【优质部编】(全国通用版)2019-2020高考数学二轮复习 中档大题规范练(三)概率与统计 理
人教A版2020届高考数学二轮复习(理)讲义及题型归纳(中档)：概率与统计
概率与统计一、考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。
2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。
3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。
二、命题趋势探究1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。
2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。
3.有关正态分布的考题多为一道小题。
三、知识点精讲（一）.条件概率与独立事件（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作()P B A ，条件概率公式为()=P B A ()()P AB P A 。
（2）若()=P B A P B （），即()=()()P AB P A P B ,称A 与B 为相互独立事件。
A 与B 相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。
即,A B 相互独立，则有公式()=()()P AB P A P B 。
（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k ()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A在其中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()1n k k k n n P k C p p -=- .（二）.离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）.表13-1①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ;②121n p p p ++=L .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++L ，反映随机变量ξ取值的波动性。
2020高考数学大二轮专题突破文科通用统计与概率小题专项练(20张)
5.标准差 s=
1 ������
[(������1-������)2
+
(������2-������)2
+
…
+
(������������
-������)2].
6.古典概型:P(A)=������中所基含本的事基件本总事数件������ 数������.
7.几何概型的概率
P(A)=试验的构全成部事结件果������所的构区成域的长区度域(面长积度或(面体积积或) 体积).
8.线性回归方程:回归直线^������ = ^bx+^������经过样本点的中心(������, ������).
-3-
一、选择题 二、填空题
1.(2019全国卷1,文6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些
学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取
100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被
6.1 统计与概率小题专项练
1.分层抽样满足各层抽取的比例=样 总本 体容 容量 量. 2.在频率分布直方图中,小长方形的面积等于频率,各小长方形的 面积的总和等于1. 3.茎叶图:当数据是两位数时,用中间的数字表示十位数,两边的 数字表示个位数;当数据是三位数时,前两位相对比较集中时,常以 前两位为茎,第三位(个位)为叶(其余类推). 4.方差 s2=���1���[(x1-������)2+(x2-������)2+…+(xn-������)2].
答案
一、选择题 二、填空题
8.
(2019湖南湘潭一模,文8)在一次53.5公里的自行车个人赛中,25名参 赛手的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示,现将参赛选手按成绩由 好到差编为1~25号,再用系统抽样方法从中选取5人.已知选手甲的 成绩为85分钟,若甲被选取,则被选取的其余4名选手的成绩的平均 关闭 数 将参为赛( 选手)按成绩由好到差分为5组,则第一组(80,81,82,83,85),第二组 A.97 B.96 C.95 D.98
2019数学(文)通用版二轮精准提分练习第二篇 第18练 概率与统计的综合问题
第18练概率与统计的综合问题［中档大题规范练][明晰考情]1。
命题角度:概率与统计知识的交汇处是高考命题的考点。
2.题目难度：中档难度。
考点一古典概型与几何概型要点重组(1）古典概型的两个特征①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件发生的可能性相等.(2)几何概型将古典概型的有限性推广到无限性，几何概型的测度包括长度、面积、角度、体积等。
1.已知A，B两个盒子中分别装有标记为1,2,3,4的大小相同的四个小球，甲从A盒中等可能地取出1个球，乙从B盒中等可能地取出1个球。
(1）用有序数对（i，j)表示事件“甲抽到标号为i的小球，乙抽到标号为j的小球”，试写出所有可能的事件；(2）甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜。
你认为此游戏是否公平？请说明理由。
解（1）甲、乙两人抽到的小球的所有情况有（1,1)，（1,2）,(1，3)，(1,4)，(2，1)，（2,2），(2，3），(2,4）,（3，1),（3，2),（3，3）,(3，4)，（4,1)，（4，2）,（4，3)，（4,4），共16种不同的情况。
(2)甲抽到的小球的标号比乙大，有（2,1）,(3，1)，（3，2)，(4,1)，(4,2)，(4,3），共6种情况,故甲胜的概率P 1＝错误!＝错误!，乙胜的概率为P 2＝1－错误!＝错误!。
因为错误!≠错误!，所以此游戏不公平。
2.已知集合A ＝［－2,2］,B ＝[－1，1],设M ＝｛(x ，y )｜x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素（x ，y ).（1)求以（x ,y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率;(2）求以(x ,y ）为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于错误!的概率. 解 （1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8。
因为圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝错误!＝错误!。
2020高考数学二轮复习专题讲练15概率与统计(概率与统计大题解答题考向探究)(最新,超经典)
2020高考数学二轮复习专题讲练14概率与统计（概率与统计大题解答题考向探究）（最新，超经典）大题增分专项概率与统计大题考向探究全国卷3年考情分析考|题|细|目|表概率部分解答题的考查重点是离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，事件的独立性和n次独立重复试验模型的综合问题等；统计部分解答题应重点关注古典概型与频率分布直方图综合以及回归分析的相关命题。
题型主要有：1．以相互独立事件、二项分布、超几何分布为背景求随机变量的分布列、期望与方差。
2．回归分析与统计的综合问题。
考点一超几何分布【例1】某高中组织高一年级学生开展了一次“百里远足”活动。
本次远足活动结束后，该校课外兴趣小组在高一某班进行了对“本次远足活动同学们的表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种)，按分层抽样的方法从被调查的学生中随机抽取了11人，具体调查结果如下表：(1)人数；(2)在该班随机抽取一名学生，根据以上统计数据估计该同学持满意态度的概率；(3)若从该班抽出的11名学生中任选2人，记选中的2人中对“本次远足活动同学们的表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望。
解(1)设该班男生人数为x，则女生人数为x＋4，由条件可得x2x＋4＝511，解得x＝20，故该班男生有20人，女生有24人。
(2)由条件知在该班随机抽取一名学生，估计该同学持满意态度的概率为611。
(3)由题意知ξ的可能取值为0,1,2，ξ服从超几何分布，则P(ξ＝0)＝C06C25C211＝211，P(ξ＝1)＝C16C15C211＝611，P(ξ＝2)＝C26C05C211＝311，故ξ的分布列为E(ξ)＝0×11＋1×11＋2×11＝11。
求超几何分布的分布列的一般步骤：①确定参数N，M，n 的值；②明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率；③列出分布列。
【变式训练1】(2019·福州市模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动。
2019-2020年高考数学二轮复习课件：专题六 统计与概率 6.2
样本折线图、 相关系数、回 回归分析 归方程
整体代换
-5-
年份 卷别 设问特点
涉及知识点 题目类型 解题思想方法
全国
Ⅰ
求相关系数;判 断样本符合标 准;求样本均值 与标准差
相关系数、 均值与标准 差
相关关 系、样本 数字特征
整体代换
频率分布直
2017 全国
Ⅱ
频率估计概率; 独立性检验;样 本估计总体
随机变量 K2=(������+������)(������������+(������������������)-(���������������+���)2������)(������+������),其中 n=a+b+c+d.
5.概率的五个基本性质 (1)随机事件的概率:0≤P(A)≤1;必然事件的概率是1;不可能事件 的概率是0. (2)若事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B). (3)若事件A,B对立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1.
-3-
年份 卷别 设问特点 涉及知识点 题目类型 解题思想方法
根据散点图
全国
Ⅰ
选择函数模 型拟合;求回 归方程;求预
散点图、回归 方程
回归分析
整体代换、换 元法
2015
报值
画频率分布 全国 直方图;并估
Ⅱ 计平均值及
概率
频率分布直 方图、频率、 概率、平均值
样本估计 总体
观察、分析、 计算、判断
-4-
-8-
3.变量间的相关关系
(1)如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近,
那么我们说变量 x 和 y 具有线性相关关系.
2020年高考数学二轮复习中档题(3+2)专题精讲特训4-第18题或19题(2)(保分题,全争取)
2020年高考数学二轮复习中档题（3+2）专题精讲特训4-第18题或19题（保分题，全争取）高考第18题(或19题)⎪⎪概率与统计1．(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A 的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表根据表中数据及K 2K 2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．2．(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解：(1)当x ≤19时，y ＝3 800；当x ＞19时，y ＝3 800＋500(x －19)＝500x －5 700， 所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 800，x ≤19，500x －5 700，x ＞19，(x ∈N)． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19. (3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800(元)，20台的费用为4 300(元)，10台的费用为4 800(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)． 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000(元)，10台的费用为4 500(元)，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．3.(2016·全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n (t i －t )2∑i ＝1n (y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i＝40.17－4×9.32＝2.89， ∴r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．题型一 概率与统计的综合应用[典例] (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：[学规范](1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25❶，2分 由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，4分 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.5分(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900❷；6分 若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300❸；7分 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100❹.8分 所以Y 的所有可能值为900,300，－100.10分Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，11分因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.12分[防失误]①处注意结合题意将需求量不超过300瓶转化为最高气温的关系问题，再利用频率估计概率，易不理解题意失误．②③④处注意结合气温区间及需求量的关系，计算出Y 值，易忽视卖不完的要降价处理．[通技法]解决概率与统计综合问题的一般步骤[对点练]1．(2018届高三·广州五校联考)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．解：(1)设第1组[20,30)的频率为f 1，则由题意可知， f 1＝1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝0.05.被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10＝0.25. ∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25. (2)第1组[20,30)的人数为0.05×120＝6.∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名．记第1组中的3名男性群众分别为A ，B ，C,3名女性群众分别为x ，y ，z ，从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含(A ，B )，(A ，C )，(A ，x )，(A ，y )，(A ，z )，(B ，C )，(B ，x )，(B ，y )，(B ，z )，(C ，x )，(C ，y )，(C ，z )，(x ，y )，(x ，z )，(y ，z )，共15个基本事件．至少有一名女性群众包含(A ，x )，(A ，y )，(A ，z )，(B ，x )，(B ，y )，(B ，z )，(C ，x )，(C ，y )，(C ，z )，(x ，y )，(x ，z )，(y ，z )，共12个基本事件．∴从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率P ＝1215＝45.题型二 统计案例[典例] (2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .[学规范](1)由散点图的变化趋势可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型❶. 3分(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x ❷.7分(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32❸.9分②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8❹，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 12分[防失误]①处易判断方程类型错误，注意充分利用散点图联想函数图象特征作出判断． ②处求回归方程时易计算失误，注意要强化计算能力． ③处无法表达出利润表达式而失分，注意借助于函数知识解决． ④处未用二次函数求最值导致失分，注意判断函数类型及换元法的使用．[通技法]求解线性回归方程的3步骤[对点练]2．传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏．某机构组织了一场诗词知识竞赛，将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，从中随机抽取100名选手进行调查，如图是根据调查结果绘制的选手等级与人数的条形图．(1)若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选手成绩优秀与文化程度有关？(2)若参赛选手共6(3)在优秀等级的选手中选取6名，在良好等级的选手中选取6名，都依次编号为1,2,3,4,5,6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为a ，在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为b ，求使得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2有唯一一组实数解(x ，y )的概率． 参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解：(1)由条形图可得2×2列联表如下：所以K 2的观测值k ＝100×(45×15－10×30)75×25×45×55＝10033≈3.030＜3.841，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选手成绩优秀与文化程度有关．(2)由条形图知，所抽取的100名选手中，优秀等级有75名，所以估计参赛选手中优秀等级的选手有60 000×75100＝45 000(名)．(3)a 可从1,2,3,4,5,6中取，有6种取法，b 可从1,2,3,4,5,6中取，有6种取法，共有36组，要使方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2有唯一一组实数解，则a b ≠12.易知使a b ＝12成立的a ，b 满足的实数对有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3组，故满足a b ≠12的实数对的组数为36－3＝33.故所求概率P ＝3336＝1112.1．(2018届高三·广州一中调研)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，当价格x ＝40元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .解：(1)由所给数据计算得x ＝15×(10＋15＋20＋25＋30)＝20，y ＝15×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，∑i ＝15(x i －x )2＝(－10)2＋(－5)2＋02＋52＋102＝250，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝(－10)×3＋(－5)×2＋0×0＋5×(－2)＋10×(－3)＝－80.b ^＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2＝－80250＝－0.32. a ^＝y －b ^x ＝8＋0.32×20＝14.4. 所求线性回归方程为y ^＝－0.32x ＋14.4.(2)由(1)知当x ＝40时，y ^＝－0.32×40＋14.4＝1.6. 故当价格x ＝40元/kg 时，日需求量y 的预测值为1.6 kg.2．(2017·宝鸡模拟)为了解我市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：(1)(2)用简单随机抽样的方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解：(1)6条道路的平均得分为16×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5，∴该市的总体交通状况等级为合格．(2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本事件．事件A 包括(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共7个基本事件． ∴P (A )＝715.故该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为715. 3．(2018届高三·西安八校联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；(2)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45,65)内的概率．解：(1)设质量指标值落在区间[75,85]内的频率为x ，则质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x,2x .依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)由(1)得，质量指标值落在区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率分别为0.3,0.2,0.1.用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45,55)内应抽取6×0.30.3＋0.2＋0.1＝3件，记为A1，A2，A3；在区间[55,65)内应抽取6×0.20.3＋0.2＋0.1＝2件，记为B1，B2；在区间[65,75)内应抽取6×0.10.3＋0.2＋0.1＝1件，记为C.设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[45,65)内”为事件M，则所有的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C)，(B1，B2)，(B1，C)，(B2，C)，共15种，事件M包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种，所以这2件产品都在区间[45,65)内的概率P＝1015＝23.4．(2017·福州模拟)在国际风帆比赛中，成绩以低分为优胜，比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．在一次国际风帆比赛中，前7场比赛结束后，排名前8位的选手积分如下表：(1)(2)从前7场平均分低于6.5分的运动员中，随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查，求至少1个运动员平均分不低于5分的概率；(3)请依据前7场比赛的数据，预测冠亚军选手，并说明理由．解：(1)由表中的数据，我们可以分别计算运动员A和B前7场比赛积分的平均数和方差，作为两运动员比赛的成绩及衡量两运动员稳定情况的依据．运动员A的平均分x1＝17×21＝3，方差s21＝17×[(3－3)2＋(2－3)2×4＋(4－3)2＋(6－3)2]＝2；运动员B的平均分x2＝17×28＝4，方差s22＝17×[(1－4)2×2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2＋(4－4)2×2]＝8.从平均分和积分的方差来看，运动员A的平均分及积分的方差都比运动员B的小，也就是说，前7场比赛，运动员A的成绩优异，而且表现较为稳定．(2)由表可知，平均分低于6.5分的运动员共有5个，其中平均分低于5分的运动员有3个，分别为A，B，C，平均分不低于5分且低于6.5分的运动员有2个，分别记为D，E，从这5个运动员中任取2个共有10种情况：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，其中至少有1个运动员平均分不低于5分的有7种情况．设至少有1个运动员平均分不低于5分为事件M，则P(M)＝710.(3)尽管此时还有4场比赛没有进行，但这里我们可以假定每位选手在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同，因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本，并由此估计每位运动员最后比赛的成绩．从已经结束的7场比赛的积分来看，运动员A的成绩最为优异，而且表现最为稳定，因此，预测运动员A将获得最后的冠军．而运动员B和C平均分相同，但运动员C得分总体呈下降趋势，所以预测运动员C将获得亚军．(说明：方案不唯一，其他言之有理的方案也给满分)5．(2017·长沙模拟)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．(1)列出2×2列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？(2)为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，则选取的植株均为矮茎的概率是多少？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)根据统计数据得2×2列联表如下：由于K 2的观测值k ＝45×(15×16－4×10)219×26×25×20≈7.287＞6.635，因此可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．(2)由题意得，抽到的高茎玉米有2株，设为A ，B ，抽到的矮茎玉米有3株，设为a ，b ，c ，从这5株玉米中取出2株的取法有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种，其中均为矮茎的选取方法有ab ，ac ，bc ，共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是310.6．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得x ＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116(x i －x )2＝116⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝116x 2i －16x 2≈0.212,∑i ＝116(i －8.5)2≈18.439，∑i ＝116(x i －x )(i －8.5)＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)(1)求(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －3s ，x ＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(x －3s ，x ＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2，0.008≈0.09.解：(1)由样本数据得(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数为r ＝∑i ＝116(x i －x )(i －8.5)∑i ＝116(x i －x )2∑i ＝116(i －8.5)2＝－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r |＜0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)①由于x ＝9.97，s ≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －3s ，x ＋3s )以外，因此需对当天的生产过程进行检查．②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02， 所以这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02，i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 115(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 所以这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.。
(新高考)2020高考数学二轮复习大题考法专训(四)概率与统计(最新整理)
大题考法专训(四）概率与统计A级-—中档题保分练1．(2019·全国卷Ⅲ）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5。
5”，根据直方图得到P(C）的估计值为0.70。
（1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值;（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解:(1）由已知得0.70＝a＋0。
20＋0.15，解得a＝0.35,所以b＝1－0。
05－0。
15－0。
70＝0。
10。
(2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0。
15＋3×0。
20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0。
10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0。
10＋5×0.15＋6×0。
35＋7×0.20＋8×0。
15＝6。
00.2．（2019·天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为错误!，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2",求事件M发生的概率．解：（1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B错误!,从而P（X＝k)＝C错误!错误!k错误!3－k，k＝0,1,2,3。
2020版高考数学大二轮复习专题四概率与统计第二讲概率与统计课件文20191128271
(ⅱ)从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①看到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而 利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得 到的预测值更可靠． ……………………12 分 (以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由 均可得分)
(2019·高考全国卷Ⅲ)(12 分)为了解甲、乙两种离子在 小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔 浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠 体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
(2)
y
＝
1 100
×(
－
0.10×2 ＋
0.10×24
＋
0.30×53
＋
0.50×14 ＋
0.70×7)＝0.30，
s2＝1010i＝51ni(yi－ y )2＝1100×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53
＋0.202×14＋0.402×7] ＝0.029 6， s＝ 0.029 6＝0.02× 74≈0.17. 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 0.30,0.17.
(2)由茎叶图知 m＝79＋2 81＝80.………………6 分
列联表如下：
超过 m 不超过 m
第一种生产方式 15
5
Hale Waihona Puke 第二种生产方式 515
…………8 分
(3)因为 K2＝402×0×152×0×152－0×5×2052＝10>6.635，
人教A版2020届高考数学二轮复习(理)讲义及题型归纳(中档)：概率与统计
概率与统计一、考纲解读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。
2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。
3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。
二、命题趋势探究1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。
2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超几何分布为重要考点，难度中等以下。
3.有关正态分布的考题多为一道小题。
三、知识点精讲（一）.条件概率与独立事件（1）在事件A 发生的条件下，时间B 发生的概率叫做A 发生时B 发生的条件概率，记作()P B A ，条件概率公式为()=P B A ()()P AB P A 。
（2）若()=P B A P B （），即()=()()P AB P A P B ,称A 与B 为相互独立事件。
A 与B 相互独立，即A 发生与否对B 的发生与否无影响，反之亦然。
即,A B 相互独立，则有公式()=()()P AB P A P B 。
（3）在n 次独立重复实验中，事件A 发生k ()0k n ≤≤次的概率记作()n P k ，记A 在其中一次实验中发生的概率为()P A p = ，则()()1n k k k n n P k C p p -=- .（二）.离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列（如表13-1所示）.表13-1①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈ ;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++，反映随机变量ξ取值的波动性。
(全国通用)2020高考数学二轮复习 大题规范天天练 第四周 概率与统计、立体几何 文
星期二 (概率与统计、立体几何)2020年____月____日1.概率与统计(命题意图：考查独立性检验、分层抽样、古典概型等内容，考查学生的计算能力.)“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40(单位：岁)，其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.(1)写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由；(下面是临界值表供参考)P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.010 0.005 k 02.7063.8416.6357.879(2)3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率.(参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )解 (1)年龄/正误 正确 错误 总计 20～30 10 30 40 30～40 10 70 80 总计20100120K 2的观测值k ＝120220×100×40×80＝3>2.706，有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关.(2)设事件A 为3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间，由已知得20～30岁之间的人数为2人，30～40岁之间的人数为4人，从6人中取3人的结果有20种，事件A 的结果有16种，P (A )＝1620＝45.2.立体几何(命题意图：考查线线、线面平行、垂直关系的转化，考查学生的空间思维能力和推理论证能力.)如图，在四棱锥E －ABCD 中，AE ⊥DE ，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，CD ＝DA ＝6，AB ＝2，DE ＝3.(1)求棱锥C －ADE 的体积； (2)求证：平面ACE ⊥平面CDE ；(3)在线段DE 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BCE ？若存在，求出EFED的值；若不存在，说明理由.(1)解 在Rt△ADE 中，AE ＝AD 2－DE 2＝3 3. 因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C －ADE 的体积为V C －ADE ＝13S △ADE ·CD ＝13·AE ·DE2·CD ＝9 3.(2)证明 因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， 所以CD ⊥AE .又因为AE ⊥DE ，CD ⊥DE ＝D ， 所以AE ⊥平面CDE . 又因为AE ⊂平面ACE ， 所以平面ACE ⊥平面CDE .(3)解 结论：在线段DE 上存在一点F ，且EF ED ＝13，使AF ∥平面BCE .下面给出证明：设F 为线段DE 上一点，且EF ED ＝13，过点F 作FM ∥CD 交CE 于M ，则FM ＝13CD .因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB.又因为CD＝3AB，所以MF＝AB，FM∥AB，所以四边形ABMF是平行四边形，则AF∥BM.又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE.。
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(三)概率与统计
1．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自
物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同
学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和期望．
解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13·C27＋C03·C37C310＝4960.
所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k
＝0,1,2,3)．
所以，随机变量X的分布列是
X 0 1 2
3
P
16 12 310 1
30
随机变量X的期望
E(X
)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.
2．(2018·安徽省“皖江八校”联考)某市为制定合理的节电方案，对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得
了某年200户居民每户的月均用电量(单位：百度)，将数据按照[0,1)，[1,2)，[2,3)，[3,4)，[4,5)，[5,6)，[6,7)，
[7,8)，[8,9]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)求直方图中m的值；
(2)设该市有100万户居民，估计全市每户居民中月均用电量不低于6百度的人数，估计每户居民月均用电量的中
位数，说明理由；
(3)政府计划对月均用电量在4(百度)以下的用户进行奖励，月均用电量在[0,1)内的用户奖励20元/月，月均用电
量在[1,2)内的用户奖励10元/月，月均用电量在[2,4)内的用户奖励2元/月．若该市共有400万户居民，试估计
政府执行此计划的年度预算．
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解 (1)∵1－1×(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2m，
∴m＝0.15.
(2)200户居民月均用电量不低于6百度的频率为
0．06＋0.04＋0.02＝0.12，
则100万户居民中月均用电量不低于6百度的户数有
1 000 000×0.12＝120 000；
设中位数是x百度，前5组的频率之和
0．04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，
而前4组的频率之和
0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，
所以4
0．08×4 000 000＝320 000，
(0.15＋0.21)×4 000 000＝1 440 000，
所以每月预算为
160 000×20＋320 000×10＋1 440 000×2＝9 280 000，
故一年预算为9 280 000×12
＝111 360 000＝1.113 6 亿元．
3．(2016·全国Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费
与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．
解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为
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30＋30
200
＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据，得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05
＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
4．(2018·宿州模拟)高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲
活力．某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：
每周移动支付次数 1次 2次 3次 4次 5次 6次及以上 总计
男 10 8 7 3 2 15 45
女 5 4 6 4 6 30 55
总计 15 12 13 7 8 45 100
(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，
认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？
(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达
人”中，随机抽取4名用户．
①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；
②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X，求X的分
布列及数学期望．
附公式及表如下：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d.
P(K
2
≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
10.828
解 (1)由表格数据可得2×2列联表如下：
非移动支付活跃用户 移动支付活跃用户 总计
男 25 20 45
女 15 40 55
总计 40 60 100
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将列联表中的数据代入公式计算，得
K
2
＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d
＝10025×40－15×20240×60×55×45＝2 450297≈8.249>7.879.
所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关．
(2)视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，
该用户为男“移动支付达人”的概率为13，女“移动支付达人”的概率为23.
①抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为P＝1－134－234＝6481.
②记抽出的男“移动支付达人”人数为Y，则X＝300Y.
由题意得Y～B4，13，
P(Y
＝0)＝C04130234＝1681；
P(Y
＝1)＝C14131233＝3281；
P(Y
＝2)＝C24132232＝2481＝827；
P(Y
＝3)＝C34133231＝881；
P(Y
＝4)＝C44134230＝181.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
4
P
1681 3281 827 881 1
81
所以X的分布列为
X 0 300 600 900
1 200
P
1681 3281 827 881 1
81
由E(Y)＝4×13＝43，
得X的数学期望E(X)＝300E(Y)＝400.