最小生成树问题
最小生成树问题的算法实现及复杂度分析—天津大学计算机科学与技术学院(算法设计与分析)
算法设计与分析课程设计报告学院计算机科学与技术专业计算机科学与技术年级2011姓名XXX学号2013年5 月19 日题目：最小生成树问题的算法实现及复杂度分析摘要：该程序操作简单，具有一定的应用性。
数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。
而最小生成树算法是算法设计与分析中的重要算法，最小生成树也是最短路径算法。
最短路径的问题在现实生活中应用非常广泛，如邮递员送信、公路造价等问题。
本设计以Visual Studio 2010作为开发平台，C/C++语言作为编程语言，以邻接矩阵作为存储结构，编程实现了最小生成树算法。
构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM 经典算法的算法思想，最后用这种经典算法实现了最小生成树的生成。
引言：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。
n个城市之间最多可以设置n（n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。
现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。
这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。
最小生成树是指在所有生成树中，边上权值之和最小的生成树，另外最小生成树也可能是多个，他们之间的权值之和相等。
一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。
而实现这个运算的经典算法就是普利姆算法。
正文普里姆（Prim）算法思想普里姆算法则从另一个角度构造连通网的最小生成树。
最小生成树问题的ampl实际案例
最小生成树问题的AMPL实际案例导言在图论中，最小生成树指的是在一个连接了所有节点的图中，找到一棵权重之和最小的树。
最小生成树问题被广泛应用于网络设计、电路布线、城市规划等领域。
AMPL（A Mathematical Programming Language）是一种用于数值分析和优化的高级建模语言。
本文将通过一个具体的案例，探讨如何使用AMPL解决最小生成树问题。
案例背景假设我们有一个城市网络，城市之间通过道路连接。
我们希望使用最小的成本来连接所有城市，以便人们可以在城市之间通行。
问题分析我们可以将城市网络表示为一个带权重的图，其中城市是节点，道路是边，道路的权重表示建造和维护道路的成本。
我们的目标是找到一个最小生成树，即在图中选择一些边，使得所有的城市都能够通过这些边连通，并且这些边的权重之和最小。
数学建模为了使用AMPL解决最小生成树问题，我们需要将问题建模成一个线性规划模型。
首先，我们定义一些变量： - x ij表示边(i,j)是否被选择，如果被选择则取值为1，否则取值为0。
- c ij表示边(i,j)的权重。
然后，我们需要定义一些约束条件： - 每个城市必须通过某条边连接到最小生成=1，其中j表示与城市i相连的边树中的其他城市。
对于每个城市i，我们有∑x ijj(i,j)。
- 最小生成树中不能形成环。
对于每个子集S，使得S中的城市通过(i,j)连≤|S|−1。
接到最小生成树中的其他城市，我们有∑x ij(i,j)⊆S最后，我们需要定义目标函数： - 目标函数是最小化边的权重之和。
我们有min∑c ijx ij。
i,jAMPL代码下面是用AMPL建模的代码：set Cities; # 定义城市集合param c{Cities, Cities} >= 0; # 定义边的权重矩阵var x{Cities, Cities} binary; # 是否选择边minimize Total_Cost: sum{i in Cities, j in Cities} c[i,j] * x[i,j];subject to Connectedness{i in Cities}:sum{j in Cities} x[i,j] = 1;subject to No_Cycles{S in subset(Cities)}:sum{(i,j) in (S cross S)} x[i,j] <= card(S) - 1;结果分析通过运行AMPL代码，我们可以得到最小生成树的解。
信息学奥赛一本通 第4章 第6节 最小生成树(C++版) ppt课件
5
71
4
min[3]=w[2][3]=1; min[5]=w[2][5]=2;
第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变为白点，接着枚举与3相连的所有 蓝点4、5，修改它们与白点相连的最小边权。
1
2 4
22 16
5
3
7
1
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min[4]=w[3][4]=1; 由于min[5]=2 < w[3][5]=6;所 以不修改min[5]的值。
2
1
2
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8
10
9
5
6
3
1个集合{ {1，2，3，4，5} } 生成树中有4条边{ <1,2> ，<4,5>，<3，5>，<2,5>}
3
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16
Kruskal算法
算法结束，最小生成树权值为19。 通过上面的模拟能够看到，Kruskal算法每次都选择一条最小的，且能合并两 个不同集合的边，一张n个点的图总共选取n-1次边。因为每次我们选的都是最小的 边，所以最后的生成树一定是最小生成树。每次我们选的边都能够合并两个集合， 最后n个点一定会合并成一个集合。通过这样的贪心策略，Kruskal算法就能得到一 棵有n-1条边，连接着n个点的最小生成树。 Kruskal算法的时间复杂度为O(E*logE)，E为边数。
第一行： 农场的个数，N（3<=N<=100）。
第二行..结 尾
后来的行包含了一个N*N的矩阵,表示每个农场之间的距离。理论 上，他们是N行，每行由N个用空格分隔的数组成，实际上，他们 限制在80个字符，因此，某些行会紧接着另一些行。当然，对角 线将会是0，因为不会有线路从第i个农场到它本身。
最小生成树题目
最小生成树题目 最小生成树是图论中的一个重要概念，被广泛应用于路由算法、网络设计、电力传输等领域。
最小生成树问题可以简单描述为：给定一个连通图，选择一些边使得图中所有节点都能够连接，并且总边权之和最小。
最小生成树题目是在解决最小生成树问题时所遇到的具体情境。
以下通过分析两个不同的最小生成树题目，来理解最小生成树算法的应用。
题目1：某城市的道路规划 假设一个城市有多个地区，每个地区之间需要建立道路来连接。
已知每条道路的长度，在保证每个地区都能连通的情况下，设计一个道路规划方案，使得总道路长度最小。
解题思路： 1、首先，根据题目中给出的道路长度，建立一个无向带权图。
其中，每个地区对应图的节点，道路对应图的边，道路长度对应边的权值。
2、通过使用Kruskal或Prim算法，从这个带权图中构建最小生成树，即选取一些道路使得所有地区连通，并且这些道路的权值之和最小。
3、最小生成树即为最优的道路规划方案，输出最小生成树的边集合即可。
题目2：电力传输网络设计 某地区有多个居民点，需要建立电力传输网络来确保每个居民点都能接收到电力供应。
已知每个居民点之间建立电力线路的成本，在保证每个居民点都能接收到电力供应的情况下，设计一个电力传输网络，使得总成本最小。
解题思路： 1、根据题目给出的电力线路成本，建立一个带权完全图。
其中，每个居民点对应图的节点，电力线路对应图的边，电力线路成本对应边的权值。
2、通过使用Kruskal或Prim算法，从这个带权图中构建最小生成树，即选取一些电力线路使得所有居民点都能接收到电力供应，并且这些电力线路的成本之和最小。
3、最小生成树即为最优的电力传输网络设计方案，输出最小生成树的边集合即可。
最小生成树问题是一个经典的优化问题，通过构建最小生成树，我们可以找到图中连接所有节点的最优边集合。
在实际应用中，最小生成树算法可以帮助我们进行有效的资源分配、网络规划等决策。
总体来说，最小生成树题目涉及到图的建模和优化算法的运用。
最小生成树问题例题
最小生成树问题例题最小生成树（Minimum Spanning Tree）是图论中的一个经典问题，它是指在一个带权无向图中找到一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小。
最小生成树问题在实际生活中有着广泛的应用，比如电力输送、通信网络等领域。
下面我们以一个具体的例子来说明最小生成树问题的求解过程。
假设有一个无向图，图中包含了6个节点（A、B、C、D、E、F）和9条边。
每条边都有一个权值，表示连接两个节点的成本。
我们的目标是找到一棵最小生成树。
首先，我们可以使用 Prim 算法来求解最小生成树。
Prim 算法的基本思想是从一个起始节点开始，逐步扩展生成树，直到包含所有节点为止。
具体步骤如下：1. 选择一个起始节点，将其标记为已访问。
2. 从已访问的节点中，选择一条连接到未访问节点的最短边。
3. 将这条边加入到最小生成树中，并将连接的节点标记为已访问。
4. 重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被访问过。
根据上述算法，我们可以依次选取边 AB、CD、BC、EF、DE 来构建最小生成树。
最终的最小生成树是：A-B、C-D、B-C、E-F 和 D-E 这五条边，它们的权值之和为12。
另外一个常用的求解最小生成树问题的算法是 Kruskal 算法。
Kruskal 算法的基本思想是将图中的边按照权值从小到大进行排序，然后依次选取边，如果这条边连接的两个节点不在同一个连通分量中，就将这条边加入到最小生成树中。
具体步骤如下：1. 对图中的边按照权值进行排序。
2. 从权值最小的边开始，依次选取边。
3. 如果选取的边连接的两个节点不在同一个连通分量中，就将这条边加入到最小生成树中，并将连接的节点合并为一个连通分量。
4. 重复步骤2和步骤3，直到最小生成树中包含了所有的节点。
使用 Kruskal 算法求解上述例子，我们可以依次选取边 AB、BC、CD、DE、EF 来构建最小生成树。
最终的最小生成树是：A-B、B-C、C-D、D-E 和 E-F 这五条边，它们的权值之和也是12。
最小生成树问题课程设计
最小生成树问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解最小生成树的概念，掌握其定义及性质；2. 学会运用普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法求解最小生成树问题；3. 了解最小生成树在实际问题中的应用，如网络设计、电路设计等。
技能目标：1. 能够运用普里姆和克鲁斯卡尔算法解决最小生成树问题，并进行算法分析；2. 能够运用所学知识解决实际问题，具备一定的算法设计能力；3. 能够通过合作与交流，提高问题分析和解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数据结构与算法的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生的团队合作意识，学会倾听、尊重他人意见；3. 培养学生面对问题勇于挑战、积极进取的精神。
课程性质：本课程为计算机科学与技术专业的高年级课程，旨在帮助学生掌握图论中的最小生成树问题及其求解方法。
学生特点：学生具备一定的编程基础和图论知识，对算法有一定的了解，但可能对最小生成树问题尚不熟悉。
教学要求：结合学生特点，采用案例教学、任务驱动等方法，注重理论与实践相结合，培养学生的实际操作能力和创新思维。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际问题中，提高解决复杂问题的能力。
二、教学内容1. 最小生成树概念与性质- 定义、性质及定理- 最小生成树的构建方法2. 普里姆算法- 算法原理与步骤- 算法实现与复杂度分析- 举例应用3. 克鲁斯卡尔算法- 算法原理与步骤- 算法实现与复杂度分析- 举例应用4. 最小生成树在实际问题中的应用- 网络设计- 电路设计- 其他领域应用案例5. 算法比较与优化- 普里姆与克鲁斯卡尔算法的比较- 算法优化方法及其适用场景6. 实践环节- 编程实现普里姆和克鲁斯卡尔算法- 分析并解决实际问题- 小组讨论与成果展示教学内容依据课程目标进行选择和组织，注重科学性和系统性。
参考教材相关章节，制定以下教学安排：第1周：最小生成树概念与性质第2周：普里姆算法第3周：克鲁斯卡尔算法第4周：最小生成树在实际问题中的应用第5周：算法比较与优化第6周：实践环节与总结三、教学方法本课程将采用以下多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性：1. 讲授法：教师通过生动的语言和形象的比喻，对最小生成树的概念、性质、算法原理等基础知识进行讲解，使学生快速掌握课程内容。
最小树问题
i 2在 , X 2 中e 2 选 ,4 边 E 3 E 2 e 2 4e 1,e 2 2,e 3 2,4 3 X X 2 v 4 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,X 3 v 5 ,v 6 ,
i 3在 , X 3 中e 4 选 ,5 边 E 4 E 3 e 4 5e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,5 4 X X 3 v 5 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,X 4 v 6 ,
i 4在 , X 4 中e 5 选 ,6 边 E 5 E 4 e 5 6e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,e 5 5,6 5 X X 4 v 6 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 V ,
设v1是T的一个悬挂点，考虑图T-｛v1｝，则图T｛v1｝ 的顶点数为K，由归纳假设可得 ：
，因为 m T(v1) nT(v1)1 nT(v1) nT 1 ， nT(v1) nT 1，则 mT(v1) mT1 ，证毕。
定理3：图T是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰 有一条链。
证明：必要性 因T是连通的，故任两个点之 间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链 的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾， 从而任两个点之间恰有一条链。
7
4 v6
5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4
v5
4
3
4 v6 v4
v3 5
6
v1 1
7
5
v2 2
v5
v3 5
4
6
3
v1 1
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4 v6 5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4
最小生成树问题
2.1 最小生成树
树T(V,E)的性质：
E 树的边数等于其顶点数减“1”，即 V 1 ； 树的任意两个顶点之间恰有一条初级链相连接； 在树中任意去掉一条边后，便得到一个不连通的 图； 在树中任意两个顶点之间添加一条新边，所得新 图恰有一个初级圈。
例如，图 6.4.1 给出的 G1 和 G2 是树，但 G3 和 G4 则不是树。
44
44 69
结果显示于图
求最小生成树的 Prim 算法
Prim 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树。任选一 个顶点将其涂红，其余顶点为白点；在一个端 点为红色，另一个端点为白色的边中，找一条 权最小的边涂红，把该边的白端点也涂成红色； 如此，每次将一条边和一个顶点涂成红色，直 到所有顶点都成红色为止。最终的红色边便构 成最小生成树 T0 的边集合。
在求最小生成树的有效算法中，最著名的两个是 Kruskal（克罗斯克尔）算法和 Prim（普瑞姆）算法， 其迭代过程都是基于贪婪法来设计的。 1．求最小生成树的 Kruskal 算法
Kruskal 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树，T0 中的边和 顶点均涂成红色，初始时 G 中的边均为白色。 ① 将所有顶点涂成红色； ② 在白色边中挑选一条权值最小的边，使其与红 色边不形成圈，将该白色边涂红； ③ 重复②直到有 n1 条红色边，这 n1 条红色边 便构成最小生成树 T0 的边集合。
最小生成树算法
一个简单连通图只要不是树，其生成树就不唯 一，而且非常多。一般地，n 个顶点地完全图，其 不同地生成树个数为 nn2。因而，寻求一个给定赋 权图的最小生成树，一般是不能用穷举法的。例如， 30 个顶点的完全图有 3028个生成树，3028 有 42 位， 即使用最现代的计算机，在我们的有生之年也是无 法穷举的。所以，穷举法求最小生成树是无效的算 法，必须寻求有效的算法。
最小生成树——城市公交网建设问题
最⼩⽣成树——城市公交⽹建设问题城市公交⽹建设问题【问题描述】 有⼀张城市地图，图中的顶点为城市，⽆向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建⾼速公路的造价，研究后发现，这个地图有⼀个特点，即任⼀对城市都是连通的。
现在的问题是，要修建若⼲⾼速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得⼯程的总造价最少？【输⼊格式】n（城市数，1<=n<=100） e（边数） 以下e⾏，每⾏3个数i,j,wij，表⽰在城市i,j之间修建⾼速公路的造价。
【输出格式】 n-1⾏，每⾏为两个城市的序号，表明这两个城市间建⼀条⾼速公路。
【输⼊样例】 5 8 1 2 2 2 5 9 5 4 7 4 1 10 1 3 12 4 3 6 5 3 3 2 3 8【输出样例】 1 2 2 3 3 4 3 51 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4using namespace std;56const int maxn=0x7f;7bool visit[101];8int dis[101];9int map[101][101];10int n,m,u,v,h,k;11int min1;1213void sc(int s)14 {15for(int i=1;i<=n;i++)16 dis[i]=map[s][i];17 visit[s]=true;18 dis[s]=0;19for(int i=1;i<=n;i++)20 {21 min1=maxn;22 k=s;23for(int j=1;j<=n;j++)24 {25if(!visit[j]&&dis[j]<min1)26 {27 min1=dis[j];28 k=j;29 }30 }31 visit[k]=1;32for(int j=1;j<=n;j++)33 {34if(!visit[j]&&map[k][j]<dis[j])35 dis[j]=map[k][j];36 }37 }38for(int i=1;i<=n;i++)39for(int j=1;j<=n;j++)40if(map[i][j]==dis[j])41 cout<<i<<""<<j<<endl;42 }4344int main()45 {46 cin>>n>>m;47 memset(map,maxn,sizeof(map)); 48for(int i=1;i<=m;i++)49 {50 cin>>u>>v>>h;51 map[u][v]=map[v][u]=h;52 }53for(int i=1;i<=m;i++)54 dis[i]=maxn;55 sc(1);56return0;57 }。
最小生成树问题
榆林学院12届课程设计《最小生成树问题》课程设计说明书学生姓名：赵佳学号：1412210112院系：信息工程学院专业：计算机科学与技术班级：计14本1指导教师：答辩时间：年月日最小生成树问题一、问题陈述最小生成树问题设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。
存储结构采用多种。
求解算法多种。
二、需求分析1.在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可。
2.求城市之间最经济的架设方法。
3.采用多种存储结构，求解算法也采用多种。
三、概要设计1、功能模块图2、功能描述（1)CreateUDG()创建一个图：通过给用户信息提示，让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序，并根据写入的数据创建成一个图。
（2)Switch()功能选择：给用户提示信息，让用户选择相应功能。
（3)Adjacency_Matrix()建立邻接矩阵：将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。
（4)Adjacency_List()建立邻接表：将用户输入的数据整理成临接表并显现在屏幕上。
（5)MiniSpanTree_KRSL()kruskal算法：利用kruskal算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。
（6)MiniSpanTree_PRIM()PRIM算法：利用PRIM算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。
四、详细设计本次课程设计采用两种存储结构以及两种求解算法。
1、两种存储结构的存储定义如下：typedef struct Arcell{double adj;}Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组AdjMatrix arcs; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数}MGraph;typedef struct Pnode //用于普利姆算法{ char adjvex; //节点double lowcost; //权值}Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义typedef struct Knode//用于克鲁斯卡尔算法中存储一条边及其对应的2个节点{char ch1; //节点1char ch2; //节点2double value;//权值}Knode,Dgevalue[MAX_VERTEX_NUM];2、求解算法采用Prim算法和Kruskal算法。
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Y
T←T+ {ek},
k←k+1 w←w+wk,
t←t+1,k←k+1
2020/12/13
Prim法求最小支撑树
Kruskal法盯住边,而Prim法更注意顶点: 从任一顶点开始都可以,逐个把最近的顶点找进来(找过的不找,
就不会成圈)。 算法如下: S1:T←{v1}, S←V\{v1}, w←0
否则转S5 S5: T←T∪{ek},w←w+wk,
t←t+1, k←k+1,转S3 S6:输出T及w，结束。 T为最小树，w为T的权。这个算
法叫Kruskal算法(避圈法)
START
E的权排序w1≤w2≤…≤wm w←0,T←φ,k←1,t←0
t=n-1?
Y
N
T’←T∪{ek}
T’成圈? N
பைடு நூலகம்
END
S2:若S=φ转S5,否则转S3
设 S3::m vvij STin{w(vivj)}w(vlvk)
S4:T←T∪{vk},S←S\{vk},w←w+w(vlvk),转S2 S5:输出T及w,停止.
2020/12/13
用Prim算法(就近法)求赋权连通图G的最小树
TTTT=={={=vv{{11vv,,1v1v2},2,v,v,v2v233,},v,vv355},,,vvv566,}v7},v4}
最小生成树问题
2020/12/13
赋权连通图的最小支撑树
边的权:G=(V,E)对每边ei∈E规定一个非负的实数w(ei)叫“权”； 带权图:每边都有权的图叫赋权图或带权图； 树:其特点之一是边数比顶点数少一； 图G的支撑树T:E(T)E(G),V(T)=V(G),即由G找T，顶点一个不能少，
边可能删去几条，但T必须是树[当然如G不是连通图，则没有支撑树]。 最小树:赋权的连通图G的众多支撑树中必至少有一，其各边权之和为
最小的，它就叫G的一棵最小支撑树或最小生成树；简称最小树或最短 树[管线铺设]。 最小树的存在性：赋权的连通图G =(V,E),记m=|E|, n=|V|,支撑树T的 边数|E(T)|=n-1,E(T)必为V的n-1元子集，显然这种子集合最多 个，所以支撑树是有限的，其权组成有限集，必有最小的[但可能C mn不1 唯 一]。
2020/12/13
求最小树的Kruskal算法
赋权的连通图G=(V,E)中 m=|E|,n=|V|,
S1:对E中各边的权排序，设 w1≤w2≤…≤wm,wi=w(ei)
S2:初始化：
w←0,T←φ,k←1,t←0
S3:若t=n-1则转S6，否则转S4 S4:若T∪{ek}有圈则k←k+1转S4，
S={v2,v3,v4,v5,v6,v7}
V2
5
V6
4
2
9
12
V1
3
8
V3
6
4
5
6
V5
V7
10 7
7
11
2020/12/13
V4
∴最小树的权为24，最小树为 Tree={v1v2,v1v3,v2v5,v5v6,v6v7,v6v4}