平面向量及其应用最新高考试题精选百度文库

一、多选题

1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知

cos cos 2B b

C a c

=-，

ABC S =

△，且b = ）

A ．1cos 2

B =

B ．cos 2

B =

C ．a c +=

D ．a c +=2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >

D ．

sin sin sin +=+a b c

A B C

3．已知点()4,6A ，33,2B ??- ???

，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（） A ．14,33??

???

B ．97,2?? ???

C ．14,33??

- ???

D ．(7，9)

4．在ABC 中，AB =1AC =，6

B π

=，则角A 的可能取值为（）

A ．

B ．

π C ．

π D ．

π 5．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°

D ．()

//2a a b +

6．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（）

A ．

B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解

C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解

D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解

7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（）

A ．2OA OD ?=-

B ．2OB OH OE +=-

C ．AH HO BC BO ?=?

D ．AH 在AB 向量上的投影为2-

8．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（） A ．11

22AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133

BM BA BD =

+ D ．12

CM CA CD =

9．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（） A ．00a ?= B ．()

()

a b c a b c ??=?? C ．0a b a b ?=?⊥

D ．(

)(

)

b b a b a a +-=?-

10．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（）

A ．A

B D

C =

B ．AB D

C =

C ．AB DC >

D ．BC AD ∥

11．对于ABC ?，有如下判断，其中正确的判断是（） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ?为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >

C ．若8a =，10c =，60B ?=，则符合条件的ABC ?有两个

D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ?是钝角三角形

12．如图，46?的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（）

A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个

B ．满足10OA OB -=B 共有3个

C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+

D ．满足1OA OB ?=的格点B 共有4个

13．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模 D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同 14．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+-

C ．OA O

D AD -+

D ．NQ QP MN MP ++-15．题目文件丢

失！

二、平面向量及其应用选择题

16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为

A ．33

)22

B ．3

(

3)2

C ．3(3]2

D ．3(3)2

17．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ?的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ?的形状为（） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形

18．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→

-的最小值为1，则（）

A ．若θ确定，则||a →

唯一确定 B ．若θ确定，则||b →

唯一确定 C ．若||a →

确定，则θ唯一确定

D ．若||b →

确定，则θ唯一确定

19．在ABC ?中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若

sin cos sin a b c

A B B

===ABC ?的面积为（）

A ．2

B ．4

D ．20．在ABC 中，AD 、B

E 、C

F 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点

G ，则下列各等式中不正确．．．的是（） A ．2

3BG BE = B ．2CG GF = C ．1

DG AG =

D ．0GA GB GC ++=

21．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ?>0，则△ABC 是（） A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

22．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．

()2

a b + B ．

()2a b - C ．

a b + D ．12

a b +

23．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（） A ．4

B ．

C ．

258

D ．

259

24．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()

20BC OB OC OA ?+-=，则

ABC 一定为（）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．钝角三角形

25．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且1

MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2?

?-- ??

C ．31,2?? ???

D ．(8，－1)

26．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a

B c

=，则ABC ?一定是（） A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

27．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2

cos 3

A =

，则b=

A B

C ．2

D ．3

28．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 29．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，

则①AD ＝－b －

12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1

b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

30．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若

(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ?等于（）

A ．3

- B ．

316 C ．

D ．12

31．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（）

A ．1-

B ．12

C ．2-

D ．32

32．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3

C π

∠=

，且

sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：

①2a b = ②ABC ?的面积为

③ABC ?的周长为43+

④ABC ?外接圆半径43

R =

这四个结论中一定成立的个数是（） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

33．在ABC ?中，下列命题正确的个数是（）

①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ?的内心，且

()()20OB OC OB OC OA -?+-=，则ABC ?为等腰三角形；④0AC AB ?>，则

ABC ?为锐角三角形．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

34．奔驰定理：已知O 是ABC ?内的一点，BOC ?，AOC ?，AOB ?的面积分别为A S ，

B S ，

C S ，则0A B C S OA S OB S OC ?+?+?=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的

结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ?内的一点，A ，B ，C 是ABC ?的三个内角，且点

O 满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则必有（）

A ．sin sin sin 0A OA

B OB

C OC ?+?+?= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ?+?+?= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=

D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ?+?+?=

35．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若

()2

2S a b c +=+，则cos A 等于（）

A ．

B ．45

C ．

1517

D ．1517

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．AD

【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，整理可得：，可得，

∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确解析：AD 【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简

cos cos 2B b

C a c

=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2

B =

，结合范围()0,B π∈，可求3B π

=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理

可得a c += 【详解】 ∵

cos sin cos 22sin sin B b B

C a c A C

==--，整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，

可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1

cos 2

B =

，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3

B π

，

∵4

ABC S =△，且3b =，

11sin 22ac B a c ==??=，解得3ac =，

由余弦定理得()()2

22939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，

解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解

的能力，属于中档题.

2．ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确；对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误；对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角

解析：ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A ，在ABC ，由正弦定理得

2sin sin sin a b c

R A B C

===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；

对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2

A B π

+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错

误；

对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以

A B >，故C 正确；

对于D ，由正弦定理得

2sin sin sin a b c

R A B C

===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++，故D 正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 3．ABC

【分析】

先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点，，则

选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选

解析：ABC 【分析】

先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.

由点()4,6A ，33,2B ?

?- ???，则972，

AB ??=-- ???

选项A . 914

73023

??-?--?= ???,所以A 选项正确. 选项B. 9977022??

--?= ???

,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023????

-?---?-= ? ?????

,所以C 选项正确. 选项D. 979702??

-?--?≠ ???

,所以选项D 不正确故选：ABC 【点睛】

本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.

4．AD 【分析】

由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】由余弦定理，得，即，解得或.

当时，此时为等腰三角形，，所以；当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】本题考查余弦

解析：AD 【分析】

由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】

由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，

即2132BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6

A B π

；

当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =

π.

【点睛】

本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.

5．AC 【分析】

利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，，则，故A 正确；，故B 错误；

解析：AC 【分析】

利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】

由向量()1,0a =，()2,2b =，

则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；

222b =+=，故B 错误；

2cos ,1a b a b a b

?<>=

又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确；由()1,0a =，()25,4a b +=，140540?-?=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.

6．ABC 【分析】

根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】

对于，因为为锐角且，所以三角

解析：ABC 【分析】

根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当

sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】

对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；

对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.92

c B b c =?==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；

对于C ，因为B 为锐角且 sin 432

c B b =?=>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；

对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.

7．AB 【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】

图2中的正八边形，其中，对于；故正确．对于，故正确．

对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于

解析：AB 【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】

图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，

对于3:11cos

4A OA OD π=??=；故正确．对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．

对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于:D AH 在AB 向量上的投影32

||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误．故选：AB ．【点睛】

本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

8．ABD 【分析】

根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】

解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.

对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确；对于B 选项，，由于为三

解析：ABD 【分析】

根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】

解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得11

AD AB AC =

+，故A 正确；对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，

2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；

对于C 选项，()

2212

=3333

BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误；对于D 选项，()

2212

3333

CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD

【点睛】

本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.

9．AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A 选项，，A 选项错误；

对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，

解析：AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A 选项，00a ?=，A 选项错误；

对于B 选项，()

a b c ??表示与c 共线的向量，()

a b c ??表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；

对于C 选项，0a b a b ?=?⊥，C 选项正确；

对于D 选项，(

)()

22a b a b a b a b +?-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】

本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

10．BD 【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】

解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故

解析：BD 【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】

解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；

AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；故选：BD . 【点睛】

本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.

11．BD 【分析】

对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．【详解】在中，

对于A ，若，则或，当A ＝

解析：BD 【分析】

对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．【详解】在ABC ?中，

对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形；当2

A B π

时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，

对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B

=，即sin sin A B >成立．故B 正确；

对于C ，由余弦定理可得：b C 错误；对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，

∴222

cos 02a b c C ab

+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ?是钝角三角形，故D 正确；

综上，正确的判断为选项B 和D ．故选：BD ．【点睛】

本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．

12．BCD 【分析】

根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】

解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，

以为原点建立平面直角坐标系，，设，若，所以

解析：BCD 【分析】

根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】

解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错，以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=，

所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．

若1OA OB ?=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．

【点睛】

本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．

13．ABD 【分析】

根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】

如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有. 当同向时

解析：ABD

【分析】

根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】

如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+. 当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-. 当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-

故选：ABD 【点睛】

本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.

14．ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ; ; ; .

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

解析：ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】

0AB BC CA AC CA ++=+=;

()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=;

()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;

0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．A 【分析】

先化简已知()()(2a b c a c b ac +++-=+得6

B π

，再化简

cos sin A C +)3

A π

+，利用三角函数的图像和性质求其范围.

【详解】

由()()(2a b c a c b ac +++-=+可得22()(2a c b ac +-=+，即

a c

b +-=，所以222cos 2a

c b B ac +-=

=，所以6B π=，56C A π=-，所以5cos sin cos sin(

A C A A π

+=+-

553

cos sin cos cos sin cos )6623A A A A A A πππ

=+-=+=+，又

02A π<<，506A π<-2π<，所以32A ππ<<，所以25336

A πππ

<+<，所以

)62

A π<+<，故cos sin A C +的取值范围为3)2．故选A ．

【点睛】

(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A 的范围

A π

，不是

A π

17．D

【分析】

先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】

因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin 0B A -=，所以A B =，又因为2B A C B π=+=-，所以3

B π

=，

所以3

A B π

==，所以ABC 是等边三角形.

故选：D. 【点睛】

本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 18．B 【分析】

||2b ta b a bt a t -=-?+，令2

()2f t b a bt a t =-?+，易得2cos b a b t a a

?==

时，222min 2

44()()14a b a b f t a

-?==，即222

||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】

2222||2b ta b a bt a t -=-?+，令222()2f t b a bt a t =-?+，因为t R ∈，

所以当2cos b a b t a a

?==时，222min 2

44()()4a b a b f t a -?=，又||b t a →→-的最小值为1，所以2

||b ta -的最小值也为1，即222

min

44()()14a b a b f t a

-?==，222||cos 1b b θ-=，

所以2

||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ

=，故若θ确定，则||b →

唯一确定. 故选：B 【点睛】

本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．A 【分析】

首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】由正弦定理可知

2sin sin sin a b c

r A B C

===

已知

sin cos sin a b c

A B B

===sin cos B B =和sin sin C B =，所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，

由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为

所以1

ABC

=?=. 故选：A 【点睛】

本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 20．C 【分析】

由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案．【详解】

ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，可得G

为重心，则23BG BE =，2CG GF =，1

DG GA =且0GA GB GC ++=

故选：C 【点睛】

本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题． 21．D 【分析】

由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．【详解】

由题意cos()0a b a b B π?=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴

B π

π<<．

∴ABC 是钝角三角形．故选：D ．【点睛】

本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 22．D 【分析】

根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】

在ABC ?中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==，所以11

AM AB BM AB BC a b =+=+

=+，

【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 23．C 【分析】

在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7

cos 25

A =，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BC

R A

=求解. 【详解】

在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，

由余弦定理得：2222225567

cos 225525

AB AC BC A AB AC +-+-===

???，

所以24sin 25

A ==

，由正弦定理得：

625

224sin 425

BC R A =

==，所以258

R =

，此三角形的外接圆半径是258

故选：C 【点睛】

本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．C 【分析】

由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()

0BC AB AC ?+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】

由题意，()()

2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，所以()

0BC AB AC ?+=，

取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ?=，即BC AD ⊥，故AB AC =，ABC 是等腰三角形.