最小生成树

16
17
D
应用举例——最小生成树
Prim算法 34 A 46 19 F B 12 26 25 E 38 cost'={(A, B)34, (C, D)17, (F, E)26}
17
U={A, F, C, D}
V-U={B, E}
cost={(A, B)34, (F, E)26}
25
C
17
D
应用举例——最小生成树
{B, C, D, E, F} (A F)19
{B, C, D, E} {B, D, E} {B, E} {B} {}
(F C)25
(C D)17
(F E)26
adjvex lowcost
adjvex lowcost
4 12
{A, F, C, D, E}
{A,F,C,D,E,B}
(E B)12
21
应用举例——最小生成树
Prim算法——伪代码
1. 将顶点0加入集合U中； 2. 初始化辅助数组shortEdge，分别为lowcost和adjvex赋值； 3. 重复执行下列操作n-1次 3.1 在shortEdge中选取最短边，取其对应的下标k； 3.2 输出边(k, shortEdge[k].adjvex)和对应的权值； 3.3 将顶点k加入集合U中； 3.4 调整数组shortEdge；
U
V-U
输出
adjvex lowcost adjvex lowcost adjvex lowcost adjvex lowcost
0 34 0 34 0 34 0 34
0 46 5 25
0 ∞ 5 25 2 17
0 ∞ 5 26 5 26 5 26
0 19
{A} {A, F} {A, F, C} {A, F, C, D}
14
25
C
17
D
应用举例——最小生成树
Prim算法 U={A, F} 34 A 46 19 F B 12 26 25 E 38 V-U={B, C, D, E} cost={(A, B)34, (F, C)25, (F, D)25, (F, E)26}
25
C
17
D
cost'={(A, B)34, (A, C)46, (A, D)∞,(A, E)∞,(A, F)19}
for(i=1;i<n;i++)//n-1次，n为顶点个数 { Min=999999; for(j=0;j<n;j++) { if(Min>lowcost[j]&&!vis[j])//寻找满足一个顶点未加入生成树, 另一个顶点已加入生成树的最小边 { Min=lowcost[j]; pos=j; } } sum+=Min; vis[pos]=1;//将顶点pos加入生成树 for(j=0;j<n;j++)//更新由顶点pos到其他未加入生成树的顶点 边的权值 { if(lowcost[j]>map[pos][j]&&!vis[j]) lowcost[j]=map[pos][j]; } }
最小生成树
生成树是一个连通图G的一个极小连通子 图。包含G的所有n个顶点，但只有n-1条 边，并且是连通的。

当生成树中所包含的边的权值和最小， 我们称之为最小生成树。
最小生成树性质
最小生成树的边数必然是顶点数减一，|E| = |V| - 1。 最小生成树不可以有循环。 最小生成树不必是唯一的。


本节所介绍的2种最小生成树算法，都是 基于贪心策略。 I.Kruskal算法 II.Prim算法
应用举例——最小生成树
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
基本思想：
假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁 斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶 点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树 上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网 的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属 不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所 在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同 一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。 依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1 条边 为止。
如何用lowcost和adjvex表示候选最短边集？
shortEdge[i].lowcost=w 表示顶点vi和vk之间权值为w， shortEdge[i].adjvex=k 其中：vi∈ V-U 且vk ∈U
20
应用举例——最小生成树
i
数组
B(i=1) C(i=2) D(i=3) E(i=4) F(i=5)
1. 初始化： U={u0}（u0∈V），TE={ }; 2. 循环直到U=V为止 2.1 在所有u∈U，v∈V-U的边中找一条代价最小的边(u,v); 2.2 TE=TE+{(u,v)}; 2.3 U=U+{v}; 12
应用举例——最小生成树
普里姆（Prim）算法 关键:是如何找到连接U和V-U的最短边。 利用MST性质，可以用下述方法构造候选最短边集： 对V-U中的每个顶点，分别求其到U的最短边。
MST性质
假设 G=(V, E) 是一个无向连通网， U是顶点集 V的一 个非空子集。若 (u, v)是一条具有最小权值的边，其 中u∈U， v∈V－U，则必存在一棵包含边(u, v)的最 小生成树。
T1 顶 点 集 U u' u T2 v
v'
顶 点 集 V－U
11
应用举例——最小生成树
普里姆（Prim）算法
基本思想：设 G=(V, E) 是具有 n 个顶点的连通网， T=(U, TE) 是 G 的 最 小 生 成 树 ， T 的 初 始 状 态 为 U={u0} （ u0∈V ）， TE={ } ，重复执行下述操作： 在所有 u∈U ， v∈V-U 的边中找一条代价最小的边 (u, v)并入集合TE，同时v并入U，直至U=V。
T1
顶 点 集 U u T2 v 顶 点 集 V－U
u'
13
应用举例——最小生成树
Prim算法 34 A 46 19 F B 12 26 25 E 38 U={A}
V-U={B, C, D, E, F}
cost={(A, B)34, (A, C)46, (A, D)∞, (A, E)∞, (A, F)19}
bool Union(int a,int b,int d)//合并 { if(a==b) return 0;//a==b说明边的两个顶点一属于同一颗树， 所以不需要合并，直接返回 root[a]=b;//将a的父节点更新为b，从而将树a，b合并成一棵树 s+=d;//将边的权值加到s当中 return 1; } void kruskal() { for(int i=0;i<n;i++)//初始化，将各顶点的父节点标记为本身 root[i]=i; sort(edge,edge+m,cmp);//将所有边 根据边的权值 从小到大排列 s=0; for(i=0;i<m;i++)//遍历所有的边 { if(Union(find(edge[i].a),find(edge[i].b),edge[i].d)) n--;//当合并成功，森林的树就少一棵 }//当遍历完所有的边时,如果n!=1,说明该无向图不是连通图,不存在最小生成树 }
Kruskal 算法过程
8 4 a 8 h 1 g 2 f b 2 i 7 6 10 c
7
d
9 e
11
4
14
两点属于 同一颗树 两点属于 同一颗树
两点属于同 一颗树
当森林只剩下一 棵树时，算法结 束
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; struct Edge { int a,b;//边的两个顶点的编号 int d;//边的权值 }edge[11111]; int n,m,s;//n为无向图的顶点个数,m为边的条数,s用来存放最小生成树的总权值 int root[111];//存储父节点 bool cmp(Edge a,Edge b) { return a.d<b.d; } int find(int a)//寻找父节点 { if(root[a]==a) return a; return root[a]=find(root[a]); }
Prim 算法过程
8 4 a 8 h 1 g 2 f b 2 i 7 6 10 c 7
d
9 e
11
4
14
全部节点都被覆 盖，算法结束
//数组lowcost[n]：用来保存非生成树中各顶点与生成树中顶点最短边的权值； //数组vis[n]：用来表示顶点v是否已加入最小生成树中。 int pos=0;sum=0;//sum用来存放最小生成树的总权值 for(i=0;i<n;i++)// { //map[0][i]：选取编号为0的顶点加入最小生成树中 lowcost[i]=map[0][i];//将其余各顶点到编号0顶点的权值存储到lowcost当中 vis[i]=0;//起始状态，所有点都未加入到最小生成树中 } vis[0]=1;//编号为0的顶点加入最小生成树中
22
Prim算法流程



定义一个点的集合S，集合内的点都是当前所 形成的生成树可以到达的。一个点到集合S的 距离定义为连结这个点和任意一个集合S内点 的边的最小权值。 1.初始化，将任意一点加入集合S。 2.选取含当前未入集合S的点到集合S的最短距 离的边，将其加入导出子图，将此点加入集合 S，并更新周围点到集合S的距离。 3.重复2过程|V|-1次。 4.所形成的导出子图就是一棵最小生成树