直线、平面平行的判定及其性质 教案

直线与平面平行的判定和性质

（二）新授内容

1．如何判定直线与平面平行

在平面外能不能说明直线与平面平行？

不能说明直线与平面平行）

②直线与平面平行的判定定理

面平行。

已知：a⊄α，b⊂α，且a∥

求证：a∥α

师：你们会采用什么方法证明定理？

证明：∵ a∥b∴经过a,b确定一个平面β

∵a⊄α，b⊂α∴α与β是两个不同的平面。∵b⊂α，且b⊂β∴α∩β

假设a与α有公共点P，则P∈α∩β＝

点P是a、b的公共点这与a∥b矛盾，∴a∥α

例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线，已知：如图空间四边形ABCD中，E、F分别是面BCD

证明：连结BD

AE＝EB

⇒EF∥BD

AF＝FD EF ⊄平面BCD ⇒EF∥平面

BD ⊂平面BCD

评析：要证EF∥平面BCD，关键是在平面BCD 证明线面平行的问题转化为证明直线的平行2．直线和平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，

这条直线和交线平行。

已知：a∥α，a⊂β,α∩β＝b（如右图）

求证：a∥b

证明：α∩β＝b⇒b⊂a a⊂β

a∥α⇒a∩b=φ⇒a∥b

b⊂β

评析：证明用到了“同一平面的两直线没有公共点，则它们平行”

例2、如图，平面α、β、γ两两相交，a、b、c为三条交线，且a∥b，那

么a与c、b与c有什么关系？为什么？师：猜a与c什么关系？

生：平行

师：已知a∥b能得出什么结论，怎样又可征得a∥c

解：依题可知：α∩γ=a,β∩γ=b,α∩β借助多媒体将∵a⊂α,b⊄α,且a∥b∴b∥α图形多角度展又∵b⊂β, α∩β=C∴b∥示，便于观察又∵a∥b, ∴a∥c

师：b∥α,过b且与α相交的平面有多少个？这些交线的位置关系如何？多媒体展示过生：有无数条交线，且它们相互平行。程

注：①性质定理也可概括为由“线面平行”证得“线线平行”

②过b且与α相交的平面有无数个，这些平面与α的交线也有无数条，且这

些交线都互相平行

3．练习

①能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）

A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥b

C. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c

D. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD

②下列命题正确的是（ D F ）

A. 平行于同一平面的两条直线平行

B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行

C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行

D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行

E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b⊄α，那么b∥α

③若两直线a与b相交，且a平行于平面α，则b与α的位置关系是平

行或相交

④如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一矩形。

（1）求证：CD∥平面EFGH；

（2）求异面直线AB、CD所成的角

证明：⑴依题： 矩形EFGH ⇒GH ∥EF

EF ⊂面ACD ⇒GH ∥面ACD GH ⊄面ACD GH ⊂面BCD

面BCD ∩面ACD ＝CD

⇒GH ∥CD

GH ⊂面EFGH

CD ∥GH,且面BCD ∩面EFGH ＝GH ⇒CD ⊄面EFGH

⇒CD ∥平面EFGH

⑵ 如⑴可证CD ∥GH

同理可证AB ∥GF ⇒∠HGF 即为异面直线AB 与CD 所成的角且

矩形EFGH ⇒∠HGF ＝90° ∠HGF ＝90°

4．思考补充

⑴过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有 无数 个

⑵过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面有 一 个,并说明理由。 已知：a 与b 为异面直线

求证：过b 有且只有一个平面与a 平行 证明：假设过b 有两个平面α、β都与a 平行 在b 上任取一点P ，a 与b 为异面直线，

∴P ∈a.过a 和P 有且只有一个平面设为γ，且γ与α、β都相交，设分别交于C 和C ′

又∵a ∥α,a ∥β∴a ∥C,a ∥C ′ ∵a ⊂γ,C ⊂γ,C ′⊂γ且C ∩C ′=P

∴这与在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以过两条异面直线中的一条和另一条平行的平面只有一个 5．小结

本节的重点是直线与平面平行的判定和性质定理。记清楚定理的描述，在应用定理时，要注意条件的满足，如判定定理中的三个条件一个不能少。另外这两个定理在证题时往往需要交替使用，但要注意这种交替不是循环，而是步步向前推进的。 6．板书

7．作业

课本P19 习题9.3 的第1、3、4题

三课后反思

立体几何比较抽像，所以要尽可能找生活中的实例进行分析。多媒体可以代替我们抄题，展示一些比较难想像的过程，节约我们的时间，但是不要什么都依赖它，注意培养学生的动手能力。多让学生自己分析找出规律，增加互动。适时的对过去所以学过的知识进行复习。