5.2 分式的乘除法 教案

5.2 分式的乘除法

●教学目标

（一）教学知识点

1.分式乘除法的运算法则，

2.会进行分式的乘除法的运算.

（二）能力训练要求

1.类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则.

2.在分式乘除法运算过程中，体会因式分解在分式乘除法中的作用，发展有条理的思考和语言表达能力.

3.用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识.

（三）情感与价值观要求

1.通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，认识事物之间的内在联系，获得成就感.

2.培养学生的创新意识和应用数学的意识.

●教学重点 让学生掌握分式乘除法的法则及其应用.

●教学难点 分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算.

●教学方法 引导、启发、探求

●教学过程

Ⅰ.创设情境，引入新课

［师］上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？ 探索、交流——观察下列算式：

32×54=5342??,75×92=9

725??, 32÷54=32×45=4352??,75÷92=75×29=2

795??. 猜一猜a b ×c d =? a b ÷c

d =?与同伴交流. 两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘.

即a b ×c d =ac

bd ;

a b ÷c d =a b ×d c =ad

bc . 这里字母a ,b ,c ,d 都是整数，但a ,c ,d 不为零.

［师］如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法.

Ⅱ.讲授新课

1.分式的乘除法法则

［师生共析］分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

2.例题讲解 ［例1］计算：

（1）y x 34·32x y ;（2）22-+a a ·a

a 212+. 分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.

解：（1）y x 34·32x y =3

234x y y x ?? =23222x xy xy ??=232x

; （2）22-+a a ·a

a 212+ =)2()2(2+??-+a a a a =a

a 212-. ［例2］计算：

（1）3xy 2

÷x y 26;（2）4412+--a a a ÷4122--a a 分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.

解：（1）3xy 2

÷x y 26=3xy 2·26y x =2263y x xy ?=2

1x 2; （2）4412+--a a a ÷4

122--a a

=4414+--a a a ×1422--a a =)

1)(44()4)(1(222-+---a a a a a =)

1)(1()2()2)(2)(1(2+---+-a a a a a a =)

1)(2(2+-+a a a 3.做一做

通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d ，已知球的体积公式为V=

34πR 3（其中R 为球的半径），那么 （1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？

（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？

（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？

相信你一定会感兴趣的.

［生］我们不妨设西瓜的半径为R ,根据题意，可得：

（1）整个西瓜的体积为V 1=3

4πR 3; 西瓜瓤的体积为V 2=3

4π（R －d ）3. （2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：

12V V =3

33

4)(34R d R ππ-=33)(R d R - =（R d R -）3=（1－R

d ）3. （3）我认为买大西瓜合算.

由12V V =（1－R d ）3可知，R 越大，即西瓜越大，R d 的值越小，（1－R

d ）的值越大，（1－R

d ）3也越大，则12V V 的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买

大西瓜更合算.

Ⅲ.随堂练习

1.计算：（1）b a ·2a b ;（2）（a 2－a ）÷1-a a ;（3）y x 12-÷21y x +

2.化简：

（1）362--+x x x ÷x

x x --+632; （2）（ab －b 2

）÷b a b a +-2

2 解：1.（1）

b a ·2a b =2ba ab =a ab ab ?=a 1; （2）（a 2－a ）÷

1-a a =（a 2－a ）×a a 1- =a

a a a )1)(1(--=（a －1）2 =a 2－2a +1

（3）y x 12-÷21y

x +=y x 12-×12

+x y =)

1()1)(1(2

+-+x y y x x =（x －1）y =xy －y . 2.（1）362--+x x x ÷x

x x --+632 =3

)2)(3(--+x x x ×362+--x x x =)

3)(3()2)(3)(2)(3(+-+--+x x x x x x =（x －2）（x +2）=x 2－4.

（2）（ab －b 2

）÷b a b a +-2

2 =（ab －b 2）×

22b

a b a -+=))(())((b a b a b a b a b +-+- =b .

Ⅳ.课时小结 ［师］同学们这节课有何收获呢？

［生］我们学习分式的基本性质可以发现它类似于分数的基本性质.今天，我们学习分

式的乘除法的运算法则，也类似于分数乘除法的运算法则.我们以后对于分式的学习是否也类似于分数，加以推广便可. ［师］很好！其实，数学历史的发展就是不断地将原有的知识加以推广和扩展.

［生］今天我们学习了一种新的运算，能运用因式分解将分子、分母是多项式的分式乘或除，我觉得我们很了不起.

……

Ⅴ.课后作业

Ⅵ.活动与探究

已知a 2+3a +1=0,求

（1）a +a 1;（2）a 2+21a ; （3）a 3+31a ;（4）a 4+41a ［过程］ 根据题意可知a ≠0，观察所求四个式子不难发现只要求出（1），其他便可迎刃而解.因为a 2+3a +1=0，a ≠0，所以a 2

+3a +1=0两边同除以a ,得a +3+

a 1=0，a +a 1=－3.

［结果］因为a 2+3a +1=0,a ≠0,

（1）a 2+3a +1=0两边同除以a ，得 a +3+a 1=0,a +a

1=－3; （2）a 2+

21a =（a +a 1）2－2=（－3）2－2=7; （3）a 3+31a =（a +a 1）（a 2+21a

－1）=（－3）×（7－1）=－18; （4）a 4+

41a =（a 2+21a ）2－2=72－2=47. ●板书设计 5.2 分式的乘除法

一、运算法则：

a b ×c d =ac bd ;a b ÷c d =a b ×d c =ad

bc . （其中a 、c 、d 是不为零的整式，

a b ,c d 是分式）. 二、应用，升华