
y
。
x ) 。
一
x
。
)
+
f
( 二
J
x
。 ,
y
。
) (y
一
y
。
)
一
(z
一
:
。
)
=
o
,
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。
该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。
记为G。
基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题 例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续， 在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为 兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解 点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。
曲面的切平面方程
曲面的切平面方程1. 引言曲面的切平面方程是解析几何中一个重要的概念。
在三维空间中，曲面可以用方程描述，而曲面上的任意一点都有一个唯一的切平面。
切平面是通过该点并且与此点的切矢量垂直的平面。
本文将介绍曲面的概念、切线、法线以及曲面的切平面方程的推导与应用。
2. 曲面的概念在解析几何中，曲面是三维空间中的一个二维对象。
曲面可以通过方程来表示，例如二次曲面可以用二次方程Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0来描述。
其中的参数A、B、C等决定了曲面的形状。
常见的曲面有球面、圆柱面和锥面等。
3. 切线与法线曲面上的任意一点都有一个切平面。
为了求解切平面方程，我们首先需要了解曲面上点的切线和法线。
3.1 切线切线是曲面上一点处曲线的切矢量方向所确定的直线。
对于一个曲面上的点P，其切线可以通过对曲面方程求偏导来计算。
例如，对于二次曲面Ax2+By2+Cz2+ Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0，该曲面上的点P的切线可以通过计算x、y和z的偏导数得到。
3.2 法线法线是与切线垂直的一条线。
在曲面上的任意一点P处，可以通过对曲面方程的梯度向量作为法向量，从而得到法线的方向。
4. 曲面的切平面方程的推导我们已经了解了切线和法线的概念，现在我们来推导曲面的切平面方程。
设曲面的方程为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是一个光滑函数。
设曲面上的一点为(x0,y0,z0)，对应的法线为(a,b,c)。
根据切平面的性质，切平面上的任意一点(x,y,z)都满足以下条件： 1. 该点在曲面上，即F(x,y,z)=0； 2. 切线上的任意一点到(x0,y0,z0)的矢量与法线方向(a,b,c)垂直。
根据以上条件，我们可以得到切平面上的任意一点(x,y,z)的坐标表示为：(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t(a,b,c)，其中t是一个任意参数。
将上述坐标表示带入曲面方程F(x,y,z)=0，得到：F(x0+ta,y0+tb,z0+tc)= 0对上述等式两边关于t求导，可得：a dx0dt +b dy0dt+c dz0dt+t(a dadt+b dbdt+c dcdt)+F x dx0dt +F y dy0dt+F z dz0dt=0由于曲面上的点(x0,y0,z0)满足F(x0,y0,z0)=0，所以上式可化简为：a dx0dt+b dy0dt +c dz0dt+t(a dadt+b dbdt+c dcdt)=0由于a dx0dt +b dy0dt+c dz0dt等于曲面上任意一点(x0,y0,z0)的切矢量，所以上式可以继续简化为：∇F(x0,y0,z0)⋅(x−x0,y−y0,z−z0)=0以上就是曲面的切平面方程的推导过程。
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环）Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血）# o，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线r。
设其方程为X ■戎\* y = XOmW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。
由于曲线『在工上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处的一个法向量。
记为厂：基本方法:1、设点?-1'■•"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ £（兀-x,）-o法线方程为尺％，厂£3■厂£（兀）2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。
，y。
）处存在连续偏导数,则该曲面在点上处的切平面方程为过X的法线方程为-工外片)-工知片)】注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形.3、若曲面刀由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。
)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。
, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量?注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)；『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v).它们在点X。
切平面方程和法平面方程公式
切平面方程和法平面方程公式切平面和法平面是在解析几何中常用的概念，用于描述空间中的平面和与其相切或垂直的平面。
在本文中，我们将介绍切平面和法平面的概念、计算方法和公式。
1.切平面的概念和计算方法在空间中的曲线上任取一点，将该点的切向量作为平面的法向量，通过该点的切平面定义为与该切向量垂直的平面。
切平面与曲线相切于该点。
计算切平面的方法主要有以下几种：1.1利用曲线的参数方程计算切平面对于曲线的参数方程x=f(t)、y=g(t)、z=h(t)，其切向量可通过求导得到：T=(dx/dt, dy/dt, dz/dt)假设在参数t=t₀处取点，曲线上的一点坐标为(x₀,y₀,z₀)，则切向量即为曲线在该点处的切向量。
将切向量作为法向量，通过(x₀,y₀,z₀)点即可得到切平面的方程。
1.2利用曲线的切向量和一点计算切平面除了利用参数方程计算切平面，我们还可以通过曲线在给定一点的切向量求解切平面。
设曲线的切向量为V=(a,b,c)，过曲线上点P(x₀,y₀,z₀)，切平面的方程为：a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0其中，(x,y,z)为切平面上的任意一点。
2.法平面的概念和计算方法与切平面相对应，在空间中的曲线上任取一点，将与切向量垂直的平面定义为法平面。
法平面与曲线相交于该点。
计算法平面的方法主要有以下几种：2.1利用切向量和法向量计算法平面对于曲线的切向量V=(a,b,c)和另一向量N=(l,m,n)，如果V与N垂直，则可以利用该向量求解法平面。
设过曲线上点P(x₀, y₀, z₀)的法平面方程为ax + by + cz + d = 0，其中d为常数。
由于V=(a, b, c)与N=(l, m, n)垂直，因此d的值可以通过以下公式计算：d = -(ax₀ + by₀ + cz₀)则法平面方程为：ax + by + cz - (ax₀ + by₀ + cz₀) = 02.2利用曲线上两点计算法平面除了利用切向量和法向量计算法平面，我们还可以通过曲线经过的两点求解法平面。
法平面和切平面公式
法平面和切平面公式法平面和切平面是在微积分和向量分析中常用的概念。
它们在研究曲面的性质和方程、求解曲面上的曲线积分和曲面积分等许多问题中起着关键的作用。
本文将介绍法平面和切平面的具体定义、公式和应用。
首先，我们来定义一下什么是曲面。
在三维空间中，若一个点的坐标与某个函数的值有关，则这个点就位于一个曲面上。
例如，一个球体的坐标可以由方程$x^2+y^2+z^2=R^2$表示，其中$R$是球体的半径。
曲面可以是解析表达式、参数式或者隐式函数形式。
接下来，我们定义法平面和切平面。
对于曲面上的某一点，法平面是与该点法向量相切的平面。
法向量是该点切平面的法向量，与该点的曲面法向量相同。
切平面是与该点切向量相切的平面。
切向量是该点曲面上的一个切向量。
对于一个三元函数$f(x, y, z)$，若曲面$S$是$f(x, y, z)=0$的图像，则它的法向量可以通过求函数的梯度向量来获得。
这个梯度向量的方向与$f$变化最快的方向相同，而在曲面上它的长度等于曲面在$x,y,z$坐标轴上的偏导数之和的平方根。
现在我们来看看法平面和切平面的公式。
设曲面$S$在点$P_0(x_0, y_0, z_0)$处的法向量为$\vec{n}$，则法平面的方程为$$\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0$$其中$\vec{r_0}(x_0, y_0, z_0)$是曲面$S$上的一点，$\vec{r}(x, y, z)$是一般的向量。
这个方程的意思是，对于法平面上的任意一点$\vec{r}$，它到$P_0$的向量$\vec{r}-\vec{r_0}$与法向量$\vec{n}$垂直。
切平面的方程可以通过求曲面上的一个点的切向量得到。
设曲面上的一个点$P_0(x_0, y_0, z_0)$在曲面上沿着曲线$C$方向的切向量为$\vec{T}$，则切平面的方程为$$\vec{T}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0$$其中$\vec{r_0}(x_0, y_0, z_0)$是曲面$S$上的一点，$\vec{r}(x, y, z)$是一般的向量。
(完整版)曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0,函数F（x , y，z）在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ.设其方程为，且对应于点；不全为零.由于曲线Γ在Σ上，则有及。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上,这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面。
点称为切点。
向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。
记为。
基本方法：1、设点在曲面F(x, y，z)=0上，而F(x，y，z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零,则曲面F(x，y，z)=0在点处的切平面方程为。
法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f （x, y) 在点M0 (x0，y0）处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为。
过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x（u, v) , y = y(u, v） , z = z（u，v）给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 ，v0)对应，而x(u , v） , y(u , v) ，z（u，v）在（u0 ，v0)处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v） , y = y（u , v) , z = z（u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 ，v0)对应,怎样确定∑在点X0处的法向量？注释:设x（u , v） , y(u , v) , z（u , v）在（u0 ，v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线。
Γ1：x = x（u ，v0) ，y = y(u，v0） , z = z（u，v0);Γ2：x = x(u0，v) , y = y（u0，v) ，z = z(u0 , v）.它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为。
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。
设其方程为，且对应于点；不全为零。
由于曲线Γ在Σ上，则有及。
该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。
记为。
基本方法：1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为.法线方程为.2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0(x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为.过X0的法线方程为.注：方法2实际上是方法1中取的情形.3、若曲面∑由参数方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为和三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线.Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它们在点X0处的切向量分别为当时，得∑在点X0处的法向量为则∑在点X0处的法向量为.四、典型例题例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为，即x + 2y + 3z = 6.所求法线方程为，即.例2求曲面平行于z = 2x+2y的切平面方程.解设切点为. 曲面，因此.则曲面在处的法向量为.曲面在点X0处的切平面方程为又切平面与已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切点坐标为，所求切平面方程为，即.例3求曲面在点处的切平面方程和法线方程.解点对应曲面上的点其中.则曲面在点处的法向量为.所求曲面在点X0处的切平面方程为即.所求的法线方程为即.例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为，即，其法向量为.记，则设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得t1 = 1, t2 = 3，故λ1 = 3 , λ2=7.则所求切平面方程为，或.即 6x + y + 2z = 5 或 10x + 5y + 6z = 5.例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明，.故曲面上点处的法向量为.则过曲面上点的切平面方程为，整理后得. 注意到，从上述方程得切平面方程为.可知其必定过原点.Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
切线与切平面
解 当t 0时， x 0, y 1, z 2,
x et cos t, y 2cos t sin t, z 3e3t ,
x(0) 1, y(0) 2, z(0) 3,
切线方程 x 0 y 1 z 2 ,
1
2
3
法平面方程 x 2( y 1) 3(z 2) 0,
切平面上的点的竖坐标的增量.
.
14
若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z
轴的正向所成的角 是锐角，则法向量的方向
余弦为
cos fx ,
1
f
2 x
f
2 y
cos cos
fy
,
1
f
2 x
f
2 y
1
.
1
f
2 x
f
2 y
其中
f x f x ( x0 , y0 ) f y f y ( x0 , y0 )
二、求出曲线x t, y t 2 , z t 3 上的点,使在该点的切
线平行于平面 x 2 y z 4 .
三、求球面 x 2 y 2 z 2 6与抛物面z x 2 y 2 的交线 在(1,1,2)处的切线方程 .
.
23
四、求椭球面 x 2 2 y 2 z 2 1上平行于平面 x y 2z 0的切平面方程.
n {6 x0 , 2 y0 , 2z0 },
依题意知切向量为 {3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3
y0 x0 , z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02
2 2
x0 x02
9 x0 9 x02
16 16
求椭球面 上平行于平面 的切平面方程
求椭球面上平行于平面的切平面方程椭球面是三维空间中的一个曲面，其形状类似于一个椭球。
在数学中，椭球面可以用方程表示。
本文将探讨如何求解椭球面上平行于平面的切平面方程。
一、椭球面的方程椭球面的方程可以用以下公式表示：(x - a)² / a² + (y - b)² / b² + (z - c)² / c² = 1其中，a、b、c分别为椭球体沿x、y、z轴的半轴长度。
二、切平面的定义切平面是指与曲面相切且垂直于法线的平面。
在三维空间中，曲面上任意一点都有无数个切平面。
三、求解过给定点的法线向量要求解过给定点的法线向量，需要用到梯度运算。
梯度是一个向量算子，它对标量函数产生一个向量值函数。
对于曲面上任意一点P(x0, y0, z0)，其法线向量可以通过以下公式计算：grad f(P) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)其中，f(x, y, z)为曲面方程。
四、求解切平面方程已知过点P(x0, y0, z0)的切平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面法向量的分量，D为平面方程的常数项。
根据法线向量的定义，有：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0将椭球面的方程代入上式，得到：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = (∂f/∂x)(x - x0) + (∂f/∂y)(y - y0) + (∂f/∂z)(z - z0)化简得：Ax + By + Cz = f(x0, y0, z0)即切平面方程为：Ax + By + Cz = (x - x0)² / a² + (y - y0)² / b² + (z - z0)² / c²五、总结本文介绍了如何求解椭球面上平行于平面的切平面方程。
曲面的切平面和法线方程
曲面的切平面与法线方程设二中曲面工的方程为F (x , y , z ) = 0，函数F (x , y , z )在曲面工上点_ 1. . ■ 一处可微，且x=瑚Q£=胡，且f 叫对应于点肌；疋(订)』(讥*(耐)不全为零。
由于曲线I 在工上，则有任意一条过点‘‘-的曲线在该点的切线都与向量 一」'-L| -垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面工在点 ' -处的切平面.点］称为切点.向量'■ '-1--称为曲面工在点’-处的一个法向 量。
记为顶丽化gF, QO)基本方法:1、设点? ljl ' L 在曲面F (x , y , z )=0上，而F (x , y , z )在点「■'处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面 F (x , y , z )=0在点’「处的切平面方程为法线方程为L % _ F_ 片_ £_矶£(兀厂叮兀厂外匕)2、设点在曲面z = f (x , y )上,且z = f (x , y )在点M o (x o , y o )处存在连续偏导数，则该曲面在点•处的切平面方程为过X o 的法线方程为齐_ 爲 ______ _g~g» -£(心片)-刀仇」)1注：方法2实际上是方法1中取 埶兀”巧■”/(“)・0［加(血)朗(血)鹽他))n (滋 如 龛丿,过点-任意引一条位于曲面工上的曲线r 设其方程为该方程表示了曲面上的情形.3、若曲面刀由参数方程x = X(u, v), y = y(u, v) , z = z(u, v)给岀，刀上的点「「..'与uv 平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线.r ：x = x(u , v o) , y = y(u , v o) , z = z(u , v o);ir：x = x(u o, v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v).它们在点X o处的切向量分别为i*=a：糾冲,y：（埠冲吗必））£・（兀（如％）,中阳心细畀J）当-i ' '-时，得刀在点X o处的法向量为%%)g.)则刀在点X o处的法向量为四、典型例题例1求椭球面X2+2 y2+3 z2= 6在（1,1,1 ）处的切平面方程与法线方程.解设F（x, y, z） = X2+2 y2+3 Z2 -6，由于' ' " 在全平面上处处连续，在（1, 1, 1 ）p1' = 2 J?1- 4 F -fi处 ''- -' ，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(J-1)+ 4(y- l) + d(z-l) = 0 即X + 2 y + 3 Z = 6.A-1_ y-1 _ z-1所求法线方程为】- -，g=可-+y例2求曲面- 平行于Z = 2 X+2 y的切平面方程左亡心隔亡as^j 口ccis 冏sin^ -<7sm厲曹in给_#sm sin2- 2MO sin cos®%x 号=一+y £=工*£ = 2了解设切点为L J' ■.曲面-'，因此」-.■- .则曲面在上” —」处的法向量为■> ■^■■，|■■■.曲面在点Xo处的切平面方程为心仗・心）+ 2"®■幷）■（"习）,又切平面与已知平面z = 2 x+2 y平行，因此况—认三TT解得切点坐标为 '-■'■■■ -1 - ■ ■ ■'，所求切平面方程为J.. -■ I --.I 1 亠二：II即益+即-3-0.例 3 求曲面'_ 1 : 1 1■.：■ 1■ ■ - ■ 1 1' ■ . ■- _'■在点匚〔处的切平面方程和法线方程.解点'-'■■■宀对应曲面上的点L U ''■■■■■ ■' ■'其中，一! I ■：二| 一「：] I | - :::win 绻^cas 恤CDS给二，sill 2 轴CO56J-t/sm 轴sin 第sin2 sin^则曲面在点■■■-丨•处的法向量为■' 1 . 1 A 1. 1所求曲面在点X o处的切平面方程为& sin 职ccs^fx-ijsin % cos5(j) + asm1伽处sin 気)+ 应‘ sin 軌 cos 6^ (z - tf2cos - 0,即xstn cos^ + ysrn sin 4-zcos^ = ax- asincsb cosft p-应册)sin晞z-acos^n Hi - ~ ■ □ - «)- _ ~ Q q所求的法线方程为'■■-flsin^Gos^ _ y-CFSin^ siii^)驰即 _ ^ ^(3^-2j/-z -5 5f + 十=门2” - 2y +2^ =-例4求过直线，且与曲面^ -相切之切平面方程.解过直线的平面方程可设为-J' - : '..'J. 「I —.即壮丄二，其法向量为理忑”勿=2”处_|记-,则F；5,沪* ^>2设所求的切平面的切点为*"■" - '■ ■ ■''，则曲面上小汁"-门处的法向量为T I二■''.且有（34刃可+ 以・2）兀^（Z-1K-5 = O3 + /t 2-2由⑴、(3)解得152/ -1代入(2)得解得t i = 1, t2 = 3，故入 1 = 3 ,卮=7.则所求切平面方程为3x - - z - 5 + 3（J+ 丿+z）■ 0 3x- Ry -云一5 + 7（工十j十左）-0即6x + y + 2 z = 5 或10x + 5 y + 6 z = 5.r= vf-例5试证曲面•-上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.证明故曲面上点L '■■■ ■■- '■-处的法向量为 .十' 丄则过曲面上点 s 「 ' J '■的切平面方程为整理后得可知其必定过原点从上述方程得切平面方程为。