课后限时集训53 直线与椭圆的综合问题
直线与椭圆的综合问题建议用时：45分钟一、选择题1．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94A [设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.]2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,3)∪(3，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(0,3)∪(3，＋∞)B[由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ＞0且m ≠3及m ＞0得m ＞1且m ≠3.]3．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423 C. 2D ．2B [由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13，所以|AB |＝423.]4．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数k 等于( )A ．±32B ．±23C ．±12D ．±2A [由题意可知，点A 与点B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k ＞0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－32，y 2＝32，解得k ＝32；同理可得当k ＜0时k ＝－32.故选A.]5．(2019·长春模拟)经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1.代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43.所以两个交点坐标为A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，所以OA →·OB →＝(0，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13＝－13.同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.]二、填空题6．直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是 ．相交 [直线方程y ＝kx ＋k ＋1，可化为y ＝k (x ＋1)＋1，则直线恒过定点(－1,1)，又(－1)29＋124＜1，则点(－1,1)在椭圆x 29＋y 24＝1内，故直线与椭圆相交．]7．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为 ．x 24＋y 23＝1 [由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由|AB |＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.]8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，∴(x 2＋x 1)(x 2－x 1)a 2＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)b 2＝0，即(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－b 2a 2. 又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，y 2－y 1x 2－x 1＝－12.∴－b 2a 2＝－12.∴e 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.]三、解答题9．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．[解] (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x ′，y ′)，由已知得⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝54y .因为点P 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x ′2＋y ′2＝25，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，整理，得x 225＋y 216＝1， 即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程， 得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.所以x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－8，所以线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415.所以直线被C 所截线段的长度为415.10．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF2→＝2F2B→，AF1→·AB→＝32，求椭圆的方程．[解](1)∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝2c，所以e＝ca＝22.(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝a2－b2，设B(x，y)．由AF2→＝2F2B→，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝3c2，y＝－b2，即B⎝⎛⎭⎪⎫3c2，－b2.将B点坐标代入x2a2＋y2b2＝1，得94c2a2＋b24b2＝1，即9c24a2＋14＝1，解得a2＝3c2，①又由AF1→·AB→＝(－c，－b)·⎝⎛⎭⎪⎫3c2，－3b2＝32，得b2－c2＝1，即a2－2c2＝1.②由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.1．(2019·福州模拟)已知两定点M(－1,0)，N(1,0)，直线l：y＝x－3，在l 上满足|PM|＋|PN|＝22的点P的个数为()A．0B．1C．2D．0或1或2B[由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，故c＝1，a＝2，b＝1，其方程为x22＋y2＝1.由⎩⎨⎧y ＝x －3，x 22＋y 2＝1得3x 2－43x ＋4＝0.Δ＝(－43)2－4×3×4＝0，则在l 上满足|PM |＋|PN |＝22的点P 有1个，故选B.]2．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1D [因为(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，所以mn ＝2，所以S △F 1PF 2＝12mn ＝1.故选D.]3．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为 ．x 2＋3y 22＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.]4．(2019·石家庄模拟)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△P AB 的面积．[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－124，由Δ＝36m 2－16(3m 2－12)＞0，得m 2＜16，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m .因为AB 是等腰△P AB 的底边， 所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2，满足m 2＜16. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝32， 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32，所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.1．已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1与圆M ：(x ＋2)2＋(y －22)2＝r 2(0＜r ＜2)，过椭圆C 的上顶点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于A ，B 两点(不同于点P )，则直线P A 与直线PB 的斜率之积等于 ．1 [圆心为M (－2，22)，P (0，2)，设切线为y ＝kx ＋2，由点到直线距离得d ＝|－2k －2|1＋k 2＝r ，(2－r 2)k 2＋4k ＋(2－r 2)＝0，k 1k 2＝1.]2．(2019·西安模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[解] (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意有c a ＝63，a ＝3，所以c ＝2，b ＝1， 所以所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，由已知得|m |1＋k 2＝32，即m 2＝34(1＋k 2)． 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－6km3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1，所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝(1＋k 2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1 ＝12(1＋k 2)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(1＋k 2)(1＋9k 2)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1 ＝3＋129k 2＋1k 2＋6≤3＋122×3＋6＝4(k ≠0)，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立． 又当k ＝0时，|AB |＝ 3.综上所述，|AB |ma x ＝2，所以当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值，S ＝12×|AB |ma x ×32＝32.。
2020版 第8章 课后限时集训48 直线与椭圆的位置关系 (3)
课后限时集训(五十)抛物线(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．(2019·哈尔滨模拟)过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12yD[由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y.故选D.]2．直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是() A．y2＝－12x B．y2＝－8xC．y2＝－6x D．y2＝－4xB[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－x1＋x22＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.]3．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5,3)，则|PF|＋|PM|的最小值是()A．6 B．5C．4 D．3A[由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故选A.]4．若点(3,1)是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是()A．1 B．2C．3 D．4B [设过点(3,1)的直线交抛物线y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②由①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2，由题意知k AB ＝2，且y 1＋y 2＝2，故k AB ＝2py 1＋y 2＝2，所以p ＝y 1＋y 2＝2.] 5．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P (－1,0)任作一直线交抛物线于A ，B 两点，点C 为B 关于x 轴的对称点，则直线AC 恒过定点( ) A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(2,0)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 A [设直线AB 的方程为x ＝my －1，与抛物线的方程联立，得y 2－4my ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 2，－y 2)，所以y 1y 2＝4，又x 1－x 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4，则直线AC 的方程为y ＋y 2＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 2)，所以y ＋y 2＝4y 1－y 2⎝⎛⎭⎪⎫x －y 224，整理得y (y 1－y 2)＝4(x －1)，即直线AC 恒过定点(1,0)，故选A .] 二、填空题6．已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．x 2＝4y [△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ，则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .]7．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.4 [设AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.]8.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．当水面宽为2 6 m 时，水位下降了________m .1 [以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把(2，－2)代入方程得p ＝1，即抛物线的标准方程为x 2＝－2y .将x ＝6代入x 2＝－2y 得：y ＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m ．] 三、解答题9．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． [解] (1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4. 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.10．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由 y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.B 组 能力提升1．(2018·洛阳一模)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4C .83D .53A [因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p 2|DF |－p 2. 由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px ，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x A x D ＝2p p8＝16.故选A .]2．(2019·惠州一调)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点(2,0)的直线交抛物线于A ，B 两点，与抛物线的准线交于点C ，若S △ACF S △BCF ＝25，则|AF |＝( )A .23B ．4C ．3D ．2D [设过点(2,0)的直线l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入抛物线方程得，k 2x 2－4(1＋k 2)x ＋4k 2＝0，由根与系数的关系得x 1x 2＝4，① 分别过点A ，B 作准线的垂线AA 1，BB 1，垂足分别为点A 1，B 1(图略)， ∴S △ACF S △BCF ＝|AC ||BC |＝|AA 1||BB 1|＝|AF ||BF |＝x 1＋1x 2＋1＝25， 即5x 1－2x 2＋3＝0，②由①②得x 1＝1或x 1＝－85(舍去)，∴|AF |＝2，故选D .]3．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与准线交于点M ，且FM →＝3FP →，则|FP →|＝________.43[过点P 作PP 1垂直准线于P 1，由FM →＝3FP →得|PM |＝2|PF |，又由抛物线的定义知|PF |＝|PP 1|，所以|PM |＝2|PP 1|.由三角形相似得|PP 1|p ＝|PP 1|2＝|MP ||MF |＝23，所以|PP 1|＝43，所以|FP →|＝43.]4．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．[解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝p t x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0,解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2. (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．。
【助力高考】2019年高考数学专题复习第53讲《直线与椭圆》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第九章 平面解析几何第53讲直线与椭圆★★★核心知识回顾★★★知识点一、椭圆的概念平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若 ，则集合P 为椭圆； (2)若 ，则集合P 为线段； (3)若 ，则集合P 为空集． 知识点二、椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b★★★高考典例剖析★★★考点一、题型一 直线与椭圆的位置关系例1： 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．1．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5考点二、弦长及弦中点问题 命题点1 弦长问题例2： 斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105解： 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 故选C 。
2020高考数学总复习课时作业： 直线与椭圆的综合问题 含解析
8．设焦点在x轴上的椭圆M的方程为 ＋ ＝1(b>0)，其离心率为 .
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线l过点P(0,4)，则直线l何时与椭圆M相交？
解：(1)因为椭圆M的离心率为 ，
所以 ＝ 2，得b2＝2.
所以椭圆M的方程为 ＋ ＝1.
(2)①过点P(0,4)的直线l垂直于x轴时，直线l与椭圆M相交．
解析： ＋y2＝1的右焦点为F( ，0)，故直线方程为y＝x－ ，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 得5x2－8 x＋8＝0，x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，由弦长公式得|AB|＝ ＝ .
答案：
7．(2020·珠海质检)过点M(1,1)作斜率为－ 的直线l与椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0):相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为__________.
A. B.
C. D.
解析：A[因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为 ，即|OC|＝ ，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为 ，代入椭圆方程得 ＋ ＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0<e<1，所以e＝ .故选A.]
6．已知斜率为1的直线过椭圆 ＋y2＝1的右焦点交椭圆于A、B两点焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()
A. B.
C. D.
解析：B[由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.
联立 解得交点坐标为(0，－2)， ，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝ ，
(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝ ＝1，解得a2＝75，所以椭圆方程为 ＋ ＝1.]
课后限时集训五十三) 直线与椭圆_1
课后限时集训(五十三) 直线与椭圆建议用时：40分钟一、选择题1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )A．(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(0,3)∪(3，＋∞)B [由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，由题意可知解得又m＞0，且m≠3，∴m＞1且m≠3.故选B.]2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A. B.C. D.B [由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点坐标为(0，－2)，，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，∴S△OAB＝·|OF|·|yA －yB|＝×1×＝.]3．(2020·沙坪坝区校级模拟)已知椭圆C：＋＝1，过点P(2,1)的直线交椭圆于A，B两点，若P为线段AB中点，则|AB|＝( )A. B.C. D.D [设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，由两式相减得：＋＝0，化简得：＝－1，∴直线AB的斜率为－1，又∵直线AB过点P(2,1)，∴直线AB的方程为：y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3，联立方程消去y得3x2－12x＋10＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝，∴|AB|＝·＝，故选D.]4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1B [将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9，＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.] 5．直线l过椭圆＋y2＝1的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为( )A. B．±C．±D．B [由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝2－1＝1，则c＝1，则左焦点F(－1,0)．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋k.设l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.则PQ的中点M的横坐标为＝－.因为△FMO是以OF 为底边的等腰三角形，所以－＝－，解得k＝±.]6．倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为( )A. B.C. D.B [由题意可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又＝2，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，∴－y1＝2y2，可得∴＝，∴e＝，故选B.]二、填空题7．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则＋等于________．[由题意可知F(－1,0)，故l的方程为y＝(x＋1)．由得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－.∴A(0，)，B.又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，∴＋＝.]8．(2020·碑林区一模)在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：＋＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为________．5 [设P(4cos α，3sin α)，0≤α＜2π，点P到直线x－y－5＝0的距离为d＝＝＝，所以dmax＝＝5.]9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率为________．[设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝＝.]三、解答题10．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b的值．[解] (1)易知M，由＝得2b2＝3ac，故2(a2－c2)＝3ac，解得＝，＝－2(舍去).故椭圆的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点．故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28.故a＝7，b＝2.11．(2020·汨罗市一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k的取值范围．[解] (1)由题意可知解得故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋m代入椭圆方程，消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，所以Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，即m2＜4k2＋1①，由根与系数关系得x1＋x2＝－，则y1＋y2＝，所以线段MN的中点P的坐标为.又线段MN的垂直平分线l′的方程为y＝－(x－1)，由点P在直线l′上，得＝－，即4k2＋3km＋1＝0，所以m＝－(4k2＋1)②，由①②得＜4k2＋1，∵4k2＋1＞0，∴4k2＋1＜9k2，所以k2＞，即k＜－或k＞，所以实数k的取值范围是∪.1.(2020·襄阳模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，平行四边形OAMB(O为坐标原点)的对角线OM的斜率为，则椭圆的离心率为( )A. B.C. D.B [设lAB方程y＝－x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由得(a2＋b2)x2－2ma2x＋a2m2－a2b2＝0，又由平行四边形OAMB可知：x0＝x1＋x2＝，y0＝，故kOM＝＝＝，所以离心率e＝＝＝，故选B.]2．已知椭圆C：x2＋＝1，直线l：y＝x＋m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是( )A. B.C. D.C [设椭圆x2＋＝1上存在关于直线y＝x＋m对称的两点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据对称性可知线段MN被直线y＝x ＋m垂直平分，且MN的中点T(x0，y0)在直线y＝x＋m上，且kMN＝－1，故可设直线MN的方程为y＝－x＋n，联立整理可得3x2－2nx＋n2－2＝0，所以x1＋x2＝，y1＋y2＝2n－(x1＋x2)＝2n－＝，由Δ＝4n2－12(n2－2)＞0，可得－＜n＜，所以x0＝＝，y0＝＝，因为MN的中点T(x0，y0)在直线y＝x＋m上，所以＝＋m，m＝，－＜m＜，故选C.]3．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．[解] (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由解得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，联立整理得y2－y－9＝0，则Δ＝＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，又＝2，所以y1＝－2y2，所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，解得k＝±，又k＞0，所以k＝.1．(2020·湖州模拟)已知直线x＝my＋2(m∈R)与椭圆＋＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________；若|AB|＝，则实数m的值是________．±1[易知直线x＝my＋2恒过点(2,0)，而点(2,0)恰为椭圆＋＝1的右焦点，则|AB|的最小值即为通径长＝，联立，消去x得，(5m2＋9)y2＋20my－25＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，则|AB|＝＝＝·＝·＝，解得m＝±1.]2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2，)，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)过(0，－1)的直线l交椭圆于A，B两点，试问：是否存在一个定点T，使得以线段AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为椭圆C的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a＝b.所以椭圆C的方程为＋＝1.又椭圆C经过点P(2，)，代入椭圆方程得b＝3.所以a＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.(2)由已知动直线l过(0，－1)点．当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋1)2＝16；当l与y轴重合时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9.所以两圆相切于点(0,3)，即两圆只有一个公共点．因此，所求点T如果存在，只能是点(0,3)．以下证明以AB为直径的圆恒过点T(0,3)．当l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点T(0,3)．当l与x轴不垂直时，设l：y＝kx－1.由得(2k2＋1)x2－4kx－16＝0.由(0，－1)在椭圆内部知Δ＞0成立．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.又＝(x1，y1－3)，＝(x2，y2－3)，所以·＝x1x2＋(y1－3)(y2－3)＝x1x2＋(kx1－4)(kx2－4)＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝(1＋k2)·－4k·＋16＝0.所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,3)．所以存在一个定点T(0,3)满足条件.课后限时集训(五十三) 直线与椭圆建议用时：40分钟一、选择题1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )A．(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(0,3)∪(3，＋∞)B [由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，由题意可知解得又m＞0，且m≠3，∴m＞1且m≠3.故选B.]2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A. B.C. D.B [由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点坐标为(0，－2)，，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.]3．(2020·沙坪坝区校级模拟)已知椭圆C：＋＝1，过点P(2,1)的直线交椭圆于A，B两点，若P为线段AB中点，则|AB|＝( )A. B.C. D.D [设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，由两式相减得：＋＝0，化简得：＝－1，∴直线AB的斜率为－1，又∵直线AB过点P(2,1)，∴直线AB的方程为：y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3，联立方程消去y得3x2－12x＋10＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝，∴|AB|＝·＝，故选D.]4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1B [将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9，＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.]5．直线l过椭圆＋y2＝1的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为( )A. B．±C．±D．B [由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝2－1＝1，则c＝1，则左焦点F(－1,0)．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋k.设l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.则PQ的中点M的横坐标为＝－.因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形，所以－＝－，解得k＝±.]6．倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为( )A. B.C. D.B [由题意可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又＝2，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，∴－y1＝2y2，可得∴＝，∴e＝，故选B.]二、填空题7．过椭圆C：＋＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则＋等于________．[由题意可知F(－1,0)，故l的方程为y＝(x＋1)．由得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－.∴A(0，)，B.又F(－1,0)，∴|AF|＝2，|BF|＝，∴＋＝.]8．(2020·碑林区一模)在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：＋＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为________．5 [设P(4cos α，3sin α)，0≤α＜2π，点P到直线x－y－5＝0的距离为d＝＝＝，所以dmax＝＝5.]9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率为________．[设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝＝.]三、解答题10．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b的值．[解] (1)易知M，由＝得2b2＝3ac，故2(a2－c2)＝3ac，解得＝，＝－2(舍去).故椭圆的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点．故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28.故a＝7，b＝2.11．(2020·汨罗市一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k的取值范围．[解] (1)由题意可知解得故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋m代入椭圆方程，消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，所以Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，即m2＜4k2＋1①，由根与系数关系得x1＋x2＝－，则y1＋y2＝，所以线段MN的中点P的坐标为.又线段MN的垂直平分线l′的方程为y＝－(x－1)，由点P在直线l′上，得＝－，即4k2＋3km＋1＝0，所以m＝－(4k2＋1)②，由①②得＜4k2＋1，∵4k2＋1＞0，∴4k2＋1＜9k2，所以k2＞，即k＜－或k＞，所以实数k的取值范围是∪.1.(2020·襄阳模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，平行四边形OAMB(O为坐标原点)的对角线OM的斜率为，则椭圆的离心率为( )A. B.C. D.B [设lAB方程y＝－x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由得(a2＋b2)x2－2ma2x＋a2m2－a2b2＝0，又由平行四边形OAMB可知：x0＝x1＋x2＝，y0＝，故kOM＝＝＝，所以离心率e＝＝＝，故选B.]2．已知椭圆C：x2＋＝1，直线l：y＝x＋m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是( )A. B.C. D.C [设椭圆x2＋＝1上存在关于直线y＝x＋m对称的两点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据对称性可知线段MN被直线y＝x＋m垂直平分，且MN的中点T(x0，y0)在直线y＝x＋m上，且kMN＝－1，故可设直线MN的方程为y＝－x＋n，联立整理可得3x2－2nx＋n2－2＝0，所以x1＋x2＝，y1＋y2＝2n－(x1＋x2)＝2n－＝，由Δ＝4n2－12(n2－2)＞0，可得－＜n＜，所以x0＝＝，y0＝＝，因为MN的中点T(x0，y0)在直线y＝x＋m上，所以＝＋m，m＝，－＜m＜，故选C.]3．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，求直线l的斜率k的值．[解] (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由解得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，联立整理得y2－y－9＝0，则Δ＝＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，又＝2，所以y1＝－2y2，所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，解得k＝±，又k＞0，所以k＝.1．(2020·湖州模拟)已知直线x＝my＋2(m∈R)与椭圆＋＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________；若|AB|＝，则实数m的值是________．±1[易知直线x＝my＋2恒过点(2,0)，而点(2,0)恰为椭圆＋＝1的右焦点，则|AB|的最小值即为通径长＝，联立，消去x得，(5m2＋9)y2＋20my－25＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，则|AB|＝＝＝·＝·＝，解得m＝±1.]2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(2，)，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)过(0，－1)的直线l交椭圆于A，B两点，试问：是否存在一个定点T，使得以线段AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为椭圆C的两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a＝b.所以椭圆C的方程为＋＝1.又椭圆C经过点P(2，)，代入椭圆方程得b＝3.所以a ＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.(2)由已知动直线l过(0，－1)点．当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋1)2＝16；当l与y轴重合时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9.所以两圆相切于点(0,3)，即两圆只有一个公共点．因此，所求点T如果存在，只能是点(0,3)．以下证明以AB为直径的圆恒过点T(0,3)．当l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点T(0,3)．当l与x轴不垂直时，设l：y＝kx－1.由得(2k2＋1)x2－4kx－16＝0.由(0，－1)在椭圆内部知Δ＞0成立．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.又＝(x1，y1－3)，＝(x2，y2－3)，所以·＝x1x2＋(y1－3)(y2－3)＝x1x2＋(kx1－4)(kx2－4)＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝(1＋k2)·－4k·＋16＝0.所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,3)．所以存在一个定点T(0,3)满足条件.。
直线与椭圆综合应用(含答案)
1、（北京文科19）已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线l ：y=x+2上， 且AB ∥l ．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y=x.设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由2234,x y y x ⎧+=⎨=⎩得1,x =±所以12AB x -=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离， 所以12.2ABCh SAB h === （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y=x+m. 由2234,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340.x mx m ++-= 因为A ，B 在椭圆上， 所以212640.m ∆=-+＞设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.则21212334,,24m m x x x x -+=-=所以12AB x =-=又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即BC =所以22222210(1)11.AC AB BC m m m =+=--+=-++所以当m=-1时，AC 边最长.（这时12640=-+＞）此时AB 所在直线的方程为y=x-1.2、（福建厦门理工学院附中·2010届高三12月考（文））已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平分弦AB ，求点B 的坐标和实数m 的值． 解：（Ⅰ）由2a ＝4，得a ＝2离心率为a c ，c ＝3………………………2分222c a b -=＝13、且过点(2,1)A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:10l x y --=与椭圆C 交于不同的两点,M N ，的值.【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
课后限时集训 直线与椭圆的综合问题
直线与椭圆的综合问题建议用时：45分钟一、选择题1．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94A [设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.]2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,3)∪(3，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(0,3)∪(3，＋∞)B[由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ＞0且m ≠3及m ＞0得m ＞1且m ≠3.]3．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423 C. 2D ．2B [由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13，所以|AB |＝423.]4．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数k 等于( )A ．±32B ．±23C ．±12D ．±2A [由题意可知，点A 与点B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k ＞0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－32，y 2＝32，解得k ＝32；同理可得当k ＜0时k ＝－32.故选A.]5．(2019·长春模拟)经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1.代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43.所以两个交点坐标为A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，所以OA →·OB →＝(0，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13＝－13.同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.]二、填空题6．直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是 ．相交 [直线方程y ＝kx ＋k ＋1，可化为y ＝k (x ＋1)＋1，则直线恒过定点(－1,1)，又(－1)29＋124＜1，则点(－1,1)在椭圆x 29＋y 24＝1内，故直线与椭圆相交．]7．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为 ．x 24＋y 23＝1 [由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由|AB |＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.]8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，∴(x 2＋x 1)(x 2－x 1)a 2＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)b 2＝0，即(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－b 2a 2. 又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，y 2－y 1x 2－x 1＝－12.∴－b 2a 2＝－12.∴e 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.]三、解答题9．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．[解] (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x ′，y ′)，由已知得⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝54y .因为点P 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x ′2＋y ′2＝25，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，整理，得x 225＋y 216＝1， 即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程， 得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.所以x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－8，所以线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415.所以直线被C 所截线段的长度为415.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，所以e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1， 即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2，①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32， 得b 2－c 2＝1，即a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.1．(2019·福州模拟)已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，直线l ：y ＝x －3，在l 上满足|PM |＋|PN |＝22的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1或2 B [由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆， 故c ＝1，a ＝2，b ＝1，其方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝x －3，x 22＋y 2＝1得3x 2－43x ＋4＝0.Δ＝(－43)2－4×3×4＝0，则在l 上满足|PM |＋|PN |＝22的点P 有1个，故选B.]2．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1D [因为(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，所以mn ＝2，所以S △F 1PF 2＝12mn ＝1.故选D.]3．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为 ．x 2＋3y 22＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y22＝1.]4．(2019·石家庄模拟)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△P AB 的面积．[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－124，由Δ＝36m 2－16(3m 2－12)＞0，得m 2＜16，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m .因为AB 是等腰△P AB 的底边， 所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2，满足m 2＜16. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝32， 又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32，所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.1．已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1与圆M ：(x ＋2)2＋(y －22)2＝r 2(0＜r ＜2)，过椭圆C 的上顶点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于A ，B 两点(不同于点P )，则直线P A 与直线PB 的斜率之积等于 ．1 [圆心为M (－2，22)，P (0，2)，设切线为y ＝kx ＋2，由点到直线距离得d ＝|－2k －2|1＋k 2＝r ，(2－r 2)k 2＋4k ＋(2－r 2)＝0，k 1k 2＝1.]2．(2019·西安模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[解] (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意有c a ＝63，a ＝3，所以c ＝2，b ＝1， 所以所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，由已知得|m |1＋k 2＝32，即m 2＝34(1＋k 2)． 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－6km3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1，所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝(1＋k 2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1 ＝12(1＋k 2)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(1＋k 2)(1＋9k 2)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k 2＋6 ≤3＋122×3＋6＝4(k ≠0)，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立． 又当k ＝0时，|AB |＝ 3.综上所述，|AB |ma x ＝2，所以当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值，S ＝12×|AB |ma x ×32＝32.。
高考数学一轮总复习 课时作业53 直线与椭圆的位置关系(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试题
课时作业53 直线与椭圆的位置关系一、选择题1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值X 围是( B )A ．(1，＋∞)B ．(1,3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(0,3)∪(3，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3及m >0得m >1且m ≠3.2．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( A )A ．±32B ．±23C ．±12D ．±2解析：由题意可知，点A 与点B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k >0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得y 1＝－32，y 2＝32，解得k＝32；同理可得当k <0时k ＝－32. 3．(2020·某某检测)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( A )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94解析：设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( C )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 23＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA →·OB →等于( B )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan45°(x －1)，即y ＝x －1.代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43.所以两个交点坐标为A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，所以OA →·OB →＝(0，－1)·⎝⎛⎭⎫43，13＝－13.同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.6．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( C )A ．2B ．455C ．4105D ．8105解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意知Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0即t 2<5，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8t5，x 1x 2＝4(t 2－1)5，|AB |＝((1＋12)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝4255－t 2≤4105(当且仅当t ＝0时取等号)．7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( B )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0， 由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0， 得k ＝c a ，从而y ＝c ax ＋a 交x 轴于点A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，又F (c,0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.8.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值X 围是( C )A ．⎝⎛⎭⎫14，34B ．⎝⎛⎭⎫23，1 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎝⎛⎭⎫0，12 解析：由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a (a ＋c ).又13<k <12，所以13<a 2－c2a (a ＋c )<12，化简可得13<1－e 21＋e <12，从而可得12<e <23，选C ． 二、填空题9．直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是相交．解析：由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1,1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．10．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是 3.解析：由0<b <2可知，焦点在x 轴上， ∵过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点， ∴|BF 2|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|AF 1|＝2a ＋2a ＝4a ＝8， ∴|BF 2|＋|AF 2|＝8－|AB |.当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|＋|AF 2|值最大， 此时|AB |＝b 2，∴5＝8－b 2，解得b ＝ 3.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B两点，连接AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝57.解析：设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.12．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为－12.解析：过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，所以k 1k 2＝－12.三、解答题13．(2010·某某市模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，点(1，32)在E上．(1)求E 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋2与E 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝2(O 为坐标原点)，求k 的值． 解：(1)由题意得e ＝c a ＝32，所以c ＝3a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝14a 2①，又点(1，32)在E 上，所以1a 2＋34b2＝1 ②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0. 由Δ＝(16k )2－48(1＋4k 2)>0，得k 2>34.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－16k1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2. OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k ·－16k1＋4k 2＋4 ＝12－20k 21＋4k 2＋4，因为OA →·OB →＝2，所以12－20k 21＋4k 2＋4＝2，得k 2＝76>34，所以k ＝±426.14．(2020·某某市模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若椭圆E 的离心率为22，△ABF 2的周长为4 6. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明：O ，M ，N 三点共线．解：(1)由题意知，4a ＝46，a ＝ 6. 又e ＝22，∴c ＝3，b ＝3，∴椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)当直线AB ，CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线，当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y223＝1，两式相减，得x 216＋y 213－⎝⎛⎭⎫x 226＋y 223＝0， ∴x 21－x 226＝－y 21－y 223，(x 1－x 2)(x 1＋x 2)6＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3，∴y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－36，y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－36，即k ·k OM ＝－12，∴k OM ＝－12k .同理可得k ON ＝－12k ，∴k OM ＝k ON ，∴O ，M ，N 三点共线．15．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b 23的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，求△EOF 面积的最小值．解：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由题意知PQ 斜率存在，且不为0，所以x 0y 0≠0，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 23，x 2x ＋y 2y ＝b 23.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 23，x 2x 0＋y 2y 0＝b 23，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 23，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 23，可得E ⎝⎛⎭⎫b 23x 0，0和F ⎝⎛⎭⎫0，b23y 0， 所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 418|x 0y 0|，因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 418|x 0y 0|≥b 39a ，当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”， 故△EOF 面积的最小值为b 39a.。
3.1.2第3课时 直线与椭圆的综合应用 练习册正文
第3课时 直线与椭圆的综合应用一、选择题 1.直线y=x 被椭圆x 2+y 22=1截得的线段长为 ( )A .2√33B .4√33 C .√3 D .3√322.过椭圆x 2+2y 2=2的左焦点作斜率为1的直线,交椭圆于A ,B 两点,则弦AB 的长为 ( ) A .√3 B .√2 C .4√33D .4√233.已知直线l :x+y-1=0与椭圆C :x 24+y 22=1交于A ,B 两点,P 为C 的右顶点,则△ABP 的面积为 ( ) A .√153 B .2√33 C .√103D .√534.记椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左顶点为A ,右焦点为F ,过点A 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 交于另一点B ,若BF ⊥AF ,则椭圆C 的离心率为 ( )A .3-√33B .3-√32C .√3-12D .√3-15.已知直线y=x+2交椭圆x 2m +y 24=1于A ,B 两点,且点B 在点A 的左侧,若|AB|=3√2,则m 的值为 ( )A .16B .12C .2√3D .36.已知椭圆x 24+y 23=1上存在关于直线y=2x+m 对称的点,则实数m 的取值范围为 ( )A .[-1,12] B .(-14,13) C .(-12,12)D .(-13,14)7.[2024·重庆一中高二月考] 数学美的表现形式多种多样,我们称离心率e=ω(其中ω=√5-12)的椭圆为黄金椭圆,现有一个黄金椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),若以原点O 为圆心,短轴长为直径作☉O ,P 为黄金椭圆上除顶点外任意一点,过P 作☉O 的两条切线,切点分别为A ,B ,直线AB 与x ,y 轴分别交于M ,N 两点,则b 2|OM |2+a 2|ON |2=( )A .1ω B .ω C .-ωD .-1ω8.(多选题)已知F 为椭圆C :x 24+y 22=1的左焦点,直线l :y=kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ,B 两点,AE ⊥x 轴,垂足为E ,BE与椭圆C 的另一个交点为P ,则( ) A .1|AF |+4|BF |的最小值为2 B .△ABE 面积的最大值为√2 C .直线BE 的斜率为12k D .∠PAB 为钝角9.(多选题)[2024·江西师大附中高二期中] 已知椭圆C :x 225+y 29=1,F 1,F 2分别为它的左、右焦点,A ,B 分别为它的左、右顶点,点P (异于A ,B )是椭圆上的一个动点,则下列结论中正确的有 ( )A .存在P ,使得∠F 1PF 2=π2B .若椭圆C 的弦MN 被点(1,1)平分,则k MN =-925 C .若PF 1⊥PF 2,则△F 1PF 2的面积为9 D .直线PA 与直线PB 的斜率乘积为定值925二、填空题10.直线y=12x+1被椭圆x 2+4y 2=16截得的弦长为 . 11.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为12,A ,B 分别为椭圆C 的左、右顶点,F 为椭圆C 的右焦点,过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ,Q ,当直线l 垂直于x 轴时,四边形APBQ 的面积为6,则椭圆C 的方程为 .12.已知椭圆Γ:x 25+y 24=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1,F 2分别作弦AB (点A 在点B 的上方),CD (点C 在点D 的上方).若AB ∥CD ,则|AF 1|+|CF 2|的最小值为 . 三、解答题13.已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,且椭圆C 经过点(0,1),长轴长为2√2. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点M (1,0)且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,求弦长|AB|.14.[2024·哈尔滨三中高二月考] 在平面直角坐标系中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,且C 过点(√3,12).(1)求椭圆C 的方程;(2)设过点P (0,3)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,且PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32PA⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线l 的斜率.15.[2024·天津一中高二期中] 椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,斜率为1的直线l 过左焦点F 1交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的内切圆的面积是π,若椭圆C 离心率的取值范围为[√24,√22],则线段AB 的长度的取值范围是 ( ) A .[√2,2√2] B .[1,2] C .[4,8]D .[4√2,8√2]16.[2024·浙江台州一中高二期中] 已知椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,椭圆上的点到左焦点F 1的距离的最大值为2+√3. (1)求椭圆M 的方程;(2)求椭圆M 的外切矩形(即矩形的四边所在直线均与椭圆相切)ABCD 的面积S 的取值范围.。
直线与椭圆的综合问题检测题与详解答案
直线与椭圆的综合问题检测题与详解答案A 级——保大分专练1．(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23. 2．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A ．223B ．423C ． 2D ．2解析：选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13，所以|AB |＝423.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B ．455C ．4105D ．8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15 ＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．(2019·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF ―→＝2FB ―→，则该椭圆的离心率为( )A ．32 B ．23 C ．22D ．33解析：选B 由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝x －c ，得(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b4a 2＋b 2，又AF ―→＝2FB ―→，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b2.∴12＝4c 2a 2＋b 2，∴e ＝23，故选B. 5．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点．∵O 为F 1F 2中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为________．解析：由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a＞1)，由|AB |＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a2＋y 2＝1，则y ＝±1－c 2a2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 答案：328．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ， 弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 214＋y 212＝1 ①，x 224＋y 222＝1 ②， ①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝09．(2019·湖北武汉部分学校调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R)上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△FAB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．解：(1)因为S △FAB ＝12|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝a 2－1＝1，所以a ＝ 2.(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )，则x 2a 2＋y 2＝1，x 20a2＋y 20＝1，k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2x 2－x 20＝－1a 2x 2－x 20x 2－x 20＝－1a 2＝－13，所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝2， 所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝23＝63. 10．(2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2＋4y 2＝4消去x ，可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.B 级——创高分自选1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段P Q 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，且MN ⊥P Q ，求线段MN 所在的直线方程． 解：(1)由e ＝12，得a ＝2c ，易知|AF 1|＝2，|AF 2|＝2a －2，由余弦定理，得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos A ＝|F 1F 2|2， 即4＋(2a －2)2－2×2×(2a －2)×12＝a 2，解得a ＝2，则c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1x 24＋y23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k3＋4k2，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，则k MN ＝18＋3k3＋4k 20－4k 23＋4k2＝－24k ＋3＋4k 232k 2. ∵MN ⊥P Q ，∴k MN ＝－1k ，得k ＝12或32，则k MN ＝－2或k MN ＝－23，故直线MN 的方程为16x ＋8y －1＝0或16x ＋24y －3＝0.2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋1x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋122y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2kk 2＋2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋y1＋y222＝1，即4k2k2＋22＋8k2＋22＝1，解得k2＝2，即k＝±2，此时直线l的方程为y＝±2x＋1.。
人教版2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业53 椭圆(含答案)
课时作业53 椭圆1．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( B )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( B )A.514 B ．513 C.49D ．59 解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2. 设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2， ∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2， ∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133， ∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.3．已知点P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2成立，则λ的值为( D )A.32 B ．12 C.22D ．2解析：设内切圆的半径为r ，因为S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2， 所以S △MPF 1＋S △MPF 2＝λS △MF 1F 2； 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以ar ＝λcr ，c ＝a 2－b 2， 所以λ＝aa 2－b2＝2.4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( D )A.32 B ．2－12 C.3－12D ．5－12解析：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)， ∴NM →＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b )． ∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac . 又知b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac . ∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍)． ∴椭圆的离心率为5－12，故选D.5．(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( D )A.43 B ．1 C.45D ．34解析：法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知，F 2(1,0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，又易得△ABF 1的周长C ＝4a ＝8，则由S △ABF 1＝12C ·r 可得r ＝34.故选D.6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A )A.55 B ．105 C.255D ．2105解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，与直线l 的方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5， 所以e ＝c a ＝1a ≤55， 所以e 的最大值为55.故选A.7．(2019·河北衡水中学模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为 －5 .解析：由椭圆的方程可知F 2(3,0)， 由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ， 当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10， ∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5， 即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 22 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b 2＝1.②①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.结合已知条件得，－12＝－b 2a 2×22， ∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝ 3 .解析：由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3.10．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2,3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e 的最小值是 －22 .解析：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数，∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22.11．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2， 即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2， 可得离心率c a ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.13．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆x 2＋y 2＝a29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则椭圆C 的离心率为( D )A.33 B ．53 C.104D ．175解析：如图所示，设线段AB 的中点为D ，连接OD ，OA ，设椭圆C 的左、右焦点分别为F ，F 1， 连接PF 1.设|OD |＝t ，因为点A ，B 是线段PF 的两个三等分点， 所以点D 为线段PF 的中点，所以OD ∥PF 1，且|PF 1|＝2t ，PF 1⊥PF . 因为|PF |＝3|AB |＝6|AD |＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2， 根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF 1|＝2a ，∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2＋2t ＝2a ， 解得t ＝a5或t ＝0(舍去)． 所以|PF |＝8a 5，|PF 1|＝2a5.在Rt △PFF 1中，|PF |2＋|PF 1|2＝|FF 1|2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＝(2c )2，得c 2a 2＝1725， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝175.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，则该椭圆离心率的取值范围为( D )A ．(0，2－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ， ∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然|MF 2|＞|MF 1|， ∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ，即a －c ＜2a 2a ＋c＜a ＋c ， 整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0，又0＜e ＜1，∴2－1＜e ＜1，故选D.15．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b 22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是 b 34a .解析：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22y 0， 所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 48|x 0y 0|， 因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a ， 当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 34a .16．(2019·山东济宁一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－12，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧ x 2a 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1(k ≠0)得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－2a 2k 4＋a 2k 2，x 1x 2＝－3a 24＋a 2k 2，∴x 0＝－a 2k 4＋a 2k 2，y 0＝－a 2k 24＋a 2k 2＋1＝44＋a 2k 2，∴k ·y 0x 0＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 2k ＝－12，∴a 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0.∴y 1－m x 1＋y 2－mx 2＝0.即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0.由(1)知x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2，∴－12k 1＋2k 2－4k 1＋2k 2＋4mk1＋2k 2＝0，∴－16k＋4mk1＋2k2＝0，即4k(－4＋m)1＋2k2＝0，∵k≠0，∴－4＋m＝0，∴m＝4. ∴存在定点M(0,4)，使得∠AMO＝∠BMO.。