高中数学圆的方程典型例题52667
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2，2=，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=， 当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2， 故直线3x =也适合题意。
所以，所求的直线l 的方程是34130x y +-=或3x =．2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为25)1()2(22=++-y x ，∴圆心为（2，-1），半径为210.依题意有2101122=++k k ，解得3-=k 或31=k ，∴直线方程为x y 3-=或x y 31=. 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 .解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1，0），半径为1，∴1125522=++a ，解得8=a 或18-=a .类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .例10、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m .例13 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图，在圆心1O同侧，与直线01143=-+yx平行且距离为1的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-dr．∴与直线01143=-+yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+yx，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++myx，则1431122=++=md，∴511±=+m，即6-=m，或16-=m，也即6431=-+yxl：，或016432=-+yxl：．设圆9)3()3(221=-+-yxO：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则34363433221=+-⨯+⨯=d，143163433222=+-⨯+⨯=d．∴1l与1O相切，与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交，与圆1O有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O到直线01143=-+yx的距离为d，则324311343322<=+-⨯+⨯=d．∴圆1O到01143=-+yx距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线01143=-+yx的距离，rd<，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．练习1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 解：依题意有a a >-21，解得1212-<<--a .∵0>a ，∴120-<<a .练习2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 解：依题意有11122<+-k k ，解得340<<k ，∴k 的取值范围是)34,0(.3、 圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个分析：把034222=-+++y x y x 化为()()82122=+++y x ，圆心为()21--，，半径为22=r ，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C ．4、 过点()43--，P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()42122=++-y x C ：有公共点，如图所示．分析：观察动画演示，分析思路． 解：设直线l 的方程为()34+=+x k y即043=-+-k y kx根据r d ≤有214322≤+-++kk k整理得0432=-k k解得340≤≤k ．类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例14、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，例15：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 .类型三：弦长、弧问题例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为类型四：直线与圆的位置关系 12、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.例13 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？练习1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 练习2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .3、 圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4、 过点()43--，P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()42122=++-y x C ：有公共点，如图所示．类型五：圆与圆的位置关系例15：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
高二数学圆的方程练习题
高二数学圆的方程练习题1. 某圆的半径为3，圆心坐标为(2, -1)，求该圆的方程。
解析：设该圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²（a为圆心横坐标，b为圆心纵坐标，r为半径）根据已知条件得到：(x-2)² + (y+1)² = 3²将方程展开得：x² - 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 9整理得：x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0所以该圆的方程为x² + y² - 4x + 2y - 4 = 02. 某圆的直径的两个端点分别为A(1, 2)和B(5, 6)，求该圆的方程。
解析：首先求出圆心坐标：圆心的横坐标为直径的中点的横坐标，纵坐标为直径的中点的纵坐标圆心的横坐标 = (1+5)/2 = 3圆心的纵坐标 = (2+6)/2 = 4所以该圆的圆心为(3, 4)然后求出半径：半径的长度等于直径的长度的一半直径AB的长度= √[(5-1)² + (6-2)²] = 2√2所以半径等于直径的一半：r = (2√2)/2 = √2圆心坐标为(3, 4)，半径为√2，所以该圆的方程为：(x-3)² + (y-4)² = (√2)²展开得：x² + y² - 6x - 8y + 13 = 0所以该圆的方程为：x² + y² - 6x - 8y + 13 = 03. 已知圆的方程为：x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。
解析：根据已知方程可得:(x+1)² + (y-2)² = 9将方程展开得：x² + y² + 2x - 4y + 1 + 4 - 9 = 0整理得：x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0可见，已知的方程与题目中给出的方程相同，所以该圆的圆心坐标为(-1, 2)，半径为3。
高中数学圆的方程 经典例题(含详细解析)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a 解之得：1-=a ，202=r ． 所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ． 由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ． 又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=abb a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r 故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2， ∴()22|31|21k k k -+=+-，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=， 当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2， 故直线3x =也适合题意。
高二数学 上学期7.7圆的方程例题(三)
高二数学 上学期7.7圆的方程例题（三）［例1］求下列条件所决定的圆的方程(1)已知圆过两点A (3，1)、B (-1，3)，且它的圆心在直线3x -y -2=0上；(2)经过三点A (1，-1)、B (1，4)、C (4，-2).选题意图：考查待定系数法求圆的方程.解：(1)设所求圆的圆心为C (a ,b )，∵｜ＣＡ｜＝｜ＣＢ｜＝ｒ，点C 在直线3x -y -2=0上，∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=---++=-+-42023)3()1()1()3(2222b a b a b a b a .10)1()3(22=-+-==b a CA r∴所求圆的方程是(x -2)２+(y -4)２=10.(2)设圆的方程为x ２+y ２+Dx +Ey +F =0,将A 、B 、C 三点坐标代入，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=++-=+-23720241742F E D F E D F E D F E D∴所求圆的方程为x ２+y ２-7x -3y +2=0.说明：两题中求圆的方程选用了不同形式.如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系常选用一般方程.［例2］已知一曲线是与两个定点O (0，0)、A (a ,0)(a ≠0)距离的比为k (k ≠1)的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状.选题意图：考查圆的另一种叙述形式.解：设M (x ,y )是曲线上的任意一点，也就是M 属于集合P ＝｛Ｍ｜k AM OM=｝.由两点间的距离公式，点M 所适合的条件可以表示为k y a x y x =+-+2222)(，两边平方得22222)(k ya x y x =+-+,化简得.02)1()1(2222222=+--+-a k ax k y k x k ∵0＜k ＜1或k ＞1，∴k ２-1≠0, ∴01122222222=-+--++k a k x k a k y x 0)1(414)1(442222222222222 -=---=-+k a k k a k k a k F E D ∴所求曲线的方程是01122222222=-+--++k a k x k a k y x ，曲线是一个圆.说明：此例说明了k ≠1时，曲线是一个圆，它比课本例5更有一般性.当k =1，显然曲线是线段OA 的垂直平分线.［例3］⊙A 的方程为072222=---+y x y x ，⊙B 的方程为ｘ２＋ｙ２＋２ｘ＋２ｙ－２＝０，判断⊙Ａ和⊙Ｂ是否相交，若相交，求过两交点的直线的方程；若不相交，说明理由.选题意图：考查两圆的位置关系及两圆相交时，过两交点的直线的求法.解：⊙Ａ的方程可写为9)1()1(22=-+-y x⊙Ｂ的方程可写为4)1()1(22=+++y x ∴两圆心之间的距离满足2322)11()11(2322+=+++=- AB .即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差.∴两圆相交⊙Ａ的方程与⊙B 的方程左、右两边分别相减得－４ｘ－４ｙ－５＝０即4x +4y +5=0为过两圆交点的直线的方程.说明：判断两圆相交的方法，常用两圆心之间的距离d 与两圆半径的和及差的绝对值比较大小.即当｜Ｒ－ｒ｜＜ｄ＜Ｒ＋ｒ时，两圆相交.。
高中数学必修2圆与方程典型例题
．
7．以点 C( － 2，3) 为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是
．
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8．求过原点，在 x 轴， y 轴上截距分别为 a， b 的圆的方程 ( ab≠ 0) ．
9．求经过 A( 4， 2) ， B( － 1，3) 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是
2 的圆的方程．
10．求经过点 ( 8， 3) ，并且和直线 x＝ 6 与 x＝ 10 都相切的圆的方程．
第二节：圆与圆的方程典型例题
一、圆的定义： 二、圆的方程
（ 1）标准方程
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2
xa
2
yb
r 2 ，圆心 a, b ，半径为 r ；
点 M ( x0 , y0 ) 与圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 的位置关系：
当 ( x0 a )2 ( y0 b)2 > r 2 ，点在圆外
７．圆 x2＋ y2－ 2x－2y＋ 1＝ 0 上的动点 Q 到直线 3x＋4y＋ 8＝ 0 距离的最小值为
．
８．圆心为 C( 3，－ 5) ，并且与直线 x－ 7y＋ 2＝ 0 相切的圆的方程为
．
９．求圆心在原点，且圆周被直线 3x＋ 4y＋ 15＝ 0 分成 1∶ 2 两部分的圆的方程．
径，求解 k，得到方程【一定两解】
(3)
过
圆
上
一
点
的
切
线
方
程
：
圆
2
(x-a) +(y-b)
2
=r
2
，
圆
上
一
点
为
(x0
， y0)
圆的标准方程(经典练习及答案详解)
2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29D.(x-1)2+(y+3)2=116A (-4,-5),B (6,-1),所以线段AB 的中点为C (1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆D.半圆x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1D.x+322+y 2=12M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+32,y=y 0+02,则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .-3) √26.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254. 答案(x+2)2+y-322=2548.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =1,b =1,r =2,所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].关键能力提升练9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.10.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.-∞,-4√33∪4√33,+∞D.(-∞,-4)∪(4,+∞)方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A,B两点的直线方程为y=a4x+a2,即ax-4y+2a=0,令d=√a2+16=1,化简后,得3a2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C.(方法2)(数形结合法)如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C.11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x,y满足x2+y2=1,则√3x+y的取值范围是()A.(-2,2)B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-2,+∞)解析因为x2+y2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sinα+π6,所以√3x+y的取值范围是[-2,2].故选C.12.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是()A.110B.113C.-113D.-12P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m )2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD 可能.13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即√32+42=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.x-2)2+y 2=416.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上. (1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.学科素养创新练17.设A(x A,y A),B(x B,y B)为平面直角坐标系内的两点,其中x A,y A,x B,y B∈Z.令Δx=x B-x A,Δy=y B-y A,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x,y).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.。
圆的方程典型例题 (修改)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例3 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．例4、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 .类型三：弦长、弧问题例5、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长. 例6、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .例7、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例8、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.例9若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.解：∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m .练习1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 .练习2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .类型五：圆与圆的位置关系例10、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，例11：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
高中数学必修2圆与方程典型例题.doc
第二节：圆与圆的方程典型例题一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
二、弓的方程(1) |标准方程(x —a『+(y —疔=宀圆心(a,b),半径为』；点M(x0,y0)与圆(x-a)2 + (y-b)2 = r2的位置关系:当(x0— a)2 + (y0—b)2>r2，点在圆夕卜当(x0 -(z)2 + (y0-b)~ = r2，点在圆上当(x0—(z)2 + (y0—b)2<r2，点在圆内(2)一般方程/+b+Dx + Ey + F =0当D- +E2-4F > 0时，方程表示圆，此时圆心为卜2,-£『半径为S+E—4F 当D2+E2-4F=0时，表示一个点；当D2+E2-4F < 0时，方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a, b, r；若利用一般方程，需要求出D, E, F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
例 1 已知方程x2 + y2— 2(/77 — l)x — 2(2/77 + 3)y + 5m2 + 10m. + 6 = 0.(1)此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；(2)若方程表示的图形是是一个圆，当/变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 答案：(1)方程表示的图形是一个圆；(2)圆心在直线y=2x+5上，半径为2.练习：1.方程x2 + y2+2x-4y-6 = 0表示的图形是( )A.以(1,-2)为圆心，为半径的圆B.以(1,2)为圆心，为半径的圆C.以(-1,-2)为圆心，姮为半径的圆D.以(—1,2)为圆心，为半径的圆2.过点A(l, -1), B(-l, 1)且圆心在直线x+y~2 = 0上的圆的方程是( ).A. (,r-3)2+(y+l)2=4B. (,r+3)2+(y-l)2=4C. (x-l)2+(y-l)2=4D. (x+l)2+(y+1)2=43.点(1,1)在圆(x-a)2 + (y+ a)2 = 4的内部，则a的取值范围是( )A . -1 < a < 1B . 0 < a < 1C . a<—1 或a>lD . a = ±l4.若x? + + (2-l)x + 22y + 2 = 0表圆，则2的取值范围是_________________5.若圆C的圆心坐标为(2, —3),且圆C经过点M(5, -7),则圆C的半径为___________________6.圆心在直线y=.r± R.与x轴相切于点(1, 0)的圆的方程为___________ .7.以点C(-2, 3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 ______________ .&求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a, b的圆的方程U#o).9.求经过水4, 2), B(—1, 3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.10.求经过点(8, 3),并且和直线x=6与x=10都相切的圆的方程.三、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交二种情况:(1 )设直线I:Ax + By + C =Q ,圆C:(x-a)2+(y-fc)2 =r2 ,圆心C(a,b)到I的距离为d_\Aa + Bb + c\~\t则有d > r o /与c相离= r o /与C相切「d < r o /与C相交V A2 +B2(2)过圆外一点的切线：®k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k,得到方程【一定两解】⑶过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2^r2,圆上一点为(也，y0),则过此点的切线方程为|(x°-a”x-a丿+(yo-0"y-S= / 丨例2已知圆M:/+(y_2)2=l,Q是x轴上的动点,04、分别切圆M于A, B两点(1)若点Q的坐标为(1, 0),求切线04、QB的方程；(答：切线04、的方程分别为3x + 4y —3 = 0和x = l)⑵求四边形0AMB 的面积的最小值；(答S M4(2B=MAQA = QA = ^MQ2-MA2 = yjMQ2-l >A/A/02-1= )(3)若AB = ^ ,求直线M0的方程.(答:直线M0 的方程为2x + 45y-2^5 =0 或2x - V5y + 2^5 = 0 )练习：1.以点(一3, 4)为圆心，目.与x轴相切的圆的方程是( ).A. (x-3)2+(y+4)2=16B. (.r+3)2+(y-4)2= 16C. (x-3)2+(y+4)2 = 9D. (.r+3) 2+(y-4) 2= 192.若直线x+y+m = 0与圆x2+y2=m相切，则加为( ).A. 0或2B. 2C. V2D.无解3.直线/过点( —2,0), /与圆x2 + y2= 2x有两个交点时，斜率k的取值范围是( )A. ( — 20,20)B. (-V2,V2)C. )D.4 4 8 84.设圆"+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3, 1),则直线AB的方程是___________________ .5. 圆(A— 1)2+ (y+2) 2=20在X轴上截得的弦长是 _______________ o_6. P为圆x2 + y2 =1上的动点，则点P到直线3.r-4y-10 = 0的距离的最小值为 ________________ .7.圆?+y2-2.r-2y+l=0上的动点Q到直线3.r+4y + 8=0距离的最小值为_________________ .8.圆心为C(3, —5),并月.与直线A—7_y + 2 = 0相切的圆的方程为___________________ .9.求圆心在原点，目.圆周被直线3x+4y+15 = 0分成1 ： 2两部分的圆的方程.12.(本小题15分)已知圆C： (.r-l)2 + y2 =9内有一点P (2, 2),过点P作直线/交圆C于A、B两点.(1)当/经过圆心C时，求直线/的方程；⑵当弦AB被点P平分时，写出直线/的方程; ⑶当直线/的倾斜角为45°时，求弦AB的长.13 (本小题15分)已知动点M到点A (2, 0)的距离是它到点B (8, 0)的距离的一半，求：(1)动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.四、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
高中圆方程练习题
高中圆方程练习题题一：求圆的标准方程已知圆心坐标为（3，-4），半径为2，求圆的标准方程。
解：设圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心坐标为(a, b)，半径为r。
代入已知条件：(x-3)² + (y+4)² = 2²化简得到圆的标准方程为(x-3)² + (y+4)² = 4。
题二：圆的切线方程已知圆的方程为(x-2)² + (y+1)² = 9，求过点（3，-2）的圆的切线方程。
解：首先，计算圆心坐标：圆心坐标为(a, b)，其中a = 2，b = -1。
其次，计算圆的半径：半径r = √9 = 3。
然后，通过已知点（3，-2）和圆心坐标计算切线斜率：切线斜率k = (b - (-2))/(a - 3) = (-1 - (-2))/(2 - 3) = -1/1 = -1。
最后，带入切点坐标和切线斜率，得到切线方程：y - (-2) = -1(x - 3)y + 2 = -x + 3x + y - 1 = 0所以过点（3，-2）的圆的切线方程为x + y - 1 = 0。
题三：两圆的交点坐标已知圆A的方程为(x-1)² + (y-2)² = 4，圆B的方程为(x+2)² + (y-3)² = 9，求两圆的交点坐标。
解：将两个圆的方程相减：(x+2)² + (y-3)² - [(x-1)² + (y-2)²] = 9 - 4化简得到：4x - 4 = 54x = 9x = 9/4带入x的值，得到y的值：(9/4 + 2)² + (y-3)² - [(9/4 - 1)² + (y-2)²] = 9 - 4化简得到：(y-3)² - (y-2)² = 9 - 4 - (25/16 - 2/4)²(y-3)² - (y-2)² = 5 - (25/16 - 8/16)(y-3)² - (y-2)² = 5 - 17/16化简得到：4(y-3)² - 4(y-2)² = 5*16 - 174(y² - 6y + 9) - 4(y² - 4y + 4) = 80 - 174y² - 24y + 36 - 4y² + 16y - 16 = 63-8y + 20 = 63-8y = 63 - 20-8y = 43y = 43/-8y = -43/8所以两圆的交点坐标为(x, y) = (9/4, -43/8)。
高中数学圆的方程典型例题
4：过点 P(− 3，− 4)作直线 l ，当斜率为何值时，直线 l 与圆 C：(x −1)2 + (y + 2)2 = 4 有公共点
类型五：圆与圆的位置关系
例 14、判断圆 C1 : x 2 + y 2 + 2x − 6 y − 26 = 0 与圆 C2 : x 2 + y 2 − 4x + 2 y + 4 = 0 的位置关系，
=
y−2
的几何意义是过圆
x2
+
y2
= 1上一动点和定点 (−1 ,
2) 的连线的斜率，利用
x +1
此直线与圆 x2 + y2 = 1有公共点，可确定出 u 的取值范围．
解法二：由 u
=
y−2
得：
y − 2 = u(x +1) ，此直线与圆 x2
+
y2
= 1 有公共点，故点 (0 , 0) 到
x +1
解法三：设 A(r cosα , r sinα ) 、 B(r cos β , r sin β ) 、 Q(x , y) ，
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由于 APBQ 为矩形，故 AB 与 PQ 的中点重合，即有
x + a = r cosα + r cos β ，
①
y + b = r sinα + r sin β ，
②
cosθ +1 ∴ u cosθ − sinθ = −(u + 2) ．
即 u 2 + 1 sin(θ − ϕ ) = u + 2 （ tanϕ = u ）
(u + 2)