第一章特殊的平行四边形培优习题
九年级上册第一章特殊的平行四边形培优习题
（资料编辑：薛思优）
一．选择题（共4小题）
1．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．若∠BEC=80°，则∠EFD的度数为（）
A．20°B．25°C．35°D．40°
2．如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM的延长线与CD的延长线交于点F，MG⊥EF，交CD于N，交BC的延长线于G，点P是MG的中点．连接EG、FG．下列结论：①当点E为边AB的中点时，S△EFG=5；②MG=EF；③当AE=时，FG=；④若点E从点A运动到点B，则此过程中点P移动的距离为2．其中正确的结论的个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在正方形ABCD中，四边形IJFH是正方形，面积为S1，四边形BEFG 是矩形，面积为S2，下列说法正确的是（）
A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．2S1=3S2
4．如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为（）
A．2 B．C．D．
二．填空题（共8小题）
5．在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为．
6．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…A n分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2．
7．在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BE于E，延长AF、EC交于点H，那么下列结论：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．其中正确结论的序号是（多填或错填的得0分，少填的酌情给分）
8．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．
9．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C 点的坐标为．
11．如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO度．
12．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．
13．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、
BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的
距离之和是．
三．解答题（共25小题）
14．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点．
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
15．如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．
16．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE、BE，求证：四边形AEBD是矩形．
17．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD．（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．
18．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．点P为矩形外一点且满足AP=PC，AP⊥PC．PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．
（1）若AP=，AB=BC，求矩形ABCD的面积；
（2）若CD=PM，求证：AC=AP+PN．
19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
20．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．（1）若ED：DC=1：2，EF=12，试求DG的长．
（2）观察猜想BE与DG之间的关系，并证明你的结论．
21．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．证明：△ABG≌△ADE．
22．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
23．已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．
（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；
（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）。
北师大新版九年级数学上学期第一章：特殊的平行四边形 单元培优卷 含解析
第一章特殊的平行四边形一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC 于E点，若BE＝4，则AD的长等于（）A．8 B．10 C．3D．42．如图，矩形ABCD中，BH⊥AC，DE∥BH交CB的延长线于点E，交AB于点G，P是DE上一点，∠BPD＝∠BCD，且G为PF的中点．则①AF＝CH；②AC＝3FH；③BE＝BG；④若AE＝，则FG＝3，以上结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（）A．6 B．3 C．3D．6﹣64．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD 的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形6．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）A．9.5 B．10 C．10.5 D．11二．填空题（共7小题）7．已知菱形ABCD的周长为52cm，对角线AC＝10cm，则BD＝cm．8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于．9．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．10．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝，则线段EF的长为．11．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°（1）如图甲，若EA＝EF，则EF＝；（2）如图乙，若CE＝CF，则EF＝．12．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，直线EF经过对角线BD的中点O分别交边AD、BC与点E、F，点G、H分别是OB、OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长．13．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．三．解答题（共9小题）14．四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，求DH的长．15．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．16．菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC＝8，BD＝6，求AB边上的高．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．19．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝S；正方形ABCD【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．21．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、EF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BC、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC 于E点，若BE＝4，则AD的长等于（）A．8 B．10 C．3D．4【分析】根据矩形的性质得出∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，求出a2+b2＝102，ab＝40，解方程组求出a即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，∵AC＝10，BE⊥AC，BE＝4，∴a2+b2＝102，又∵S矩形ABCD＝2S△ABC∴ab＝2××10×4＝40，∵BC＞AB，解得：a＝4，b＝2，即AD＝4，故选：D．2．如图，矩形ABCD中，BH⊥AC，DE∥BH交CB的延长线于点E，交AB于点G，P是DE上一点，∠BPD＝∠BCD，且G为PF的中点．则①AF＝CH；②AC＝3FH；③BE＝BG；④若AE＝，则FG＝3，以上结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①利用矩形的性质，证明△AFD与△CHB全等，即可推出结论①正确；②先证明四边形PBHF为矩形，推出PB＝FH，再证明△AFG与△BPG全等，推出AF＝FH ＝CH，即可②正确；③假设结论成立，可推出∠BAC＝45°，BA＝BC，故矩形ABCD必为正方形，不符合题意，故③错误；④先证明△EPB与△BHC全等，推出EB＝BC，AB垂直平分EC，求出AC的长度，再证△ABH与△BCH相似，求出BH的长度，最后证△AFG与△AHB相似，即可求出GF的长度为2，故④错误．【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BCD＝∠ABC＝90°，∴∠DAF＝∠BCH，∵BH⊥AC，∴∠BHC＝∠BHA＝90°，∴△AFD≌△CHB（AAS），∴AF＝CH．故①正确；②由①知，∠PFH＝∠BHF＝90°，∵∠BPD＝∠BCD＝90°，∴∠BPD＝∠PFH＝∠BHF＝90°，∴四边形PBHF为矩形，∴PB＝FH，PB∥FH，∵∠AFG＝∠BPG＝90°，FG＝PG，∠AGF＝∠BGP，∴△AFG≌△BPG（ASA），∴BP＝AF，∴AF＝FH，由①知，AF＝CH，∴AF＝FH＝CH，∴AC＝3FH，故②正确；③假设BE＝BG，∵∠EBG＝90°，∴∠E＝∠BGE＝45°，在Rt△EFC中，∠FCB＝90°﹣45°＝45°，∴∠BAC＝45°，∴BA＝BC，∴矩形ABCD必为正方形，不符合题意，故③错误；④∵DE∥BH，∴∠PEB＝∠HBC，由②知，四边形PBFH为矩形，PB＝FH＝CH，∴∠EPB＝∠BHC＝90°，∴△EPB≌△BHC（AAS），∴EB＝BC，∵∠ABC＝90°，∴AB垂直平分EC，∴AC＝AE＝6，由②知，AF＝FH＝HC，∴AF＝FH＝HC＝AC＝2，∴AH＝4，∵∠BHC＝∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠HBC＝90°，∴∠BAH＝∠HBC，∴△ABH∽△BCH，∴＝，即＝，∴BH＝4，∵DE∥BH，∴△AFG∽△AHB，∴＝，即＝，∴CF＝2，故④错误，故选：B．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（）A．6 B．3 C．3D．6﹣6【分析】如图作B′H⊥AD于H交BC于M．首先证明四边形DFB′H是正方形，设边长为x，则AH＝6﹣x，HB′＝x，在Rt△AHB′中，根据AB′2＝AH2+HB′2，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质解决问题即可；【解答】解：如图作B′H⊥AD于H交BC于M．∵∠B′HD＝∠HDF＝∠DFB′＝90°，∴四边形DFB′H是矩形，∵FD＝FB′，∴四边形DFB′H是正方形，设边长为x，则AH＝6﹣x，HB′＝x，在Rt△AHB′中，∵AB′2＝AH2+HB′2，∴62＝（6﹣x）2+x2，解得x＝3，∴B′M＝CF＝6﹣3，∵△AHB′∽△B′ME，∴＝，∴＝，∴EB′＝6﹣6，∴BE＝B′E＝6﹣6，故选：D．4．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD 的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，于是得到＝＝，得到NB ＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得到BM＝＝a，于是得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE＝BF＝BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则＝＝，即＝＝，解得MN＝a，AN＝a，∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理，BM＝＝a，∵ME+MF＝a+a＝a，MB＝a＝a，∴ME+MF＝MB．综上所述，正确的结论有①③④共3个．故选：B．5．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE＝AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG ＝180°，易证ED∥GA，即可判断A；求出∠DAG＝135°，根据矩形的判定即可判断B；然后由周角的定义求得∠BAC＝135°；根据AD＝AC＝和菱形的判定即可判断C；根据正方形的判定即可判断D．【解答】解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∵四边形ADEG是平行四边形，∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；C、∵四边形ADEG是平行四边形，∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．∵AD＝AB，∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，∴四边形ADEG是正方形，即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．6．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）A．9.5 B．10 C．10.5 D．11【分析】根据六边形EFGHLK的各个内角相等，即可得出△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，再根据C1＝2C2＝4C3，FG＝LK，EF＝6，即可得到AB＝BF+EF+AE＝11．【解答】解：∵六边形EFGHLK的各个内角相等，∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°，∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BF＝FG，AE＝AK，CL＝HL，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，即BF+FE+AE＝AK+KL+CL，又∵BF＝FG＝KL，∴EF＝CL＝6＝CH，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，∵C1＝2C2，∴AE＝CH＝3，又∵2C2＝4C3，∴C3＝C2＝×12＝6，∴BF＝×6＝2，∴AB＝BF+EF+AE＝2+6+3＝11，故选：C．二．填空题（共7小题）7．已知菱形ABCD的周长为52cm，对角线AC＝10cm，则BD＝24 cm．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，BD＝2DO，AO＝OC＝AC＝5cm，AD＝AB＝BC＝CD ＝13cm，根据勾股定理求出OD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2DO，AO＝OC＝AC＝＝5cm，∵菱形ABCD的周长为52cm，∴AD＝AB＝BC＝CD＝×52cm＝13cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+0D2，即OD＝＝12（cm），∴BD＝2OD＝24cm，故答案为：24．8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于50．【分析】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，想办法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题．【解答】解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH⊥BP于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AM＝AP，∠MAP＝60°，∴△AMP是等边三角形，∵∠MAP＝∠BAC，∴∠MAB＝∠PAC，∴△MAB≌△PAC，∴BM＝PC＝10，∵PM2+PB2＝100，BM2＝100，∴PM2+PB2＝BM2，∴∠MPB＝90°，∵∠APM＝60°，∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，∴AH＝PA＝3，PH＝3，BH＝8+3，∴AB2＝AH2+BH2＝100+48，∴菱形ABCD的面积＝2•△ABC的面积＝2××AB2＝50+72，故答案为50+72．9．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．【分析】延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，由菱形的性质和勾股定理再结合已知条件可求出NF，DN的长，在直角三角形DNF中，再利用勾股定理即可求出DF的长．【解答】解：延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，∴GF∥BE，EF∥AM，∴四边形AMFE是平行四边形，∴AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，∵∠A＝60°，∴∠DAH＝30°，∴MN＝DM＝，∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，在Rt△DNF中，DF＝＝，故答案为：．10．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝，则线段EF的长为或．【分析】作FH⊥AB于点H，利用已知得出△ADF∽△FCB，进而得出＝，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案．【解答】解：作FH⊥AB于点H，连接EF．∵∠AFB＝90°，∴∠AFD+∠BFC＝90°，∵∠AMD+∠DAM＝90°，∴∠DAF＝∠BFC又∵∠D＝∠C，∴△ADF∽△FCB，∴＝，即＝，∴FC＝2或3．∵点F，E分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，∴AE＝FC，∴当FC＝2时，AE＝2，EH＝1，∴EF2＝FH2+EH2＝（）2+12＝7，∴EF＝．当FC＝3时，此时点E与点H重合，即EF＝BC＝，综上，EF＝或．故答案为：或．11．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°（1）如图甲，若EA＝EF，则EF＝；（2）如图乙，若CE＝CF，则EF＝7﹣4．．【分析】（1）已知EA＝EF，∠EAF＝45°，由三角形的内角和得∠AEF＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，又因∠BAE+∠AEB＝90°，等量代换得∠BAE＝∠CEF，从而证明△ABE≌△ECF；EF的长可由勾股定理求出．（2）作辅助线FM和EN，已知△CEF，构建两个等腰△DEM，△BEN可求出线段DF，AM，FC，BE和AN的长；证明△ANE∽△FMA，再由两个三角形相似的性质求出相似比，解出x 的值，由勾股定理（或三角函数）求出EF的长．【解答】解：（1）如图甲所示：∵EA＝EF，∴△AEF是等腰直角形，∠EAF＝∠EFA，∵∠EAF＝45°，∴∠EFA＝45°，又∵在△AEF中，∠EAF+∠EFA+∠AEF＝180°，∴∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，又∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝180°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，又∵△ABE中，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，在△ABE和△ECF中，∴△ABE≌△ECF（AAS）∴AB＝EC，BE＝CF，又∵AB＝3，BC＝4，∴EC＝3，CF＝1，在Rt△CEF中，由勾股定理得：＝＝故答案为．（2）如图乙所示：作DM＝DF，BN＝BE，分别交AD，AB于点M和点N，设MD＝x，∵四边形ABCDA是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠BNE＝45°，∠DMF＝90°，又∵∠BNE+∠ENA＝180°，∠FMD+∠FMA＝180°，∴∠ENA＝135°，∠FMA＝135°，又∵∠EAF＝45°，∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠FAD＝90°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∵∠BAE+∠NEA＝45°，在△ANE和△FMA中，∴△ANE∽△FMA（AA）∴；又∵MD＝x，∴DF＝x，∵CE＝CF，AB＝3，BC＝4，∴FC＝EC＝3﹣x，BE＝AB＝x+1，AN＝2﹣x，∴，解得：2﹣4，或﹣2﹣4（舍去），∴FC＝3﹣（）＝7﹣2，∴EF＝FC＝（7﹣2）＝7﹣4．故答案为7﹣4．12．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，直线EF经过对角线BD的中点O分别交边AD、BC与点E、F，点G、H分别是OB、OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长或．【分析】根据矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，可求出对角线的长，再由点G、H分别是OB、OD的中点，可得GH＝BD，从而求出GH的长，若四边形EGFH为矩形时，EF＝GH，可求EF的长，通过作辅助线，构造直角三角形，由勾股定理可求出MF的长，最后通过设未知数，列方程求出BF的长．【解答】解：如图：过点E作EM⊥BC，垂直为M，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，∴AB＝EM＝CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝90°，OB＝OD，在Rt△ABD中，BD＝，又∵点G、H分别是OB、OD的中点，∴GH＝BD＝，当四边形EGFH为矩形时，GH＝EF＝，在Rt△EMF中，FM＝＝，易证△BOF≌△DOE（AAS），∴BF＝DE，∴AE＝FC，设BF＝x，则FC＝6﹣x，由题意得：x﹣（6﹣x）＝，或（6﹣x）﹣x＝，∴x＝或x＝，故答案为：或．13．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．【分析】根据矩形的性质得出CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，求出AP＝8﹣t，DE＝3，由勾股定理求出AE＝5，PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，分为两种情况：①当AE＝PE时，②当AP ＝PE时，求出即可．【解答】解：根据题意得：BP＝t，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，∴AP＝8﹣t，DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝3，由勾股定理得：AE＝＝5，过E作EF⊥AB于F，则∠EFA＝∠EFB＝90°，∵∠C＝∠B＝90°，∴四边形BCEF是矩形，∴BF＝CE＝5，BC＝EF＝4，∴PF＝5﹣t，由勾股定理得：PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，①当AE＝PE时，52＝42+（5﹣t）2，解得：t＝2，t＝8，∵t＝8不符合题意，舍去；②当AP＝PE时，（8﹣t）2＝42+（5﹣t）2，解得：t＝，即当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，故答案为：2或．三．解答题（共9小题）14．四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，求DH的长．【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝10，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD＝DH•AB，再解关于DH的方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝10，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S菱形ABCD＝DH•AB，∴DH•10＝×12×16，∴DH＝．15．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．【分析】（1）在RT△BCP中利用勾股定理求出PB，在RT△ABP中利用勾股定理求出PA 即可．（2）如图2中，延长PM交BC于E．先证明PD＝BE，再利用三角形中位线定理证明MN ＝BE，ON＝PD即可．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD∵PD＝4，∴PC＝6，∵PB⊥CD，∴PB⊥AB，∴∠CPB＝∠ABP＝90°，在RT△PCB中，∵∠CPB＝90°PC＝6，BC＝10，∴PB＝＝＝8，在RT△ABP中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8，∴PA＝＝＝2．（2）△OMN是等腰三角形．理由：如图2中，延长PM交BC于E．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CB＝CD，∵PE⊥AC，∴PE∥BD，∴＝，∴CP＝CE，∴PD＝BE，∵CP＝CE，CM⊥PE，∴PM＝ME，∵PN＝NB，∴MN＝BE，∵BO＝OD，BN＝NP，∴ON＝PD，∴ON＝MN，∴△OMN是等腰三角形．16．菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC＝8，BD＝6，求AB边上的高．【分析】首先利用菱形的性质得出AB的长，再利用菱形面积求法得出DE的长．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，∠AOB＝90°，∴AB＝5，∴×6×8＝DE×AB，解得：DE＝，即AB边上的高为：．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．【分析】（1）根据已知条件证明AE＝CF，从而根据SAS可证明两三角形全等；（2）先证明DE＝BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝DE，∵DF∥BE，DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC＝90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD＝OC，求出∠CDO，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．19．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴EF＝DE，∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝S；正方形ABCD【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．【分析】【感知】如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到mb＝AG•a，于是得到结论；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到＝，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：【感知】如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，在△AOG与△BOE中，，∴△AOG≌△BOE，∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形ABCD；故答案为：；【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OM＝m b＝mb，S△AOG＝AG•ON＝AG•a＝AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，∴3×2OK＝5×2OQ，∴＝，∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．21．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、EF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BC、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF ＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．【分析】（1）证△AEO≌△CFO，推出OE＝OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；（2）设AF＝CF＝a，根据勾股定理得出关于a的方程，求出即可；（3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P 在AB上，根据平行四边形的性质求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，只有当Q在DE上时，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝．。
九年级数学上册第一章1特殊的平行四边形培优过关测试卷(含答案)
九上数学第一章特殊的平行四边形培优过关测试卷一班级姓名一．选择题1．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是( )A．AB＝CD B．AB＝BC C．AD＝BC D．AC＝BD2．下列命题中正确的是( )A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．下列关于矩形的说法中正确的是( )A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分 D．矩形的对角线相等且互相平分4.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（）．A.1个B.2个C.3个D.4个5．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为( ) A．20 B．16 C．12 D．106．如图1，在菱形ABCD中，不一定成立的是( )A．四边形ABCD是平行四边形 B．AC⊥BDC．△ABC是等边三角形 D．∠CAB＝∠CAD7．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC图18．在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是( ) A．10 B．12 C．15 D．209．如图1，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的是( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④二.填空题10.在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形。
你添加的条件是 .(写出一种即可)11.菱形的两条对角线长分别是6 cm和8 cm,则菱形的面是 .12.如图1，四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=6cm，菱形ABCD的面积为_______．13.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2㎝，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为 cm．（13题）（14题）（15题）14.如图，菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则S菱形ABCD= cm2．15.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4cm,则矩形对角线的长为.16.在ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ且∠OBC=∠OCB.ABCD是；理由：。
北师大版九年级上册数学同步培优第一章特殊平行四边形 菱形及其性质
证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD.∵DE⊥BD，∴DE∥AC. ∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，AC⊥BD.
∴AD＝CD＝ AO2＋DO2＝ 42＋32＝5.
北师 九年级上
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形及其性质
习题链接
提示：点击 进入习题
1 见习题 2 B 6 见习题 7 B 11 见习题 12 D
答案显示
3 见习题 4 C
5C
8C
9 见习题 10 B
13 见习题 14 见习题 15 见习题
新知对点练
1．有一组__邻__边____相等的平行四边形叫做菱形，因此有：平 行四边形＋_邻__边__相__等____⇔菱形．
∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC.
∵∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°，
∴∠CBE＝∠CDF.
∴△CDF≌△CBE(SAS)．∴CE＝CF.
返回
12．【2021·兰州】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交
于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，
∠BCE＝15°，ED＝4＋4 3 ，则AD＝( )
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【答案】C
返回
6．菱形的对角线__互__相__平__分__且__垂__直____，且每条对角线 _平__分__一__组__对__角___．菱形的面积等于两条对角线长的乘积 的_一__半___；对角线所在的直线是菱形的_对__称__轴___．
第一章 特殊平行四边形 单元测试(含答案)
第一章特殊平行四边形一、选择题1. 下列四边形对角线相等但不一定垂直的是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2. 平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是( )A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD3. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC=4，BD=6，则菱形ABCD的周长为( )A．16B．24C．413D．8134. 如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为( )D．34 A．5B．4C．3425. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为( )A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm6. 如图，点P是矩形ABCD的边上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A．4.8B．5C．6D．7.27. 如图，点E是正方形ABCD中CD上的一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90∘到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为16，DE=1，则EF的长是( )A．4B．5C．217D．348. 如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G，若AB=4，BC=3，则线段EG的长度是( )A．32B．158C．52D．39. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别为边AD，BC上的点，且EF=5，点G，H 分别边AB，CD上的点，连接GH交EF于点P．若∠EPH=45∘，则线段GH的长为( )A．5B．2103C．253D．710. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为( )A．732B．4C．5D．92二、填空题11. 菱形的对角线长为6和8，则菱形的高为．12. 如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件，就能保证四边形EFGH是矩形．13. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠BDC=34∘，则∠ECA=．14. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为．15. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，折叠矩形ABCD，使点B与点D重合，则BF的长为．16. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60∘，点E是边AB的中点，点P在对角线AC上移动．则PB+PE的最小值是．三、解答题17. 已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．(1) 求证：四边形AODE是矩形．(2) 若AB=6，∠BCD=120∘，求四边形AODE的面积．18. 如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE．(1) 若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长．(2) 求证：EF+EG=2CE．19. 在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．EF过点O且与ABCD分别相交于点E，F．(1) 如图①，求证：OE=OF；(2) 如图②，若EF⊥DB，垂足为O，求证：四边形BEDF是菱形．20. 回答下列问题．(1) 提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH．(2) 类比探究：如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG 于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．21. 如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，点G，H在对角线AC上，EF与AC相交于点O，AG=CH，BE=DF．(1) 求证：四边形EGFH是平行四边形．(2) 当EG=EH时，连接AF．①求证：AF=FC．②若DC=8，AD=4，求AE的长．答案一、选择题1. B2. B3. C4. D5. D6. A7. D8. B9. B10. D二、填空题11. 24512. AC⊥BD13. 2214. 615. 25816. 3三、解答题17.(1) 因为DE∥AC，AE∥BD，所以四边形AODE是平行四边形，因为在菱形ABCD中，AC⊥BD，所以∠AOD=90∘，所以四边形AODE是矩形．(2) 因为∠BCD=120∘，AB∥CD，所以∠ABC=180∘−120∘=60∘，因为AB=BC，所以△ABC是等边三角形，所以OA=12×6=3，OB=32×6=33，因为四边形ABCD是菱形，所以OD=OB=33，所以四边形AODE的面积=OA⋅OD=3×33=93．18.(1) ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG=∠DCB=∠DCF=90∘，BC=DC，∵BE⊥DF，∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F，∴∠CBG=∠CDF，在△CBG和△CDF中，{∠BCG=∠DCF=90∘,BC=CD,∠CBG=∠CDF,∴△CBG≌△CDF(ASA)，∴BG=DF=4，∴在Rt△BCG中，CG2+BC2=BG2，∴CG=42−32=7．(2) 过点C作CM⊥CE交BE于点M，∵△CBG≌△CDF，∴CG=CF，∠F=∠CGB，∵∠MCG+∠DCE=∠ECF+∠DCE=90∘，∴∠MCG=∠ECF，在 △MCG 和 △ECF 中，{∠MCG =∠ECF,CG =CF,∠F =∠CGB,∴△MCG ≌△ECF (ASA)，∴MG =EF ，CM =CE ，∴△CME 是等腰直角三角形，∴ME =2CE ，又 ∵ME =MG +EG =EF +EG ， ∴EF +EG =2CE ．19.(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB =OD ，AB ∥CD ，∴∠EBO =∠FDO ，在 △OBE 与 △ODF 中，{∠EBO =∠FDO,OB =OD,∠BOE =∠DOF, ∴△OBE ≌△ODF (ASA)，∴OE =OF ；(2) ∵OB =OD ，OE =OF ， ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，∴ 四边形 BEDF 是菱形．20.(1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB =DA ，∠ABE =90∘=∠DAH ， ∴∠HAO +∠OAD =90∘，∵AE⊥DH，∴∠ADO+∠OAD=90∘，∴∠HAO=∠ADO，在△ABE和△DAH中，{∠BAE=∠HDA,AB=AD,∠B=∠HAD,∴△ABE≌△DAH(ASA)，∴AE=DH．(2) EF=GH，理由：将PE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH，∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据（1）的结论得AM=DN，∴EF=GH．21.(1) ∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠FCH=∠EAG，又∵CD=AB，BE=DF，∴CF=AE，且CH=AG，∠FCH=∠EAG，∴△AEG≌△CFH(SAS)，∴GE=FH，∠CHF=∠AGE，∴∠FHG=∠EGH，∴FH∥GE，∴四边形EGFH是平行四边形．(2) ①连接AF，∵EG=EH，四边形EGFH是平行四边形，∴四边形GFHE为菱形，∴EF垂直平分GH，又∵AG=CH，∴EF垂直平分AC，∴AF=CF=AE．②设AE=x，则FC=AF=x，DF=8−x，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，∴42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴AE=5．。
北师大版九年级上学期数学《第一章.特殊的平行四边形》培优单元测试题
2019-2020 学年.特殊的平行四边形》状元培优单元测试题（北师大版附答案）一、选择题1、矩形各内角的平分线围成一个 （）3、下列命题中正确的是 （ ）4、如图，正方形 ABCD 的边长为8,在各边上顺次截取 AE = BF = CG= DH= 5，则四边形 EFGH 勺面积是（）6、如图，在？ABC ［中，对角线 AC BD 相交于点O,添加下列条件不能判定 ?ABCD 是菱形的只有（ ）九年级上学期数学《第一章A •平行四边形B .正方形C •矩形 D.菱形2、如图，菱形 ABCD 中，/ B = 60°, AB = 4,则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（A . 14B. 15 C . 16 D . 17 A •对角线相等的四边形是矩形B•对角线互相垂直的四边形是矩形C •对角线相等的平行四边形是矩形D •对角线互相垂直的平行四边形是矩形A • 30B • 34C •36D • 405、已知：如图，点 P 是正方形 ABCD 勺对角线 AC 上的一个动点（A 、C 除外），作PEL AB 于点E ,作PF 丄BC 于点F ，y 与x 之间的函数关系的是（ABCO 勺边OA 在 x 轴上，边 OC 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且 AD 交y 轴于点E .那么点D 的坐标为（）6和8,点P 是对角统AC 上的一个动点，点M N 分别是边AB BC 的中点，则PM+PN 勺最小值是（ ）12、如图，△ ABC 是等腰三角形，点 D 是底边BC 上异于BC 中点的一个点，Z ADE=Z DAC DE=AC 运用这个图（不添 加辅助线）A . Ad BD B. AB= BC C. AC= BD D . Z 1 =Z 27、如图，在矩形 ABCD 中, AB=6, BC=8,若将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕 EF 的长为（B.-,C. 5D. 68、若一个菱形的两条对角线长分别是 5cm 和10cm,则与该菱形面积相等的正方形的边长是（A. 6cmB. 5cm D. 7.5cm 9、下列命题中，不正确的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分C.菱形的对角线互相垂直且平分B.矩形的对角线互相垂直且平分D.正方形的对角线相等且互相垂直平分10、如图•在直角坐标系中，矩形 B.8 C.5 D.4C. cm11、如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A . —组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B .有一组对边平行的四边形是梯形 C. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D •对角线相等的平行四边形是矩形二、填空题13、 矩形的一边长是 3.6 cm ,两条对角线的夹角为 600,则矩形对角线长是 _______________ .14、 如图，O 为矩形ABCD 寸角线ACBD 的交点，AB= 6,MN 是直线BC h 的动点，且MN k 2，则OMON 勺最小值是 ______15、如图，一张矩形纸片的长 AD= 6,宽AB= 1,点E 在边AD 上，点F 在边BC 上,将四边形 ABFE 沿直线EF 翻折后, 点B 落在边AD 的三等分点G 处，贝U EG 的长为 _________________16、如图，矩形 ABCD 中, AB= 4, AD- 6,点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接 APE 沿PE 折叠得到△ FPE 连接CE CF,当厶ECF 为直角三角形时， AP 的长为 ______________ .17、如图，在等边三角形 ABC 中, AB= 2"'cm 点M为边BC 的中点，点N 为边AB 上的任意一点（不与点A,B 重合），若点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形 ABC 勺边上，则 BN 的长为 ______________ c m1）CA f18、如图，？ABCD的对角线AC, BD交于点0,点E是AD的中点，△ BCD的周长为18,则厶DEO的周长是三、简答题19、如图，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3 : 4,周长为40cm求菱形的高及面积.20、如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 , D为AB 的中点，AE// CD CE// AB,连接DE交AC于点O.(1)证明：四边形ADCE为菱形.(2)BC=6, AB=10,求菱形ADCE的面积.21、已知E、F分别是平行四边形ABCD勺边AB CD的中点，BD是对角线，AG/ BD交CB的延长线于G.(1)试说明△ ADE^A CBF(2 )当四边形AGB虎矩形时，请你确定四边形BEDF勺形状并说明；(3 )当四边形AGB［是矩形时，四边形AGC［是等腰梯形吗？直接说岀结论.22、如图，在厶ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F ,且AF=BD 连结BF o (1) 求证：BD=CD(2) 如果AB=AC 试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论。
九年级数学上册第一章3特殊的平行四边形培优过关测试卷(含答案)
九上数学第一章特殊的平行四边形培优过关测试卷三一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列说法中，错误的是（ ）A 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B 四个角都相等的四边形是矩形C ． 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D.邻边相等的四边形是正方形 2. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 矩形3．平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)， C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形 4.如图，把菱形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到菱形A ′B ′C ′ D ′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD 的面积的21，若AC=2则菱形移动的距离AA ′是（ ）A.1B.1-2C.22D.21(第4题) (第5题)（第6题）5.如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( ) A. 5 B.136 C ．1 D.566.如图，菱形纸片ABCD 中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ． 则∠DEC 的大小为（ ）A ．78°B ．75°C ．60°D ．45°7.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME=MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ ） A 、 -1 B 、3- C 、 +1 D 、 -1（第7题） （第8题) （第9题8．若图4，矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是AB 中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 折叠得到△F EB '，连接D B '，则D B '的最小值是（ ） A.2-102 B.2-132 C.4 D.69．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE=AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF=2BE ；②PF=2PE ；③FQ=4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D.①④10．如图，分别以直角△ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G ，EF 与AC 交于点H ，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF ⊥AC ； ②四边形ADFE 为菱形； ③AD=4AG ； ④FH=14BD其中正确的结论有（ ）．A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④M GF ED C BA（10题） (第12题) （第15题）二、填空题（每题3分，共27分） 11．在矩形ABCD 中，∠AOB=60°，AB=5，AC= ,矩形ABCD 的周长= ，面积= 。
北师大版九年级数学上学期期末培优训练第一章：特殊的平行四边形(含答案)
九年级数学上学期期末培优训练：特殊的平行四边形1．在菱形ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，过点 O 直线 EF 分别交 DA、 BC 的延长线于点 E、 F，连接 BE、 DF ．（1）求证：△ AOE≌△ COF；（2）若 EF ＝BD， BE＝ 8， BF＝ 16，求菱形 ABCD 的面积；（ 3）若 EF ⊥AB，垂足为G，OB＝ 3AG，求的值．2．菱形 ABCD 中， F 是对角线 AC 的中点，过点 A 作 AE ⊥BC 垂足为 E，G 为线段 AB 上一点，连接GF 并延长交直线BC 于点 H．（ 1）当∠ CAE＝ 30°时，且CE ＝，求菱形的面积；（ 2）当∠ BGF +∠BCF ＝ 180°， AE＝ BE 时，求证： BF ＝（+1） GF ．3．如图，菱形ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O，过点 D 作 DE ∥AC 且 DE ＝ OC，连接CE、 OE，连接 AE 交 OD 于点 F．（1）求证： OE＝ CD；（2）若菱形 ABCD 的边长为 6，∠ ABC ＝ 60°，求 AE 的长．4．如图 1，在矩形ABCD 中， AC 为对角线，延长 CD 至点 E 使 CE＝ CA，连接 AE． F 为 AB 上的一点，且 BF＝ DE ，连接 FC ．（ 1 ）若 DE ＝ 1， CF＝，求 CD 的长；（ 2 ）如图 2，点 G 为线段 AE 的中点，连接BG 交 AC 于 H，若∠ BHC+∠ ABG＝ 60°，求证： AF +CE ＝ AC．5．如图，已知正方形ABCD 的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ ACD交BD 于点 E，（1）求 DE 的长；（2 ）过点 E 作 EF⊥ CE，交 AB 于点 F，求 BF 的长；（3）过点 E 作 EG⊥ CE，交 CD 于点 G，求 DG 的长．6．如图，在正方形ABCD 中，点 E 在射线 AB 上，点 F 在射线 AD 上．（1）若 CE⊥ CF，求证： CE＝ CF ；（2）若 CE＝ CF，则 CE⊥ CF 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请画图说明．7．【感知】如图① ，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝ DG ．【拓展】如图② ，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠ F．求证： BE＝DG ．【应用】如图③ ，四边形ABCD 、 CEFG 均为菱形，点 E 在边 AD 上，点 G 在 AD 延长线上．若AE＝ 2ED，∠ A＝∠ F，△ EBC 的面积为8，则菱形CEFG 的面积为．8．已知，正方形ABCD 中，∠ MAN ＝45°，∠ MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、 DC （或它们的延长线）于点M、 N，AH⊥ MN 于点 H ．（ 1）如图①，当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM ＝DN 时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关系：；（2）如图②，当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM ≠DN 时，（ 1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠ MAN ＝ 45°，AH⊥ MN 于点 H，且 MH ＝ 2，NH＝3，求 AH 的长．（可利用（ 2）得到的结论）9．如图，在长方形OABC 中， O 为平面直角坐标系的原点，点 A 的坐标为（ a， 0），点 C 的坐标为（ 0， b）且 a、b 满足+|b﹣ 6|＝0，点 B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着O﹣ C﹣ B﹣A﹣ O 的线路移动．（Ⅰ）点 B 的坐标为；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为；（Ⅱ）在移动过程中，当点P 到 x 轴的距离为 4 个单位长度时，求点P 移动的时间；（Ⅲ）在移动过程中，当△OBP 的面积是10 时，求点P 移动的时间．10．如图，在正方形ABCD 中， E 是边 AB 上的一动点（不与点A、 B 重合），连接 DE，点A 关于直线 DE 的对称点为 F ，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接 DG ，过点 E 作 EH ⊥ DE交 DG 的延长线于点 H，连接 BH ．（1）求证： GF ＝ GC；（2）用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明．11．如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝ 90°，AC＞ BC，分别以 AB，BC，CA 为一边向△ ABC 外作正方形 ABDE 、 BCMN ， CAFG ，连接 EF 、GM 、 ND ，设△ AEF 、△ BND、△ CGM的面积分别为S1、S2、 S3．（1）猜想 S1、 S2、 S3的大小关系．（2）请对（ 1）的猜想，任选一个关系进行证明；（3）若将图 1 中的 Rt △ ABC 改为图 2 中的任意△ ABC ，若 S ABC＝ 5，求出 S1+S2+S3的值；（ 4）若将图 2 中的任意△ ABC 改为任意凸四边形ABCD ，若 S△AEG+S△CNK+S△IBH +S△DFM ＝α，则四边形 ABCD 的面积为（直接用含α的代数式表示结果）12．（ 1）如图 1，已知 DE∥ BC，∠ D：∠ DBC ＝ 2：1，∠ 1＝∠ 2．求∠ DEB 的度数．（ 2）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图 2 所示的图形，其中，ABCD 是长方形（ AD ∥ CB ，F 是 DA 延长线上一点，G 是 CF 上一点，并且∠ACG ＝∠ AGC，∠ GAF ＝∠ F，你能证明∠ECB＝∠ ACB吗？13．如图，已知正方形ABCD ，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 延长线上， BE＝ DF （1）求证： AE＝ AF；（2）若 BD 与 EF 交于点 M，连接 AM，试判断 AM 与 EF 的数量与位置关系，并说明理由．14．（ 1）如图①，已知正方形ABCD 的边长为 4，点 M 和 N 分别是边 BC， CD 上两点，且BM ＝ CN，连 AM 和 BN，交于点 P．猜想 AM 与 BN 的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形 ABCD 的边长为 4．点 M 和 N 分别从点 B、 C 同时出发，以相同的速度沿 BC 、CD 方向向终点 C 和 D 运动，连接 AM 和 BN，交于点 P．求△ APB周长的最大值．15．已知，在△ABC 中， D ，E， F 分别是 AB，AC ，BC 的中点，连接DE， DF ．（1）如图 1，若 AC ＝BC，求证：四边形 DECF 为菱形；（2）如图 2，过 C 作 CG∥ AB 交 DE 延长线于点 G，连接 EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与△ ADG 面积相等的平行四边形．16．如图，在正方形ABCD 中，点 P 为 AD 延长线上一点，连接AC、 CP， F 为 AB 边上一点，满足CF⊥ CP，过点 B 作 BM ⊥ CF，分别交AC、 CF 于点 M、 N（ 1）若 AC＝AP， AC＝ 4，求△ ACP的面积；（2）若 BC＝ MC，证明： CP﹣ BM＝ 2FN．参考答案1．证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA ＝ OC ，AD ∥ BC ，∴∠ EAO ＝∠ FCO ，又∠ AOE ＝∠ COF∴△ AOE ≌△ COF （ AAS ）；（ 2）由△ AOE ≌△ COF ，得 OE ＝ OF ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OB ＝ OD∴四边形 EBFD 是平行四边形，∵ EF ＝ BD ，∴ ? EBFE 是矩形，∴∠ EBF ＝ 90°，设菱形 ABCD 的边长为x ，∴ AB ＝ AD ＝ x ，∴ AE ＝ 16﹣ x ，在 Rt △AEB 中，根据勾股定理，得AB 2＝ AE 2+BE 2，即 x 2＝（ 16﹣ x ） 2+82 ，解得 x ＝ 10，∴ S 菱形＝BC ?BE ＝10× 8＝ 80．答：菱形 ABCD 的面积为 80．（ 3）∵ EF ⊥AB ，垂足为 G ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA ⊥ OB ∴∠ AOG +∠ BOG ＝90°，∵ OG ⊥AB ，∴∠ AOG+∠ OAG ＝ 90°，∴∠ BOG ＝∠ OAG ，∠ AGO ＝∠ BGO ＝90°， ∴△ OBG ∽△ AOG∴，∴ OG 2＝AG?BG∵在 Rt △ GOB 中，根据勾股定理，得22 2∴ OB 2﹣ BG 2＝AG?BG ，∵ OB ＝ 3AG ，∴ BG 2+AG?BG ﹣90AG 2＝ 0∴（ BG ﹣9AG ）（ BG+10AG ）＝ 0BG ＝ 9AG ， BG ＝﹣ 10AG （不符合题意，舍去） ，AB ＝ BG+AG ＝ 10AG ，在 Rt △AOB 中，根据勾股定理，得OA 2＝ AB 2﹣ OB 2＝ 100AG 2﹣ 90AG 2＝ 10A G2∴ OA ＝AG ∴＝答：的值为．2．（ 1）解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝ BC ，∵ AE ⊥ BC ，∠ EAC ＝ 30°，∴∠ ACE ＝ 60°， AC ＝2EC ＝ 2，∴△ ABC ，△ ACD 都是等边三角形，∴S 菱形ABCD ＝ 2?S △ ＝ 2× ×（ 2 ）2＝6 ． ABC（ 2）如图，连接 GC ，作 GM ⊥ GF 交 BF 于 M ．∵四边形 ABCD 是菱形，∴ BA ＝ BC ，∵ AF ＝ FC ，∴ BF ⊥ AC ，∴∠ BFA ＝90°，∵∠ BGF+∠ BCF ＝ 180°，∠ AGF +∠ BGF ＝ 180°，∴∠ AGF ＝∠ ACB ，∵∠ GAF ＝∠ CAB∴＝，∴＝，∵∠ CAG＝∠ BAF，∴△ CAG∽△ BAF ，∴∠ CGA＝∠ BFA＝90°，∵AE⊥ BE， AE＝ BE，∴∠ ABE＝45°，∴∠ GBC＝∠ GCB＝45°，∴ GB＝ GC，∵∠ BGC＝∠ MGF ，∴∠ BGM ＝∠ CGF ，∵∠ GBM ＝∠ GCF ，∴△ BGM ≌△ CGF ，∴BM＝CF，GM ＝GF，FM ＝GF，∵∠ AGC＝ 90°AF＝FC ，∴GF＝ FC＝BM ，∴ BF＝ BM +FM ＝ GF+GF ＝（+1） GF ．3．（ 1）证明：∵四边形ABCD 是菱形， DE ＝AC，∴AC⊥ BD，DE ＝OC．∵ DE∥ AC，∴四边形 OCED 是平行四边形，∵ AC⊥ BD，四边形 OCED 是平行四边形，∴四边形 OCED 是矩形，∴OE＝ CD．（ 2）解：∵菱形ABCD 的边长为6，∴AB＝ BC＝ CD ＝AD＝ 6， BD ⊥AC，AO＝ CO＝ AC．∵∠ ABC＝ 60°， AB＝BC ，∴△ ABC 是等边三角形，∴ AC ＝ AB ＝ 6，∵△ AOD 中 BD ⊥AC ，AD ＝ 6， AO ＝3，∴OD ＝＝3 ，∵四边形 OCED 是矩形，∴ CE ＝ OD ＝3 ，∵在 Rt △ ACE 中， AC ＝6， CE ＝ 3，∴AE ＝＝＝3 ．4．解：（ 1）设 CD ＝ x ．∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ ADC ＝∠ B ＝ 90°， AD ＝ BC ，在 Rt △BCF 中， BC ＝＝ ，∵ AC ＝ CE ＝ x+1，在 Rt △ADC 中，∵ AC 2＝ AD 2+ CD 2，∴（ x+1） 2＝ x 2+（ ） 2，∴ x ＝ 3，∴ CD ＝3．（ 2）如图 2 中，连接 CG ．作 FJ ⊥AC 于 J ．∵ CA ＝ CE ， AG ＝EG ，∴ CG ⊥ AE ，∠ ACG ＝∠ ECG ，∵∠ AGC＝∠ ABC＝ 90°，∴∠ AGC+∠ ABC＝180°，∴A、 G、C、 B 四点共圆，∴∠ ABG＝∠ ACG，∴∠ ACG＝∠ ECG＝∠ ABG ，设∠ ACG＝∠ ECG＝∠ ABG＝x，则∠ BAH ＝∠ ACD ＝2x，∠ BHC＝∠ BAH+∠ ABG＝3x，∵∠ BHC+∠ ABG＝ 60°，∴4x＝60°，∴x＝ 15°，∴∠ FAJ＝ 30°，∠ DAC＝∠ ACB＝ 60°，∠ CAE＝ 75°，∴∠ EAD＝ 15°，∵DE＝ BF，∠ ADE ＝∠ CBF， AD ＝BC，∴△ ADE≌△ CBF ，∴∠ BCF＝∠ DAE ＝15°，∴∠ FCJ＝ 45°，∴ CJ＝ FJ ，设 CJ＝ FJ＝ a，则 AJ＝a， AF＝ 2a， AC＝ a+a，∴＝＝﹣1，∴AF＝（﹣1）AC，∴ AF＝AC﹣ AC，∵ AC＝ CE，∴AF+CE＝ AC．5．解：（ 1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ ABC＝∠ ADC＝ 90°，∠DBC＝∠ BCA＝∠ ACD ＝45°，∵ CE 平分∠ DCA ，∴∠ ACE＝∠ DCE＝∠ ACD＝22.5°，∴∠ BCE＝∠ BCA+∠ ACE ＝ 45°+22.5 °＝ 67.5°，∵∠ DBC＝ 45°，∴∠ BEC＝ 180°﹣ 67.5°﹣ 45°＝ 67.5°＝∠ BCE，∴BE＝ BC＝，在 Rt△BCD 中，由勾股定理得： BD ＝＝ 2，∴DE＝ BD﹣BE ＝2﹣；（ 2）∵ FE⊥CE，∴∠ CEF＝ 90°，∴∠ FEB ＝∠ CEF ﹣∠ CEB＝ 90°﹣ 67.5°＝ 22.5°＝∠ DCE ，∵∠ FBE＝∠ CDE ＝45°， BE＝BC＝CD ，∴△ FEB ≌△ ECD ，∴BF＝DE＝2﹣；（3）延长 GE 交 AB 于 F，由（ 2）知： DE ＝ BF＝ 2﹣，由（ 1）知： BE＝ BC＝，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥DC，∴△ DGE∽△ BFE ，∴＝，∴＝，解得： DG＝3﹣4．6．（ 1）证明：∵四边形ABCD 是正方形∴CB＝ CD，∠ ABC ＝∠ BCD ＝∠ D ＝90°∵ CE⊥ CF∴∠ ECF＝ 90°∴∠ BCE＝∠ DCF ＝ 90°﹣∠ BCF在△ BCE 和△ DCF 中，，∴△ BCE≌△ DCF ，∴CE＝ CF．（ 2）若 CE＝ CF，则 CE⊥ CF 不一定成立当点 E 在线段 AB 上，且点 F 在 AD 延长线上或当点 E 在 AB 延长线上，且点 F 在线段AD 上时 CE⊥CF 成立，证明如下：∵四边形ABCD 是正方形∴CB＝ CD，∠ ABC ＝∠ BCD ＝∠ D ＝90°∵ CE＝ CF在 Rt△BCE 和 Rt△ DCF 中，，∴Rt△BCE≌ Rt △ DCF（ HL ），∴∠ ECB＝∠ FCD ，∴∠ ECB+∠ BCF ＝ 90°，∴CE⊥ CF；当点 E 在线段AB 上，且点 F 在线段 AD 上或当点 E 在线段 AB 延长线上，且点 F 在 AD 延长线上时，CE⊥ CF 不成立，如图如下：．7．解：拓展：∵四边形ABCD 、四边形 CEFG 均为菱形，∴BC＝ CD，CE＝ CG，∠ BCD＝∠ A，∠ ECG＝∠ F．∵∠ A＝∠ F，∴∠ BCD＝∠ ECG．∴∠ BCD﹣∠ ECD＝∠ ECG﹣∠ ECD，即∠ BCE＝∠ DCG ．在△ BCE 和△ DCG 中，，∴△ BCE≌△ DCG （ SAS），∴BE＝ DG ．（6 分）应用：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD∥BC，∵BE＝DG，∴S△ABE+S△CDE＝ S△BEC＝ S△CDG＝ 8，∵ AE＝ 2ED ，∴S△CDE＝× 8＝，∴S△ECG＝ S△CDE+S△CDG＝，∴S菱形 CEFG＝2S△ ECG＝．故答案为：．（9 分）8．解：（ 1）如图① AH ＝AB．（2）数量关系成立．如图②，延长 CB 至 E，使 BE＝ DN ．∵ABCD 是正方形，∴ AB＝ AD ，∠ D ＝∠ ABE ＝ 90°，在 Rt△AEB 和 Rt△ AND 中，，∴Rt△AEB≌ Rt △ AND，∴AE＝ AN，∠ EAB＝∠ NAD，∵∠ DAN+∠ BAM ＝ 45°，∴∠ EAB+∠ BAM ＝45°，∴∠ EAM＝ 45°，∴∠ EAM＝∠ NAM ＝ 45°，在△ AEM 和△ ANM 中，，∴△ AEM≌△ ANM ．∴S△AEM＝ S△ANM， EM ＝ MN ，∵AB、 AH 是△ AEM 和△ ANM 对应边上的高，∴AB＝AH．（3）如图③分别沿 AM 、 AN 翻折△ AMH 和△ ANH，得到△ ABM 和△ AND，∴ BM ＝2， DN ＝ 3，∠ B＝∠ D＝∠ BAD ＝ 90°．分别延长 BM 和 DN 交于点 C，得正方形 ABCD ，由（ 2）可知， AH ＝AB＝ BC＝ CD ＝ AD．设 AH ＝ x，则 MC ＝ x﹣ 2， NC＝ x﹣ 3，在 Rt△MCN 中，由勾股定理，得2 2 2 MN ＝ MC +NC∴52＝（ x﹣ 2）2+（ x﹣ 3）2（ 6 分）解得 x1＝6， x2＝﹣ 1．（不符合题意，舍去）∴AH＝ 6．9．解：（Ⅰ）∵ a、b 满足+ |b﹣ 6|＝ 0，∴a﹣ 4＝ 0， b﹣6＝ 0，解得 a＝ 4， b＝ 6，∴点 B 的坐标是（ 4， 6），∵点 P 从原点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着O﹣ C﹣ B﹣ A﹣O 的线路移动，∴2× 3.5＝ 7，∵OA＝ 4，OC＝ 6，∴当点 P 移动 4 秒时，在线段CB 上，离点 C 的距离是： 7﹣ 6＝ 1，即当点 P 移动 4 秒时，此时点P 在线段 CB 上，离点 C 的距离是 2 个单位长度，点P 的坐标是（ 1， 6）；故答案为（4，6），（1，6）．（Ⅱ）由题意可得，在移动过程中，当点 P 到 x 轴的距离为 4 个单位长度时，存在两种情况，第一种情况，当点P在OC上时，点P 移动的时间是：4÷2＝2 秒，第二种情况，当点 P 在 BA 上时．点 P 移动的时间是：（ 6+4+2）÷ 2＝ 6 秒，故在移动过程中，当点 P 到 x 轴的距离为 4 个单位长度时，点 P 移动的时间是 2 秒或 6 秒．（Ⅲ）如图 1 所示：∵△ OBP 的面积＝ 10，∴OP ?BC＝ 10，即× 4×OP ＝10．解得： OP＝ 5．∴此时 t ＝ 2.5s如图 2 所示；∵△ OBP 的面积＝ 10，∴PB?OC＝ 10，即× 6×PB ＝ 10．解得： BP＝．∴CP＝．∴此时 t ＝s，如图 3 所示：∵△ OBP 的面积＝ 10，∴BP?BC＝ 10，即× 4× PB＝10．解得： BP ＝5．∴此时 t ＝s如图 4 所示：∵△ OBP 的面积＝ 10，∴OP ?AB ＝10，即× 6× OP＝10．解得： OP＝．∴此时 t ＝s综上所述，满足条件的时间t 的值为 2.5s 或s 或s 或s．10．证明：（ 1）如图 1，连接 DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA＝ DC，∠ A＝∠ C＝90°，∵点A 关于直线 DE 的对称点为 F，∴△ ADE≌△ FDE ，∴∠ DFG ＝ 90°，在 Rt△DFG 和 Rt△ DCG 中，∵，∴Rt△DFG ≌ Rt△ DCG （ HL ），∴GF＝ GC；（ 2）BH ＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段 AD 上截取 AM，使 AM ＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（ 1）知：∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，∵∠ ADC＝ 90°，∴∠ 1+∠ 2+ ∠ 3+∠ 4＝90°，∴ 2∠ 2+2∠ 3＝90°，∴∠ 2+∠ 3＝ 45°，即∠ EDG＝ 45°，∵EH⊥ DE，∴∠ DEH ＝ 90°，△ DEH 是等腰直角三角形，∴∠ AED+∠ BEH ＝∠ AED +∠1＝ 90°， DE＝ EH ，∴∠ 1＝∠ BEH ，在△ DME 和△ EBH 中，∵，∴△ DME ≌△ EBH （ SAS），∴EM ＝BH，Rt△ AEM 中，∠ A＝ 90°， AM ＝AE ，∴EM ＝ AE，∴BH＝ AE；证法二：如图3，过点 H 作 HN⊥ AB 于 N，∴∠ ENH＝ 90°，由方法一可知：DE＝ EH ，∠ 1＝∠ NEH ，在△ DAE 和△ ENH 中，∵，∴△ DAE≌△ ENH（ AAS），∴AE＝ HN ，AD ＝EN，∵ AD＝ AB，∴AB＝ EN＝ AE+BE＝ BE+BN，∴AE＝ BN＝ HN ，∴△ BNH 是等腰直角三角形，∴BH＝ HN ＝ AE．11．解：（ 1）猜想： S1＝ S2＝ S3（ 2）如图 1，延长 FA，过点 E 作 EH⊥ FA 于 H由已知：∠ BAE＝∠ CAH ＝ 90°∴∠ CAB＝∠ HAE∵∠ ACB＝∠ AHE ＝90°， AE＝AB∴△ HAE≌△ CAB∴EH＝ BC∴ S△AEF＝＝＝S△ABCS1＝ S△ABC同理： S2＝ S△ABC S3＝ S△ABC∴S1＝ S2＝ S3（ 3）如图 2分别过点G 和 A 作 GQ⊥MC 于 Q，AP⊥BC 于 P 由已知：∠ GCA＝∠ QCB＝ 90°∴∠ GCQ ＝∠ ACP又∵∠ GQC ＝∠ APC＝ 90°GC＝ AC∴△ GCQ ≌△ ACP∴GQ＝AP∵S△GCM＝S△ABC＝MC ＝BC∴S△GCM＝S△ABC∴S3＝ S△ABC同理： S1＝ S△ABCS2＝ S△ABC∴S1＝ S2＝ S3＝ S△ABC∵S ABC＝ 5∴S1+S2+S3＝ 15（ 4）如图 3，连 AC由（ 3）可知， S△DFM＝ S△ADCS△IBH＝ S△ABC∴S△DFM +S△IBH＝ S△ADC+S△ABC＝S 四边形ABCD 同理： S△AEG+S△CNK＝ S 四边形ABCD∴S△AEG+S△ CNK+S△IBH +S△DFM ＝2S四边形 ABCD∵S△AEG+S△CNK+S△IBH +S△DFM＝α∴ 2S 四边形ABCD＝α∴四边形ABCD 的面积为故答案为：12．（ 1）解：如图1 中，∵ DE ∥BC，∴∠ D+∠ DBC＝ 180°，∵∠ D：∠ DBC ＝ 2： 1，∴∠ D＝ 2∠DBC ，∴2∠DBC +∠ DBC＝180°，即∠ DBC＝ 60°，∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＝∠ 2＝30°，∵ DE∥ BC，∴∠ DEB＝∠ 1＝30°．（2）解：如图 2 中，∵ AD∥CB，∴∠ FCB＝∠ F，∵∠ AGC 是△ AGF 的外角，∴∠AGC＝∠ GAF+∠ F＝ 2∠ F，又∵∠ ACG ＝∠ AGC，∠ACB＝∠ ECB +∠ACG ，＝∠ F+2∠ F＝ 3∠ F＝ 3∠ ECB，∴∠ ECB＝∠ ACB．13．（ 1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ ABE＝∠ ADC ＝∠ ADF ＝ 90°， AB＝ AD ，在△ ABE 和△ ADF 中，，∴△ ABE≌△ ADF （ SAS），∴AE＝ AF ；（ 2）AM⊥ EF， AM ＝EF，理由是：由（ 1）得：△ ABE≌△ ADF ，∴∠ FAD＝∠ EAB ，∴∠ FAE＝∠ DAB ＝90°，∴△ FAE 是直角三角形，如图，过 E 作 EN∥ CD，交 BD 于 N，∴∠ MNE ＝∠ MDF ，∠ MEN ＝∠ MFD ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ NBE＝ 45°，∴△ NBE 是等腰直角三角形，∴EN＝ BE＝ DF ，在△ MNE 和△ MDF 中，∵，∴△ MNE ≌△ MDF （ASA），∴EM ＝FM ，∵AE＝AF，∴AM ⊥EF，AM ＝ EF ．14．解：（ 1）结论： AM⊥ BN．理由：如图① 中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝ BC，∠ ABM ＝∠ BCN＝ 90°，∵BM ＝CN，∴△ ABM≌△ BCN，∴∠ BAM＝∠ CBN，∵∠ CBN+∠ ABN＝ 90°，∴∠ ABN+∠ BAM＝ 90°，∴∠ APB＝90°，∴AM ⊥BN．（ 2）如图②中，以 AB 为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠ AEB＝90°，作 EF⊥ PA 于 F，作 EG⊥ PB 于 G，连接 EP．∵∠ EFP ＝∠ FPG ＝∠ G＝90°，∴四边形EFPG 是矩形，∴∠ FEG＝∠ AEB＝ 90°，∴∠ AEF ＝∠ BEG ，∵EA＝ EB，∠ EFA＝∠ G＝90°，∴△ AEF ≌△ BEG ，∴ EF＝ EG， AF＝ BG，∴四边形EFPG 是正方形，∴PA+PB＝ PF+AF+PG﹣ BG＝ 2PF＝2EF ，∵ EF≤ AE，∴ EF 的最大值＝ AE＝ 2，∴△ APB 周长的最大值＝4+4．15．（ 1）证明：∵ D， E， F 分别是 AB， AC， BC 的中点，∴ DE∥ CF，DF ∥ EC， DE＝BC ，DF ＝AC，∴四边形DECF 是平行四边形，∵AC＝BC，∴DE＝ DF，∴四边形 DECF 是菱形．（2）∵ CG∥ EF， EG∥ CF，∴四边形 EFCG 是平行四边形，△ ADG 面积相等的平行四边形有：四边形 DECF ，四边形 DEFB ，四边形 EFCG ，四边形ADFE ．16．解：（ 1）∵ AC＝AP， AC＝ 4，∴AP＝．AD＝CD＝4∴ S△ACP＝AP× CD＝×× 4＝ 7；（2）在 CF 上截取 FN＝NG，连接 BG ，∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB＝ CB＝ CD ，∠CBF ＝∠ CDP ＝∠ BCF +∠FCD ＝90°，又∵ CF ⊥ CP，∴∠ DCP+∠ FCD ＝ 90°，∴∠ BCF＝∠ BCD，在△ BCF 和△ DCP 中，，∴△ BCF≌△ DCP，∴CF＝ CP，∵BC＝ MC， BM ⊥ CF ，∴∠ BCF＝∠ ACF ＝∠ BCA＝22.5°，∴∠ CFB＝ 67.5°，∵FC⊥ BM，FN ＝ NG∴BF＝ BG∴∠ FBG＝ 45°，∠ FBN ＝ 22.5°∴∠ CBG＝ 45°，在△ BCG 和△ BAN 中，，∴△ BCG≌△ ABM，∴BM ＝CG，∴CF﹣ CG＝FG ，∵BF＝ BG， BM⊥CF，∴ FN＝ NG，∴ CP﹣ BM＝2FN．。
北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》培优试题与简答
2019—2020学年北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》培优试题与简答一．选择题（共10小题，每小题3分共30分）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分2．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点为O ，过O 作OF AC ⊥交AD 于点F ，交BC 于点E ，则四边形AECF -定是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．-般四边形3．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，:1:3EDC EDA ∠∠=，且10AC =，则DE 的长度是( )A ．3B ．5 C．D．24．如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知5AB BC CD DA ====千米，村庄C 到公路1l 的距离为4千米，则C 到公路2l 的距离是()A ．6千米B ．5千米C ．4千米D ．3千米5．如图，菱形ABCD 的周长是20，对角线AC ，BD 相交于点O ，若6BD =，则菱形ABCD 的面积是( )A ．6B ．12C ．24D ．48第2题图 第3题图第4题图 第5题图6．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．对边分别平行B ．对角线垂直C ．对角线互相平分D ．对边分别相等7．如图，正方形ABCD 中，25DAF ∠=︒，AF 交对角线BD 于点E ，那么BEC ∠等于( )A ．45︒B ．60︒C ．70︒D ．75︒8．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是( )A ．43B ．1C ．56D ．659．下列识别图形不正确的是( )A ．有一个角是直角的平行四边形是矩形B ．有三个角是直角的四边形是矩形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形10．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是(0,0)，(2,0)，60α∠=︒，则顶点C 在第一象限的坐标是( )A ．(2,2) B． C ．(3,2) D．1二．填空题（共6小题，每小题3分共18分）11．等腰三角形纸片ABC 中，5AB AC ==，6BC =，AD 是BC 边上的高，若将ABC ∆沿AD 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则其周长为 ．12．如下图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，且CE AC =，连接AE ，则E ∠= 度．第7题图第8题图第10题图13．如图，在菱形ABCD 中，72ADC ∠=︒，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则CPB ∠= 度．14．如图，等边ABC ∆与正方形DEFG 重叠，其中D 、E 两点分别在AB 、BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC ∆的面积为 ．15．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若3AB =，则BC 的长为 ．16．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且8AC =，6BD =，过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，则点0到边AB 的距离OH = ．三．解答题（共8小题，满分72分，其中17、18每小题7分，19、20每小题8分,21、22每小题10分，23、24每小题11分）17．如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于一点O ，AE 平分BAD ∠，若15EAO ∠=︒，求B O E ∠的度数．18．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且16AC cm =，12BD cm =，求菱形ABCD 的第12题图第13题图第14题图第15题图高DH和AB的长．19．如图，ABC=．∆的两条高分别为BE、CF，M为BC的中点．求证：ME MF20．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且A C B D⊥．点M，N分别在BD、AC 上，且AO ON NC==，BM MO OD==．求证：2=．BC DN21．如图，在ABCD中，2=，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接BC ABEF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若8∠=︒，求OC的长．ABCBC=，6022．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=︒，当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形． （直接写出答案，不需要说明理由）23．如图，以锐角ABC ∆的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连接BE 、CF ．（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由．（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角．24．如图，在ABC ∆中，点O 是AC 边上的中点，过点O 的直线//MN BC ，且MN 交ACB ∠的平分线于点E ，交ACB ∠的外角平分线于点F ，点P 是BC 延长线上一点．求证：四边形AECF 是矩形．2019—2020学年北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》培优试题参考简答一．选择题（共10小题）1．C ． 2．B ． 3．D ． 4．C ． 5．C ． 6．B ． 7．C ． 8．D ．9．C ． 10．B ．二．填空题（共6小题）11． 14或16或18 ． 12． 22.5 ． 13． 72 ． 14． 2 ．15 16． 125． 三．解答题（共8小题）17．如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于一点O ，AE 平分BAD ∠，若15EAO ∠=︒，求B O E ∠的度数．【解】：ABCD 为矩形，90BAD ∴∠=︒ABCD 相交于O 点，AO CO BO DO ∴===AE 平分BAD ∠交BC 于E 点，45BAE EAD ∴∠=∠=︒15EAC ∠=︒， 060BA ∴∠=︒，AO BO =，60ABO ∴∠=︒， 180BAO ABO AOB ∠+∠+∠=︒，60AOB ∴∠=︒AOB ∴∆为等边三角形，即AB OA BO ==，又90ABC ∠=︒，45EAB ∠=︒，45BEA∴∠=︒，ABE∴∆为等腰直角三角形，BE BA∴=，BE BA=而BA BO=，BE BO∴=即OBE∆为等腰三角形9060ABC ABO∠=︒∠=︒30OBE∴∠=︒(18030)275BOE BEO∴∠=∠=-÷=︒．故BOE∠的度数75︒．18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且16AC cm=，12BD cm=，求菱形ABCD的高DH和AB的长．【解】：菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且16AC cm=，12BD cm=，8AO CO cm∴==，6DO BO cm==，90AOB∠=︒，∴在Rt AOB∆中10()AB cm=，菱形面积为：12AC BD DH AB⨯=⨯，则11612102DH⨯⨯=⨯，解得：48()5DH cm=，答：菱形ABCD的高DH为485cm，AB的长为10cm．19．如图，ABC∆的两条高分别为BE、CF，M为BC的中点．求证：ME MF=．【证明】BE 是ABC ∆的高，M 为BC 的中点，12ME BC ∴=， CF 是ABC ∆的高，M 为BC 的中点，12MF BC ∴=， ME MF ∴=．20．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且A C B D ⊥．点M ，N 分别在BD 、AC 上，且AO ON NC ==，BM MO OD ==．求证：2BC DN =．【证明】AO ON =，OD OM =，∴四边形AMND 是平行四边形，AC BD ⊥，∴平行四边形AMND 是菱形，MN DN ∴=，ON NC =，BM MO =，12MN BC ∴=， 2BC DN ∴=．21．如图，在ABCD 中，2BC AB =，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，AE ，BF 交于点O ，连接EF ，OC ．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若8BC=，60ABC∠=︒，求OC的长．【解】：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，//BC AD∴，BC AD=．E，F分别是BC，AD的中点，∴11,22BE BC AF AD==．BE AF∴=．∴四边形ABEF是平行四边形．2BC AB=，AB BE∴=．∴平行四边形ABEF是菱形．（2）解：过点O作OG BC⊥于点G．E是BC的中点，8BC=，4BE CE∴==．四边形ABEF是菱形，60ABC∠=︒，30OBE∴∠=︒，90BOE∠=︒．2OE∴=，60OEB∠=︒．1GE∴=，OG=5GC∴=．OC∴=22．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=︒，当AE = 2 cm 时，四边形CEDF 是菱形． （直接写出答案，不需要说明理由）【解】：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//CF ED ∴，FCD GCD ∴∠=∠， G 是CD 的中点，CG DG ∴=，在FCG ∆和EDG ∆中，FCG EDG CG DGCGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()CFG EDG ASA ∴∆≅∆，FG EG ∴=，∴四边形CEDF 是平行四边形；（2）解：四边形ABCD 是平行四边形，5AD BC cm ∴==，3CD AB cm ==，60ADC B ∠=∠=︒，当DE CE =时，四边形CEDF 是菱形，∴当CED ∆是等边三角形时，四边形CEDF 是菱形，3DE CD cm ∴==，2AE AD DE cm ∴=-=，即当2AE cm =时，四边形CEDF 是菱形．故答案为：2．23．如图，以锐角ABC ∆的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连接BE 、CF ．（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由．（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角．【解】：（1）BE和CF垂直且相等．理由：先AB和CF的交点为O，如下图所示：在正方形ABGF，=，AF AB∠=︒，FAB90又在正方形ACDE，=，AE AC∠=︒，EAC90∴∠=∠=︒，FAB EAC90∠=∠+∠，FAC FAB BAC∠=∠+∠，EAB EAC BAC∴∠=∠，FAC EABFAC EAB∴∆≅∆，∴=，且AFC ABE∠=∠，BE CF又AOF BOH∠=∠，故在AFO∆和BHO∠=∠=︒，FAO BHO∆中，有90∴又垂直于CF；BE（2）由（1）知，FAC BAE∆≅∆，故FAC∆可以通过旋转而得到彼此，∆和BAE其旋转中心为点A，旋转角为直角．24．如图，在ABC ∆中，点O 是AC 边上的中点，过点O 的直线//MN BC ，且MN 交ACB ∠的平分线于点E ，交ACB ∠的外角平分线于点F ，点P 是BC 延长线上一点．求证：四边形AECF 是矩形．【证明】：CE 平分ACB ∠，ACE BCE ∴∠=∠，//MN BC ，OEC ECB ∴∠=∠，OEC OCE ∴∠=∠，OE OC ∴=，同理，OC OF =，OE OF ∴=．AO CO =，EO FO =，∴四边形AECF 为平行四边形， CE 平分ACB ∠，12ACE ACB ∴∠=∠， 同理，12ACF ACP ∠=∠， 11()1809022ECF ACE ACF ACB ACP ∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴四边形AECF 是矩形．。
特殊平行四边形培优训练含答案
特殊平行四边形培优训练一．选择题：1．已知菱形的一条对角线与边长相等,则菱形的邻角度数分别为 （ ）A. 45°, 135°B. 60°, 120°C. 90°, 90°D. 30°, 150°2．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC 的度数是( )A. 18°B. 36°C. 45°D. 72°3.如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转后得到矩形A ′BC ′D ′．若边A ′B 交线段CD 于H ，且BH=DH ，则DH 的值是（ ） A. 47 B.328 C. 425 D.264.下列命题中，真命题是（ ）A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 有一条对角线平分对角的四边形是菱形C. 菱形是对角线互相垂直平分的四边形D. 菱形的对角线相等 5.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC.若AC=4，则四边形OCED 的周长为（ ）A.4B.6C.8D.106.如图，正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为（ ）7．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B ′处，若AE ＝2，DE ＝6，∠EFB ′＝60°，则矩形ABCD 的面积是( )A ．12B ．24C ．312D ．3168.如图，正方形ABCD 的边长为10， AG =CH =8，BG =DH =6，连接GH . 则线段GH 的长为（ ）145D. 10－9.如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB ＝∠CFD ＝90°，AE ＝CF ＝5， BE ＝DF ＝12，则EF 的长是（ ）A ．7B ．8 C．．10.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点1B 在y 轴上，顶点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C ……x 在轴上，已知正方形1111A B C D 的边长为1，∠11B C O ＝60°，11B C ∥22B C ∥33B C ……则正方形2018201820182018A B C D 的边长是（ ） A. 201721⎪⎭⎫⎝⎛ B. 201821⎪⎭⎫⎝⎛ C. 201733⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. 201833⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 二．填空题： 11.如图，矩形ABCD 中，对角线AC=8cm ，0120=∠BOC ，则AD 的长为________ cm ．12.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为□ABCD 的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则□ABCD 的最小内角的大小为______________13.如图，将两条宽度都为3的纸片重叠在一起，使∠ABC=600，则四边形ABCD 的面积为__________14.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AC 上的一点，BD ＝DC ，P 是BC 上的任意一点，PE ⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．则线段PE，PF，AB之间的数量关系为______________________15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，将△ADE 绕点E旋转180°，得到△CFE，连接AF.若BC＝8，AC＝6，则四边形ABCF的周长为______ 16.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去.则第n个正方形的边长为________三．解答题：17.如图，在△ABC中，∠CAB=900，DE，DF是△ABC的中位线，连结EF，AD.求证：EF=AD.18．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.19．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC=∠ECF，求证：AC⊥CF.20.如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，AC是对角线，过点B作BG∥AC交DA 的延长线于点G．（1）求证：CE∥AF；（2）若∠G=90°，求证：四边形CEAF是菱形．21.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5，在BC上取一点E，使BE=4，剪下△ABE，将它BC方向平移至△DCF的位置，拼成四边形AEFD．①求证：四边形AEFD是菱形；②求四边形AEFD的两条对角线的长．22.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别为OA，OB，OC，OD 的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形；（2）求证：四边形EFMN是矩形；（3）连接DM，若DM⊥AC于点M，ON=3，求矩形ABCD的面积．23．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE=1；①求点F到AD的距离；②求BF的长；3，请直接写出此时AE的长．（3）若BF=10特殊平行四边形培优训练答案一．选择题：1.答案：B解析：∵菱形的一条对角线与边长相等,∴这条对角线与一组邻边所构成的三角形为正三角形，∴则菱形的邻角度数分别为060和0120，故选择B2.答案：C解析：∵090=∠BAD ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，∴05.67=∠DAE ，∵BD AE ⊥，∴05.22=∠ADB ，∵OA=OD ，∴05.22=∠=∠OAD ODA ，∴000455.225.67=-=∠EAC ，故选择C3.答案：C解析：设x CH =，∴x BH DH -==8，在BCH Rt ∆中，()22268+=-x x ， 解得：47=x ，∴425478=-=DH ， 故选择C4.答案：C解析：∵ 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，故A 选项错误；∵有一条对角线平分对角的四边形是筝形，故B 选项错误；∵菱形是对角线互相垂直平分的四边形 ，故C 选项正确；∵菱形的对角线不相等，故D 选项错误。
北师大版九年级上册数学同步培优第一章特殊平行四边形 全章热门考点整合专训
解得OE－OF＝9.6.∴OE＋OF的值发生变化，OE，OF之
间的数量关系为OE－OF＝9.6.
返回
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部， ∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB， OB，OC，AC的中点．
【答案】 B
返回
5．【2021·鞍山】如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点， DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作 AF∥ED交CD的延长线于点F.求证：四边形AEDF是 菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD. ∵AF∥ED，∴四边形AEDF是平行四边形． ∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠ADE. ∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠C.∴∠BAD＝∠ADE. ∴AE＝DE.∴平行四边形AEDF是菱形．
返回
14．阅读
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，
y2)为端点的线段的中点坐标为 运用
x1＋2 x2，y1＋2 y2.
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别
在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)， 则点M的坐标为_(_2_，__1_.5_)_；
返回
4．【2021·河池】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点
E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的
长是( ) A．2 2
B.32 2
C.43 2
D.54 2
【点方法】由于BF⊥EF，所以过F作AB的垂线交 AB于N，交CD于M，证明△MFE≌△NBF，设 ME＝x，利用MN＝4列方程，即可求解．
返回