极坐标与参数方程经典练习题
第八讲极坐标系与参数方程 ♦知识梳理 一、极坐标 1、 极坐标定义：M是平面上一点， 表示0M的长度， 是MOx，则有序实数实数对(，)，叫 极径， 叫极角；一般地， [0,2)， 0。 2 2 2 x cos x y
2、 极坐标和直角坐标互化公式： y sin 或tan y(x 0)，B的象限由点(x,y)所在象限确定• x
二、 常见曲线的极坐标方程 1、 圆的极坐标方程 (1) _________________________________________________ 圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程是 ___________________________________________________ ;
(2) 圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程是 _________________ ;
(3) __________________________________________________________ 圆心在点(a, — )处且过极点的圆O的极坐标方程是 ____________________________________________ 。 2
2、 直线的极坐标方程
(1) ______________________________________________________ 过极点且极角为k的直线的极坐标方程是 ______________________________________________________ ;
(2) ______________________________________________________________ 过点(a,0)，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 _______________________________________________ ;
(3) 过点(a,0)(a 0)，且与极轴所成的角为 ________ 的直线的极坐标方程是 ;
(4) 过点(1,J，且与极轴所成的角为 _______________________ 的直线的极坐标方程是 。
三、 常见曲线的参数方程 直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 过点(X0，y0)，倾斜
角为 圆心在点(x0, y0)，
半径为R 中心在原点，长、 短轴分别为2a、2b 中心在原点，长、
短轴分别为2a、2b 2
y 2px（p 0） ♦随堂练习 第一部分：极坐标系1、点M的直角坐标是(1,、-3)，则点M的极坐标为( )
4& (A) 2 (B)・ 9
"1 92 (D厂3
A . (2, —) B . (2,—) 2 C. (2,—) 3 D. (2,2 k 3),(k Z)
2、极坐标方程 cos 2sin 2 表示的曲线为( ) A .一条射线和一个圆 B.两条直线 C. 一条直线和一个圆 D .一个圆 3、在极坐标系中，直线 sin 2被圆 4截得的弦长为 4
2 4、设A (2, 一) , B (3,—)是极坐标系上两点，贝U |AB|= 3 3
5、已知某圆锥曲线 C的极坐标方程是 2
225
2 -，则曲线C
的离心率为
9 16cos 4 3 小 5 5 A. B. C D.- 5 5 3 4
6 在极坐标系中，已知曲线 C1 : cos( ) m和C2 :
3
的位置关系是
7、以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线 C: 4cos ，过极点的直线 ( R且 是参数)交曲线C于两点0，A，令0A的中点为M.
4cos若m ( 1,3)，则曲线Ci与C2
A •相切 B •相交 C.相离 D .不确定
(1)求点M在此极坐标下的轨迹方程(极坐标形式) (2)当—时，求M点的直角坐标. 3
8、已知直线 I : sin( —) 4和圆 C : 2k cos(
距离等于2。 (I)求圆心C的直角坐标；(II)数k的值。
J(k。),若直线l上的点到圆C上的点的最小
♦高考 (2,—倒圆 1、(2011)在极坐标系中，点 3 2 cos
的圆心的距离为( ) 2、（2011）在极坐标系中，圆p=sin的圆心的极坐标是（ 3、（ 2011）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为 极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 _____________________ 4、（ 2010）极坐标方程（1）（ ） 0（ 0）表示的图形是（ ）
的交点的极坐标为 ______________ 2cos与直线3 cos 4 sin a 0相切，且实数a的值。
第二部分：参数方程 x 1 t 1、 设直线11的参数方程为 （t为参数），直线12的方程为y=3x+4则11与12的距离为 y 1 3t
。 x 1 2t x s 2、 若直线h： 1 2t, （t为参数）与直线12： s, （ s为参数）垂直，则k _______ . y 2 kt. y 1 2s.
3、 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已 x 1 2 cos 知直线的极坐标方程为 （ R），它与曲线 ，（为参数）相交于两点A和B， 4 y 2 2sin
则 |AB|= ______ x 2 4t x 2 5 cos 4、 直线 ,（t为参数），被圆 ，（为参数）所截得的弦长为 ________ 。 y 1 3t y 1 5 si n
x 1 cos 5、 设曲线C的参数方程为 （9为参数），若以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建 y sin
立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 _____________________ .
(1,2) B.(1, 2
)
C. (1,0) D. (1,)
=2sin 4cos，以极点为原点,
A、两个圆 B、两条直线 C、一个圆和一条射线 D、一条直线和一条射线
5、（2010）（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系
（，）
（0 2 ）中，曲线 2sin与cos 1
6 （2010）在极坐标系中，已知圆
6已知曲线C的极坐标方程是 2 sin ，设直线I的参数方程是
2 （t为参 （1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)设直线I与x轴的交点是M , N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值。 7、设P ( x, y)是曲线C: x 2 cos ,(0为参数，owe <2冗)上任意一点, y sin
(1)将曲线化为普通方程；(2)求-的取值围• x
x 2cos 8、已知曲线Ci的参数方程为 ，曲线C2的极坐标方程为 cos( -) .2. y sin 4
(1) 将曲线Ci和C2化为普通方程； (2) 设Ci和C2的交点分别为A , B，求线段AB的中垂线的参数方程。
♦高考 x 1 t 1、 ( 2010)极坐标方程 cos和参数方程 (t为参数)所表示的图形分别是( ) y 2 3t
A、圆、直线 B 、直线、圆 C 、圆、圆 D 、直线、直线 2、 (2011)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴 x 3 cos G： 建立极坐标系，设点A，B分别在曲线 y 4 sin (为参数)和曲线C2: 1 上,
则AB的最小值为 ______________________ 。 3、 (2011)(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 x 5 cos (0 )和 y sin x 1 2t 4、（ 2009卷理）（坐标系与参数方程选做题）若直线li : （t为参数）与直线 y 2 kt
x s l2: （s为参数）垂直，贝U k ____ y 1 2s
x尿1 5、（ 2009）已知曲线C的参数方程为 t （为参数, 1 y 3（t 1）
t
x 2 cos 6 （2011全国新课标）在直角坐标系 xOy中，曲线C1的参数方程为 （为参数），M y y 2si n
uuu uun 为C1上的动点，P点满足OP 2OM，点P的轨迹为曲线C2 •
（I ）求6的方程； （II ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与C1的异于极点的交点为A, 3
与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
5t2(t R），它们的交点坐标为
,求曲线C的普通方程
典型极坐标参数方程练习题带答案
极坐标参数方程练习题1在直角坐标系xOy 中，直线Ci ： x = — 2，圆C 2： (x -1)2 + (y — 2)2= 1,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1) 求 C i , C 的极坐标方程；n(2) 若直线C 3的极坐标方程为 归~4(p€ R),设C 2与C 3的交点为M , ”，求厶C 2MN 的面 积.解：(1)因为x = pcos 0 ， y = pin 0，所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2，C 2 的极坐标方程为 p 2— 2 pcos 0 — 4 psin 0 + 4 = 0.n(2)将 0= ~4代入 p 2— 2 p cos 0 — 4 pin 0 + 4= 0，得 p 2 — 3 2 p + 4= 0，解得 p i = 2 2，p 2= 2故 p — p= 2,即 |MN| = 2.1由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x 2 + y 2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的2倍，得曲线C.(1) 写出C 的参数方程；(2) 设直线I : 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1,巨，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.x = X 1,解：(1)设(X 1, y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x , y),依题意，得c y = 2y 1,由 X 1 + y 2= 1 得 x 2+ 2y 2= 1. 即曲线C 的方程为x 2+y4 = 1.x = cos t ,故C 的参数方程为 (t 为参数).y =2sin t不妨设P 1(1, 0), P 2(0, 2),则线段P 1P 2的中点坐标为 2 1，所求直线斜率为k =?,⑵由 y 2x 2+4 = 1, 4解得2x + y — 2 = 0x = 1, y = 0x = 0, y = 2.1 1于是所求直线方程为y — 1 = 2 x —2 •化为极坐标方程，并整理得2 p cos 9 — 4 psin 9 = — 3,即 P =3 .4sin 9 — 2cos 9⑵（2015吉林长春二模，23, 10分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为n极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为pcos 9—㊁=1, M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点.① 写出曲线C 的直角坐标方程，并求 M ，N 的极坐标； ② 设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.【解析】 ⑴将2 pcos 2 9 = sin 9两边同乘以p,得2（ pcos 9 ）2= pin 9，化为直角 坐标方程为2x 2= y ，①C 2： pcos 9 = 1化为直角坐标方程为x = 1，②x = 1，联立①②可解得y = 2，所以曲线C 与C 2交点的直角坐标为（1，2）.x= pcos 9 , 1 又 二 Zx + y= psin 9 , 2即曲线C 的直角坐标方程为x+，3y — 2= 0. 令 y = 0,则 x = 2;令 x = 0,则 y = 2^3.••• M(2, 0), N 0,穿.n⑵①••• pos 9 —-3- =1,n p cos 9 - cosy + psin 9 n・ siny =1.1,••• M的极坐标为(2, 0), N的极坐标为^^3,专.(2012 辽宁，23, 10 分)在直角坐标系 xOy 中，圆 C i : x 2+ y 2 = 4,圆 C 2： (x — 2)2 + y 2系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.②M , N 连线的中点P 的直角坐标为1,身,n• ••直线0P 的极坐标方程为 归—(p€ R).注：极坐标下点的坐标表示不唯一.【点拨】解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题(2)先转化为直角坐 标问题求解，再转化为极坐标.x = 4+ 5cost ,(2013课标I, 23, 10分)已知曲线C 的参数方程为(t 为参数)，以坐y = 5+ 5si n t标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为p= 2sin 9 .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；⑵求C 1与C 2交点的极坐标(p 》0 ow 9 V 2n ).x =4+ 5cos t ,【解析】 ⑴将 消去参数t ，化为普通方程为(x -4)2 + (y — 5)2 = 25,y = 5+ 5s in tx= pcos 9 ，小 c将 代入 x 2 + y 2— 8x — 10y + 16= 0，得p 2— 8 pcos 9 — 10 psin 9 + 16 = 0.所以C 1的极坐标方程为p 2— 8 pcos 9 — 10 psin 9 + 16= 0.⑵C 2的普通方程为x 2 + y 2 — 2y = 0.联立C 1，C 2的方程 x 2 + y 2 — 8x — 10y + 16=0,解得x = 1, y = 1x = 0,或 ’ y =2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为［2, n ， 2, n2 .【点拨】 本题主要考查圆的参数方程、 极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关（1） 在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i,C 2的极坐标方程,并求出圆C i ，C 2的交点坐标（用极坐标表示）；（2） 求圆G 与C 2的公共弦的参数方程.x= pos 0,解：（1 ）由y = pin 0 ,知圆G 的极坐标方程为2,圆C 2的极坐标方程为 尸4cos 0 . x 2 +y 2二 Pi i n n 故圆C 1与圆C 2的交点坐标为2, "3 , 2,——.注：极坐标系下点的表示不唯X= pos 0- -得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为（1,百），（1,—書）y= pin 0X =1, L L 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 （一3< t < 3）.y =tx — 1 , L厂或参数方程写成 —• 3平3y — y ,x — pcos 0 , 方法二：将x — 1代入 y — pin 0 ,1得如0—1从而尸cos ?.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为x — 1, y — tan 05. （2015河北邯郸二模，23, 10分）已知圆C 的极坐标方程为 尸2cos 0，直线I 的1 套x —2 + 2 t ， 逼 n参数方程为（t 为参数），点A 的极坐标为-7,—，设直线l 与圆C 交于点P , 1 1 2 4 y —2+2t（2）方法一：由 p= 2,冗(2012 辽宁，23, 10 分)在直角坐标系 xOy 中，圆 C i : x 2+ y 2 = 4,圆 C 2： (x — 2)2 + y 2(1)写出圆C 的直角坐标方程；⑵求|AP| |・AQ 的值.解：(1)因为圆C 的极坐标方程为p= 2cos 9 , 所以 2 pcos 9 , 将其转化成直角坐标方程为x 2 + y 2 = 2x , 即(x — 1)2+ y 2= 1.⑵由点A 的极坐标专,n 得直角坐标为A 2，1._ 1丄盟X — 2 + 2 t ，将直线I 的参数方程(t 为参数)代入圆C 的直角坐标方程(x — 1)2+ y 2— 1,1 1 y —2+2t得t 2—设t 1, t 2为方程t 2— 32 11 —2 — 0的两个根，贝U t 1t 2— — 2，1所以 |AP| |・AQ| — | t 1t 2| — ^.x — tcos a ，2. (2015课标U ，23，10分，中)在直角坐标系xOy 中，曲线 0:(t 为y — tsin a ，参数，t 旳)，其中OWaVn .在以0为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2: p—2sin 9， C 3: p — 2 3cos 9 .(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；⑵若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值. 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+ y 2 — 2y — 0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2 + y 2 — 2 3x — 0.x 2+ y 2— 2y — 0， x 2+ y 2— 2 3x — 0，Q. 0.=0, x= 2，解得或y= 0 3所以C2与C3交点的直角坐标为(0, 0)和冷，2 .⑵曲线G的极坐标方程为0= a p€ R, pH 0,其中0Wx< n . 因此A的极坐标为(2sin a ,a ), B的极坐标为(2 3C0S a , a ).所以| AB| = |2sin a — 2 3cos a |n=4 sin a —.5 n当口=肓时，|AB|取得最大值，最大值为4.1 x= 3 +2上,3.(2015陕西，23, 10 分,易)在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为(t为参数),以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，O C的极坐标方程为p= 2 3 sin0 .(1)写出O C的直角坐标方程；(2)P为直线I上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：⑴由p= 2.3sin 0，得p 2 = 2 寸3 p sin 0 ,从而有x2+2 . 3y,所以x2+ (y—3)2= 3.(2)设P3 +1, ，又C(0, 3),故当t = 0时，|pq取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3, 0).则|PC = 3 + ；t 2+ 23t —；3 2= t2+ 12,5.(2014课标U, 23, 10分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正n半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为p= 2cos 9，9 € 0,(1)求C的参数方程；⑵设点D在C上, C在D处的切线与直线I: y= 3x+ 2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D的坐标.解：⑴C的普通方程为(x—1)2+ y2= 1(0手w 1)x= 1 + cos t,可得C的参数方程为(t为参数，owt<n ).y= sin t(2)设D(1 + cos t, sin t)•由(1)知C是以G(1, 0)为圆心，1为半径的上半圆•因为 Cn 在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同，tan t =空，n n 3 1/3故D的直角坐标为1 + cos , sin~3，即2，.x= 2cost,7. (2013课标U, 23, 10分，中)已知动点P, Q都在曲线C: (t为参数)y= 2s in t上，对应参数分别为t =口与t = 2 o(0<a<2 n ), M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；⑵将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解：(1)依题意有P(2cos a , 2sin a ), Q(2cos 2a , 2sin 2a ),因此M(cos a + cos 2a , sin a + sin 2a ).M的轨迹的参数方程为X= cos a + cos 2a , . .c (a为参数，0<a <2n ).y= sin a + sin 2a(2)M点到坐标原点的距离d = i；：x2 + y2 =育 2 + 2cos a (0< a<2 n ).当a=n时，d= 0,故M的轨迹过坐标原点.x 2 y 2x = 2 +1,（2014课标I, 23, 10分）已知曲线C: 7 +专二1•直线I :» （t 为参数）•y = 2 — 2t（1）写出曲线C 的参数方程，直线I 的普通方程；⑵过曲线C 上任意一点P 作与I 夹角为30°的直线，交I 于点A ，求|PA 的最大值与最小值.【思路导引】 （1 ）由基本关系式可消参求出普通方程；（2）把|PA 用参数9来表示， 从而求其最值.x= 2cos 9，【解析】（1）曲线C 的参数方程为 门■（9为参数）.y= 3sin 9直线I 的普通方程为2x + y — 6 = 0.⑵曲线C 上任意一点P （2cos 9，3sin 9 ）到I 的距离为d= ~5|4cos 9 + 3sin 9 — 6|.（2013辽宁，23，10分）在直角坐标系xOy 中，以0为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系.圆G ，直线C 2的极坐标方程分别为p= 4sin 9， p cos 9 —亍=2 2.（1）求Ci 与C 2交点的极坐标；⑵设P 为C 的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为 x =t 3+ a ，b 3 （t € R 为参数），求a ，b 的值. y =尹+1【解析】（1）圆G 的直角坐标方程为x 2+ （y — 2）2=4, 直线C 2的直角坐标方程为x + y — 4 = 0._d_sin2.55|5sin( 9+ M — 6|，其中 a 为锐角，且tan 43.当sin （9+ a ）=— 1时，I PA 取得最大值，最大值为22 5 5当 sin(9+1 时, |PA 取得最小值，最小值为2、55n t —n所以C i 与C 2交点的极坐标为4,㊁，2 2,4 .注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0, 2)，(1, 3).故直线PQ 的直角坐标方 程为 x — y + 2= 0.由参数方程可得 y = b (x — a) + 1 = |x — ab+ 1,解得 a = — 1, b = 2.【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参 数方程化为普通方程求解问题.x= 2COS a ,2011课标全国，23,10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为y = 2+2sin a (a 为参数),M是C 上的动点，P 点满足OP = 2OM , P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程;n ,⑵在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线B=E 与C 1的异于极点的 交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求|AB|. 解:⑴设 P(x , y), 则由条件知M 2, 2 .2 = 2COS a ,2 = 2 + 2sin a ,x = 4COS a , 即 y=4 + 4sin a .X = 4C0S a ,从而Q 的参数方程为尸4+ 4sin a (a为参数)•(2)C i 化为普通方程为x 2 + (y —2)2 = 4,故曲线C i 的极坐标方程为p= 4sin B ,同理可 得曲线C 2的极坐标方程为 尸8sin 9 .nx 2+( y — 2) 2= 4, x +y —4=0x i = 0, y i =X 2= 2, y 2= 2.所以b = 2= 1,-ab +1=2,由于M 点在C 1上，所以射线与C i的交点A的极径为2 3,n射线0="3与C2的交点B的极径为8sin§ = 4 3.所以| AB| = | p —p i| = 2 3.』n5.(2014辽宁锦州一模，23, 10分)已知圆的极坐标方程为p2—4 2 pcos( 9— "4)+ 6 =0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P(x, y)在该圆上，求x+ y的最大值和最小值.解：(1)原方程变形为p2—4pcos 9 — 4 psin 9 + 6 = 0,化直角坐标方程为x2+ y2—4x —4y+ 6= 0,即(x—2)2+ (y—2)2= 2.X= 2+V^COS a ,(2)设圆的参数方程为- (a为参数)，点P(x, y)在圆上，y= 2+寸2s in a”n贝U x+ y= 4+ 2sin a + ~ .所以x+ y的最大值为6,最小值为2.6.(2015 山西太原联考，23, 10分)已知平面直角坐标系xOy,以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为2 3, nn，曲线C的极坐标方程为p+ 2 ,3 p sin 9 = 1.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;x= 3+ It,⑵若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线I:」y= —I +1 小值.解：(1)点P的直角坐标为(3, 3).由p+1 3 p sin 9 = 1,得x I + y I +1 3y = 1,即x + (y+ 3)I•••曲线C的直角坐标方程为x2+ (y+ .3)2= 4.⑵曲线C的参数方程为x= Icos 9 ,(9为参数)，直线I的普通方程为x—Iy—7 = 0.y=— .3+ Isin 9设Q(2cos 9 , - .3 + 2sin 9 ),3则M |+ cos 9 , sin 9，那么点M到直线I的距离为|+ cos 9 - 2sin 9 - 7d = ；1I +I I11cos 9 - — Isin 9 -5,5sin( 9—©) +11511—5+3 111,,5 =10 —•••点M到直线I的最小距离为— 1.(t为参数)距离的最。
典型极坐标参数方程练习题带答案
极坐标参数方程练习题1在直角坐标系xOy 中，直线C i ： x = — 2,圆C 2： (x — 1)2+ (y — 2)2= 1以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1) 求C i , C 2的极坐标方程；n(2) 若直线C 3的极坐标方程为 A —(卩€ R)，设C 2与C 3的交点为M , ”，求厶C 2MN 的 面积.解：(1)因为x = p cos 0, y = p in 0,所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2，C 2 的极坐标方程为 p — 2 pcos 0— 4 psin 0+ 4 = 0.(2)将 0= 4 代入 p — 2 pcos 0— 4 psin 0+ 4 = 0,得 p — 3.2p+ 4 = 0,解得 p = 2 2, p2= 2.故 p i — p= .2,即 |MN|= 2.1由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x 2 +『=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C 的参数方程；⑵设直线1: 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1, P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.由 x i + y 2= 1 得 x 2 + 2 = 1. 即曲线C 的方程为x 2+彳=1.x = cos t ,⑵由解得或2x + y — 2 = 0 y = 0y= 2.解：(1)设(x 1, y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x , y)，依题意，得x = X 1 ,y = 2y 1,故C 的参数方程为 y = 2sin t(t 为参数).x+ / = 1, x = 1, x = 0,1 1不妨设P1(1, 0), P2(0, 2),则线段P1P2的中点坐标为2，1，所求直线斜率为k=21 1于是所求直线方程为y- 1 = 2 x-2 •化为极坐标方程，并整理得2 pcos 0—4 p in 0= —3,34sin 0—2cos 0⑵(2015吉林长春二模，23, 10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴n为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p os 0 —"3 = 1，M , N分别为曲线C与x 轴，y轴的交点.①写出曲线C的直角坐标方程，并求M , N的极坐标；②设M , N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.【解析】(1)将 2 p os20= sin 0两边同乘以p,得2( p os 0)2= p in 0,化为直角坐标方程为2x2= y,①C2：p os 0= 1化为直角坐标方程为x= 1,②x= 1,联立①②可解得y=2,所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1, 2).⑵①••• QOS 0— 3 =1,n n「•pcos 0cos^ + p in 0sing =1.x= pcos 0, 1 3又・/私=1,y= psin 0,即曲线C的直角坐标方程为x+ 3y — 2 = 0.令y= 0,则x=2;令x= 0,则y=穿.2血•M(2, 0), N 0,亏.••M的极坐标为⑵0）, N的极坐标为罕②M , N连线的中点P的直角坐标为1,撐,P的极角为0= 6.•••直线OP的极坐标方程为0= 6（p€ R）・注：极坐标下点的坐标表示不唯【点拨】解答题（1）的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题（2）先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标.x= 4+ 5cost,（2013课标I , 23, 10分）已知曲线C i的参数方程为（t为参数），以坐y= 5+ 5sin t标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p= 2sin 0 .（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（p》0, 0W 0 V 2n ）.x —4 + 5cos t【解析】⑴将’消去参数t,化为普通方程为（x —4）2+ （y—5）2—25, y—5+ 5si n t即C1：x2+ y2—8x—10y+ 16—0.x—pcos 0,将代入x2+ y2—8x—10y+ 16—0,得y—psin 02p —8 p cos 0—10 p in 0+ 16—0.所以C1的极坐标方程为p2—8 pcos 0—10 p sin 0+ 16—0.⑵C2的普通方程为x2+ y2—2y—0.2 2x2+ y —8x—10y+ 16—0,联立C1, C2的方程2 2x + y —2y—0,x—1, x—0,解得或y— 1 y— 2.n n所以C l与C2交点的极坐标分别为羽，4 , 2, 2 .【点拨】本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.(2012 辽宁，23, 10 分)在直角坐标系xOy 中，圆C i：x2+ y2= 4,圆C2：(x—2)2+ y2 =4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i, C2的极坐标方程，并求出圆C i，C2的交点坐标(用极坐标表示)；⑵求圆C i与C2的公共弦的参数方程.x= p os 0,解:(1 )由y= p in 0,知圆C i的极坐标方程为尸2,圆C2的极坐标方程为4cos 02,2 2x + y = P尸2,n解得p= 2, 0= ±3,p= 4cos 0、. 、. n n故圆C i与圆C2的交点坐标为2 一，2 —一.2,32,3注：极坐标系下点的表示不唯一.x= p os 0,(2)方法一：由得圆C i与C2交点的直角坐标分别为(1,〔3), (1,—. 3).y= p in 0x= 1,故圆C i与C2的公共弦的参数方程为(一•. 3<3).y= tx= 1 ,或参数方程写成—,3<y< .3y= y,x= pcos 0, 方法二：将x= 1代入y= psin 0,1得p os 0= 1 ,从而p= .cos 0于是圆C i与C2的公共弦的参数方程为5. (2015河北邯郸二模，23, 10分)已知圆C 的极坐标方程为 尸2cos 0，直线I 的Q.(1) 写出圆C 的直角坐标方程; (2) 求 |AP| |AQ|的值.解：(1)因为圆C 的极坐标方程为 尸2cos 0, 所以 p= 2 p os 0,将其转化成直角坐标方程为x 2 + y 2^ 2x ， 即(x — 1)2+ y 2= 1.⑵由点A 的极坐标乎，寸得直角坐标为A1, 1.V 3—i i i设t i , t 2为方程t 2— 2—t —2_0的两个根，贝u t i t 2_ — ^, i所以 |AP| |AQ|_ |t i t 2|_^.x _ tcos a ,2. （2015课标U, 23, 10分，中）在直角坐标系xOy 中，曲线C 仁（t 为y _ tsin a ,参数，t 丰0),其中0Wa<n .在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2：p_ 2sin 0 , C 3： 尸 2.3cos 0 .X= 1,y= tan 0 nn—3=0<3 .参数方程为x =1 + 爭，(t 为参数)，点A 的极坐标为¥，~4，设直线i 与圆C 交于点P ， 将直线l 的参数方程x 」+二2 1 ? 1 1 尸 2+2t(t 为参数)代入圆C 的直角坐标方程(x — 1)2+ y 2= 1, 1_20.（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；⑵若C 1与C 2相交于点A , C 1与C 3相交于点B ,求|ABI 的最大值. 解：（1）曲线C 2的直角坐标方程为x 2+ y 2— 2y = 0, 曲线C 3的直角坐标方程为x 2 + y 2 — 2 .3x = 0.x 2 + y 2 — 2y = 0, x 2 + y 2 — 2 3x = 0,x = 0, 解得 或 y = 0所以C 2与C 3交点的直角坐标为（0, 0）和 今,3⑵曲线C 1的极坐标方程为 A a p€ R ,卩工0），其中0W a n . 因此A 的极坐标为（2sin a, a, B 的极坐标为（2 3cos a, a - 所以 |AB A |2sin a — 2 3cos a3. （2015陕西，23, 10 分,易）在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为（t 为参数）,以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，O C 的极坐标方程为PA 2 3 sin 9 .（1） 写出O C 的直角坐标方程；（2） P 为直线I 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.解：（1）由尸2 3sin 9,得p 2= 2^3 psin 9,从而有x 2 +寸=2 3y , 所以 X + (y —: ,；3)?= 3.x ==4 sin7ta —35 n当百时，AB|取得最大值，最大值为4.x = 3+ft ,⑵设P 3+ gt, ~23t，又C(o, 3),则|PC|= , 3+ ；t2+ jt —,：32= 't2+ 12,故当t = 0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3, 0).5.(2014课标U, 23, 10分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正n半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为P= 2cos 9 , 9 € 0,㊁.(1)求C的参数方程；⑵设点D在C 上, C在D处的切线与直线I: y= . 3x+ 2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标.解：(1)C的普通方程为(x—1)2+ 卄1(0<y< 1).x= 1 + cos t,可得C的参数方程为(t为参数，0W t<冗).y= sin t(2)设D(1 + cos t, sin t).由(1)知C是以G(1, 0)为圆心，1为半径的上半圆•因为 C- n 在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同，tan t = .3, t=g故D的直角坐标为1 + cos —, sin§，即2，.x= 2cos t,7. (2013课标U , 23, 10分，中)已知动点P, Q都在曲线C: . (t为参数)y= 2s in t上，对应参数分别为t= a与t= 2a0<a<2n ), M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；⑵将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解：(1)依题意有P(2cos a, 2sin a), Q(2cos 2a, 2sin 2 a),因此M(cos a+ cos 2a, sin a+ sin 2 0). M的轨迹的参数方程为X= cos a+ cos 2a,(a为参数,0<a<2冗). y= sin a+ sin 2a⑵M点到坐标原点的距离d= ‘x2+ y2= '2+ 2cos a(0< a<2 t).当a=n时，d = 0,故M的轨迹过坐标原点.2 2(2014课标I , 23, 10分)已知曲线C: ^4 +卷=1.直线I : x= 2 +1,y= 2 —2t (t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程；⑵过曲线C上任意一点P作与I夹角为30°的直线, 交I于点A,求|PA|的最大值与最小值.【思路导引】(1 )由基本关系式可消参求出普通方程; (2)把|PA|用参数B来表示，从而求其最值.x= 2cos 0,【解析】(1)曲线C的参数方程为(0为参数).y= 3sin 0直线I的普通方程为2x+ y-6= 0.⑵曲线C上任意一点P(2cos 0, 3sin B)到I的距离为d胡4cos 0+ 3sin 0- 6|.d 2^/5则|FA|= = —|5sin(0+ a) —6|,其中a为锐角，且tansin 30°54 a= 3.当sin(0+ c) = —1时，|PA|取得最大值，最大值为一5-. 当sin(0+ c) = 1时，|PA取得最小值，最小值为255.(2013辽宁，23, 10分)在直角坐标系xOy中，以O为极点, X轴正半轴为极轴建立(1)求C l 与C 2交点的极坐标;⑵设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为x =t 3 + a ,b 3 ‘（t € R 为参数），求a , b 的值. y =2+ 1【解析】(1)圆C i 的直角坐标方程为x 2 + (y —2)2= 4, 直线C 2的直角坐标方程为x + y — 4 = 0.x 2+（ y — 2） 2= 4,X 1= 0, 解得x + y — 4= 0y 1 = 4,注：极坐标系下点的表示不唯一.方程为x — y + 2= 0.bb ab由参数万程可得 y = 2（x — a ） +1= ^x —2 +1， b = 12 '， 所以 「ab ,小—兀 + 1 = 2, 解得 a = — 1, b = 2.【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参 数方程化为普通方程求解问题.x = 2C0S a , 2011课标全国，23, 10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为y = 2+ 2sin a(a 为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP = 2OM , P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；n⑵在以0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线B=§与C 1的异于极点的X 2= 2, y 2= 2.所以C 1与C 2交点的极坐标为4n ,2 2,⑵由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0, 2), (1, 3).故直线PQ 的直角坐标交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB|.解：⑴设P(x , y).x 2— 2C0S a,由于M 点在C i 上，所以y .2— 2 + 2si n a, x —4cos a,即y — 4 + 4si n ax —4cos a,从而C 2的参数方程为 (a 为参数).y —4 + 4si n a⑵C i 化为普通方程为x 2+ (y - 2)2 — 4,故曲线C i 的极坐标方程为 尸4sin 9 ,同理可 得曲线C 2的极坐标方程为p — 8sin 9n射线9— 3与C i 的交点A 的极径为P 1 —n射线9— 3与C 2的交点B 的极径为p 2— 8扁—W3.所以 |AB|— | p — p |— 2 3.5. (2014辽宁锦州一模，23 , 10分)已知圆的极坐标方程为 p — 4.2p os(A~4)+ 6 —0.(1)将极坐标方程化为普通方程；⑵若点P(x , y)在该圆上，求x + y 的最大值和最小值.解：⑴原方程变形为 p — 4p cos 9— 4psin 9+ 6 — 0 ,化直角坐标方程为 x 2 + y 2— 4x — 4y + 6— 0,即(x — 2)2 + (y — 2)2 — 2.x — 2+ 2cos a ,x则由条件知M 2,y-2 4sin§ — 2 . 3 , (2)设圆的参数方程为 (a 为参数)，点P(x , y)在圆上,y—2+ 2sin an则 x + y = 4+ 2sin a +_ .所以x + y 的最大值为6,最小值为2.6. (2015山西太原联考，23, 10分)已知平面直角坐标系xOy ,以O 为极点，x 轴的n非负半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为2.3,百，曲线C 的极坐标方程为P 2+ 2 3 p sin B = 1.(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；小值.解：(1)点P 的直角坐标为(3，3). 由 p + 2 3 psin 1，得 x 2 + y 2 + 2 3y = 1，即卩 x 2 + (y + , 3)2 = 4,•••曲线C 的直角坐标方程为x 2+ (y + ,3)2= 4.(2)曲线C 的参数方程为x = 2cos 0，厂(0为参数)，直线I 的普通方程为x — 2y — 7= 0.y =— .3 + 2sin 0 设 Q(2cos 0, — V 3+ 2sin 0)，3则M 2+ cos 0, sin 0，那么点M 到直线I 的距离为3+ cos 0— 2s in 0— 7cos 0— 2si n 0—5/sin (0-® + 号.一 11 —_5+1 =山 ,5 = 10 —'， ⑵若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线I :x = 3 + 2t ， y = — 2+1(t 为参数)距离的最•••点M到直线I的最小距离为儒一1.。
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题一、选择题1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ）A ．0B ．1C ．-2D ．83.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-32,5π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ）5.点()3,1-P ，则它的极坐标是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,2πD 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ).A.1B.2C.3D.47.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线8.()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）A.-6B.16-C.6D.169.极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A ．22(2)4x y -+= B.224x y += C.22(2)4x y +-= D.22(1)(1)4x y -+-=10.柱坐标（2，32π，1）对应的点的直角坐标是（ ）. A.(1,3,1-) B.(1,3,1-) C.(1,,1,3-) D.(1,1,3-)11.已知二面角l αβ--的平面角为θ，P 为空间一点，作PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且4PA =，5PB =，设点A 、B 到二面角l αβ--的棱l 的距离为别为,x y ．则当θ变化时，点(,)x y 的轨迹是下列图形中的12.曲线24sin()4x πρ=+与曲线12221222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ）。
极坐标与参数方程大题及答案
极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。
首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。
首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。
使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。
(完整版)极坐标与参数方程高考习题练习含答案
欢迎阅读极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ B ）.A.C 2.ρ4=A.ρ=C.ρ= 0sin cos 2ρθθθ∴=≤≤ ⎪+⎝⎭ 所以选A 。
二．填空题1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______. 2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.3 (2014重庆)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014上海)已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。
【答案】 31【解析】.C (2014陕西)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是C5 (2014天津)在以O 为极点的极坐标系中，圆θρ4sin =和直线a =θρsin 相交于,A B 两点.若ΔAOB 是等边三角形，则a 的值为___________. 解：3 圆的方程为2224x y ，直线为y a .因为AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得3a .6. (2014广东)（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿三．解答题1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.(Ⅰ).直线ld =则||PA =当(sin θ当(sin θ2. (20142cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y +垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.3. （2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【答案】 （1） π∈[0,θθsin 2,θcos ，==y x （2） 03θsin ρ4-cos θ 2ρ=+ 【解析】（1）（2）4（2014 （I （II 解：圆C (2)故圆（2013）A ． C ．=()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和（2013天津数学（理））已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则|CP | =1（2013上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为_____152+_____ 解析：2（2013北京卷（理））在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于____1_____. 3重庆数学（理））在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 【答案】1642013广东（理））(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为 ， 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则切线的极坐标方程为 .【答案】x+y=2 ；sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5（2013陕西（理））C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为______ .【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 26（2013江西（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x ty t=⎧⎨=⎩(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________【答案】2cos sin 0ρθθ-=7（2013湖南卷（理））在平面直角坐标系xoy中,若,3cos, :(t)C:2sin x t xly t a yϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,则常数a的值为________.【答案】38（2013湖北（理））在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为cossinx ay bθθ=⎧⎨=⎩()0a bϕ>>为参数，.)中,（2013α与β=(Ⅰ(Ⅱ9（20132C(I)12(II)设P为1C的圆心,Q为1C与2C交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为()3312x t at Rby t⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b的值【答案】10（2013福建（理））坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos(4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)由点)4A π在直线cos(4a πρθ-=上,可得a =(Ⅱ)11（2013程为.【答案】0 ①12（2013新课标1（理））选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】将45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩消去参数,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=; (Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为(2,4π),(2,)2π. 【2012新课标文23】已知曲线C 1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2．正三角形ABC 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，） （Ⅰ）求点A 、B 、C 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围． 解析：【2012辽宁文23】在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。
极坐标、参数方程练习题
2017年5月25日极坐标、参数方程一、选择题（共7小题；共35分）1. 已知点的极坐标为，那么将点的极坐标化成直角坐标为A. B.C. D.2. 极坐标方程表示的图形是A. 两个圆B. 一条直线和一条射线C. 两条直线D. 一个圆和一条射线3. 将点的极坐标化成直角坐标为A. B. C. D.4. 已知点的极坐标是，则过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程是A. B. C. D.5. 极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是A. 直线、直线B. 直线、圆C. 圆、圆D. 圆、直线6. 在极坐标系中，直线与圆的交点的极坐标为A. B. C. D.7. 极坐标方程表示的图形是A. 两个圆B. 两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线二、填空题（共9小题；共45分）8. 如图，过点作边长为的等边，边上的高为．设的外接圆为圆，现以顶点为极点，以射线为极轴建立极坐标系，规定在极坐标系中，点的极坐标满足：，，则图中，（1）点的极坐标为；（2）圆的极坐标方程为；（3）直线的极坐标方程为．9. （坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线过点且与直线垂直，则直线极坐标方程为．10. 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为．11. 在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数和为参数．以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为．12. 已知直线（为参数且）与曲线（是参数且），则直线与曲线的交点坐标为．13. 在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为．14. 在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为．15. 曲线与极轴交点的极坐标是．16. 在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为．三、解答题（共6小题；共70分）17. 已知直线（为参数），圆（为参数）．（1）当时，求被截得的线段的长；（2）过坐标原点作的垂线，垂足为，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．18. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程；（2）求与交点的极坐标（，）．19. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线的普通方程和极坐标方程；（2）若直线与曲线相交于点，两点，且，求证为定值，并求出这个定值．20. 在直角坐标系中，已知点，直线：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系；曲线的极坐标方程为；直线与曲线的交点为，．（1）求直线和曲线的普通方程；（2）求的值．21. 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，．（1）求与交点的直角坐标；（2）若与相交于点，与相交于点，求的最大值．22. 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点．若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，设线段的中点为，求的值．答案第一部分1. D2. D 【解析】因为，所以或，所以或轴正半轴，所以极坐标方程表示的图形是一个圆和一条射线．3. B 【解析】点的极坐标化为直角坐标为，即．4. D 【解析】点坐标为，所以垂直于极轴的直线方程为，所以极坐标方程为．5. D【解析】本题考查直线与圆的方程的不同表达方式，极坐标方程表示圆的方程，参数方程（为参数）消去参数后可知是直线的方程．6. A7. C第二部分8. ，，9.10.11.【解析】答案也可以是，．12.【解析】把直线的参数方程化为普通方程得，把曲线的参数方程化为普通方程得，由方程组解得交点坐标为．13.14.15. ，16.【解析】联立所以．（舍负）第三部分17. （1）当时，的普通方程为，的普通方程为．联立方程组解得与的交点为与．所以，被截得的线段的长为．（2）将的参数方程代入的普通方程得，所以点对应的参数，所以点坐标为．故当变化时，点轨迹的参数方程为：（为参数）．因此，点轨迹的普通方程为．故点轨迹是以为圆心，半径为的圆．18. （1）曲线的参数方程为（为参数）普通方程为，将代入上式化简得，即的极坐标方程为．（2）曲线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为，将代入上式得，解得，（舍去）．当时，，所以与交点的平面直角坐标为，．因为，，，，，，所以，，故与交点的极坐标，．19. （1）曲线的普通方程为，极坐标方程为，所以所求的极坐标方程为．（2）不妨设点，的极坐标分别为，，则即所以，即（定值）．20. （1）依题意得：直线的普通方程，曲线的普通方程．（2）将直线的方程化为（为参数）代入曲线得：，，，所以．21. （1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为，解得：或，所以与交点的直角坐标为或．（2）求得：曲线的极坐标方程为（），其中．因此的极坐标为，的极坐标为，所以，当时，取得最大值，最大值为．其他方法：的直角坐标方程为．．．，设，因为，所以，所以，，．当时，有最大值．22. （1）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的普通方程为．由得，即．所以曲线的直角坐标方程为．（2）因为点的极坐标为，所以点的直角坐标为．所以，直线的倾斜角．所以直线的参数方程为（为参数）．代入，得．设，两点对应的参数分别为，．因为为线段的中点，所以点对应的参数值为．又点，则．。
参数方程与极坐标方程练习题(附答案),高考真题归纳
参数方程与普通方程互换1、【2019·天津】设R a ∈，直线02=+-y ax 和圆⎩⎨⎧+=+=θθsin 21cos 22y x ，（θ为参数）相切，则a 的值为 。
432、【2004·北京】曲线⎩⎨⎧+-==θθsin 1cos y x C ：，（θ为参数）的普通方程是 ，如果曲线C 与直线0=++a y x 有公共点，那么实数a 的取值范围是 。
()1122=++y x ；[]2121+-，3、【2007·广东】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ty t x 33，（t 为参数，R t ∈），圆C的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin 2cos 2θθy x ，（参数[)πθ2,0∈），圆C 的圆心为 ，圆心到直线l 的距离为 。
()222,0；4、【2011·广东】已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧==θθsin cos 5y x ，（θ为参数，πθ＜≤0）和⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 245，（R t ∈），它们的交点坐标为 。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛5521，5、【2012·广东】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为⎩⎨⎧==ty tx ，（t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 。
()1,16、【2013·江苏】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎨⎧=θtan 22x （θ为参数），试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出他们的公共点的坐标。
【答案】直线l ：022=--y x ，曲线C ：x y 22=；公共点坐标()2,2，⎪⎭⎫ ⎝⎛-121，7、【2002·全国卷】点()0,1P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（t 为参数）上的点的最短距离为（ ）BA 、0B 、1C 、2D 、28、【1992·全国卷】直线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=20cos 320sin t y t x ，()为参数t 的倾斜角是（ ）C A 、20°B 、70°C 、110°D 、160°9、【2010·重庆卷】直线233+=x y 与圆心为D 的圆⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 31,cos 33y x []()πθ2,0∈交于A ，B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）CA 、π67 B 、π45 C 、π34 D 、π3510、【2008·宁夏·海南卷】已知曲线⎩⎨⎧==θθsin cos C 1y x ：（θ为参数），曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=22222C 2y t x ：，（t 为参数）。
典型极坐标参数方程练习题带答案
极坐标参数方程练习题1．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.4．(2014·辽宁，23，10分，中)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1.即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12.化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.(2)(2015·吉林长春二模，23，10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x轴，y 轴的交点．①写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； ②设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【解析】 (1)将2ρcos 2θ＝sin θ两边同乘以ρ，得2(ρcos θ)2＝ρsin θ，化为直角坐标方程为2x 2＝y ，①C 2：ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x ＝1，② 联立①②可解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2)． (2)①∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cosπ3＋ρsin θ·sin π3＝1. 又⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1，即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233. ∴M (2，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.∴M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.②M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 注：极坐标下点的坐标表示不唯一．【点拨】 解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题(2)先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标．(2013·课标Ⅰ，23，10分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．【解析】 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.联立C 1，C 2的方程⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 【点拨】 本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解．(2012·辽宁，23，10分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2知圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)．⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤ 3 方法二：将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3.5．(2015·河北邯郸二模，23，10分)已知圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝12＋12t (t 为参数)，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，设直线l 与圆C 交于点P ，Q .(1)写出圆C 的直角坐标方程； (2)求|AP |·|AQ |的值．解：(1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 所以ρ2＝2ρcos θ，将其转化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ， 即(x －1)2＋y 2＝1.(2)由点A 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4得直角坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝12＋12t (t 为参数)代入圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋y2＝1，得t 2－3－12t －12＝0.设t 1，t 2为方程t 2－3－12t －12＝0的两个根，则t 1t 2＝－12， 所以|AP |·|AQ |＝|t 1t 2|＝12.2．(2015·课标Ⅱ，23，10分，中)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0. 联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α| ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 3．(2015·陕西，23，10分，易)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得 ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3，0)．5．(2014·课标Ⅱ，23，10分，中)在直线坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.7．(2013·课标Ⅱ，23，10分，中)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．(2014·课标Ⅰ，23，10分)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1.直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【思路导引】 (1)由基本关系式可消参求出普通方程；(2)把|PA |用参数θ来表示，从而求其最值．【解析】 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. (2013·辽宁，23，10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．【解析】 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. 解⎩⎨⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.由参数方程可得y ＝b 2(x －a )＋1＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参数方程化为普通方程求解问题．2011·课标全国，23，10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )， 则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)C 1化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，同理可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为 ρ1＝4sinπ3＝23， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为 ρ2＝8sinπ3＝4 3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.5．(2014·辽宁锦州一模，23，10分)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解：(1)原方程变形为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，化直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2. (2)设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点P (x ，y )在圆上，则x ＋y ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.所以x ＋y 的最大值为6，最小值为2.6．(2015·山西太原联考，23，10分)已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋23ρsin θ＝1.(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值．解：(1)点P 的直角坐标为(3，3)．由ρ2＋23ρsin θ＝1，得x 2＋y 2＋23y ＝1，即x 2＋(y ＋3)2＝4，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋3)2＝4.(2)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －2y －7＝0. 设Q (2cos θ，－3＋2sin θ)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋cos θ，sin θ，那么点M 到直线l 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋cos θ－2sin θ－712＋22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ－2sin θ－1125＝5sin （θ－φ）＋1125≥ －5＋1125＝11510－1，115 10－1.∴点M到直线l的最小距离为。
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题(有详解答案) 极坐标与参数方程测试题1.直线y=2x+1的参数方程是（）A、x=2t-1，y=4t+1（t为参数）B、x=t^2，y=2t+1（t为参数）C、x=sinθ，y=2t-1D、x=t-1，y=2sinθ+1（θ为参数）2.已知实数x,y满足x^3+cosx-2=π，8y^3-cos2y+2=π，则x+2y=（）A。
π/2B。
πC。
-π/2D。
-π3.已知M(-5,3)，下列所给出的不能表示点的坐标的是()A、(5,-3)B、(5,4π/3)C、(5,-2π/3)D、(-5,-5π/4)4.极坐标系中，下列各点与点P(ρ,θ)（θ≠kπ，k∈Z）关于极轴所在直线对称的是（）A。
(-ρ,θ)B。
(-ρ,-θ)C。
(ρ,2π-θ)D。
(ρ,2π+θ)5.点P1,-3，则它的极坐标是A、(2,π/3)B、(2,4π/3)C、(2,-π/3)D、(2,-4π/3)6.直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线C1：(x=3+cosθ。
y=sinθ)（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，则AB的最小值为( ) A。
1B。
2C。
3D。
47.参数方程为x=t+1.y=2(t为参数)表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线8.若直线{t为参数}与直线4x+ky=1垂直，则常数k=（）A。
-6B。
-1/11C。
6D。
119.极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是()A。
(x-2)+y=4B。
x+y=4C。
x+(y-2)=4D。
(x-1)+(y-1)=410.柱坐标（2，2π/3，1）对应的点的直角坐标是（）A。
(-1,3,1)B。
(1,-3,1)C。
(3,-1,1)D。
(-3,1,1)11.已知二面角$\alpha-\ell-\beta$的平面角为$\theta$，点$P$为空间一点，作$PA\perp\alpha$，$PB\perp\beta$，$A$，$B$为垂足，且$PA=4$，$PB=5$，设点$A$、$B$到二面角$\alpha-\ell-\beta$的棱$\ell$的距离分别为$x$、$y$。