安徽省江南十校高三数学二模冲刺卷 文(扫描版 缺答案) 新人教版
安徽省江南十校2020届高三数学冲刺联考二模试题文
2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|4}xA y y e ==-+，{|lg[(2)(3)]}B x y x x ==+-，则下列关系正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．AB =∅C ．R R C A C B ⊆D ．R C B A ⊆2.若复数(23)z i i =--（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ）A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+3.已知向量a 与b b -也是单位向量，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．45 B ．60 C ．90 D ．1354.已知0.44a =，0.612b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log c =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a << 5.下列命题中，真命题的个数是（ ）①已知直线1l ：(1)20mx m y +++=，2l ：(1)(4)30m x m y ++++=，则“2m =-”是“12l l ⊥”的充要条件；②“若22am bm <，则a b <”的逆否命题为真命题；③命题“若220a b +=，则0a b ==”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 至少有一个不等于0”；④命题p ：[1,)x ∀∈+∞，ln 0x >，则p ⌝：0[1,)x ∃∈+∞，0ln 0x <. A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，22017OA a OB a OC =+且AB d BC =，则2018S （ ）A ．0B ．1009C ．2017D ．20187.已知实数x ，y 满足24010ln 0x y y y x --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则1x y z x ++=的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.已知实数[0,4]m ∈，则函数21()ln 2f x m x x x=-+在定义域内单调递减的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34 D ．589.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．60 10.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1213e e +的最大值为（ ） A ．223B ．233C ．23D ．2211.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．18-B ．18 C ．116- D ．11612.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 是B 和C 的等差中项，0AB BC ⋅>，a =ABC ∆周长的取值范围是（ ）A ．2322⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭ B ．32⎫+⎪⎪⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置） 13.下表提供了某学生做题数量x （道）与做题时间y （分钟）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.7y x =+，则表中t 的值等于 ．14.已知双曲线C ：221916x y -=的左右焦点为1F 、2F ，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点M ，则12MF F ∆的面积为 ．15.已知O 为坐标原点，动点P 满足3OP =，M 、N ，则OM ON OP ++的最小值为 ．16.已知函数()f x 的定义域是R ，21,(0)()9ln(2),(0)x mx x f x x x π⎧-++≤=⎨++>⎩（m 为小于0的常数），设12x x <且12'()'()f x f x =，若21x x -的最小值大于6，则m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2*3()n n a S n n n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2111n n n c a S =+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：5362n T ≤<. 18.距离2018年全国普通高等学校统一招生考试已不足一个月，相信考生们都已经做了充分的准备，进行最后的冲刺.高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系.为了了解考试时学生的紧张程度，对某校500名学生进行了考前焦虑的调查，结果如下：男女总计正常 30 40 70 焦虑 270 160 430 总计300200500（1）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况”与“性别”有关？（2）若从考前正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20()P K k ≥0.258 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k1.3232.0722.7063.8415.0246.63519.如图，三棱锥D ABC -中，2AB =，2AC BC ==，ADB ∆是等边三角形且以AB 为轴转动.（1）求证：AB CD ⊥；（2）当三棱锥D ABC -体积最大时，求它的表面积.20.如图所示，已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线上第一象限的点，直线l 与抛物线相切于点M .（1）过M 作HM 垂直于抛物线的准线于点H ，连接MF ，求证：直线l 平分HMF ∠； （2）若1p =，过点M 且与l 垂直的直线交抛物线于另一点Q ，分别交x 轴、y 轴于A 、B两点，求AB ABAM AQ+的取值范围. 21.已知函数ln ()a xf x x+=，()g x mx =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a =时，()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当1a =时，求证：当1x >时，11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为1sin 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为244x my m =⎧⎨=⎩（m 为参数）. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点3,2)P -，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅. 23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式53x x m ++-≥恒成立. （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式324x x m --≤-.2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学参考答案一、选择题1-5: CDACC 6-10: BBCAD 11、12：BB 二、填空题13. 6 14. 32315. 3 16. (16)-∞ 三、解答题17.解：（1）23n n a S n n +=+，当1n =时，11142a S a +=⇒=， 当2n =时，2122104a a a a ++=⇒=， 又∵{}n a 是等差数列，∴212d a a =-=，∴2(1)22n a n n =+-⨯=； （2）2211111(21)(21)n n n c a S n n n n =+=+-+-+11111221211n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. ∴n T =111111123352121n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭1111112231n n ⎛⎫+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭111112211n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭31122(21)1n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭. 当*n N ∈且n 逐渐增大时，n T 增大. ∴5362n T ≤<. 18.解：（1）假设该学校学生的考前焦虑与性别无关22500(3016027040)43070300200K ⨯-⨯=⨯⨯⨯30009.967 6.635301=≈>，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该学校学生的考前焦虑情况与性别有关； （2）男生、女生分别抽取3人，4人.记为1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，3B ，4B .基本事件为：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B .满足条件的有：11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B .∴186217m P n ===. 19.（1）证明：取AB 的中点H ，连接DH ，CH ，AC BC AB CHADB AB DH CH DH H⎫==⊥⎪∆⇒⊥⎬⎪=⎭是等边三角形AB CDH AB CD CD CDH ⊥⎫⇒⇒⊥⎬⊂⎭平面平面；（2）解：111333ABC hV S h h ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴若V 最大，则h 最大. ∴平面ADB ⊥平面ABC .此时ABC ADB ACD BCD S S S S S ∆∆∆∆=+++表1=+20.（1）证明：设2(2,2)(0)M pt pt t >则,22p H pt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线HF 的斜率122pt k t p ==--，由22(0)y px p =>得y =， ∴直线l的斜率212k t==， ∴121(2)12k k t t⋅=-⋅=-，∴l HF ⊥. 又由抛物线定义MF MH =，∴l 平分HMF ∠； （2）解：当1p =时，2(2,2)M t t ，AB 的方程：222(2)y t t x t -=--，∴2(12,0)A t +，3(0,24)B t t +.∴3224212B M AB y t t t AM y t+===+，由2222(2)2y t t x t y x⎧-=--⎪⎨=⎪⎩23420ty y t t ⇒+--=， ∴1122Q Q t y y t t t+=-⇒=--，∴342242421212B Q ABy t t t t AQ y t t t++===-++， ∴4222422121AB AB t t t AM AQ t ++=+++22222141(1,)t t t =++=+∈+∞. 21.（1）解：ln ()a xf x x+=的定义域为(0,)+∞， 且221(ln )1ln '()a x x af x x x -+--==. 由'()01ln 0f x x a >⇒-->1ln 10ax a x e -⇒<-⇒<<，∴()f x 在1(0,)ae-单调递增，在1(,)a e -+∞单调递减；（2）解：0a =，ln ()xf x x=， ∴ln ()()x f x g x x ≤⇔2ln xmx m x≤⇔≥， 令2ln ()x u x x =，∴312ln '()xu x x-=，由'()00u x x >⇒<<∴()u x在单调递增，在)+∞单调递减，∴max ln 1()2u x u e e ===，∴12m e ≥； （3）证明：11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于11(1)(ln 1)211x x x x e e x xe -++⋅>++. 令(1)(ln 1)()x x p x x ++=，则2ln '()x xp x x -=，令()ln x x x ϕ=-则11'()1x x x xϕ-=-=，∵1x >，∴'()0x ϕ>，∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，()(1)10x ϕϕ>=>，'()0p x >，∴()p x 在(1,)+∞单调递增，∴()(1)2p x p >=，∴()211p x e e >++， 令12()1x x e h x xe -=+，则122(1)'()(1)x x x e e h x xe --=+，∵1x >，∴10xe -<，∴'()0h x <，()h x 在(1,)+∞单调递减， ∴当1x >时，2()(1)1h x h e <=+， ∴()2()11p x h x e e >>++，即11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22.解：（1）l10y +-=，C 的普通方程：24x y =；（2）2)P -在l 上，l的参数方程为1222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入C得：21422t ⎛⎫⎫=⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即2440t -+=， ∴1244t t =，∴1244PA PB t t ==.23.解：（1）设()53f x x x =++-，则有22,5()8,5322,3x x f x x x x --<-⎧⎪=-<<⎨⎪+>⎩，根据函数的单调性有8m ≤.即m 的取值范围(,8]-∞；（2）当8m =时，324x x --≤，∴324x x -≤+， 当3x ≥时，原不等式324x x -≤+，7x ≥-，∴3x ≥； 当3x <时，原不等式324x x -≤+，13x ≥-，∴133x -≤<， ∴原不等式解集为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。
安徽省“江南十校”高三冲刺联考(二模)文数试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合},06|{2Z x x x x A ∈>+--=，}3,2,1{=B ，则=B A （ ）A ．}1,0,1,2{--B ．}3,2,1{C ．}1,0{D ．}1{ 【答案】D考点：1、集合的表示；2、集合的交集.2.复数i iz 215+-=的虚部为（ ） A ．511 B ．i 511 C ．511-D ．i 511-【答案】C 【解析】试题分析：因为i i z 215+-=()()()()51271112125i i i i i ---==+-,所以复数i i z 215+-=的虚部为511-，故选C.考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.已知}{n a 是公比为2的等比数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，若7612a S =+）（，则=3a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】试题分析：因为}{n a 是公比为2的等比数列，若7612a S =+）（所以()6161112222,112a a a -⨯+=⨯=-，=3a 2124⨯=,故选D.考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列前n 项和公式. 4.已知命题p :R ∈∃α，使得3cos 2sin =+αα；命题q :x x x sin ),2,0(>∈∀π，则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．q p ∧为真D ．q p ∨为假 【答案】B考点：1、真值表的应用；2、三角函数的有界性及导数的几何意义.5.已知x ，y 满足不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．3B ．132C ．12D ．23试题分析：作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把2z x y =+变形为2y x z =-+．平移2y x =-由图可以看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点B 时，截距z 最小．解方程组1430x x y =⎧⎨-+=⎩，得B 点坐标为()1,1；所以min 2113z =⨯+=．故应选A ．考点： 1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中可行域的画法及利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.若新高考方案正式实施，甲，乙两名同学要从政治，历史，物理，化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ） A ．61 B ．31 C ．21D ．32 【答案】A考点：1、组合数的应用；2、古典概型概率公式.7.如果一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．π32080-B ．π32080+ C ．π)4292(112-+ D ．π292112+【答案】C 【解析】试题分析：由三视图知,该几何体是一个底面边长为4,高为5的正四棱柱,挖去一个底面半径为2,高为5的圆锥的组合体,其表面及是正四棱柱的全面积减去圆锥的底面积再加上圆锥的侧面积:1124π+-= π)4292(112-+，故选C.考点：1、三视图的应用；2、圆锥的侧面积公式及组合体的表面积.8.已知边长为2的等边ABC ∆，其中点G Q P ,,分别是边CA BC AB ,,上的三点，且CA CG BC BQ AB AP 41,31,21===，则=⋅（ ）A ．125B ．127C ．43D ．1211【答案】B考点：1、向量运算的三角形法则；2、平面向量的数量积公式.9.已知定义在R 上的奇函数)(x f y =，对于R x ∈∀都有)1()1(x f x f -=+，当01<≤-x 时， )(log )(2x x f -=，则函数2)()(-=x f x g 在)8,0(内所有的零点之和为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 【答案】D 【解析】试题分析：因为函数2)()(-=x f x g 在)8,0(内所有的零点之和，就是()2f x =在)8,0(内所有的根之和，也就是(),2y f x y ==交点横坐标之和，画出(),2y f x y ==函数图象，如图，由图知12342,10x x x x +=+=，所以，123412x x x x +++=，故选D.x考点：1、函数零点与函数图象交点之间的关系；2、数形结合思想. 10.如果函数x y ωsin 21=在区间]12,8[ππ-上单调递减，那么ω的取值范围为（ ） A ．)0,6[- B ．)0,4[- C ．]4,0(D ．]6,0( 【答案】B 【解析】试题分析：因为1ω=时，1sin 2y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以可以排除C 、D ；6ω=-时，()11sin 6sin 622y x x =-=-在,812ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，因此可排除选项A ，故选B.考点：1、三角函数的单调性；2、选择题的特殊值法.11.抛物线x y 42=的准线与x 轴相交于点P ，过点P 作斜率)0(>k k 的直线交抛物线于B A ,两点， F 为抛物线的焦点，若||3||FB FA =，则直线AB 的斜率=k （ ）A ．33 B ．23 C ．332D ．32【答案】B考点：1、抛物线的定义和几何性质；2、韦达定理的应用.【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及韦达定理的应用，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决，本题A B 、到焦点F 的距离就是转化为到焦点距离求解的.12.已知函数⎩⎨⎧≤-->-+=0,10),1(log 3)(22x x x x x x f 若5)(=a f ，则a 的取值集合为（ ）A ．}5,3,2{-B ．}3,2{-C ．}5,2{-D ．}5,3{ 【答案】C 【解析】 试题分析：()()()()()22422215,33log 24,53log 25f f f -=---+==+==+=，排除A 、B 、D,()5f a ∴=的集合为{}2,5-,故选C. 考点：1、分段函数的解析式；2、特殊值法解选择题.【方法点睛】本题主要考查抛分段函数的解析式、特殊值法解选择题，属于难题.特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型：(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）求方程、求通项、求前n 项和公式问题等等.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数2)(3+-=x x x f ，则)(x f 在]1,0[上的最小值为 .【答案】9322-考点：1、利用导数利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求函数的最值.14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是 .【答案】0 【解析】试题分析：该程序框图运行结果是数列cos6n n a π=的前2016项的和，根据三角函数诱导公式及三角函数的周期性可得，该数列每相邻12和为0，而201616812=⨯，所以，其和为16800⨯=，故答案为0.考点：1、程序框图及循环结构；2、三角函数诱导公式及三角函数的周期性.15.在数列}{n a 中，)2(322,1111≥+=-=-n a a a n n ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则n S 的最小值为 . 【答案】46-考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、等差数列的前n 项和公式及最值.【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、等差数列的前n 项和公式、前n 项和的最值，属于难题..求等差数列前n 项和的最小值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最小值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最小）；②可根据0n a ≤且10n a +≥确定n S 最小时的n 值.16.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ，其左，右焦点分别为21,F F ，若以右焦点)0)(0,(2>c c F 为圆心作半径为c 的圆与双曲线的右支的一个交点为M ，且直线M F 1恰好与圆相切，则双曲线的离心率为 . 【答案】13+ 【解析】试题分析：因为右焦点)0)(0,(2>c c F 为圆心作半径为c 的圆与双曲线的右支的一个交点为M ，且直线M F 1恰好与圆相切，所以122,MF MF MF c ⊥=，由勾股定理得1MF =，由双曲线定义知122MF MF a -=c =-，离心率1c e a ===，故答案为13+.考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的几何性质及离心率.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的几何性质及离心率，属于难题 . 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知1cos )sin 3(cos 2cos 22=++C B B A. （1）求角C 的大小；（2）若32=c ，且ABC ∆的面积为3，求b a ,的值. 【答案】（1）32π=C ；（2）2,2==b a .考点：1、余弦的二倍角公式、三角形内角和定理；2、两角和的余弦公式，余弦定理及三角形面积公式.18. 某数学老师对所任教的两个班级各抽取30名学生进行测试，分数分布如下表： （1）若成绩120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的成绩在90分以上（含90分）的学生中，随机任取2名学生，恰有1人为优秀的概率；（2）根据以上数据完成下面的2×2列联表，则犯错概率小于0.1的前提下，是否有足够的把握认为学生的数学成绩优秀与否和班级有关?参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.下面的临界值供参考：【答案】（1）35；（2）在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握认为学生的数学成绩优秀与否和班级有关.【解析】试题分析：（1）例举出乙班参加测试的成绩在90分以上的学生中，随机任取2名学生的基本事件，共15个，恰有1人为优秀的事件共有9个，根据古典概型概率公式可求解；（2）先列出列联表，然后直接利用公式， 2()()()()()n ac bd a b c d a c b d -++++，然后对照所给数据即可.考点：1、古典概型概率公式；2、独立性检验.19.如图所示的多面体中，已知菱形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，其中FAC ∠为直角，60=∠ABC ，AC EF //，3,121===FA AB EF . （1）求证：⊥DE 平面BEF ； （2）求多面体ABCDEF 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3.（2）解：由（1）知，⊥BD 平面A C，所以33]3)21(21[312=⨯⨯+⨯⨯=+=--A C E FD AC EF B A B C D E F V V V .考点：1、线面垂直的判定定理与性质；2、棱锥的体积公式.20.已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为)22,1(),3,2(),0,1(C B A -，且定点)1,1(P . （1）求ABC ∆的外接圆的标准方程；（2）若过定点P 的直线与ABC ∆的外接圆交于F E ,两点，求弦EF 中点的轨迹方程.【答案】（1）9)2(22=+-y x ；（2）21)21()23(22=-+-y x .考点：1、定义法求圆方程；2、直接法求圆的方程.【方法点睛】本题主要考查三角形外接圆的方程和性质、动点的轨迹方程向量垂直的性质，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有: ①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题是利用方法①②解答的. 21.已知函数x a ax xbx f ln )1()(++-=，R a ∈，且)(x f y =在1=x 处的切线垂直于y 轴. （1）若1-=a ，求)(x f y =在21=x 处的切线方程；（2）讨论)(x f 在),0(+∞上的单调性.【答案】（1）43+-=x y ；（2）当0=a 时，)(x f 在]1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，当0<a 时， )(x f 在]1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，当10<<a 时，)(x f 在)1,1(a 内单调递增，在]1,0(和),1[+∞a上单调递减；当1=a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递减，当1>a 时，)(x f 在)1,1(a 内单调递增，在]1,0(a和),1[+∞上单调递减.考点：1、利用导数求切线方程；2、利用导数研究函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线方程、利用导数研究函数的单调性.属于难题. 利用导数求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=∙-.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于E 点. （1）证明：BDADBC AC =； （2）若AC BD AD ==2，求ECBE的值.【答案】（1）证明见解析；（2）35. 考点：1、相识三角形的应用；2、圆的割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以O 为极点，C 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为θρsin 52=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223（t 为参数）. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点)5,3(P ，直线l 与曲线C 相交于N M ,两点，求||||PN PM +的值.【答案】（1）05222=-+y y x ,053=--+y x ；（2）考点：1、参数方程化普通方程及韦达定理；2、极坐标方程化直角坐标方程及直线参数的几何意义. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|23||212|)(-++=x a x x f . （1）当1-=a 时，解不等式x x f 3)(≤；（2）当2=a 时，若关于x 的不等式|1|1)(2b x f -<+的解集为空集，求实数b 的取值范围.【答案】（1）4121-<≤-x ；（2）]9,7[-.考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式有解问题.。
安徽省江南十校2019届高三数学冲刺联考二模试题文20190531016
年“江南十校”高三学生冲刺联考(二模）文科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，第卷第至第页，第卷第至 第页。
全卷满分分，考试时间分钟。
考生注意事项：.答题前，务必在试题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中座位号与本人座位号是否一致，务必在答題卡规定的地方填写考场座位号、姓名、班级。
.答第卷时，每小题选出答案后，用铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
.答第Ⅱ卷时，必须使用亳米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
. 第卷(选择题共分）―、选择题(本大题共小题，每小题分，共分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
.集合 {1＜|x x }， {2|-≥x x }，则(∩) . {2＜|-x x } . {1|≥x x }. {1x 2＜|≥-或x x } . {x ＞＞2|或-≤x x }.设iiz 2332+-=，复数2+z 位于复平面 .第一象限 .第二象限 .第三象限 .第四象限 . 执行如图所示的程序框图，输出的的值为 .25 . 290941 . 1029. 已知抛物线方程为2ax y =,它的准线方程为81-=y ，则a 的值为. 21-. 21. 已知圆台上、下两底面与侧囿都与球相切，它的侧面积为π16,则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为. π4 . π6 . π8 . π10. 已知: 31log ,)31(,411ln 11e e c b a ===，则 ，，的大小关系为. > >. > >> > > >. 在平行四边形中，为的中点，点在上, 且，连接、交于点，则=DG.7154- . 7476- . AD AB 7275- . AD AB 7173- . 已知函数)(3cos 33sin )(R x x x x f ∈+=，曲线)(x f 与直线3=y 的交点中，相邻交点的距离最小值与最大值分别为 .54,3ππ .65,6ππ .95,9ππ .125,12ππ.△中，角，，的对边分别为，，，且满足BBA A C bc a c b cos sin 3cos sin 3sin 2)2(,33)(3)1(222=-+=+，则角为.6π . 65π . 3π . 32π. 如图所示，正方形的边长为，等腰直角△绕其直角边转动，另一直角边与正方形一边成θ角(0018＜90θ≤)，则异面直钱与所成角的取值范围为 . ]2,0(π. ]6,0(π . ]3,0(π . ]2,6[ππ.已知双曲线方程12222=-by a x (>>≠), ，是它的两条渐近线上的点，△为直角三角形，则，两点横坐标的绝对值之比为. abb a 或 . ||2222b a b a -+ . 2222||b a b a +- . ||2222b a b a -+或2222||b a b a +-. 已知函数xx ee xf -+=4)(，则.)(x f 在(∞)单调递增，在(, ∞)单调递减 .)(x f 在(∞)单调递减，在(, ∞)单调递增 .函数)(x f 的图象不关于直线2=x 对称 .函数)(x f 的图象关于点(，)对称(在此卷上答题无效）绝密★启用前年“江南十校”高三学生冲剌联考(二模）文科数学 第Ⅱ卷(非选择题共分)考生注意事项：请用毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
安徽省江南十校2018届高三冲刺联考(二模)文科数学试卷+Word版含解析
2018年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由指数函数与对数函数的性质求出集合A、B，再验证各选择支结论是否成立.详解：由题意，，∴，只有C正确.故选C.点睛：集合问题中首要任务是确定集合的元素，对描述法表示的集合，其代表元的形式是什么很重要，这个代表元是实数，还是有序实数对（点）？是实数时，表示函数的定义域还是函数的值域？只有确定了代表元的意义，才能确定正确的求解方法，确定出集合.本题还考查的集合间的关系，掌握补集运算与包含关系是解题关键.2.若复数（是虚数单位），则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由复数乘法求得，再由共轭复数定义得结论.详解：由题意，∴，故选D.点睛：本题考查复数的运算与复数的概念，只要乘法法则与共轭复数的概念就能正确求解，属于基础题.3.已知向量与为单位向量，若也是单位向量，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A分析：把的长度为1用数量积表示，再结合向量的夹角公式可得.详解：由题意，∴，∴，故选A.点睛：本题考查平面向量数量积的定义，掌握相应的公式是解题基础.向量数量积的定义：；性质:，.4.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：把化为同底数的幂，是对数化简后也可化为2的幂，这样由指数函数的性质可比较大小.详解：，，，∴，故选C.点睛：在幂和对数比较时，能化为同底数的，化为同底数的幂或对数，利用指数函数或对数函数性质比较，不能化为同底数的，或不同形式的数可与中间值比较，如与0或1比较，最后可得结论.5.下列命题中，真命题的个数是（）①已知直线：，：，则“”是“”的充要条件；②“若，则”的逆否命题为真命题；③命题“若，则”的否命题是“若，则，至少有一个不等于”；④命题：，，则：，.A. B. C. D.【解析】分析：对四个命题分别研究其真假，才能选出正确选项.详解：①直线，即或，因此题中应是充分不必要条件，①错误；②若，则，所以，是真命题，因此其逆否命题也是真命题，②正确；③正确；④是：，④错误.所以有两个命题正确，故选C.点睛：本题考查命题的真假判断，解题时需对每一个命题进行判断，这就要求掌握相应的知识方法并能灵活运用．6.已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用向量的线性运算把用表示出来后，由向量相等得出数列的递推关系．详解：∵，∴，即，又，∴，∴，∴．故选B．点睛：等差数列问题可用基本量法求解，即把已知条件用首项和公差表示并求出即可得通项公式和前项和公式．基本量法的两个公式：，．7.已知实数，满足，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：作出可行域，由的几何意义求解．详解：作出可行域，如图阴影部分（含边界），，其中表示可行域内的点与定点连线的斜率，由得，设切点为，则切线，解得，，即切点为，这P 点的切线斜率为1，即的最大值为1，∴的最大值为1+1=2．故选B．点睛：线性规划问题中，关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，然后平移直线得出最优解，如果目标函数不是一次的，一般要确定其几何意义，如直线的斜率，两点间距离等，再利用几何意义求解．8.已知实数，则函数在定义域内单调递减的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：求出函数单调递减时的范围，由几何概型概率公式可得．详解：由题意，在时，恒成立，即，又，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为3，∴，从而，∴所求概率为．故选．点睛：本题考查几何概型，考查导数与函数的单调性，解题关键是由不等式在恒成立求得参数的取值范围，求取值范围的方法是分离参数法转化为求函数的最值，这可由导数求得也可由基本不等式求得．9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由三视图还原出原几何体，再计算体积．详解：由三视图．原几何体是四面体，如图，它是由长宽高分别为5，4，3的长方体截出的，其体积为．故选A．点睛：由三视图还原几何体时，首先要掌握基本几何体的三视图，其次对多面体来讲，可先画一个长方体（或正方体），然后在长方体（或正方体）上取点连线，想象其三视图，用这种方法可以很方便地得出原几何体．10.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：通过椭圆与双曲线的定义，建立的边长之间的关系，再转化为离心率之间的关系，然后由基本不等式求得最大值．详解：设，∵，∴，一方面，另一方面，∴，，，，∴，，当且仅当，即时等号成立，∴所求最大值为．故选D．点睛：对已知焦点三角形的椭圆（双曲线）一般可利用其定义建立离心率与边长之间的关系，从而求出离心率的范围或最值，而本题共焦点的椭圆与双曲线问题，可通过共顶点的焦点三角形利用它们的定义建立离心率之间的关系，再利用基本不等式求得最大值．11.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：模拟程序运行，观察运行中变量的值，可得结论．详解：由程序框图知．故选B．点睛：本题考查程序框图，由程序框图观察出程序的功能，从而得出结论，对这个式子可利用二倍角公式求值，看作分母为1的分式，然后分子分母同乘以，然后由正弦的二倍角化简求值．12.在中，角，，所对的边分别为，，，且是和的等差中项，，，则周长的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：由得B角是钝角，由等差中项定义得A为60°，再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围．详解：∵是和的等差中项，∴，∴，又，则，从而，∴，∵，∴，所以的周长为，又，，，∴．故选B．点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结合三角函数的恒等变换可求得取值范围．解题易错的是向量的夹角是B角的外角，而不是B角，要特别注意向量夹角的定义．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.下表提供了某学生做题数量（道）与做题时间（分钟）的几组对应数据：（道）（分钟）根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则表中的值等于__________．【答案】【解析】分析：求出，代入回归方程可得．详解：由题意，同理，∴，．故答案为6．点睛：本题考查回归直线方程，解题时掌握其性质即可：回归直线一定过点．本题属于基础题．14.已知双曲线：的左右焦点为、，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点，则的面积为__________．【答案】【解析】分析：先求出渐近线方程，然后求出过一个焦点且与渐近线平行的直线方程，代入双曲线方程求得交点M的坐标，从而可得三角形面积．详解：双曲线的焦点为，渐近线方程为，过与一条渐近线平行的直线方程为，由得，即，∴．故答案为．点睛：本题考查双曲线的几何性质，考查渐近线方程，解题方法是解析几何的最基本方法，依次求出平行直线方程，由直线与双曲线方程联立方程组求得交点坐标，最终得三角形面积．因此本题还考查了学生的运算求解能力，属于基础题．15.已知为坐标原点，动点满足，、，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：设P点坐标为，，求出模，再由三角函数知识可得最小值．详解：由题意设P点坐标为，则==，其中为锐角．易知的最小值为，，∴的最小值不．点睛：点P满足，则P点轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，圆的点可利用参数方程表示为，实际是椭圆上的点也可这样表示：椭圆方程为，则有．利用这种换元法可把问题转化为求三角函数的最值，题中只要结合辅助角公式易得最值．16.已知函数的定义域是，（为小于的常数），设且，若的最小值大于，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：求出导函数，分析的取值，可得，，且知满足的关系，这可理解为上的点与曲线上的点，满足，然后要求的最小值，通过平行直线到与曲线相切可得最小值．详解：由题意得，∴．设，则，设斜率为-2的直线与的图象相切于，则，，当时，，，∴，解得．故答案为．点睛：求出导函数，分析的取值，可得，，且知满足的关系，从而再表示出为一元函数，再用导数求函数的最小值即可：由题中解法得，所以，设，则，由得，可以验证此是最小值点，从而，以下同题中解法．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知等差数列前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由和代入已知求出，根据基本量法可求得的通项公式；（2）利用分组求和法与裂项相消法求得，知是递增的，从而易证得结论．详解：（1），当时，，当时，，又∵是等差数列，∴，∴；（2）.∴.当且逐渐增大时，增大.∴.点睛：常用数列求和方法：（1）公式法：数列是等差数列或等比数列时，直接应用公式求和；（2）分组求和法：设数列是等差数列，是等比数列，则数列的前项和用分组求和法求和．（3）设数列是等差数列，是等比数列，则数列的前项和求法用错位相减法．（4）设数列是等差数列，则的前项和用裂项相消法求和．18.距离年全国普通高等学校统一招生考试已不足一个月，相信考生们都已经做了充分的准备，进行最后的冲刺.高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系.为了了解考试时学生的紧张程度，对某校名学生进行了考前焦虑的调查，结果如下：（1）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况”与“性别”有关？（2）若从考前正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取人，再从被抽取的人中随机抽取人，求这两人中有女生的概率.附：，.【答案】（1）有关（2）【解析】分析：（1）根据所给公式计算出后可得结论；（2）把抽取的3男4 女编号，然后可用列举法写出所有基本事件，同时得出满足条件的基本事件个数，由概率公式计算出概率．详解：（1）假设该学校学生的考前焦虑与性别无关，∴在犯错误的概率不超过的前提下，该学校学生的考前焦虑情况与性别有关；（2）男生、女生分别抽取人，人.记为，，，，，，.基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.满足条件的有：，，，，，，，，，，，，，，，，，.∴.点睛：本题考查独立性检验和古典概型概率公式，独立性检验只要计算出根据公式计算出，比较后可得结论，考查的是计算能力，古典概型概率一般用列举法写出所有的基本事件，同时得出满足条件的基本事件，再根据概率公式计算，只是在写基本事件时要注意不重不漏．19.如图，三棱锥中，，，是等边三角形且以为轴转动.（1）求证：；（2）当三棱锥体积最大时，求它的表面积.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）要证线线垂直，可先证线面垂直，为此取AB中点H，可证AB⊥平面CDH，从而得证线线垂直；（2）面积是确定的，因此要使体积最大，则要高最大，即D到平面ABC的距离最大，注意到是固定的，因此只要平面DAB⊥平面ABC，则体积最大．详解：（1）证明：取的中点，连接，，；（2）解：，∴若最大，则最大.∴平面平面.此时.点睛：本题考查线面垂直的判定与性质，证明时要确定定理需要的条件都满足，才能确定结论，这也是立体几何中证明题需要注意的．20.如图所示，已知抛物线的焦点为，是抛物线上第一象限的点，直线与抛物线相切于点.（1）过作垂直于抛物线的准线于点，连接，求证：直线平分；（2）若，过点且与垂直的直线交抛物线于另一点，分别交轴、轴于、两点，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）.【解析】分析：（1）根据抛物线的性质，MH=MF，因此要证切线平分，只要证直线垂直于HF即可，为此可设，可由导数的几何意义求得切线斜率，由斜率乘积为-1可证两直线垂直；（2）设，由（1）可得直线AB的斜率，从而得直线方程，可求得A,B两点的坐标，由直线AB方程与抛物线方程联立可求得Q点坐标，由计算即得结论．详解：（1）证明：设则，直线的斜率，由得，，∴直线的斜率，∴，∴.又由抛物线定义，∴平分；（2）解：当时，，的方程：，∴，.∴，由，∴，∴，∴.点睛：在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离及点到准线距离时，要利用抛物线的定义，由抛物线的定义本题证明直线平分转化为证明直线与垂直，这由直线斜率乘积可证．另外抛物线方程为时，可设抛物线上点的坐标为，抛物线问题就转化计算，可减少思维量与计算量．21.已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：当时，【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）(3)见解析【解析】分析：（1）求出导函数，由可确定增区间，由可确定减区间；（2）即为，即，因此只要求得的最大值即可；（3）不等式可变形为，只要分别证明，，其中，即能证明题设不等式．详解：（1）的定义域为，且.由，∴在单调递增，在单调递减；（2）解：，，∴，令，∴，由，∴在单调递增，在单调递减，∴，∴；（3）证明：等价于.令，则，令则，∵，∴，∴在单调递增，，，∴在单调递增，∴，∴，令，则，∵，∴，∴，在单调递减，∴当时，，∴，即.点睛：（1）用导数研究函数的单调性方法是：求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间．（2）用导数证明不等式，一种方法是证明，为此只要求得的最小值，这个最小值大于0；另一种方法是求得的最小值，再求得的最大值，由得证．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线的极坐标方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）已知点，直线和曲线相交于，两点，求.【答案】（1），；（2）44【解析】分析：（1）由可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，用代入消元法可消去参数得曲线的普通方程．（2）由于P点在直线，因此可求得的标准参数方程（为参数），代入抛物线的普通方程，利用可得结论．详解：（1）由得，即，∴的直角坐标方程，由，得，代入得，即，所以的普通方程：；（2）在上，的参数方程为（为参数），将的参数方程代入得：，即，∴，∴.点睛：过，倾斜角为的直线的标准参数方程为（为参数），直线上点对应的参数为，则表示有向线段的数量，即，．23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数，不等式恒成立.（1）求的取值范围；（2）当取最大值时，解关于的不等式.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）设，可由绝对值的定义去掉绝对值符号，得分段函数，从而可得的最小值，从而得的取值范围；（2）不等式为，利用绝对值的定义分类去绝对值符号后，解不等式，最后求并集可得原不等式的解集．详解：（1）设，则有，根据函数的单调性有.即的取值范围；（2）当时，，∴，当时，原不等式，，∴；当时，原不等式，，∴，∴原不等式解集为.点睛：解含绝对值的不等式，一般是用绝对值的定义去掉绝对值符号，化含绝对值的不等式为为含绝对值的不等式，分类求解．本题也可利用绝对值的性质求解，如第（1）小题中，第（2）小题由得，解之可得．。
2025届安徽江南十校高考数学二模试卷含解析
2025届安徽江南十校高考数学二模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．982．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦ 4．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．125．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） AB ．3CD ．26．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥7．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x-=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=8．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<9．函数()sin 2sin 3f x x m x x =++在[,]63ππ上单调递减的充要条件是（ ）A ．3m ≤-B ．4m ≤-C ．33m ≤-D ．4m ≤10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432B ．576C ．696D ．96011．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的值域是[]0,1B ．()f x 是奇函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 是增函数12．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33-B ．3C ．332- D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安微江南十校高三数学学生最后2套热身(二)文 新人教A版
安徽省江南十校2012届高三学生最后热身（二）数学(文史类)试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡上规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号的指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答．．．．．．．．．．案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4．考试考试结束，务必将本试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A={}{}0,1,|1,,B y y x x A ==+∈则AUB是（ ） A.{}1B.{}0,1C.{}1,2D.{}0,1,2 2.复数132i i++在复平面上位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．双曲线22154x y -=的焦点坐标为（ ）A.（3，0）和（－3,0）B.（2，0）和（－1，0）C.（0，3）和（0，－3）D.(0,1)和(0,－1)4.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若253,25,a S ==则该数列的公差d= （ ）A.7B.6C.3D.25.与正弦曲线sin y x =关于直线x π=对称的曲线是 （ ） `A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =-6.已知点A （1，0），P (,)x y ，且,x y 满足02,02,2,x y x y <≤⎧⎪<≤⎨⎪+≥⎩则|PA|的取值范围是（ ）A ．252⎣B ．2,5⎡⎣C ．2,2⎤⎦D ．222⎤⎥⎣⎦7.已知平面向量(1,),(2,)a x b y ==，且a b ⊥，则||a b +的最小值为A ．1B 5C 7D ．38.若()f x 是奇函数，且o x 是()xy f x e =+的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ） A.()1xy f x e =-+ B.()1xy f x e-=+C.()1xy e f x =-D.()1xy e f x =+9.为了得到函数cos(2)()3y x x R π=-∈的图像，只需把函数cos ()y x x R =∈的图像上所有点（ ） A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）C.先把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平移6π个单位长度D. 先把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向右平移6π个单位长度10.已知几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置） 11．不等式2012x x+≥-的解集是 ． 12．如下图所示的程序框图，输也的结果是 ．13.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现在分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．14.已知下列命题：①已知,a β表示两个不同的平面m 为平面a 内的一条直线，则“a β⊥”是m β⊥的充要条件；②命题“,10x R nx ∃∈≤” 的否定是“,10x R nx ∀∈>”；③()sin 26x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在52,123x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数； ④同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币一枚为正面向上、一枚为反面向上的概率为12； ⑤在△ABC 中，若2sin b a B =，则A 等于30o.其中真命题的是 .（写出所有真命题的序号）15．已知()()f x x R ∈是偶函数，(2)f x -是奇函数，且(0)2012,f =则(2012)f = .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内） 16．（本小题满分12分）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)[)75,85,85,95，由此得到频率分布直方图如图.（Ⅰ）求这20名工人中一天生产该产品数量在 [)75,95有多少人？（Ⅱ）工厂规定生产该产品的数量前四名的工人 依次进行生产示范表演，随机安排顺序，求 在同一分组区间的两人恰好不相邻表演的概率.17.(本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知,33A a π==.(Ⅰ)若1b =，求c ；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值.18.(本小题满分12分)已知,,a b a b +是等差数列{}n a 的前三项，,,a b ab 是等比数列{}n b 的前三项，且1n n b a =.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n k 的前n 项和n S .19. (本小题满分13分)如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，MA ∥PB,PB=AB=2MA=2. （Ⅰ）求多面体PBCDMA 的体积；（Ⅱ）求证:AC ∥平面PMD; （Ⅲ）求证：面PBD ⊥面PAC.20．(本小题满分13分)已知函数()1,(),f x a nx g x x =+- （Ⅰ）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）求函数()()f x yg x =的单调区间和最大值.21．(本小题满分13分)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点31,22⎛⎫⎪⎝⎭，但椭圆的离心率3e =．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）直线l 过点(,0)A a -，与椭圆交于点B ，与y 轴交于点D,过原点平行于l 的直线与椭圆交于点E ，证明：||,||AB OE AD 成等比数列．。
安徽省江南十校2020届高三冲刺联考(二模)试题数学(文)(含解析)
姓名座位号(在此卷上答题无效}绝密★启用前2019年“江南十校”高三学生冲刺联考(二模）文科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中座位号与本人座位号是否一致，务必在答題卡规定的地方填写考场/座位号、姓名、班级。
2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答題卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5亳米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
.第1卷(选择题共60分）―、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 A= {1＜|x x }，B = {2|x x }，则C R (A ∩Ｂ)= A. {2＜|x x } B. {1|xx }C. {1x 2＜|或x x }D. {x ＞＞2|或xx }2.设ii z2332，复数2z 位于复平面A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为A.2B.25 C.290941 D.10294. 已知抛物线方程为2ax y,它的准线方程为81y，则a 的值为A.21 B.21 C.-2D.25. 已知圆台上、下两底面与侧囿都与球相切，它的侧面积为16,则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为A.4B.6 C.8 D.106. 已知:31log ,)31(,411ln 11eec b a，则 a ，b ，c 的大小关系为A. c > a > bB. c > b > aC.b > a > cD.a > b > c 7. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，点F 在CD 上, 且DF=2FCC ，连接AE 、BF 交于G 点，则DGA.AD AB 7154 B.AD AB 7476C.ADAB7275 D.ADAB71738. 已知函数)(3cos 33sin )(R xx x x f ，曲线)(x f 与直线3y的交点中，相邻交点的距离最小值与最大值分别为A.54,3B.65,6C.95,9D.125,129.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足BB AA Cbc ac bcos sin 3cos sin 3sin 2)2(,33)(3)1(222，则角C 为A.6B.65 C.3D.3210. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，等腰直角△SAD 绕其直角边AD 转动，另一直角边SD 与正方形一边DC 成角(018＜90)，则异面直钱SA与DB 所成角的取值范围为A.]2,0( B.]6,0( C.]3,0( D.]2,6[11.已知双曲线方程12222by ax(a>0,b>0,a≠b), A ，B 是它的两条渐近线上的点，△OAB 为直角三角形，则A ，B 两点横坐标的绝对值之比为A.ab ba 或B.||2222b aba C.2222||bab a D.||2222b aba 或2222||bab a 12. 已知函数xxee xf 4)(，则A.)(x f 在(-∞,2)单调递增，在(2, +∞)单调递减B.)(x f 在(-∞,2)单调递减，在(2, +∞)单调递增C.函数)(x f 的图象不关于直线2x 对称D.函数)(x f 的图象关于点(2，0)对称(在此卷上答题无效）绝密★启用前2019年“江南十校”高三学生冲剌联考(二模）文科数学第Ⅱ卷(非选择题共90分)考生注意事项：请用0.3毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
安徽省“江南十校”高三数学冲刺联考(二模)试题 理(含
安徽省“江南十校”2016届高三数学冲刺联考（二模）试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合}|{2x x x M ≥=，},13|{R x y y N x∈+==，则=N M I （ ） A ．}1|{>x x B ．}1|{≥x x C ．0|{≤x x 或}1>x D ．}10|{≤≤x x 【答案】A考点：1、集合的表示；2、集合的交集.2.已知复数z 满足i z i 32)31-=+（（i 为虚数单位），则复数z 则复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C 【解析】试题分析：因为i z i 32)31-=+（，所以3133413i iz i--==+,对应的点为133,4⎛- ⎝⎭,在第三象限,故选C. 考点：1、复数的几何意义；2、复数的运算. 3.已知数列}{n a 满足151=a ，3432=a ，且212+++=n n n a a a ，若01<⋅+k k a a ，则正整数=k （ ）A ．21B ．22C ．23D ．24 【答案】C【解析】试题分析：由题意得, 数列{}n a 是等差数列, 通项公式为()21513n a n ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭g ,令0n a >得472n <,故23240,0,23a a k ><∴=，故选C. 考点：1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式.4.设点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，点F 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为61：，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．022=±y xB ．022=±y xC ．023=±y xD ．023=±y x 【答案】B考点：1、点到直线距离公式；2、双曲线的性质及渐近线方程.5.在空间直角坐标系xyz O -中，已知某四面体的四个顶点坐标分别是)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)2,0,0(C ，)2,1,1(D ，则该四面体的正视图的面积不可能为（ ）A ．2B ．3C ．214D ．22 【答案】D 【解析】试题分析：几何体的直观图如图所示, 其正视图的最大投影面是在xOy 或xOz 或yOz 平面上, 故最大面积为2,不可能为22故选D.考点：1、几何体的三视图；2、空间坐标系的应用.6.设A 是由x 轴、直线)10(≤<=a a x 和曲线2x y =围成的曲边三角形区域，集合}10,10|),{(≤≤≤≤=Ωy x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，点P 落在区域Ω内的概率为1921，则 实数a 的值是（ ） A ．161B ．31-C ．23- D ．2- 【答案】C考点：1、定积分的几何意义；2、几何概型概率公式.7.执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值是（ ） A ．2 B ．81 C ．41D ．21【答案】C 【解析】试题分析：由题图可知, 开始时2,1a i ==；第一次运行后,1,23a i =-= ；第二次运行后,3,32a i =-= ；第三次运行后,2,4a i ==, 依此类推, 又20163672=⨯,故输出的a的值为32-，故选C.考点：1、程序框图；2、循环结构.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序. 8.若把函数）（6sin πω-=x y 的图象向左平移3π个单位，所得到的图象与函数x y ωcos =的图象重合，则ω的一个可能取值是（ ） A ．2 B ．23 C ．32D ．21【答案】A考点：1、三角函数的平移变换；2、三角函数的诱导公式.9.设点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03020y x y x x 表示的平面区域上，则1222+-+=x y xz 的最小值为（ ）A ．1B ．55C ．2D ．552 【答案】D 【解析】试题分析：不等式组所表示的平面区域如图所示，记点()1,0A ,由()2222211z x y x x y =+-+=-+知,z PA z =的最小值点A 数到直线20x y -=的距离, 即22212521⨯=+，故选D .考点：1、可行域的画法；2、点到直线距离公式. 10.对于平面向量，给出下列四个命题：命题1p ：若0>⋅b a ，则a 与b 的夹角为锐角； 命题2p ：“||||||b a b a ⋅=⋅”是“b a //”的充要条件；命题3p ：当,为非零向量时，“0=+b a ”是“||||||||-=+”的必要不充分条件； 命题4p ：若||||=+，则|2||2|+≥ 其中的真命题是（ ）A ．1p ，3pB ．2p ，4pC ．1p ，2pD ．3p ，4p【答案】B考点：1、向量的基本概念与性质；2、充分条件与必要条件.11.已知直线l 是曲线1C ：2x y =与曲线2C ：)1,0(,ln ∈=x x y 的一条公切线，若直线l 与曲线1C 的切点为P ，则点P 的横坐标t 满足（ ） A ．210<<t B ．121<<t C ．222<<t D ．12,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：记直线l 与曲线2C 的切点为因为()(),ln ,0,1m m m ∈,则直线l 的方程为()1ln y m x m m -=-,又直线l 的方程为()22y t t x t -=-,从而12t m =且2ln 1m t -=-,消去m 得21ln 12t t -=-,即()21ln 210,2t t t -+=>,设()()21ln 21,2f x x x x =-+>,则()2112'2x f x x x x -=-=,令()'0f x >解得122x <<,则函数()f x 在12,22⎛ ⎝⎭上递增，又102f ⎛⎫>⎪⎝⎭，12,22⎛ ⎝⎭无零点，()'0f x <得()f x 在22⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，可得20,30ff ><，所以12,22⎛ ⎝⎭，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求切线方程及零点定理的应用. 【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求切线方程及零点定理的应用.，属于难题.求曲线切线的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-.12.已知点N M ,是抛物线24x y =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足ο135=∠MFN ，弦MN 的中点P 到直线l ：161-=y 的距离记为d ，若22||d MN ⋅=λ，则λ的最小值为（ ）A ．22B ．221- C ．221+D ．22+【答案】D考点：1、抛物线的定义；2、余弦定理及基本不等式求最值.【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及余弦定理和基本不等式求最值，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的相互转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.解答本题的关键就是将MN 的中点P 到直线l ：161-=y 的距离记为d 转化为到焦点的距离和的一半.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数⎩⎨⎧>≤+=-2,32),1()(x x x f x f x，则=)2(log 3f .【答案】181【解析】试题分析：因为()()()333log 2log 22log 18f f f =+=331log log 181813318-===，故答案为181. 考点：1、分段函数的解析式；2、对数、指数的运算. 14.已知5)1)(223(xx x a x -+的展开式中的各项系数和为4，则2x 项的系数为 . 【答案】160考点：1、二项展开式的通项；2、二项展开式的系数及系数和.15.已知在梯形ABCD 中，CD AB //，AB AD ⊥，2=AB ，1==CD AD ，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥ABC D -，当二面角B AC D --是直二面角时，三棱锥ABC D -的外接球的表面积为 .【答案】π4 【解析】试题分析：因为在梯形ABCD 中，CD AB //，AB AD ⊥，2=AB ，1==CD AD ，所以2,2,AC BC AC BC ==⊥，取AB 中点为O ,AC 中点为E ，连接,DE OE ，当二面角B AC D --是直二面角时，DE OE ⊥，可得1OA OB OC OE ====，因此，O 为三棱锥ABC D -的外接球的球心，半径1r =，球的表面积为2414ππ⨯=，故答案为π4.考点：1、面面垂直的性质；2、外接球的性质及球的表面积公式.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.设数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数n a nn a n n ,,2，记n S 是数列}{n a 的前n 项和，则=1-22016S .【答案】3142016-考点：1、数学的划归思想、累加法；2、等差数列、等比数列等差数列前n 项和公式. 【方法点晴】本题主要考查等差数列、等比数列前n 项和公式及数学的划归思想、累加法，属于难题. 求解本题题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括提炼出数列{}21n S -相邻两项的差成等比数列（21n S -121n S --- 4n=）这一重要隐含条件，然后根据累加法，利用等比数前n 项和公式求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=⋅-.（1）求角C 的大小；（2）设)sin(22sin 342B C Ay -+-=，求y 的最大值并判断当y 取得最大值时ABC ∆的形状.【答案】（1）3π=C ；（2）322-，ABC ∆为直角三角形.考点：1、正弦定理及三角形内角和定理；2、余弦二倍角公式及两角和与差的正弦公式.18.4月23日是世界读书日，为提高学生对读书的重视，让更多的人畅游于书海中，从而获得更多的知识，某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯，让思考伴随人生”的实践活动．校学生会实践部的同学随机抽查了学校的40名高一学生，通过调查他们是喜爱读纸质书还是喜爱读电子书，来了解在校高一学生的读书习惯，得到如下列联表：喜欢读纸质书不喜欢读纸质书合计（1）根据上表，能否有90%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系？（2）从被抽查的16名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其数 学期望)(ξE .参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.下面的临界值供参考：)(2k K P ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）有%99的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系；（2）12. （2）ξ的可能取值为0，1，2男 16 4 20 女 8 12 20 合计241640考点： 1、独立性检验；2、离散型随机变量的期望. 19.如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，平面⊥PDC 平面ABCD ，ο90,=∠===DAC PC PD AD AC ，M 在PB 上.（1）若点M 是PB 的中点，求证：⊥PA 平面CDM ；（2）在线段PB 上确定点M 的位置，使得二面角B MC D --的余弦值为36-.【答案】（1）证明见解析；（2）点M 是PB 的中点. 【解析】试题分析：（1）取DC 的中点O ，连接PO ，OA ，先证⊥CD 平面POA ，所以,DC PA ⊥再证PA CM ⊥，进而⊥PA 平面CDM ；（2）以OP OC OA ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，可求得平面MCB 的法向量，再设PB PM λ=，可得)1,0,1(2λλ-=n ，进而利用空间向量加角余弦公式求解. 试题解析：（1）证明：取DC 的中点O ，连接PO ，OA .则,,DC AO DC PO ⊥⊥又,O OA PO =I 从而取PA 的中点N ，连接MN ON ,.由M 为PB 中点，得四边形MNOC 为平行四边形，所以PA CM //，又⊂CM 平面CDM ，⊂CD 平面CDM ，C CD CM =I ，所以⊥PA 平面CDM .考点：1、线面垂直的判定定理；2、空间向量加角余弦公式.20.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率21=e ，过左焦点1F 的直线与椭圆C 相交于B A ,两点，弦AB 的中点坐标为)73,74(-. （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 长轴的左右两端点分别为E D ,，点P 位椭圆上异于E D ,的动点，直线l ：4-=x 与直线PE PD ,分别交于N M ,两点，试问MN F 1∆的外接圆是否恒过x 轴上不同于点1F 的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）13422=+y x ；（2）(7,0)-. （2）设点),(00y x P ，直线PE PD ,的斜率分别为21,k k ，则4322000021-=-⋅+=⋅x y x y k k ，又直线PD 的方程为)2(1+=x k y ，令4-=x 得，)2,4(1k M --，直线PE 的方程为)2(2-=x k y ，令4-=x 得， )6,4(2k N --，则136322111-=--⋅--=⋅k k k k N F M F ，故MN F 1∆的外接圆的直径为MN ，设圆与x 轴的另一个交点为)0,(m R ，则146422111-=---⋅---=⋅mk m k k k N F M F ，解得7-=m 或1-=m （舍去），故过N M F ,,1三点的圆是以MN 为直径的圆，过x 轴上不同于点1F 的定点)0,7(-R .考点：1、待定系数法求椭圆方程；2、点差法的应用及定点问题.【方法点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.本题（1）就是利用“点差法”列方程求解的. 21.已知函数ax x x f -+=)1ln()(.（1）当1=a 时，求函数)(x f 的最大值；（2）设函数)32()()1()(2x x a x f x x g +++=，若对任意0≥x 都有0)(≤x g 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0；（2）]21,(--∞.综上，实数a 的取值范围是]21,(--∞.考点：1、利用导数研究函数的单调性、求函数最值；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数(恒成立、不恒成立、不成立).本题（2）就是利用方法④求解的. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于E 点.（1）证明：BDADBC AC =； （2）若AC BD AD ==2，求ECBE的值.【答案】（1）证明见解析；（2）35. 又因为CD 是ACB ∠的角平分线，故BCF ACD ∠=∠，则CAD ∆∽CBF ∆，所以BFADBC AC =，又BD BF =，所以BDADBC AC =. （2）解：∵CD 是ACB ∠的角平分线，AC BD AD ==2，∴2==ADBDAC BC ，所以AD AC BC 42==，由圆的割线定理得，BA BD BC BE ⋅=⋅，∴AD BE 23=，AD AD AD BC 25234=-=，∴53=EC BE .考点：1、相识三角形的应用；2、圆的割线定理. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以O 为极点，C 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为θρsin 52=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223（t 为参数）. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点)5,3(P ，直线l 与曲线C 相交于N M ,两点，求||||PN PM +的值.【答案】（1）05222=-+y y x ,053=--+y x ；（2）32.考点：1、参数方程化普通方程及韦达定理；2、极坐标方程化直角坐标方程及直线参数的几何意义. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|23||212|)(-++=x a x x f . （1）当1-=a 时，解不等式x x f 3)(≤；（2）当2=a 时，若关于x 的不等式|1|1)(2b x f -<+的解集为空集，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）4121-<≤-x ；（2）]9,7[-.考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式有解问题.。
2020届安徽省江南十校高三第二次联考数学(文)试题(解析版)
2020届安徽省江南十校高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，则20192020i i +=（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．–1iD ．–1i -【答案】B【解析】利用i 的次幂运算，将指数分别除以4，得到余数，即可得答案. 【详解】∵20192020450434505301i i i i i i i ⨯+⨯+=+=+=-+. 故选：B ． 【点睛】本题考查i 的次幂运算，考查运算求解能力，属于基础题.2．已知集合{}220|A x x x =-<，{}|1B x x =≤，则有（ ） A ．{}|01A B x x ⋂=<<B ．{|11}A B x x ⋃=-<≤C ．()0{|R C A B x x ⋂=≤或1}x >D ．{}()2|R C A B x x ⋃=>【答案】C【解析】解不等式对集合,A B 进行化简，再求它们的交集，最后求补集，即可得答案. 【详解】∵{}2|20{|02}A x x x x x =-<=<<，{|11}B x x =-≤≤， ∴{|01}A B x x =<I ≤，{|12}A B x x =-<<U ∴(){|0R C A B x x ⋂=≤或1}x >. 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查运算求解能力，属于基础题.3．已知向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r ， 3,1()c =-r ，若()a b c λ+⊥r r r，则实数λ=（ ）A ．53-B ．53C ．56-D ．56【答案】A【解析】求出a b λ+r r ，再根据()a b c λ+⊥r r r 得到关于λ的方程，解方程即可得答案.【详解】由题意得()21,32a b λλλ+=+-rr ，又()a b c λ+⊥r r r ，∴()()321320λλ+--=，解得53λ=-. 故选：A ． 【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题. 4．中国古代数学名著《算法统宗》中，许多数学问题都以诗歌的形式呈现，其中有一首“五兄欠钱”的诗为：“甲乙丙丁戊，酒钱欠千五，甲兄告乙弟，四百我还与，转差是几文，各人出怎取？”意为：五兄弟，共欠1500文酒钱，甲还400文，甲乙丙丁戊的还钱数依次成等差数列．在这个问题中戊该还的酒钱数是（ ） A ．350文 B ．300文C ．250文D ．200文【答案】D【解析】设此等差数列为{}n a ，公差为d ，1400a =，进而求出d ，再求5a 即可得答案. 【详解】设此等差数列为{}n a ，公差为d ，由题知1400a =， 且154515002a d ⨯+=，则得50d =， 戊该还的酒钱数是()5400450200a =+⨯-=（文）． 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列模型的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查建模能力，求解时注意读懂文字语言.5．已知两个平面α，β，直线,a b α⊂，直线,m n β⊂，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//a m ，//b n 则//αβ B ．若m a ⊥，n b ⊥，则αβ⊥C ．若a ，b 相交，m a ⊥，n b ⊥，则αβ⊥D ．若a ，b 相交，//a m ，//b n ，则//αβ【答案】D【解析】对A ，两平面可能相交；对B ，C ，两平面可能平行；对D ，利用线面平行和面面平行判定定理知正确. 【详解】对A ，两平面可能相交，故A 错误； 对B ，C ，两平面可能平行；对D ，利用线面平行和面面平行判定定理知D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中线面、面面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题. 6．函数sin ()cos ||x xf x x x =+在[,]-ππ的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用函数为偶函数及()12f π=，即可得答案.【详解】∵函数()f x 的定义域为[,]-ππ关于原点对称，且()sin()()()cos()||x x f x f x x x ---==-+-∴函数()f x 为偶函数，且()12f π=所以函数()f x 能取到函数值1．故选：C ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、特殊点函数值，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意从解析式得到函数的性质及从图象中找信息. 7．已知a R ∈，则“1104a +<”是“210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对两个条件分别进行化简，再转化成判断两个集合之间的关系，即可得答案. 【详解】 一方面，110404a a +<⇔-<<， 另一方面，210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立40a ⇔-<≤， 所以“1104a +<”是“210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的充分不必要条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的求解、一元二次不等式恒成立问题、简易逻辑知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 8．若正实数a ，b 满足lg lg 1a b +=，则25a b+的最小值为（ ） A． B．C．2D ．2【答案】D【解析】由正实数a ，b 满足其lg lg 1a b +=，得10ab =，再利用基本不等式进行求最小值. 【详解】由正实数a ，b 满足其lg lg 1a b +=，得10ab =，则由基本不等式有252a b +≥=， 当且当2510a b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即2a =，5b =时等号成立．故选：D ． 【点睛】本题考查对数的运算、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.9．已知不等式组222x yx yy+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为D，若直线1y kx=-与平面区域D有公共点，则实数k的取值范围为（）A．1 ,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,[1,)2⎛⎤-∞-⋃+∞⎥⎝⎦C．(,2][1,)-∞-+∞U D．[2,1]-【答案】B【解析】画出不等式组222x yx yy+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域D（图中阴影部分所示），再利用斜率公式求出,AC AB的斜率，即可得答案.【详解】画出不等式组222x yx yy+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域D（图中阴影部分所示），直线1y kx=-过定点(0,1)A，则直线1y kx=-与平面区域D有公共点，当且仅当ACk k≤或ABk k≥，即12k≤-或1k³.故选：B．【点睛】本题考查线性约束条件下的范围问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意作图观察求解. 10．已知ln 33a =，ln b ππ=，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】构造函数ln ()xf x x=，利用导函数研究函数的图象特征，利用单调性及引入中间变量1，即可得答案. 【详解】 构造函数ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=， 当0x e <<时，()0f x '>．()f x 在()0,e 上单调递增， 当x e >时，()0f x '<，()f x 在(,)e +∞上单调递减， 则ln 3(3)3a f ==，ln ()b f πππ==， 0.31()(3)()12f f f e eπ<<=<<．∴b a c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查数的大小比较、函数的单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意引入中间变量1. 11．若4sin()125πα-=，且(0,)2πα∈，则cos(2)3πα+=（ ） A ．2425-B ．1225C ．1225-D ．2425【答案】A【解析】利用诱导公式得cos(2)sin 236ππαα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，再利用倍角公式，即可得答案. 【详解】由4sin()125πα-=且(0,)2πα∈，得3cos()125πα-=， cos(2)cos 2sin 23626ππππααα⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭242sin cos 121225ππαα⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A ． 【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式进行求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意角度之间的关系配凑.12．已知函数21ln(1),14()11,44x x f x x x ⎧+-<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，且关于x 的方程()0f x kx -=恰有2个实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5[,)4+∞C ．54ln,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．554ln,1,44 ⎡⎤⋃⎡+∞⎢⎥⎣⎦⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】画出函数()f x 图象，可求得1()ln(1)14f x x x ⎛⎫=+-<≤ ⎪⎝⎭图象在点()0,0O 处的切线方程为y x =，过点()0,0O 且与函数()211()44f x x x =+>图象相切的直线方程也为y x =， 观察图象即可得答案. 【详解】画出函数()f x 图象，可求得1()ln(1)14f x x x ⎛⎫=+-<≤⎪⎝⎭图象在点()0,0O 处的切线方程为y x =， 过点()0,0O 且与函数()211()44f x x x =+>图象相切的直线方程也为y x =， 即得直线y x =为函数()f x 图象的切线，且有两个切点，切点为()0,0O 和11(,)22A ，关于x 的方程()0f x kx -=恰有2个实数解， 当且仅当直线y kx =与函数()f x 图象有两个公共点， 由图可知当且仅当OB OA k k k ≤≤或OC k k ≥时符合题意，又1OA k =，1In 1544ln 144OBk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，54OC k =，则可求得54ln 14k ≤≤或54k ≥. 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意斜率公式的应用.二、填空题13．将函数()cos(2)(0)2f x x πϕϕ=+<<的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则ϕ=_________．【答案】3π. 【解析】根据“左加右减”的平移原则得()cos(2)3g x x πϕ=-+，再根据函数()g x 图象关于y 轴对称得()3k k Z πϕπ=+∈，由02πϕ<<即可得答案.【详解】由题意知：()cos(2)3g x x πϕ=-+，∵函数()g x 图象关于y 轴对称，∴()g x 为偶函数，∴3k πϕπ-=，即()3k k Z πϕπ=+∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=．故答案为：3π. 【点睛】本题考查函数图象变换求解析式、偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且372S =，6632S =，则7a =__________．【答案】32.【解析】由632S S ≠知等比数列{}n a 的公比1q ≠，再由等比数列的前n 项和公式可得q ，1a 的值，再代入通项公式，即可得答案.【详解】由632S S ≠知等比数列{}n a 的公比1q ≠， 则由题知()3131712a q S q-==-且616(1)6312a q S q -==-，则63191q q -=-，求得2q =，112a =， 则6712322a =⨯=． 故答案为：32 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式、通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．设正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，M ，N 是棱1AA ，11C D 的中点，则MN 与BC 所成角的正弦值为__________．【答案】3. 【解析】如图，取11A B 中点P ，连接MP ，NP ，由题知MN 与BC 所成的角即为MN 与PN 所成的角，根据MN =MN 的值，再利用正弦函数的定义，即可得答案.【详解】如图，取11A B ，中点P ，连接MP ，NP ，由题知MN 与BC 所成的角即为MN 与PN 所成的角， 又正方体111ABCD A B C D -的棱长为1，则1PN =，22MP =， 又NP ⊥平面11ABB A ，MP ⊂平面11ABB A ， 所以NP MP ⊥，则226MN PN MP =+=， 且3sin MP MNP MN ∠==， 故MN 与BC 所成角的正弦值为3． 故答案为：33. 【点睛】本题考查异面直线所成的角的正弦值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力.16．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，O 为ABC V 的外心，320OA OB OC ++=u u r u u u r u u u r r ，32OB OC ⋅=-u u u r u u u r ，则ABC V 周长的取值范围是__________．【答案】(]6,9.【解析】320OA OB OC ++=u u r u u u r u u u r r 两边平方结合32OB OC ⋅=-u u u r u u u r 可得3A π=，再利用正弦定理将a b c ++转化成角B 的三角函数，利用三角函数的性质，即可得答案. 【详解】设ABC V 的外接圆半径为R ，320OA OB OC ++=u u r u u u r u u u r r3(2)OA OB OC =-+u u r u u u r u u u r ，22223(2)4||||cos 4OA OB OC OB OB OC BOC OC =+=+∠+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴224cos 2R BOC R ∠=-，得1cos 2BOC ∠=-， 则223A BOC π=∠=，3A π=，又23cos 2OB OC R BOC ⋅=∠=-u u u r u u u r ，则R =，又由正弦定理得sin sin )a b c A B C ++=++2sin sin()33B B π⎤=+-+⎥⎦6sin()36B π=++，又2(0,)3B π∈，5(,)666B πππ+∈， 则(]6,9a b c ++∈，ABC V 周长的取值范围是(]6,9．故答案为：(]6,9． 【点睛】本题考查正弦定理、向量数量积、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数有界性的应用.三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()–sin sin sin 0b c B a A c C -+=（1）求角A 的大小；（2）若a =4B π=，求ABC V 的面积．【答案】(1) 3A π=；(2) 3+【解析】（1）利用正弦定理将角化成边得222b c a bc +-=，再由余弦定理得3A π=；（2）由（1）得3A π=，从而可求得C ，再利用正弦定理得c ，代入三角形面积公式，即可得答案. 【详解】（1）∵()sin sin sin 0B a A c c C b -+=-，∴22()0b c b a c --+=，即222b c a bc +-=，又由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<，所以3A π=．（2）由3A π=及4B π=得()34C πππ=-+，又a =4sin sin 3c C ==， 4sin ()4sin()3434c πππππ⎡⎤=-+=+⎢⎥⎣⎦14(2222=⨯+⨯=，则ABC V的面积为：11sin 3222ac B =⨯⨯=+ 故ABC V的面积为3+ 【点睛】本题考查正、余弦定理的应用、面积公式、内角和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.18．已知点()3,2A ，1(0,)2B ，()2,1M -，点P 为曲线C 上任意一点，且满足2PA PB =．（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 过点M ，求直线l 被曲线C 截得的最短弦长及此时直线l 的方程． 【答案】（1）()2215x y ++=；（2）30x y -+=． 【解析】（1）设点(),P x y ，由2||PA PB =得曲线C 的方程；（2）由（1）知曲线C 是以点()–1,0CCM l ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，利用点斜式方程，即可得答案. 【详解】（1）设点(),P x y ，由2||PA PB =得=化简整理得22(1)5x y ++=，所以曲线C 的方程为()2215x y ++=．（2）由（1）知曲线C 是以点()–1,0C显然当CM l ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，最短弦长= 此时1111021i CMk k =-==--+，直线l 方程为12y x -=+， 即30x y -+=． 【点睛】本题考查圆的轨迹方程、直线与圆相交弦最短问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意直线垂直关系的应用.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S =+，数列{}n b 满足212n n n b b b ++=-，其中n *∈N ，且112b a =，3232b a =-． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2nn nb c a =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：3n T <． 【答案】（1）12n n a -=，1n b n =+；（2）证明见解析.【解析】（1）利用递推关系21n n a S =+，多递推一项再相减，可得数列{}n a 是以11a =为首项，公比为2的等比数列；又由212a n a b b b ++=-，知数列{}n b 是等差数列；分别代入等差与等比数列的通项公式，即可得答案. （2）由（1）知122n n n n b n c a +==，得用错位相减法求得332n n n T +=-，即可证得结论. 【详解】（1）由21n n a S =+①知11a =，又当2n ≥时，1121n n a S --=+②， 则由①-②得122n n n a a a --=，则12n n a a -=，12(2)nn a n a -=≥， 故数列{}n a 是以11a =为首项，公比为2的等比数列，则12n n a -=．又由212a n a b b b ++=-，知数列{}n b 是等差数列， 又1122b a ==，32324b a =-=， 则数列{}n b 的公差3112b b d -==，故1n b n =+． （2）证明：由（1）知122n n n n b n c a +==， 则有12323412222nn T +=++++L ③ 231123122222n n n n n T ++=++++L ④ 由③–④得1323112111222222n n n k n T ++⎛⎫=+++⋯+- ⎪⎝⎭ 则11111142113311222212n nn n n n T -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦=+-=--，故3332n n n T +=-<，得证． 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式、错位相减法求和、不等式证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.20．已知函数2(2)3()xx a x a f x e++++=（a为常数，a R ∈）． （1）当[]2,2a ∈-时，判断函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且111(,)32x ∈求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递增；（2）105(,)32--．【解析】（1）对函数求导，再由[]2,2a ∈-得()0f x '≥恒成立，即可得答案； （2）由题意得1x ，2x 为方程()0f x '=的两根，从而得到1x ，2x ，a 之间的关系，再将a 表示成关于1x 的函数，利用构造函数法研究函的值域，即可得答案. 【详解】（1）由2(2)3()xx a x a f x e++++=， 得21()xx ax f x e++'=， 当[]2,2a ∈-时，240a V =-≤，210x ax ++≥恒成立，()0f x '≥，所以函数()f x 在R 上单调递增．（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则1x ，2x 是关于x 的方程210x ax ++=的两个不等实根， 则由240a =->V ，得–2a <或2a >①， 又由韦达定理知12x x a +=-且12,1x x =， 则有12111()()a x x x x =-+=-+又由题知111(,)32x ∈，令函数1()()g x x x =-+，11(,)32x ∈． 则2211()(1)10g x x x '=--=->对任意11(,)32x ∈成立， 函数1()()g x x x=-+在11(,)32上单调递增，所以105()(,)32g x ∈--，即得10532a -<<-② ∴a 的取值范围是105(,)32--． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意消元法的应用.21．如图1，在等腰梯形ABCD 中，2AB AD ==，120DAB ∠=︒，O 是CD 中点，将AOD △沿AO 折起，使平面AOD ⊥平面ABCO ．如图2所示，E ，F 点分别是AB ，CD 上的点，且12AE CF BE DF ==．（1）求证：//BF 平面DOE ； （2）求三棱锥B-DOF 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）23． 【解析】（1）过点F 作//FG OC 交OD 于点G ，证明四边形BFGE 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理，即可得答案；（2）过点D 作DH AO ⊥于点H ，利用等积法即23B DOF B DOC V V --=，即可得答案. 【详解】（1）证明：过点F 作//FG OC 交OD 于点G ， 由题知//AB OC ．连接CE ，由12AE CF BE DF ==， 得23GF OC =，23BE OC =， 所以GF BE =，且//GF BE ，所以四边形BFGE 是平行四边形，所以//BF EG ， 又EG ⊂平面DOE ，BF ⊄平面DOE ， 所以//BF 平面DOE ．（2）过点D 作DH AO ⊥于点H ，由题知AOD △是边长为2的等边三角形，则3DH =因为12CF DF =，所以23DOF DOC S S =V V ， 则23B DOF B DOC V V --=，又111(2)2sin60)1332B DOC D BOC BOC V V S DH --==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯︒=V ，所以23B DOF V -=，即求得三棱锥B-DOF 的体积为23．【点睛】本题考查空间中线面平行判定定理的应用、三棱锥体积的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象和运算求解能力，求解时注意三棱锥等积法的应用. 22．已知函数sin ()ln xf x x x=-． （1）证明：函数()f x 在()0,π上有唯一零点； （2）若()0,2x π∈时，不等式sin 2()ln 2x af x x x x++≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）对函数求导得2(cos 1)sin ()x x xf x x--'=，由(0,)x π∈可得()0f x '<，从而得到函数的单调性，再根据区间端点的函数值，即可得答案； （2）等式sin 2()ln 2x af x x x x++≤，可化为不等式1sin sin 22x x a +≤，令1()sin sin 2,(0,2)2g x x x x π=+∈利用导数求得()g x 的最大值，即可得答案.【详解】（1）证明：由sin ()ln xf x x x=-得 22cos sin 1(cos 1)sin ()x x x x x xf x x x x---'=-= 当(0,)x π∈时，cos 10x -<，sin 0x -<， 则()0f x '<，函数()f x 在()0,π上单调递减， 又3()ln066f πππ=->，()ln 0f ππ=-<所以函数()f x 在()0,π上有唯一零点，得证． （2）由题知不等式sin 2()ln 2x a f x x x x ++≤，可化为不等式1sin sin 22x x a +≤，则由题有1sin sin 22x x a +≤对()0,2x π∀∈恒成立， 令1()sin sin 2,(0,2)2g x x x x π=+∈则有()2cos cos22cos cos 1g x x x x x '=+=+-()()cos 12cos 1x x =+-，其中cos 10x +≥， 由2cos 10x -=得3x π=或53x π=则当03x π<<或523x ππ<<时，()0g x '>， 当533x ππ<<时，()'0g x ≤， 当且仅当x π=时，()0g x '=，所以函数()g x 在(0,)3π5,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又34g π⎛⎫=⎪⎝⎭，(2)0g π=，04>，所以max ()4g x =，则4a ≥，即得实数a 的取值范围是⎫+∞⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点、不等式恒成立求参数范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.。