课后限时集训53 直线与椭圆的综合问题

直线与椭圆的综合问题

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一、选择题

1．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )

A ．－23

B ．－32

C ．－49

D ．－94

A [设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)，斜率

为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 2

2＝144，

两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2

＝k ，代入解得k ＝－23.]

2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 2

3＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,3)∪(3，＋∞) C ．(3，＋∞)

D ．(0,3)∪(3，＋∞)

[由???

y ＝x ＋2，x 2m ＋y 2

3＝1，

得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.

由Δ＞0且m ≠3及m ＞0得m ＞1且m ≠3.]

3．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为2

2，焦距为2，则线段AB 的长是( )

A.223

B.42

3 C. 2

D ．2

B [由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2

＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，? ??

??4

3，－13，所以|AB |＝423.]

4．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 2

3＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数k 等于( )

A ．±

B ．±23

C ．±

D ．±2

A [由题意可知，点A 与点

B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k ＞0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得?????

y 1＝－3

2，y 2＝32，

解得k ＝32；同理可得当k ＜0时k ＝－3

2.故选A.]

5．(2019·长春模拟)经过椭圆x 22＋y 2

＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )

A ．－3

B ．－13

C ．－1

3或－3

D ．±

B [依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1.代入椭圆方程x 22＋y 2

＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43.

所以两个交点坐标为A (0，－1)，B ? ????43，13，所以OA →·OB →

＝(0，－1)·

? ????

43，13＝－13.同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－1

3.]

二、填空题

6．直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 2

4＝1的位置关系是．

相交 [直线方程y ＝kx ＋k ＋1，可化为y ＝k (x ＋1)＋1，则直线恒过定点(－1,1)，又(－1)29＋124＜1，则点(－1,1)在椭圆x 29＋y 2

4＝1内，故直线与椭圆相交．]

7．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为．

x 24＋y 2

3＝1 [由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由|AB |＝3，知点? ?

???1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4

－17a 2

＋4＝0，所以a 2

＝4或a 2

＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

3＝1.]

8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于．

2 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则?????

x 21a 2＋y 2

1b 2＝1，

x 22a 2＋y 22

b 2＝1，

∴(x 2＋x 1)(x 2－x 1)a 2＋(y 2＋y 1)(y 2－y 1)

b 2＝0，

即(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)

＝－b 2

a 2. 又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，y 2－y 1x 2－x 1＝－1

∴－b 2a 2＝－12.

∴e 2

＝1－b 2a 2＝12，即e ＝2

2.]

三、解答题

9．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为

PD 上一点，且|MD |＝4

5|PD |.

(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4

5的直线被C 所截线段的长度．

[解] (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x ′，y ′)，由已知得

???

x ′＝x ，y ′＝54y .

因为点P 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x ′2＋y ′2＝25，

即x 2＋? ????

54y 2＝25，

整理，得x 225＋y 2

16＝1，即C 的方程为x 225＋y 2

16＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4

5(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝4

5(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)

25＝1，即x 2－3x －8＝0.

所以x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－8，所以线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝

? ?

??1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝41

所以直线被C 所截线段的长度为41

10．已知椭圆x2

a2＋

b2＝1(a＞b＞0)，F

，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若AF2

→

＝2F2B

→

，AF1

→

·AB

→

＝

2，求椭圆的方程．

[解](1)∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝2c，所以e＝

＝2

(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝a2－b2，设B(x，y)．由AF2

→＝2F2B

→

，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝3c

，y＝－b

，即B

，－b

将B点坐标代入x2

＋y2

＝1，得

＋

＝1，

即9c2

4a2

＋1

＝1，解得a2＝3c2，①

又由AF1

→

·AB

→

＝(－c，－b)·

，－3b

＝3

，

得b2－c2＝1，即a2－2c2＝1.②

由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.

所以椭圆的方程为x2

＋y2

＝1.

1．(2019·福州模拟)已知两定点M(－1,0)，N(1,0)，直线l：y＝x－3，在l 上满足|PM|＋|PN|＝22的点P的个数为()

A．0B．1C．2D．0或1或2

B[由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，

故c＝1，a＝2，b＝1，其方程为x2

＋y2＝1.

由???

y ＝x －3，x 2

2＋y 2＝1

得3x 2－43x ＋4＝0.

Δ＝(－43)2－4×3×4＝0，则在l 上满足|PM |＋|PN |＝22的点P 有1个，故选B.]

2．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2

＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

D [因为(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→

＝0，所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，所以mn ＝2，所以S △F 1PF 2＝1

2mn ＝1.故选D.]

3．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2

＋y 2

b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的

直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为．

x 2

＋3y 2

2＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝

1－b 2，则

可设A (c ，b 2

)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故???

－2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0，即?????

x 0＝－5

3c ，y 0＝－13b 2，

代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋1

b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方

程为x 2

＋3y 2

2＝1.]

4．(2019·石家庄模拟)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)上，

且椭圆的离心率为6

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△P AB 的面积．

[解] (1)由已知得?????

6a 2＋2

b 2＝1，

c a ＝6

3，

a 2

＝b 2

＋c 2

，

解得?????

a 2＝12，

b 2＝4.

故椭圆C 的方程为x 212＋y 2

4＝1.

(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0)．

由???

y ＝x ＋m ，x 212＋y 2

4＝1，

消去y ，整理得

4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，

由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－3m

2，x 1x 2＝3m 2－124，

由Δ＝36m 2－16(3m 2－12)＞0，得m 2＜16，

则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ? ????－3

4m ，14m .

因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PD ⊥AB ，

即PD 的斜率k ＝

2－m

－3＋3m 4

＝－1，

解得m ＝2，满足m 2＜16. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，

则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝32，又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32

，所以△P AB 的面积为S ＝1

2|AB |·d ＝92.

1．已知椭圆C ：x 28＋y 2

2＝1与圆M ：(x ＋2)2＋(y －22)2＝r 2(0＜r ＜2)，过椭圆C 的上顶点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于A ，B 两点(不同于点P )，则直线P A 与直线PB 的斜率之积等于．

1 [圆心为M (－2，22)，P (0，2)，设切线为y ＝kx ＋2，由点到直线距离得d ＝

|－2k －2|

1＋k 2

＝r ，(2－r 2)k 2＋4k ＋(2－r 2)＝0，k 1k 2＝1.]

2．(2019·西安模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为6

3，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．

[解] (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意有c a ＝6

3，a ＝3，所以c ＝2，b ＝1，所以所求椭圆方程为x 23＋y 2

＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；

②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，

由已知得

|m |

1＋k 2

＝32，即m 2

＝34(1＋k 2)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－6km

3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)

3k 2＋1，

所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝(1＋k 2)????????

36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1 ＝12(1＋k 2)(3k 2＋1－m 2)

(3k 2＋1)2

＝

3(1＋k 2)(1＋9k 2)

(3k 2

＋1)

＝3＋12k 2

9k 4＋6k 2

＋1 ＝3＋

9k 2＋1k 2＋6

≤3＋

2×3＋6

＝4(k ≠0)，

当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±3

3时等号成立．又当k ＝0时，|AB |＝ 3.

综上所述，|AB |ma x ＝2，所以当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值，S ＝1

2×|AB |ma x ×32＝3