最小生成树(MST)问题的扩展共40页
最小生成树MinimumSpanningTree
8
1、Prim算法
算法求精－初始化
将根r涂红加入红点集U，TE＝φ。
对每个白点i (0≤i ≤n-1, i≠r ), i所关联的最短紫边（r,i）的 长度为G[r][i], 这n-1条最短紫边构成了初始的候选轻边集。
因为树边为空，故将T[0..n-2]全部用来存放候选轻边集。
❖设V(G)={0,1,…,n-1}
❖算法的每一步均是在连接红、白点集的紫 边中选一轻边扩充到T（贪心），T从任意 一点r开始（r为根），直至U＝V为止。 MST性质保证了贪心选择策略的正确性。
3
1、Prim算法
如何找轻边？
❖可能的紫边集
设红点集|U|=k, 白点集|V-U|=n-k，则可能的紫边 数为：k(n-k)。
//将(u,v)涂红加入树中，白点v加入红点集
ModifyCandidateSet(…);
//根据新红点v调整候选轻边集
}
}
算法终止时U＝V，T=(V,TE)
6
1、Prim算法
实例
6 1
5
35 4
05
1
3
27 2
4
5
6
60 5
1
1
3
∞2
∞
4
5
0
151
3
2
5
2 4
4
5
0
151
3
2
5
2 4
4
5
0
151 2
int i, minpos, min=Infinity; for (i=k; i<n-1; i++) //遍历候选集找轻边
论中的最小生成树问题
论中的最小生成树问题最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）问题是图论中的一个经典问题，研究的是在一个连通图中，找到一棵生成树，使得树上所有边的权值之和最小。
一、最小生成树问题的定义在一个连通无向图G=(V, E)中，每条边都带有一个权值，要求找到一棵生成树T，使得T中包含图G中的所有顶点，且T上所有边的权值之和最小。
二、最小生成树问题的解法目前，已经有几种经典的算法来解决最小生成树问题，其中包括Prim算法和Kruskal算法。
1. Prim算法Prim算法是典型的贪心算法，其核心思想是从一个初始顶点出发，逐步将与当前树连接的边中，选择权值最小且未被访问过的边加入到最小生成树中，直到生成树包含图中所有的顶点。
具体步骤如下：（1）选择一个初始顶点v，将v添加到生成树中；（2）将与v相连的边按权值从小到大排序；（3）选择一条权值最小的边e，如果e的另一端的顶点不在生成树中，则将e加入到生成树中，并将该顶点也加入到生成树中；（4）重复步骤（3），直到生成树包含图中所有的顶点。
2. Kruskal算法Kruskal算法也是一种贪心算法，其核心思想是先将图的所有边按照权值排序，然后按照权值从小到大的顺序逐条加入到最小生成树中，直到生成树中包含了图中的所有顶点，并且形成一个连通图。
具体步骤如下：（1）将图G的所有边按照权值从小到大排序；（2）从小到大遍历排序后的边，如果该边的两个顶点不在同一个连通分量中，则将该边加入到最小生成树中，并合并这两个连通分量；（3）重复步骤（2），直到生成树中包含了图中的所有顶点，并且形成一个连通图。
三、最小生成树问题的应用最小生成树问题在实际生活中有许多应用。
例如，在网络规划中，可以将网络节点看作图中的顶点，节点之间的连接看作边，通过求解最小生成树问题，可以找到一个具有最小成本的网络连接方案。
另外，在电力系统规划中，也可以利用最小生成树算法来选择电力输电线路，以实现供电成本的最小化。
解释最小生成树
解释最小生成树最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
生成树是指一个连通图的生成树是指保留图中所有的节点，但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。
在实际应用中，我们常常需要找到一个最优的生成树来解决问题。
最小生成树算法可以用于寻找最短路径、最小费用最大匹配等问题。
本文将详细介绍最小生成树的算法及其应用。
一、算法原理最小生成树的算法基于贪心策略。
在生成树中，边的权值表示为边的邻接顶点之间的权值。
边的权值之和反映了边的权值大小。
因此，我们需要寻找的边的权值之和最小的生成树就是一棵最优的生成树。
算法的基本思想是首先将图中的节点按照权值从小到大排序。
然后，从权值最小的节点开始，不断地寻找一个未访问过的节点。
当找到一个未访问过的节点时，将其加入到生成树中，并将其与原图中所有已访问过的节点建立边联系。
这样，生成树中就有了一个未访问过的节点。
接下来，我们继续寻找下一个未访问过的节点。
如果找到了一个节点，我们继续寻找与该节点相邻的节点。
如果找到了一个已访问过的节点，我们继续寻找下一个未访问过的节点。
重复以上步骤，直到所有节点都被正确地加入到生成树中。
二、应用场景最小生成树算法在实际应用中具有广泛的应用，以下列举了几个典型的应用场景：1.最短路径问题：最小生成树算法可以用于寻找一个图中所有节点之间的最短路径。
通过构建最小生成树，我们可以得到图中所有节点之间的最短距离。
在实际应用中，我们可以使用最小生成树算法来找到一个城市的最佳路线，或者找到一个公司的最短路径。
2.最小费用最大匹配问题：最小生成树算法可以用于寻找一个图中所有节点之间的最小费用最大匹配。
在最小费用最大匹配问题中，我们需要找到一个图中所有节点之间的最小费用，使得这些费用之和最大化。
最小生成树算法可以帮助我们找到一个最优的解，从而实现最小费用最大匹配。
最小生成树
prim()算法动态图形 演示：
a
18 16
19 14
b
12 7
5
c
3
e
8
gHale Waihona Puke 27d f21
所得生成树权值和 = 14+8+3+5+16+21 = 67
样例题目：
描述
最近，小Hi很喜欢玩的一款游戏模拟城市开放出了新Mod， 在这个Mod中，玩家可以拥有不止一个城市了！ 但是，问题也接踵而来——小Hi现在手上拥有N座城市， 且已知这N座城市中任意两座城市之间建造道路所需要的费 用，小Hi希望知道，最少花费多少就可以使得任意两座城市 都可以通过所建造的道路互相到达（假设有A、B、C三座城 市，只需要在AB之间和BC之间建造道路，那么AC之间也是 可以通过这两条道路连通的）。
最小生成树 MST minimum-cost spannirng tree 2015/1/28
最小生成树
问题：
假设要在 n 个城市之间建立通讯 联络网，则连通 n 个城市只需要 修建 n-1条线路，如何在最节省经 费的前提下建立这个通讯网？
该问题等价于：
构造网的一棵最 小生成树， 即：在 e 条带权 的边中选取 n-1 条边 （不构成回路）
程序代码：
kruskal 算法
问题的出发点：为使生成树上边的权值之和达到最小，则应使生成树 中每一条边的权值尽可能地小。 算法思路： 1. 建立一个边集（该边集按照权值成“递增”顺序）（一般用结构体） 2.从边集开始找边加到树上。当第一条边加到树上后，此时树上有两 个节点，此时的权值和就是这条边。接着添加第二条边，这是就要判断 这条边的加入会不会和之前的已经加入到树上的那些边组成回路呢？如 果组成回路，则说明该边不可以加到该生成树上否则可以。就这样一直 往生成树上加边，直到生成树上有n-1条边了。退出循环，输出权值总 和。
最小生成树
Kruskal算法
– 每个步骤选择一条边加入生成树 – 贪心准则：不会产生环路，且耗费最小 – 可按耗费递增顺序考察每条边 • 若产生环路，丢弃 • 否则，加入
Kruskal 算法过程
8 4 a 8 h 1 构成环路 构成环路 构成环路 g 2 f b 2 i 7 6 10 c
7
d
9 e
11
4
14
相关题目：
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谢谢大家
后面的幻灯片作为补充，给出了并查集 ，最小堆的简单介绍，以及相关程序。 有精力的同学可以进一步学习研究。
最小生成树 MST (minimum spanning tree)
by nkzgm
最小生成树定义
对于一个无向连通图G=(V,E),其中V是顶点集合，E是边的集合，对 于E中每一条边(u,v),都有一个权值w(u,v)表示连接u和v的代价。我们希 望找出一个无回路的子集T(属于E),它连接了所有的顶点，且其权值之和
全部节点都被覆 盖，算法结束
Kruskal算法的性能
• Kruskal也需要进行V-1次选取操作，它的 选取范围是整个图，因而可以用O(ElgE) 的时间对所有的边进行排序。从这个有序 的排列依次选取，若选取的边的加入不能 构成回路，则加入。否则对排列的下一个 边进行相同操作。直到选取了V-1个边为 止。 • 在判断是否构成回路时需要用并查集。 Kruskal的运行时间为O(ElgE)。
phyloviz最小生成树解读
Phyloviz（Phylogenetic Networks Visualization）是一种用于可视化和分析生物学系统进化关系的工具，通常用于展示物种、基因或其他生物实体之间的进化关系。
最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是Phyloviz中一种用于呈现数据的方法，下面是对Phyloviz最小生成树的解读。
Phyloviz最小生成树解读步骤：1.数据准备：首先，你需要准备包含生物学实体之间进化关系的数据。
这通常是一种分子生物学的数据，例如基因序列或其他遗传信息。
2.输入数据到Phyloviz：将数据输入到Phyloviz中，并选择最小生成树作为展示数据的一种方式。
3.MST的构建： Phyloviz使用输入的数据构建一个最小生成树。
最小生成树是一种无向图，它连接了所有的节点，并且总权重最小。
在生物学的上下文中，节点通常代表不同的生物实体，边代表它们之间的进化关系。
4.节点和边的表示：在Phyloviz的最小生成树中，节点表示生物实体，边表示它们之间的进化关系。
通常，节点上可能包含有关生物实体的其他信息，例如物种名称、基因型等。
5.树的分析和解读：对生成的最小生成树进行分析和解读。
查看树的拓扑结构，了解节点之间的关系。
节点之间的距离可以表示它们之间的进化距离，这可以用于推测它们之间的共同祖先和演化关系。
6.进化路径和分支：最小生成树的分支和路径提供了有关生物实体进化路径的信息。
较短的分支表示较近的进化关系，而较长的分支表示较远的关系。
7.树的可视化： Phyloviz提供了直观的可视化界面，可以通过调整参数和样式来定制树的外观。
你可以选择不同的布局、颜色方案和标签显示方式，以便更好地呈现数据。
8.附加信息的显示： Phyloviz通常支持在树节点上显示额外的信息，例如置信度或其他测量。
这有助于进一步解释树的结构。
Phyloviz最小生成树的解读依赖于你的数据和问题背景。
最小生成树算法详解
最小生成树算法详解最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一个经典问题，它是指在一个加权连通图中找出一棵包含所有顶点且边权值之和最小的树。
在解决实际问题中，最小生成树算法被广泛应用于网络规划、电力传输、城市道路建设等领域。
本文将详细介绍最小生成树算法的原理及常见的两种算法：Prim算法和Kruskal算法。
一、最小生成树算法原理最小生成树算法的核心思想是贪心算法。
其基本原理是从图的某个顶点开始，逐步选取当前顶点对应的边中权值最小的边，并确保选取的边不会构成环，直到所有顶点都被连接为止。
具体实现最小生成树算法的方法有多种，两种常见的算法是Prim 算法和Kruskal算法。
二、Prim算法Prim算法是一种基于顶点的贪心算法。
它从任意一个顶点开始，逐渐扩展生成树的规模，直到生成整个最小生成树。
算法的具体步骤如下：1. 初始化一个空的生成树集合和一个空的顶点集合，将任意一个顶点加入到顶点集合中。
2. 从顶点集合中选择一个顶点，将其加入到生成树集合中。
3. 以生成树集合中的顶点为起点，寻找与之相邻的顶点中权值最小的边，并将该边与对应的顶点加入到最小生成树中。
4. 重复第3步，直到生成树中包含所有顶点。
Prim算法是一种典型的贪心算法，其时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
三、Kruskal算法Kruskal算法是一种基于边的贪心算法。
它首先将所有边按照权值从小到大进行排序，然后从小到大依次选择边，判断选取的边是否与已选取的边构成环，若不构成环，则将该边加入到最小生成树中。
算法的具体步骤如下：1. 初始化一个空的生成树集合。
2. 将图中的所有边按照权值进行排序。
3. 依次选择权值最小的边，判断其两个顶点是否属于同一个连通分量，若不属于，则将该边加入到最小生成树中。
4. 重复第3步，直到最小生成树中包含所有顶点。
Kruskal算法通过并查集来判断两个顶点是否属于同一个连通分量，从而避免形成环。
最小生成树(Minimal Spanning Tree，MST)问题
例7.6 最小生成树（Minimal Spanning Tree，MST）问题求解最小生成树的方法虽然很多，但是利用LINGO建立相应的整数规划模型是一种新的尝试。
这对于处理非标准的MST问题非常方便。
我们主要参考了文[7]。
在图论中，称无圈的连通图为树。
在一个连通图G中，称包含图G全部顶点的树为图G 的生成树。
生成树上各边的权之和称为该生成树的权。
连通图G的权最小的生成树称为图G 的最小生成树。
许多实际问题都可以归结为最小生成树。
例如,如何修筑一些公路把若干个城镇连接起来；如何架设通讯网络将若干个地区连接起来；如何修筑水渠将水源和若干块待灌溉的土地连接起来等等。
为了说明问题,以下面的问题作为范例。
范例：假设某电话公司计划在六个村庄架设电话线，各村庄之间的距离如图所示。
试求出使电话线总长度最小的架线方案。
为了便于计算机求解，特作如下规定：（1）节点V1表示树根；（2）当两个节点之间没有线路时，规定两个节点之间的距离为M（较大的值）。
MST的整数规划模型如下：Array运用WinSQB软件：Network Modeling1——3——4——2，，，，4——6——5 最短距离为8Solution for Minimal Spanning Tree Problem road07-25-2000 From Node Connect To Distance/Cost From Node Connect To Distance/Cost1 Node4 Node2 2 4 Node6 Node5 22 Node1 Node3 1 5 Node4 Node6 13 Node3 Node4 2Total Minimal Connected Distance or Cost = 8直接用人脑算：避圈法：把图中所以的点分为V 与_V 两个部分。
其步骤为：（1） 从图中任选一点i v 为树根， 让i v V ∈，图中其余的点均包含在_V 中。
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for( i = 0, j = v[p.k].size(); i < j; i ++ ) { q.k = v[p.k][i].k; if( bUsed[q.k] ) continue; q.w = p.w + v[p.k][i].w ; pq.push ( q);
} } printf("%d", p.w ) ; return 0; }
例题1： POJ 2349 Arctic Network
• 某地区共有n座村庄，每座村庄的坐标用一 对整数(x, y)表示，现在要在村庄之间建立 通讯网络。
• 通讯工具有两种，分别是需要铺设的普通 线路和卫星设备。
• 只能给k个村庄配备卫星设备，拥有卫星设 备的村庄互相间直接通讯。
• 铺设了线路的村庄之间也可以通讯。但是 由于技术原因，通讯距离不超过d。
};
int k; int w;
bool operator < ( const CNode & d1, const CNode & d2 ) { return d1.w > d2.w; //priority_queue总是将最大的元素出列
} int aDist[30010]; priority_queue<CNode> pq; bool bUsed[30010]={0}; //vector<CNode> v[30010]; error,如果用这个，则在poj山会超时。说明vector对象的初始化，也是需要可观时间的 vector<vector<CNode> > v; const unsigned int INFINITE = 100000000; int main() {
vUsed[i] = 0; vDist[i] = INFINITE; } nDoneNum = 0; int nTotalW = 0; pq.push(XEdge(0,0));
while( nDoneNum < n && !pq.empty() ) { do { xDist = pq(); pq.pop(); } while( vUsed[xDist.v] == 1 && ! pq.empty()); if( vUsed[xDist.v] == 0 ) { nTotalW += xDist.w; vUsed[xDist.v] = 1; nDoneNum ++; for( i = 0;i < G[xDist.v].size();i ++ ) { int k = G[xDist.v][i].v; if( vUsed[k] == 0) { if( vDist[k] > G[xDist.v][i].w ) { vDist[k] = G[xDist.v][i].w; pq.push(XEdge(k,G[xDist.v][i].w)); } } } }
int N,M,a,b,c; int i,j,k;
CNode p, q;
scanf("%d%d", & N, & M );
v.clear(); v.resize(N+1);
memset( bUsed,0,sizeof(bUsed)); for( i = 1;i <= M; i ++ ) {
} p.k = 1; p.w = 0; pq.push ( p); while( !pq.empty ()) {
return e1.w > e2.w; }
int HeapPrim(const vector<vector<XEdge> > & G, int n) //G是邻接表,n是顶点数目，返回值是最小生成树权值和 {
int i,j,k; XEdge xDist(0,0); priority_queue<XEdge> pq; vector<int> vDist(n); //各顶点到已经建好的那部分树的距离(可以不要) vector<int> vUsed(n); int nDoneNum = 0; for( i = 0;i < n;i ++ ) {
scanf("%d%d%d", & a, & b, & c); p.k = b; p.w = c; v[a].push_back( p);
p = pq (); pq.pop(); if( bUsed[p.k])
bUsed[p.k] = true; if( p.k == N )
continue; break;
} if( nDoneNum < n )
return -1; //图不连通 return nTotalW; }
用prioirty_queue实现 dijkstra + 堆的 POJ 3159 Candies (30000点，150000 边求最短路)
#include <stdio.h> #include <iostream> #include <vector> #include <queue> using namespace std; struct CNode {
例题1： POJ 2349 Arctic Network
已知所有村庄的坐标 ( x , y ) ，卫星设备的 数量 k 。
问：如何分配卫星设备，才能使各个村庄 之间能直接或间小值。
数据规模：0 <= k <= n<= 500
(From Waterloo University 2019)
用prioirty_queue实现 Prim + 堆
#define INFINITE 900000000
struct XEdge {
int v; int w; XEdge(int v_ = 0, int w_ = INFINITE):v(v_),w(w_) { } };
vector<vector<XEdge> > G(30); //图的邻接表 bool operator <(const XEdge & e1, const XEdge & e2) {
思路
假设 d 已知，把所有铺设线路的村庄连接 起来，构成一个图。需要卫星设备的台数 就是图的连通支的个数。
d越小，连通支越多。 那么，只需找到一个最小的d，使得连通支