湖北省荆州市荆州区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题

湖北省荆州市荆州区2020-2021学年八年级上学期期末数学

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列计算正确的是（ ）

A ．224a a a +=

B ．352()a a =

C ．527a a a ?=

D ．2222a a -= 2．下列各分式中，是最简分式的是（ ）.

A ．22

x y x y ++ B ．22x y x y -+ C ．2x x xy + D ．2xy y

3．一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（ ）

A ．五边形

B ．六边形

C ．七边形

D ．八边形 4．如图，已知△ABC ≌△ADC ，∠B ＝30°，∠BAC ＝23°，则∠ACD 的度数为（ ）

A ．120°

B ．125°

C ．127°

D ．104° 5．如图，若 MB = ND ，∠MBA = ∠NDC ，下列条件中不能判定△ABM ≌△CDN 的是（ ）

A ．AM = CN

B ．AM / /CN

C ．AB = C

D D ．∠M = ∠N 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（ ）

A ．7

B ．8

C ．5

D ．7或8 7．如图，已知,5,3AB AC AB BC ===，以AB 两点为圆心，大于12

AB 的长为半径画圆，两弧相交于点,M N ，连接MN 与AC 相较于点D ，则BDC ?的周长为（ ）

A ．8

B ．10

C ．11

D ．13

8．化简22

x y x y y x

+--的结果是（ ） A ．1x -- B ．y x - C ．x y - D ．x y +

9．因式分解x 2+mx ﹣12＝（x +p ）（x +q ），其中m 、p 、q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ）

A ．1

B ．4

C ．11

D ．12

10．如图，在△ ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ，过点G 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD ⊥ AC 于D ，下列四个结论：①EF = BE+CF ；②∠BGC= 90 °+12

∠A ；③点G 到△ ABC 各边的距离相等；④设GD =m ，AE + AF =n ，则S △AEF =12

mn.其中正确的结论有（ ）

A ．1 个

B ．2 个

C ．3 个

D ．4 个

二、填空题 11．若3m a =，5n a =，则m n a +=______.

12．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠ABC=__．

13．已知点A 的坐标为（﹣2，3），则点A 关于x 轴的对称点A 1的坐标是_____．

14．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为30cm ，则此等腰三角形的面积为_____． 15．若关于x 的分式方程

x 2322m m x x ++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是____．

16．若3(23)10x x +--=，则21x +=______.

三、解答题

17．计算题（1）2(25)(25)4(1)x x x +---

（2）分解因式：22ax ax a -+

18．解分程：（1）21233x x x

-=--- （2）12112

x x x ++=-+ 19．先化简，再求值：53(2)224a a a a ---

÷++，其中a =011(3)()4π--+． 20．如图，AB CB ⊥，DC CB ⊥，E 、F 在BC 上，A D ∠=∠，BE CF =，求证：AF DE =.

21．如图，在等腰三角形ABC 中，90A ∠=?，6AB AC ==，D 是BC 边的中点，点E 在线段AB 上从B 向A 运动，同时点F 在线段AC 上从点A 向C 运动，速度都是1个单位/秒，时间是t （06t <<），连接DE 、DF 、EF .

（1）请判断EDF ?形状，并证明你的结论.

（2）以A 、E 、D 、F 四点组成的四边形面积是否发生变化？若不变，求出这个值：若变化，用含t 的式子表示.

22．某商店购进A 、B 两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等．

（1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元；

（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？

23．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）

（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；

（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x?y＝9

4

，则x﹣y＝；

（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．

24．如图1，已知点B(0，6)，点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．

图1图2图3

(1)求证：DE＝BO；

(2)如图2，当点D恰好落在BC上时．

①求OC的长及点E的坐标；

②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；

③如图3，点M是线段BC上的动点(点B，C除外)，过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE 于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．

参考答案

1．C

【解析】

【详解】

解：A. 222a a 2a +=，故A 错误；

B. ()326a a =，故B 错误；

C. 527a a a ?=，正确；

D. 2222a a a -=，故D 错误；

故选C

2．A

【分析】

根据定义进行判断即可．

【详解】

解：A 、22

x y x y

++分子、分母不含公因式，是最简分式； B 、22x y x y

-+＝()()x y x y x y +-+＝x －y ，能约分，不是最简分式； C 、2x x xy

+＝(1)x x xy +＝1x y +，能约分，不是最简分式； D 、2xy y ＝x y

，能约分，不是最简分式． 故选A ．

【点睛】

本题考查分式的化简，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．

3．B

【解析】

利用n 边形的内角和可以表示成（n ﹣2）?180°，结合方程即可求出答案．

解：设这个多边形的边数为n ，由题意，得

（n ﹣2）180°=720°，

解得：n=6，

故这个多边形是六边形．

故选B ．

4．C

【分析】

证△ABC ≌△ADC ，得出∠B=∠D=30°

，∠BAC=∠DAC=12

∠BAD=23°，根据三角形内角和定理求出即可．

【详解】

解：∵在△ABC 和△ADC 中 AB AD AC AC BC CD =??=??=?

∴△ABC ≌△ADC ，

∴∠B=∠D=30°，∠BAC=∠DAC=12∠BAD=12

×46°=23°， ∴∠ACD=180°-∠D-∠DAC=180°-30°-23°=127°，

故选C ．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等．

5．A

【分析】

根据普通三角形全等的判定定理，有AAS 、SSS 、ASA 、SAS 四种．逐条验证．

【详解】

A 、根据条件AM =CN ，M

B =ND ，∠MBA =∠ND

C ，不能判定△ABM ≌△CDN ，故A 选项符合题意；

B 、AM ∥CN ，得出∠MAB =∠NCD ，符合AAS ，能判定△ABM ≌△CDN ，故B 选项不符合题意；

C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；

D、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】

本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．

6．D

【解析】

试题分析：当底为2时，腰为3，周长=2+3+3=8；当底为3时，腰为2，周长=3+2+2=7. 考点：等腰三角形的性质.

7．A

【分析】

利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．

【详解】

由作法得MN垂直平分AB，

∴DA=DB，

∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．

故选A．

【点睛】

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．

8．D

【分析】

分式化简时要先通分，再加减，通过观察找到最简分母.

【详解】

解：原式

22

x y x y x y =-

--

()()x y x y x y

+-=- x y =+.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是分式的化简，找最简公分母，通分时分子分母都乘以同一个代数式. 9．C

【解析】

分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可.

详解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx －12

∴p+q=m ，pq=-12.

∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12

∴m=-11或11或4或-4或1或-1.

∴m 的最大值为11.

故选C.

点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.

10．D

【分析】

根据BG ，CG 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，EF ∥BC，可得EB=EG ，FG=FC ，从而证得①正确；根据三角形内角和定理即可求出②正确；根据角平分线的性质可知点G 是△ABC 的内心，从而可得③正确；连接AG ，结合点G 是内心，即可表示出△AEG 和△AFG 的面积，从而可知④正确.

【详解】

∵BG，CG 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，

∴∠EBG=∠GBC，∠FCG=∠GCB

∵EF ∥BC

∴∠EGB=∠GBC，∠FGC=∠GCB

∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠FGC

∴EB=EG，FG=FC

∴EF = BE+CF

故①正确；

在△ABC 中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）

在△GBC 中，()11802

BGC ABC ACB ∠=?-∠+∠， 即()111801809022

BGC A A ∠=?-

-=+∠∠ 所以②正确； ∵点G 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，

∴点G 是△ABC 的内心

∴点G 到△ABC 各边的距离相等 故③正确；

连接AG ，

∵点G 到△ABC 各边的距离相等，GD=m,AE+AF=n ，

∴()11112222

AEF S AE GD AF GD GD AE AF mn =?+?=+= 故④正确； 综上答案选D.

【点睛】

本题考查的等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形内角和定理和三角形面积的求法，能够综合调动这些知识是解题的关键.

11．15

【分析】

根据同底数幂乘法法则来求即可.

【详解】

解： m n m n a a a +==3×5=15

【点睛】

本题考查的是同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘，底数不变指数相加.

12．75度

【解析】

解：∵∠BAC =45°

，∠BCA =60°，∴∠ABC =180°-∠BAC -∠BCA =180°-45°-60°=75°．故答案为75°

． 13．（﹣2，﹣3）

【分析】

根据平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于x 轴的对称点的坐标是（x ，-y ），进而得出答案．

【详解】

解：∵点A 的坐标为（﹣2，3），

则点A 关于x 轴的对称点A 1的坐标是（﹣2，﹣3）．

故答案为（﹣2，﹣3）．

【点睛】

此题主要考查了关于x 轴、y 轴对称点的坐标特点，熟练掌握其性质是解题关键．关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．

14．225cm 2.

【解析】

【分析】

根据题意作出图形，求出腰上的高，再代入面积公式即可求解．

【详解】

解：如图所示，作等腰三角形腰上的高CD ，

∵∠B ＝∠ACB ＝15°，

∴∠CAD ＝30°，

∴CD ＝12AC ＝12

×30＝15cm ，

∴此等腰三角形的面积＝

12

×30×15＝225cm 2， 故答案为：225cm 2． 【点睛】

本题考查的是含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练运用相关性质定理是解题的关键．

15．m ＜6且m≠2.

【分析】

利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．

【详解】

x 2322m m x x

++=--， 方程两边同乘（x-2）得，x+m-2m=3x-6，

解得，x=

6-2

m ， 由题意得，6-2m ＞0， 解得，m ＜6， ∵6-2

m ≠2， ∴m≠2，

∴m＜6且m≠2.

【点睛】

要注意的是分式的分母暗含着不等于零这个条件，这也是易错点．

16．3或5或－5

【分析】

由已知3(23)

10x x +--=可知(2x-3)x+3=1,所以要分3种情况来求即可. 【详解】

解：∵3(23)

10x x +--=

∴(2x-3)x+3=1

∴当2x-3=1时，x+3取任意值，x=2;

当2x-3=-1时，x+3是偶数，x=1;

当2x-3≠0且x+3=0时，x=-3

∴x 为2或者1或者-3时，

∴2x+1的值为：5或者3或者-5

故答案为：5，-5，3.

【点睛】

本题考查了一个代数式的幂等于1时，底数和指数的取值.找到各种符合条件各种情况，不能丢落.

17．（1）829x -；（2）2(1)a x -

【分析】

(1)根据整式乘法运算法则进行运算，再合并同类项即可.

(2)分解因式根据题型用合适的方法即可.

【详解】

（1）解：原式()

22425421x x x =---+ 22425484x x x =--+-

829x =-

（2）解：原式()

221a x x =-+ 2(1)a x =-

【点睛】

本题考查了整式乘法和分解因式方法，做整式乘法时能漏项.

18．（1）原方程无解;（1）12

x =- 【分析】

解分式方程先去分母变成整式方程，再求解即可.

【详解】

解：（1）212(3)x x -=---，

3x =，

检验：把3x =代入(3)0x -=，

∴原方程无解

（2）(1)(2)2(1)(2)(1)x x x x x +++-=+-

2232222x x x x x +++-=+-

42x =-

12

x =- 经检验：12

x =-是原方程的根 【点睛】

本题考查了分式方程的解法，需要注意的是解分式方程必须验根,去分母时不要漏乘无分母的项.

19．2a +6，16．

【分析】

根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入即可解答本题．

【详解】

解：原式=

(2)(2)52(2)23a a a a a +--+?+-=(3)(3)2(2)23

a a a a a +-+?+-=2a +6 当a =011(3)()4π--+=1+4=5时，原式=2×5+6=16． 【点睛】

本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

20．见解析

【分析】

根据已知条件来证明两个三角形全等(AAS)，即可证明.

【详解】

证明：∵AB CB ⊥，DC CB ⊥，

∴90B C ∠=∠=?，

∵BE CF =

∴BF CE =，

在△ABF 和△DCE 中

90BF CE A D

B C =??∠=∠??∠=∠=??

， ∴()ABF DCE AAS ??≌

∴AF DE =

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判断和性质.

21．（1）EDF ?为等腰直角三角形，见解析；（2）不变，9

【分析】

⑴连结AD,由SAS 定理可证BDE ?和ADF ?全等，从而可证90EDF ∠=?,DF=DE.所以EDF ?为等腰直角三角形.

⑵由割补法可知四边形AEDF 的面积不变，利用三角形的面积公式求出答案.

【详解】

（1）EDF ?为等腰直角三角形，理由如下：

连接AD ，

∵AB AC =，90A ∠=?，D 为BC 中点 ∴12

AD BC BD CD === 且AD 平分BAC ∠

∴45BAD CAD ∠=∠=?

∵点E 、F 速度都是1个单位秒，时间是t 秒，

∴BE AF =

在BDE ?和ADF ?中，

45BD AD B DAF BE AF =??∠=∠=???=?

，

∴()BDE ADF SAS ??≌

∴DE DF =，BDE ADF ∠=∠

∵90BDE ADE ∠+∠=?

∴90ADF ADE ∠+∠=?

即：90EDF ∠=?

∴EDF ?为等腰直角三角形.

（2）四边形AEDF 面积不变，

理由：∵由（1）可知，AFD BED ??≌，

∴BDE ADF S S ??=，

∴ AED ADF AED BDE ABD AEDF S S S S S S ?????=+=+=四边形 ∵111669222

ABD ABC S S ??==???= ∴ 9AEDF S =四边形

【点睛】

本题考查了三角形全等的判断SAS,及用割补法来证四边形的面积不变，四边形又三角形来组成。

22．（1）购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；（2）商店有2种购买方案，方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个．

【分析】

（1）设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，根据A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍并且购买A 、B 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为整数即可找出各购买方案．

【详解】

解：（1）设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元， 依题意，得：30010010x x

=+， 解得：5x =，

经检验，5x =是原方程的解，且符合题意，

∴1015x +=．

答：购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元．

（2） 设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，

依题意，得：()()804158051000158051050m m m m m m ?-≥?-+≥??-+≤?

，

解得：1516m ≤≤．

∵m 为整数，

∴15m =或16．

∴商店有2种购买方案，方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23．（1）(a+b)2-(a-b)2=4ab ；（2）±4；（3）-7

【分析】

（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2，图1的面积和图2中白色部分的面积相等即可求解．

（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy ，将x+y ＝5，x?y ＝

94

代入(x+y)2-(x-y)2=4xy ，即可求得x-y 的值

（3）因为(2019﹣m)+(m ﹣2020)＝-1，等号两边同时平方，已知(2019﹣m)2+(m ﹣2020)2＝15，即可求解．

【详解】

（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2 ∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等

∴(a+b)2-(a-b)2=4ab

故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab

（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy

∵x+y＝5，x?y＝9 4

∴52-(x-y)2=4×9 4

∴(x-y)2=16

∴x-y=±4

故答案为：±4

（3）∵(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1

∴[(2019﹣m)+(m﹣2020)]2=1

∴(2019﹣m)2+2(2019﹣m)(m﹣2020)+ (m﹣2020)2=1

∵(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15

∴2(2019﹣m)(m﹣2020)=1-15=-14

∴(2019﹣m)(m﹣2020)=-7

故答案为：-7

【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，

通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．

24．(1)证明见解析；(2)①，()；②存在；()；③不会变化，MH＋MG ＝6．

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE，

根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）①由点B（0，6），得到OB=6，根据全等三角形的性质得到∠CDE=∠BOC=90°，根

据等边三角形的性质得到∠DEC=30°，求得E作EF⊥x轴于F，角三角形即

可得到结论；②存在，如图d，当时，当CE=PE，根据等腰三角形的性质即

可得到结论；③不会变化，如图c，连接EM，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】

解：(1)证明：∵△ODC和△EBC都是等边三角形，

∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°.

∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD，

即∠ECD＝∠BCO.

∴△DEC≌△OBC(SAS)．

∴DE＝BO.

(2)①∵△ODC是等边三角形，

∴∠OCB＝60°.

∵∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝30°.

设OC＝x，则BC＝2x，

∴x2＋62＝(2x)2.解得x＝

∴OC＝，BC＝

∵△EBC是等边三角形，

∴BE＝BC＝.

又∵∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝90°，

∴6)．

②若点P在C点左侧，则CP＝OP＝＝P的坐标为(－

0)；

若点P在C点右侧，则OP＝＋P的坐标为0)．

③不会变化，MH＋MG＝6

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．