高三数学一轮复习周测一
高考数学一轮复习综合测试卷一含解析新人教A版
综合测试卷(一)时间:120分钟 分值:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020浙江超级全能生第一次联考,2)已知复数z =2-i 1+i(i 为虚数单位),则复数z 的模等于( )A.√102B.3√22C.√3D.√52答案 A 由于z =2-i 1+i =(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3i2,∴|z |=|12-32i |=√(12)2+(-32)2=√102.故选A .2.(2019江西南昌外国语学校适应性测试,1)已知集合M ={x |0<x <5},N ={x |m <x <6},若M ∩N ={x |3<x <n },则m +n 等于 ( )A.9B.8C.7D.6答案 B 因为M ∩N ={x |0<x <5}∩{x |m <x <6}={x |3<x <n },所以m =3,n =5,因此m +n =8.故选B . 3.(2020九师联盟9月质量检测,3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔,令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约为230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为 ( )A.128.4米B.132.4米C.136.4米D.140.4米答案 C 本题主要考查空间几何体的结构特征,考查数学抽象、数学运算的核心素养.由已知条件“胡夫金字塔的底部周长除以其高度的两倍,得到商为3.14159”可得,胡夫金字塔的原高为230×42×3.14159≈146.4米,则胡夫金字塔现高大约为146.4-10=136.4米,故选C . 4.(2019广西梧州调研,6)若抛物线x 2=2py (p >0)上一点(1,m )到其准线的距离为54,则抛物线的方程为( )A.x 2=y B.x 2=2y 或x 2=4y C.x 2=4y D.x 2=y 或x 2=4y答案 D 由已知可得m =12p ,则12p +p 2=54,化简得2p 2-5p +2=0,解得p =12或p =2,所以抛物线方程为x 2=y 或x 2=4y.5.(2018湖南张家界三模,4)已知变量x ,y 之间的线性回归方程为p^=-0.7x +10.3,且变量x ,y 之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误．．的是 ( ) x 6 8 10 12 y6m32A.变量x ,y 之间成负相关关系B.可以预测,当x =20时,p^=-3.7 C.m =4D.该回归直线必过点(9,4)答案 C 由-0.7<0,得变量x ,y 之间成负相关关系,故A 说法正确;当x =20时,p^=-0.7×20+10.3=-3.7,故B 说法正确; 由表格数据可知。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3-3函数的奇偶性与周期性-教师版
专题3.3函数的奇偶性与周期性练基础1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数()(0)f x kx b k =+≠，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】化简“(0)0f =”和“函数()f x 为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】(0)0f =，所以0b =，函数()f x 为奇函数，所以()()0f x kx b f x kx b -=-+=-=--=，所以0b =.所以“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的充分必要条件.故选：C2．（2021·福建高三三模）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()1xf x x =-B ．()1x f x x=-C ．()21x f x x =-D ．()21x f x x =-【答案】C 【解析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案解：由图可知，当(0,1)x ∈时，()0f x <，取12x =，则对于B ，112(101212f ==>-，所以排除B ，对于D ，1122()012314f ==>-，所以排除D ，当0x >时，对于A ，()1111x f x x x ==+--，此函数是由1y x =向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1x >时，()1f x >恒成立，而图中，当1x >时，()f x 可以小于1，所以排除A,故选：C3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（）A．y =B ．1y x x=+C ．xx y ee =-﹣D ．2log y x=【答案】C 【解析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.【详解】A.函数y =的定义域是[0,)+∞，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B.1y x x=+在()0,1上单调递减，故错误；C.因为()()()xx x x f x ee e ef x --=---=-=﹣，所以函数是奇函数，且在()0,1上单调递增，正确；D.因为()()22log =log f x x x f x -=-=，所以函数是偶函数，故错误；故选：C ．4．（2021·湖南高三月考）定义函数1,()1,x D x x ⎧=⎨-⎩为有理数，为无理数，则下列命题中正确的是（）A ．()D x 不是周期函数B ．()D x 是奇函数C ．()yD x =的图象存在对称轴D ．()D x 是周期函数，且有最小正周期【答案】C 【解析】当m 为有理数时恒有()()D x m D x +=，所以()D x 是周期函数，且无最小正周期，又因为无论x 是有理数还是无理数总有()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称．当m 为有理数时，()1,1,x D x m x ⎧+=⎨-⎩为有理数为无理数，()()D x m D x ∴+=，∴任何一个有理数m 都是()D x 的周期，()D x ∴是周期函数，且无最小正周期，∴选项A ，D 错误，若x 为有理数，则x -也为有理数，()()D x D x ∴=-，若x 为无理数，则x -也为无理数，()()D x D x ∴=-，综上，总有()()D x D x -=，∴函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称，∴选项B 错误，选项C 正确，故选：C5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD 【解析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-= ，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数,则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值是（）A ．0B ．12C ．712D ．1【答案】BC 【解析】根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．．【详解】由题意1213x -<，解得1233x <<，只有BC 满足．故选：BC ．7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD 【解析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+，所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确；因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误.故选：BD.8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对x R ∀∈，()()0f x f x +-=”的函数()f x =___________.【答案】3x （答案不唯一）【解析】分析可知函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，由此可得结果.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，可取()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.9．（2021·全国高三二模（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，且其图象关于点()2,0对称，若()11f =，则()2021f =__________．【答案】1【解析】根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而()2021(1)1f f ==.【详解】函数关于点()2,0对称，则()(4)f x f x =--，又()y f x =为R 上的奇函数，则()(4)(4)f x f x f x =--=-，因此函数的周期为4，因此()2021(1)1f f ==.故答案为：1.10．（2021·上海高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=___________．【答案】32-【解析】通过计算(1)(1)g g +-可得．【详解】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=，即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-．故答案为：32-．练提升1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，则关于函数()f x 的性质叙述一定正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()11f x f x -=-C ．()f x 是周期函数D ．()f x 存在单调递增区间【答案】C 【解析】通过举例说明选项ABD 错误；对于选项C 可以证明判断得解.【详解】定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，∴()f x 的图象既有对称中心又有对称轴，但()f x 不一定具有奇偶性，例如()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()()0f x f x -+=，则()f x 为奇函数，故选项A 错误；由()()11f x f x -=-，可得函数()f x 图象关于0x =对称，故选项B 错误；由()0f x =时，()f x 不存在单调递增区间，故选项D 错误；由已知设()f x 图象的一条对称抽为直线x a =，一个对称中心为(),0b ，且a b ¹，∴()()2f a x f x +=-，()()2f x f b x -=-+，∴()()22f a x f b x +=-+，∴()()()2222f a x b f b x b f x +-=-+-=-，∴()()()()442222f x a b f b x b f x a b f x +-=-+-=-+-=，∴()f x 的一个周期()4T a b =-，故选项C 正确.故选：C2．（2021·天津高三二模）已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得331log log 9.1210->>，根据指数函数单调性可知0.822<；利用()f x 为减函数可知()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，结合()f x 为奇函数可得大小关系.【详解】33331log log 10log 9.1log 9210-=>>= ，0.822<即：0.8331log log 9.1210->>又()f x 是定义在R 上的减函数()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭又()f x 为奇函数3311log log 1010f f⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭，即：c b a >>.故选：B.3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x xaf x =+，则f (101)+f (105)的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A 【解析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)f x f x -=+求得函数f (x )是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)=0，又由x ∈[0，1]时，()22xx a f x =+，则有f (0)=1+a =0，解可得：a =﹣1，则有1()22xxf x =-，又由f (﹣x )=f (2+x )，即f (x +2)=﹣f (x )，则有f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222f f f f ==-===-=，故有f (101)+f (105)=3，故选：A ．4．（2021·上海高三二模）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y fx -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择.【详解】对于①，由()f x 是R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，∴|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，故①正确；对于②，由()f x 是R 上的奇函数，得()()0f x f x -+=，而()|()|f x f x =不一定成立，所以对任意的x ∈R ，不一定有()|()|0f x f x -+=，故②错误；对于③，因为()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且()(0)0f x f £=，因此2()()[()]y f x f x f x =-=-，利用复合函数的单调性，知()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增，故③正确.对于④，由已知得()f x 是R 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增，故④正确；故选：C5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()1|2|f x x =--，则下列选项正确的是（）A ．()f x 在(3,2)--上为减函数B ．()f x 在(3,2)--上()0f x <C ．()f x 在(3,2)--上为增函数D ．()f x 在(3,2)--上()0f x >【答案】CD 【解析】根据题意，分析可得(4)()f x f x +=，结合函数的解析式可得当(3,2)x ∈--时函数的解析式，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数(1)f x +为奇函数，则有(1)(1)f x f x +=--+，即(2)()f x f x +=--，又由()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有(2)()f x f x +=-，即有(4)()f x f x +=，当[1x ∈，2]时，()1|2|1f x x x =--=-，若(3,2)x ∈--，则4(1,2)x +∈，则(4)(4)13f x x x +=+-=+，则当(3,2)x ∈--时，有()3f x x =+，则()f x 为增函数且()(3)0f x f >-=；故()f x 在(3,2)--上为增函数，且()0f x >；故选：CD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()0f x f x +-=成立，m R ∈，则下列的点一定在函数()y f x =图象上的是（）A ．(0,0)B ．(,())m f m --C ．(,())m f m --D ．(,())m f m -【答案】ABC 【解析】根据任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，得到()f x 是奇函数判断.【详解】因为任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，所以()f x 是奇函数，又x ∈R ，所以令0x =，则(0)(0)f f -=-，得(0)0f =，所以点(0,0)，且点(,())m f m --与(,())m f m --也一定在()y f x =的图象上，故选：ABC ．7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =有2个零点B ．当0x <时，()(1)f x x x =-+C ．不等式()0f x <的解集是(0,1)D ．12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()1212f x f x -≤【答案】BCD 【解析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．【详解】对A ，当0x >时，由()(1)0f x x x =-=得1x =，又因为()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，所以()()()00,110f f f =-=-=，故函数()y f x =有3个零点，则A 错；对B ，设0x <，则0x ->，则()()()()11f x f x x x x x =--=----=-+⎡⎤⎣⎦，则B 对；对C ，当01x <≤时，由()(1)0f x x x =-<，得01x <<；当10x -≤≤时，由()(1)0f x x x =-+<，得x 无解；则C 对；对D ，12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()()()12max min 1111122442f x f x f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则D 对．故选：BCD ．8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =【答案】AC 【解析】根据[]x 定义将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.【详解】由题意可知[]1,210,1011,012,12x x x x x --≤<-⎧⎪-≤<⎪⎪+=≤<⎨⎪≤<⎪⎪⎩，()[]1,21,1011,012,12x x x x f x x x x x x x ---≤<-⎧⎪--≤<⎪⎪∴=+-=-≤<⎨⎪-≤<⎪⎪⎩，可画出函数图像，如图：可得到函数()f x 是周期为1的函数，且值域为(]0,1，在()0,1上单调递减，故选项AC 正确，B 错误；对于D ，取1x =-()11f -=，则()11f -=⎡⎤⎣⎦，故D 错误.故选：AC ．9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数()f x 满足以下条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数；④()f x 恰有2个零点.则函数()f x 的解析式可以是（）A ．2()2f x x x =-B ．()ln 1f x x =-C ．2()1f x x x =-++D ．()2xf x e =-【答案】CD 【解析】利用函数图象变换画出选项A ，B ，C ，D 对应的函数图象，逐一分析即可求解.【详解】解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但()ln 1f x x =-的定义域为{}0x x R ≠≠，所以选项B 错误；函数2()2f x x x =-的定义域是R ，在(),1-∞-，()0,1单调递减，在()1,0-，()1,+∞单调递增，但()()()2020f f f -===有3个零点，选项A 错误；函数2()1f x x x =-++的定义域是R ，当()0,x ∈+∞时，2()1f x x x =-++的图象对称轴为12x =，其图象是开口向下的抛物线，故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，由图得()f x 恰有2个零点，选项C 正确；函数()2xf x e =-的定义域是R ，在(),ln 2-∞-，()0,ln 2单调递减，在()ln 2,0-，()ln 2,+∞单调递增，且()()ln 2ln 20f f -==有2个零点，选项D 正确.故选：CD.10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在R 上的函数()f x 满足()2()f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()3x g x =的图象的交点个数为___________.【答案】7由题设可知()f x 的周期为2，结合已知区间的解析式及()3x g x =，可得两函数图象，即知图象交点个数.【详解】由题意知：()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，∴()f x 、()g x 的图象如下：即()f x 与()g x 共有7个交点，故答案为：7.【点睛】结论点睛：()()f m x f x +=有()f x 的周期为||m .练真题1.（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（）A．B．C．D．【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B．是奇函数，且在11(,22-单调递减C．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·海南省高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A．[)1,1][3,-+∞ B．3,1][,[01]-- C．[1,0][1,)-⋃+∞D．[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.4.（2018年理全国卷II）已知op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，满足o1−p =o1+p ．若o1)=2，则o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=()A.−50B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，且o1−p =o1+p ，所以o1+p =−o −1)∴o3+p =−o +1)=o −1)∴=4,因此o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=12[o1)+o2)+o3)+o4)]+o1)+o2)，因为o3)=−o1)，o4)=−o2)，所以o1)+o2)+o3)+o4)=0，∵o2)=o −2)=−o2)∴o2)=0，从而o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=o1)=2，选C.5.（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222log 422---->==>>∴>> ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C．6.（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()ax f x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e-=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．。
最新河北省届高三理科数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10：数列
河北省 2014 届高三理科数学一轮复习考试一试题优选（1）分类汇编 10：数列一、选择题1．（河北省唐山一中2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）数列 { a n } 的前n 项和为S n n2n1, b n(1) n a n (n N * ) ,则数列 {b n } 的前50项的和为（）A． 49B．50C． 99D． 100【答案】 A2．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）设 S n是等差数列{ a n}的前n项和, S53(a2a8 ) ,则a5的值为（）a31B．13D5A．3C66． 5．【答案】 D3．（河北省唐山市 2014届高三摸底考试数学（理）试题）设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, 且 S5=13,S 15=63,20（）则 S =A． 100B．90C． 120D． 110【答案】 B4 ．（河北省衡水中学 2014 届高三上学期三调考试数学（理）试题）设S n是公差不为0 的等差数列{ a n}的前 n 项和 , 且S1, S2, S4成等比数列 , 则a2的值为（）a1A． 1 B ． 2C． 3D． 4【答案】 C5．（河北省邯郸市 2014届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等比数列 a n中, a5a113, a3a134,则a12（）2A． 3 B ．31D．3或1 C．3 或3 3【答案】 C6．（河北省邯郸市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）数列 a n是首项为1,且公比q 0的等比数列 ,S n是a n的前 n1的前 5 项和为项和, 若9S3S6, 则数列（）a nA．15B ． 5C．31D．15 181616【答案】 C7．（河北省保定市八校结合体2014届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）在等差数列中,a 1+a = 16,则 a等于（）53A． 8 B ．4 C ．-4D． -8【答案】 A8．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）已知 { a } 为等差数列,其前 n 项和为 S ,n n 若 a36, S312 ,则公差d等于（）A．15C．2D．3 B ．3【答案】 C9 ．（河北省衡水中学 2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）已知等比数列a n的公比 q 2 ,且2a4 , a6 ,48 成等差数列,则 a n的前 8项和为（）A． 127B．255C． 511D． 1023【答案】 B10．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）等比数列 { a n } 中,已知对随意自然数n , a1a2a3a n2n1,则a12a22a32a n2等于（）A．(2n1) 2 B ．1(2n1)C．4n1D．1(4n1) 33【答案】 D11．（河北省邯郸市武安三中2014 届高三第一次摸底考试数学理试题）设等差数列a n的前 n 项和为 S n,若 a2a815 a5,则 S9等于（）A． 45B．60C．36D．18【答案】 B12．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）若数列{an}知足:存在正整数T,关于任意正整数 n 都有an Tan 成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T.已知数列 {a n} 满足a n1,a n，1a n 1 =10a n 1.0) ,,a1m (m a n则以下结论中错误的是（）．．A．若m4, 则a535B a3 2 ,3C．若m2 ,则数列{ an}是周期为3的数列D．m Q且m2 ,数列{ an}是周期数列【答案】 D13 ．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）已知数列为等比数列, 且 .a5 4,a964,则=（）A．8 B ．16C． 16D．8【答案】 C14．（河北省张家口市蔚县一中2014 届高三一轮测试数学试题）在首项为 57, 公差为5的等差数列a n 中, 最靠近零的是第 ( )项 .（）A． 14B．13C． 12D． 11【答案】 C15．（河北省保定市 2014届高三 10月摸底考试数学（理）试题）设a n为等差数列, 且a3 a7 a10 2, a11 a47,则数列a n的前13项的和为S13（）A． 63B．109C． 117D． 210【答案】 C提示 : ∵a3 +a7-a 10+ a 11— a4=9, ∴a7=9, ∴S13=13 a 7=117二、填空题16．（河北省唐山市2014 届高三摸底考试数学（理）试题）已知数列 {a n} 知足 a1=0,a 2=1, a n23an 12a n,则{a n} 的前 n 项和 S n=_______________.【答案】 2n n117．（河北省衡水中学 2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）在等比数列 a n中,若a7 a8a9a1015 ,a8a99, 则1111___________.88a7a8a9a10【答案】5 318．（河北省唐山一中 2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）数列 a n 中 , a15,a n2a n 1 2n1(n N, n2),若存在实数,使得数列a n为等差数列 , 则2n =_________.【答案】119．（河北省保定市2014届高三 10 月摸底考试数学（理）试题）已知数列 a n是各项均为正数的等比数优选文档列, 若a 22, 2a 3 a 4 16 , 则 a n ______________.【答案】 2n 1 ; 三、解答题20．（ 河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学（理）试题） 在等差数列a n 中 , a 2 6,S 4 20 .(1) 求数列a n的通项公式 ;(2) 设 b n2 (nN * ),T n b 1 b 2Lb n (n N * ) , 求 T n .n(12 a n )【答案】设a 1 d6a n 的公差为 d , 由题意得6d204a 1a 8解得{ d 12得: a n 8 2( n 1) 10 2n.(2) ∵ b n2 1n(12 a n )n(n 1)∵ b n1 1nn1T nb 1 b 2 b 3b n (1 1) (1 1)(11 ) n n2 2 3nn 1121．（河北省衡水中学2014届高三上学期三调考试数学（理）试题）已知函数 f (x)x 3 mx 在 (0,1)上是增函数 ,( Ⅰ) 实数 m 的取值会合为 A, 当 m 取会合 A 中的最小值时 , 定义数列 { a n } 知足a 1 3, 且 a n 0, a n 13 f a nn} 的通项公式 ;9 , 求数列 {a ( Ⅱ) 若 b nna n , 数列 { b n } 的前 n 项和为 S n , 求证 : S n 3.由题意得 f ′(x)= ﹣ 3x 2+m,4【答案】解 :(1)∵ f (x)= ﹣ x 3 +mx 在 (0,1) 上是增函数 , ∴f ′(x)= ﹣ 3x 2+m ≥0在(0,1) 上恒建立 , 即m ≥ 3x 2, 得 m ≥3,故所求的会合 A 为[3,+ ∞); 因此 m=3,∴f ′(x)= ﹣ 3x 2+3,∵ ,an>0, ∴ ∴数列 {an} 是以 3 为首项和公比的等比数列(2) 由 (1) 得,bn=na n =n?3n,=3an, 即, 故 an=3n;=3,234n②3Sn=1?3 +2?3 +3?3 ++n?3 +1①﹣②得 , ﹣2Sn=3+32+33 ++3n ﹣n?3 n +1= ﹣n?3n+1化简得 ,Sn=>22．（河北省保定市 2014届高三 10月 摸 底 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 数 列 a n , 满 足1 a n n 为偶数 , 5an 12 a 4, 若 b na2n 11(b n0) .a n为奇数21n(1) 求 a 1 ;(2) 求证 :b n 是等比数列 ;(3) 若数列 a n 的前 n 项和为 S n , 求 S 2n .51 为偶数【答案】 (1) 解: ∵, a n2 a n , na 412a n， 为奇数1 n∴ a 35 13, ∴ a 23, ∴ a 122 2b na2 n 1(2) 证明 :a2n 3bn 111 a2n2 1121a2 n1,21 2故数列 { b n } 是首项为 1, 公比为 1 的等比数列2( 1 )n 1(3) 解: ∵ b na2 n 11 , ∴ a 2n 11 (a 1 1)(1 )n 12 即 a 2n1121 (11)1∴a 1a 3 La2 n 1 2n n=2－1－１n12n2又∵ a 2 a 1 1,a 4a 3 1,La2 na2 n 11 10分∴S2n2(a 1 a 3a 2n 1 )n 413n( 张军红命制 )2n 223．（河北省保定市 2014 届高三 10月 摸 底 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 数 列 a n中, a 24, a n 1an2( n N * ) , 其前 n 项和为 S n ,(1) 求数列 a n的通项公式 ;(2)1, 求数列b n的前 n 项和为 T n.令 b nS n【答案】解 : (1)由于 a n 1a n 2(n N * ) ,因此数列a n的公差d=2又a2 4因此 a n2n(2)易得 S n= n2n111因此 b n1) n n1n(n因此T n11=nn 1n124 ．（河北省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知数列 {a n} 的前 n 项和S n1n2kn (此中 k N*),且S的最大值为8.2n(1)确立常数 k, 求 a n.9 2a n的前 n 项和 T n.(2) 求数列2n【答案】 (1) 当n k N * 时,S n1n2kn取最大值,即 8 S k1k2k21k2,22225．（河北省张家口市蔚县一中2014 届高三一轮测试数学试题）已知二次函数 f ( x)px2qx( p 0) ,其导函数为 f (x) 6x 2 ,数列{ a n}的前n项和为S n,点 (n, S n )( n N * ) 均在函数y f (x) 的图像上.(1)求数列 { a n } 的通项公式;(2) 若c n 1(a n 2), 2b1 22 b2 23 b3 L2n b n c n,求数列{ b n}的通项公式. 3【答案】26．（河北省保定市八校结合体2014 届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）设 a n是公差不为零的等差数列 , S n为其前n项和 , 知足a22a32a42a52,S7 7.(1)求数列 a n的通项公式及前n项和 S n;(2)试求全部的正整数 m ,使得amam 1为数列 a n中的项. am 2【答案】 [ 分析 ]本小题主要考察等差数列的通项、乞降的相关知识, 考察运算和求解的能力. 满分 14分.( 1) 设公差为 d ,则 a22a52a42a32, 由性质得3d (a4a3 ) d (a4a3 ) ,由于 d0 ,所以a4a30,即2a15d 0,又由S77 得7a17 6d 7 ,解得2a1 5 ,d2,(2)amam 1=(2 m7)(2 m5),设2m3t ,am 22m3(方法一)则 a m a m 1= (t4)(t2)t86,因此为 8的约数a m2t t( 方法二 ) 由于amam 1(am 24)( a m 2 2)a m 268为数列a n中的项, a m 2a m 2a m 2故8为整数 , 又由 (1)知: a m 2为奇数 , 因此a m 22m31,即m 1,2 a m+2经查验 ,切合题意的正整数只有m 227 ．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）数列 {a n}的前n项和为n,且Sn*S=n( n+1)( n∈N).(1)求数列 { a n} 的通项公式 ;(2)若数列 {b1b2+b3++ nb nn}的通项公式; n}知足: n=+23,求数列{b a3＋1 3＋ 1 3＋ 1 3＋ 1ba b*n n(3)令 c n=4( n∈N), 求数列 { c n} 的前n项和T n.【答案】28 ．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）已知为两个正数, 且, 设当,时,.( Ⅰ) 求证 : 数列是递减数列,数列是递加数列;(Ⅱ)求证 :;( Ⅲ) 能否存在常数使得对随意, 有, 若存在 , 求出的取值范围;若不存在,试说明原因 .【答案】( Ⅱ)证明:.(Ⅲ)解: 由, 可得.若存在常数使得对随意,有,则对随意,.即对随意建立 .即对随意建立.设表示不超出的最大整数,则有.即当时 ,.与对随意建立矛盾.因此 , 不存在常数使得对随意, 有29．（河北省唐山一中2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）设等比数列a n的前n项和为S n,已知 a n 12S n2( n N ) .( Ⅰ) 求数列a n的通项公式;优选文档( Ⅱ) 在a n与a n 1之间插入n个数 , 使这n 2 个数构成公差为d n的等差数列,设数列1的前 n 项和d nT n,证明:T n 15. 16【答案】解 ( Ⅰ) 由an 12S n*得 a n 2S n2( n*2(n N )1N, n 2 ),两式相减得 : a n 1a n2a n,即 a n 1*, n2), 3a n (n N∵ { a n } 是等比数列,因此 a23a1,又 a2 2a1 2,则 2a1 2 3a1,∴ a1 2 ,∴ a n2g3n 1( Ⅱ) 由 (1) 知a n 12g3n , a n2g3n 1∵ a n 1 a n (n 1)d n,∴d n43n 1n ,11111令 T nd2d3,d1d n则 T n234+n1①430 4 31 4 324g3n11T n 23n n1②3 4 31 4 324g3n 14g3n①-②得2T n 2111n 134g304g314g324g3n 14g3n11 1 13(13n 1 )n 1 5 2n 51n n 24 4 388 313g gT n 152n515 1616g3n 116优选文档。
高考数学一轮复习综合测试卷(含答案)
综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U=R,集合A={x|1<x≤3},B={x|x>2},则A∩（?U B)=()A.{x|1≤x≤2}B.{x|1≤x<2}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤3}2.已知i是虚数单位,复数(1+3i)(a-i)在复平面内对应的点在第四象限,则a的取值范围是()A.(-3,+∞)B.C.D.(-3,1)3.若椭圆=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线=1的离心率是()A.2B.C.D.34.设直线y=x+b是曲线y=ln x的一条切线,则b的值为()A.ln 2-1B.ln 2-2C.2ln 2-1D.2ln 2-25.设a∈R,则“a=1”是“f(x)=ln为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.执行如图所示的程序框图,当输入x为6时,输出的y=()A.1B.2C.5D.107.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.48.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于()A.10 cm3B.20 cm3C.30 cm3D.40 cm39.已知等差数列的前n项和为S n,且S1 006>S1 008>S1 007,则满足S n S n-1<0的正整数n为()A.2 015B.2 013C.2 014D.2 01610.已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上,且cos A=,BC=1,AC=3,三棱锥O-ABC的体积为,则球O的表面积为()A.36πB.16πC.12πD.11.在△ABC中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°,若P是△ABC所在平面内一点,且AP=2,则的最大值为()A.10B.12C.10+2D.812.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,则()A.3f(ln 2)>2f(ln 3)B.3f(ln 2)=2f(ln 3)C.3f(ln 2)<2f(ln 3)D.3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本,将300名学生从1~300编号,按编号顺序平均分成20组,若第16组抽出的号码为231,则第1组中用抽签法确定的号码是.14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有种;(2)这三天售出的商品最少有种.15.若实数x,y满足条件则2x+y的最大值为.16.已知点A(0,3),若圆C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a的取值范围为.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)已知a=(sin 2x,2cos2x-1),b=(sin θ,cos θ)(0<θ<π),函数f(x)=a·b的图象经过点.(1)求θ及f(x)的最小正周期;(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值.。
2022-2023学年湘豫名校联考高三上学期10月一轮复习诊断考试(一)数学(文科)试卷(含详解)
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和图象求得函数的解析式为 ，利用整体代换法即可求出函数的单调递减区间.【详解】由图象可知， ，
令 ，则 ，即 ，
因为 ，由 ，得 ，
所以 ，由 ，得 ；
又函数图象过点 ，则 ，
得 ，解得 ，
又函数 的最小正周期 满足 ，
即 ，所以 ，当 时， 满足题意，
数学（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ， ，则集合 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可先求得 ，再求得 ，再求交集即可.
【详解】 ，
，
所以 .
故选：D
2.命题“ ， ”的否定是（）
A. ， B. ，
（2）由 即可求得 的值域.
【小问1详解】
，
.
【小问2详解】
,
， ，
当 ，即 时， 有最小值 ；
当 ，即 时， 有最大值 .
所以函数 在 上的值域为 .
18.已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 的周长为L，且满足 ．
（1）求角C；
（2）若 ，求L的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得 ，进而求得 .
15.已知函数 图象 一条对称轴为 ．若 ,则 的最大______．
16.已知函数 ，函数 有四个不同的零点 ， ， ， ，且 ．若 ，则实数a的取值范围是______．
三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
云南省昆明市第一中学2024届高三第四次一轮复习检测数学答案
昆明一中2024届高三第4次联考数学参考答案命题、审题组教师杨昆华彭力李文清李春宣丁茵王在方张远雄李露陈泳序杨耕耘一、选择题题号12345678答案CBDCCBAA1．解析：因为i 12i 2i 55z =-=---+，则其在复平面内所对应的点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，其位于第三象限，选C ．2．解析：由题，知2410tx x -+=只有一个实数根．当0t =时，{}14s ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，此时14s t +=；当0t ≠时，令1640t ∆=-=，有4t =，12s =，此时92s t +=．综上s t +=92或14，选B ．3．解析：因为直线530x y -=的斜率为53，所以553a =，所以3a =，选D ．5．解析：因为()P =0.6827X μσμσ-<≤+，所以1(1101011010)(120)0.15862P X >=≈，所以数学成绩在120分以上的人数约为5000.158679⨯≈人，选C ．6．解析：由题，有亚历山大城到赛伊尼走100505000⨯=视距段，设地球大圆周长的视距段为x ，所以7.25000360x=，得250000x =个视距段，则地球的周长为25000015739250000⨯=米39250=千米，选B ．7．解析：22log 6log 42a =>=，323333log 7log 3log 2b =>=且33log 7log 92b =<=，325553log 9log 5log 2c =<=，则c b a <<，选A .8．解析：由于11()e e 11x x f x x --=-+-+，令1t x =-，则()e e t t g t t -=-+在R 上单调递增，且为奇函数，所以()f x 关于点(1,1)中心对称，且在R 上单调递增，即(2)()2f m f m -+=，由(1)(22)2f x f x -+-≥可得(1)2(22)(2)f x f x f x -≥--=，则12x x -≥，得1x ≤-，选A .二、多选题题号9101112答案ADADBCACD9．解析：由10(23762)1a a a a a ⨯++++=，可得0.005a =，故A 正确；前三个矩形的面积和为10(237)0.6a a a ⨯++=，所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80，故B 错误；由成绩的频率分布直方图易知，这40名学生的竞赛成绩的众数为75，故C 错误；总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为3101500225a ⨯⨯=，故D 正确，选A D ．10．解析：由A 选项可知//MN AC ，MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，A 正确.对于B ，如图1，设H 是EG 的中点，结合正方体的性质可知，//AB NH ，////MN AH BC ，//AM CH ，所以A ，B ，C ，M ，N 共面，B 错误.对于C ，如图2，根据正方体的性质可知//MN AD ，由于AD ⊄平面ABC ，所以C 错误.对于D ，如图3，设AC NE D = ，由于四边形AECN 是矩形，所以D 是NE 中点，由于B 是ME 中点，所以//MN BD ，由于MN ⊄平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，D 正确.选AD.图1图2图311．解析：因为直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，所以(2,0)A -，(0,2)B -，则22AB =；又因为点P 在曲线C ：222y x x =-+上，所以点P 在半圆(2222(0)x y y +=≥上；圆心(20)到直线20x y ++=的距离为122122d +==+点(0,0)到直线20x y ++=的距离为2222d ==，所以点P 到直线20x y ++=的距离的范围是222+，所以△ABP 的面积范围是2,42⎡+⎣，所以B C 正确，选B C ．12．解析：A 选项，()111134n n n a a n -+-+-⋅=-中，令2n =得133242a a -=⨯-=，令3n =得423345a a +=⨯-=，A 正确；B 选项，()111134n n n a a n -+-+-⋅=-中，令21n k =+得()222321461k k a a k k ++=+-=-，所以426115a a +=⨯-=，8663117a a +=⨯-=，121065129a a +=⨯-=，161467141a a +=⨯-=，相加得246810121416517294192a a a a a a a a +++++++=+++=，因为数列{}n a 的前16项和为540，所以前16项和中奇数项之和为54092448-=，()111134n n n a a n -+-+-⋅=-中，令2n k =得212132464k k a a k k +-=⨯-=--，所以()()212123646461464614k k k a k a k k a k k +--=-+-+--+=+==--- ()211161441632k k a a k k k a ++⨯-+=⨯=-+-++ ，故222151311975311111377366311a a a a a a a a a a a a +++++++=⨯-++⨯-+++⨯-++ 13928448a =+=，解得17a =，B 错误；C 选项，由B 选项可知22261m m a a m ++=-，{}n a 的前()*4k k ∈N 项中的共有偶数项2k 项，故最后两项之和为()4246211k k a a k -+=--，所以数列{}n a 的前()*4k k ∈N 项中的所有偶数项之和为()()2244245127517621162k k k k a a a a k k k -+-++++=+++--==- ，C 正确；D 选项，由B 选项可知22113k k a k a +=-+，令21n k =-，则12n k +=，故()()()2121113421314n n n a a a n n +++==++++⨯-故当n 是奇数时，()()211314n n n a a +++=+，D 正确.选ACD .三、填空题13．解析：因为6222p p d -+==，所以4p =，2 8x y =．14．解析：由题意，(21)(4)0m m -++=，得1m =-，所以(1)(1)2f f -=-=-．15．解析：因为()a b a +⊥ ，所以()20a a b a b a +⋅=+⋅=，所以1a b ⋅=- ，因为a 在b 方向上的投影向量为b b，所以a b b⋅=，所以b = 22225a b a b a b -=+-⋅=，所以a b -= 16．解析：令()()sin f x F x x =，因为()f x 是定义在ππ,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，所以()F x 为偶函数，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，cos 0x >，2()sin ()cos ()0sin f x x f x x F x x '-'=>，则()F x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调增，π()2()sin 6f x f x <可化为π()()6πsin sin 6f f x x <，即π()()6F x F <得π06x <<，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin 0x <，则π()()6πsin sin()6f f x x ->-，即π()()6F x F >-，又()F x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调减，得ππ26x -<<-，所以解集为πππ,0,266⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．四、解答题17．解：（1）记该同学进行三次投篮恰好有两次投中为事件“B ”，则()1111111113P B 2222222228=⨯⨯+⨯⨯+⨯=.………5分（2）设事件123,,A A A 分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，根据题意可知X 0,1,2,3,4=.故()()()1231P(X 0)P P P 8A A A ===.()()()()()()1231231P(X 1)P P P P P P 4A A A A A A ==+=，()()()()()()1231231P(X 2)P P P P P P 4A A A A A A ==+=()()()()()()1231231P(X 3)P P P P P P 4A A A A A A ==+=，()()()()1231111P X 4P P P 2228A A A ===⨯⨯=.所以于X 的分布列为：X 01234P1814141418X 的数学期望11111()01234284448E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………10分22222b bc bc bc c a 又因为0πA <<，所以π4A=，2sin a A ==………5分（2）因为ABC △的外接圆半径1R =，所以,2sin sin b cB C==所以2sin ,2sin b B c C ==，2sin c B C -=-3π)2sin 4C C=--2cos 2sin 2sin2cos C C C C =+-=，又因为ππ42C <<,所以220cos C <<，所以02cos C <<，所以0c <-<c -的取值范围是(．………12分20．解：（1）如图延长AD 交1BB 于P ，连接PE 交11B C于F ，因为D 为棱11A B 的中点，1DB ∥AB ，且112DB AB =，所以1B 是PB 的中点，因为1PB ∥1C E ，所以1PB F △∽1EC F △，所以11112PB B FC E FC ==.………6分（2）由题知1AA ⊥平面ABC ，则1AA AB ⊥，因为11A B ∥AB ，且11AE A B ⊥，所以AB AE ⊥，所以AB ⊥平面ACA 1C 1，所以AB AC ⊥，如图所示，以A 为原点，AC ，AB ，1AA 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，所以()0,0,0A ，()0,2,4D ，()4,0,2E ，()0,4,0B ，()4,0,0C ，设(),4,0H x x -，()04x ≤≤，因为DH 最短，所以DH BC ⊥，所以()(),2,44,4,0880DH BC x x x ⋅=--⋅-=-=，解得1x =，所以()1,3,0H ，则()1,1,4DH =-，设平面ADE 的法向量(),,n x y z = ，则00n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即240420y z x z +=⎧⎨+=⎩，所以()1,4,2n =-，所以点H 到平面ADE 的距离132121DH n d n⋅==.………12分21．解：（1）由题意知，(2,0)0f =，(4,6)0f =，所以2,12a b ==-………4分（2）由（1）可知，曲线E ：112422=-y x 设t x my l MN +=:，).,1(),,(),,(02211y Q y x N y x M 由题意知).0,2(),0,2(B A -联立⎩⎨⎧=-+=,123,22y x t x my 得,01236)13222=-+--t mty y m （所以,00132>∆≠-，m .13123,1362221221--=-=+m t y y m mt y y 由A ，Q ，M 三点共线知221110+=+x y y ①，由B ，Q ，N 三点共线知221220-=-x y y ②，由①②两式得2232211--=+x y x y ③.又因为,11242121=-y x 即,)2(321111y x x y -=+代入③式得,2)2(92211--=-x y y x即,2)2(92211---=--t my y y t my 整理得,0)2(9))(2(919(221212=++++-+t y y t m y y m ）即,0)2(9136)2(91312319(22222=++-+---+t m mtt m m t m ）化简得.0)4)(2(=++t t 当2-=t 时，2:-=x my l MN ，直线过定点)0,2(，不符合题意，舍去.当4-=t 时，4:-=x my l MN ，直线过定点)0,4(………12分22．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()ln ()2xf x a x x'=-，i.若1a >，则当()0,1x ∈时，ln 0x <，0a x ->，故()0f x '<，当()1,x a ∈时，ln 0x >，0a x ->，故()0f x '>，当(),x a ∈+∞时，ln 0x >，0a x -<，故()0f x '<，此时()f x 在()0,1内单调递减，在()1,a 内单调递增，在(),a +∞内单调递减；ii.若1a =，()ln ()210xf x x x'=-≤，此时()f x 在()0,+∞内单调递减；iii.若01a <<，则当()0,x a ∈时，ln 0x <，0a x ->，故()0f x '<，当(),1x a ∈时，ln 0x <，0a x -<，故()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，ln 0x >，0a x ->，故()0f x '<，此时()f x 在()0,a 内单调递减，在(),1a 内单调递增，在()1,+∞内单调递减；………6分证明（2）：当21e a <≤，20a b +<时，()1220f b a b =+<+<，又0e1<<，且e2e 10f ⎛⎛=+> ⎝⎝⎭，即()e 10f f ⎛⋅< ⎝⎭，由（1）可知()f x 在()0,1内单调递减，故()f x 在区间()0,1内有且仅有一个零点，又0ln 2a <≤，则()()()()22ln 2ln 2ln 2ln ln ln 20f a a a a a a b a a a a a a a =-++<-=-≤，()f x 在()1,a 内单调递增，在(),a +∞内单调递减，故对任意()1,x ∈+∞，()()0f x f a ≤<，故函数()f x 在区间()1,+∞内没有零点，综上可得，()f x 只有一个零点．………12分。
高三数学一轮复习周测试卷
1高三数学一轮复习 周测试卷一：选择题1．命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是（ ）A ．对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <2.设{}62|≤≤=x x A ，{}32|+≤≤=a x a x B ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A 、[]3,1 B 、),3[+∞ C 、),1[+∞ D 、()3,1 3．已知函数()21f x +的定义域为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()f x 的定义域为（ ）A ． 31,24⎛⎫-⎪⎝⎭ B ． 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ． ()3,2-D ． ()3,3-4.函数()22x f x x =-在区间[]1,4-内的零点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A ．(sin )(co s )f f αβ>B ．(co s )(co s )f f αβ<C ．(co s )(co s )f f αβ>D ．(sin )(co s )f f αβ<6.如图，当直线:l y x t =+从虚线位置开始，沿图中箭头方向平行匀速移动时，正方形A B C O 位于直线l 下方（图中阴影部分）的面积记为S ，则S t 与的函数图象大致是（ ）7.若函数)(log)(3ax xx f a-=)1,0(≠>a a 在区间21(-，0)内单调递增，则a 取值范围是 ( )A.[41，1) B.[43，1) C.49(，)+∞D.(1，49)8.设定义在区间(),b b -上的函数()1lg12a x f x x+=-是奇函数(),,2a b R a ∈≠-且，则ba 的取值范围是（ ）2A．( B．(0, C．( D．(0,9．函数()3f x m x =-+有零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．0,2⎡⎢⎣⎦ C ．0,4⎡⎢⎣⎦ D ．0,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 10.设A 是自然数集的一个非空子集，对于k A ∈,如果2k A ∉，且A ,那么k 是A 的一个“酷元”，给定{}2lg (36)S x N y x =∈=-，设集合M 由集合S 中的两个元素构成，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二：填空题11．已知函数()322f x x a x b x a =+++在1x =处取得极值10，则a b +取值的集合为 12.若函数3()12f x x x =-在(1,1)k k -+上不是．．单调函数，则实数k 的取值范围 为 ．13.已知函数()f x 对于任意x R ∈都有()()2f x f x =-，()1y f x =-的图象关于()1,0对称，且当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，则()2013f =＿＿. 14.已知函数21(1),0()2,0n x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩ , 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的 取值范围是15．若关于x 的方程43210x a x a x a x ++++=有实根，则实数a 的取值范围 三：解答题16.设p:实数x 满足22430x a x a -+<, ,命题:q 实数x 满足.|x-3|<1(Ⅰ)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.17.已知数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n n n ∈+==+求数列{}n a 的通项公式n a ；318．已知函数()2in c o s c o s f x x x x ωωω=-，其中ω为使()f x 能在23x π=时取得最大值的最小正整数． （1）求ω的值；（2）设A B C 的三边长a 、b 、c 满足2b ac =，且边b 所对的角θ的取值集合为A ，当x A ∈时，求()f x 的值域．19．工厂生产某种产品，次品率P 与日产量x （万件）间的关系()()10623x c xP xc ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（c 为常数，且06c <<），已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元，（1）将日盈利额y （万元）表示为日产量x （万件）的函数； 18.为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： 100⨯次品数次品率=%产品总数）20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -+=相切，直线:4l xm y =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求O A O B⋅的取值范围；421．已知函数()()()()()1212ln ,x f x a x x g x x e -=---=（a 为常数，e 为自然对数的底）（1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值； （3）若对任意的(]00,x e ∈，在(]0,e 上存在两个不同的()1,2i x i =使得()()0i f x g x =成立，求a的取值范围．。
2023届河南省中原名校高三一轮复习检测联考卷数学(理)试题(解析版)
中原名校联考高三一轮复习检测理科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.已知集合{}{}122|,2|-==++-==x y y B x x y x A ，则=B A （） A.{}20|≤≤x x B.{}20|≤<x x C.{}1|-≥x x D.{}1|->x x2.已知复数z 满足()()i i z 212=++，则其共轭复数z 在复平面上所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城，团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.折线图展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（）A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例数量的中位数与新增疑似病例数量的中位数相同C.16天中新增确疹、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于2000D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和4.已知抛物线px y 22=的焦点为()0,1F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，l PA ⊥，垂足为A ，若直线AF 的倾斜角为32π，则PAF ∆的面积为（） A.32 B.34 C.8 D.385.人类对于地震的认识还十分有限，比如还无法准确预报地震，以做好地震前的人员疏散和重要设施的保护工作.科学家通过观测研究发现，地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震时里氏震级M 之间的关系为.4.18.4lg M E +=则2011年3月11日日本东北部海域发生的里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比为（）A.5.110B.1.5C.5.1lgD.5.110-6.函数x x x f cos )(+=的大致图象是（）7.已知()3112⎪⎭⎫ ⎝⎛--x mx 的展开式中的常数项为8,则实数m 的值为（） A.-3 B.3 C.-2 D.28.将曲线x x f y 2cos )(=上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得到的曲线向右平移4π个单位，得到曲线x y 2cos =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛36ππf f 的值是（） A.2 B.-2 C.32 D.32-9.已知()()αββαβαβ,53sin cos cos sin =---为第三象限的角,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos πα( )A. 1027B.1027-C.102D.102- 10.现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当按如图所示水平放置时，水面的高度正好为棱长的一半.若将正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水平的最大高度为（）A.1B.2C.3D.2211.设b a ,为非零向量，则命题“b a b a +=+”是命题“a 与b 共线”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉.为了纪念数学家高斯，人们把函数R x x y ∈=],[称为高斯函数，其中][x 表示不超过x 的最大整数.设{}][x x x -=，则函数{}12)(--=x x x x f 的所有零点之和为（）A.-1B.0C.1D.2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》《好玩的数学》《故事中的数学》等书，题材广泛，妙趣横生，深受广大读者喜爱.《好玩的数学》中《五分钟内挑出埃及分数》这篇文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数31与151的和表示52等.从1011,1001,41,31,21，⋅⋅⋅这100个埃及分数中选出不同的3个，使它们的和为1,这3个分数是.(按从大到小的顺序排列）14.数列{}()2,1:2121>+===--n F F F F F F n n n n ，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》之中.若数列{}n F 的每项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项的和=50S .15.已知F 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的右焦点，B A ,是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，0=⋅BF AF 且线段AF 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率=e .16.已知三棱锥ABC P -的四个顶点在球O 的表面上，⊥PA 平面4,2,32,6====BC AC AB PA ABC ，，则球O 的表面积为；若D 是BC 的中点，过D 作球的截面，则截面面积的最小值是 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个题考生都必作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知向量()B a c m sin ,-=,()C A a b n sin sin ,+-=,且m ∥n .（1）求角C 的值；（2）若a b c 336=+，求A sin 的值.18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，AD CD AD ,⊥∥BC ， .3,2====BC CD AD PA 过点A 作四棱锥ABCD P -的截面AEFG ，分别交PB PC PD ,,于点G F E ,,.已知E PB PG ,3:2:=为PD 的中点.(1) 求证：AG ∥平面PCD ；(2) 求AF 与平面PAB 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）为了普及传染病防治知识，增强学生的健康意识和疾病防犯意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在[)80,70内的学生获三等奖，得分在[)90,80内的学生获二等奖，得分在[]100,90内的学生获一等奖，其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生恰有一名学生获奖的概率.（2）若该校所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布()2,σμN ，其中μσ,15=为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：①若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过79分的学生人数（结果四舍五入到整数）；②若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于10000）随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.附：若随机变量X 服从正态分布()2,σμN ，则(),6827.0≈+≤<-σμσμX P (),9545.022≈+≤<-σμσμX P ().9973.033≈+≤<-σμσμX P20.（本小题满分12分）设A 为椭圆12:22=+y x L 上的一个动点，21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，AC AB ,分别为过21,F F 的弦，且.,222111C F AF B F AF λλ==（1）求证：21λλ+为定值；（2）求AC F 1∆的面积S 的最大值.21.（本小题满分12分）设n 是正整数，().12x ne n x n x xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= （1）求证：当1≤x 时，().112x e x x ≤-- （2）求证：当n x ≤时，().n x f ≥（二）选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中,已知圆C 的圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πC ,半径.3=r （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈4,0πα，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2，直线l 交圆于B A ,两点，求AB 的取值范围.23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()().31R a a x x f ∈-= （1）当2=a 时，解不等式()131≥+-x f x ； （2）设不等式x x f x ≤+-)(31的解集为M ，若M ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31，求实数a 的取值范围.中原名校联考高三一轮复习检测数学（理）参考答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.B【解析】由022≥++-x x ，得022≤--x x ，21≤≤-x ，即{}21|≤≤-=x x A ，由021>=-x y ，得{}0|>=x x B ，故{}20|≤<=x x B A .2. C 【解析】因为()()()i i i i i i i z +=-+-=+=+11112122，所以z =1+i ，1z i =--，其对应的点位于第三象限.3. C【解析】对于A ，从折线图可以看出，19日至20日新增确诊病例数量呈上升趋势，故A 错误；对于B ，从折线图可以看出，每日新增确诊病例数量的中位数位于500—1000之间，每天新增疑似病例数量的中位数位于1000—1500之间，所以每日新增确诊病例数量的中位数小于每日新增疑似病例数量的中位数，故B 错；对于C ，从折线图可以看出，16天中每日新增确疹病例数量最低在250以下，最高在2500以上，极差大于2000,而每日新增疑似病例数量最低在250以下，最高在2250以上，极差大于2000,每日治愈病例数量最低在1500以下，最高在3500以上，极差大于2000,故C 正确；对于D ，从折线图可以看出，20日新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例数量之和，故D 错误.4. B【解析】由题意，知2=p ，抛物线方程为x y 42=，设准线与x 轴的交点为K （图略），则2=KF .因为直线AF 的倾斜角为32π，所以3π=∠AFK ，则4=AF .由抛物线的定义可知||||PF PA =且3π=∠PAF ，所以△PAF 是边长为4的正三角形， .34234421=⨯⨯⨯=∆PAF S 5. A 【解析】由lg 4.8 1.5E M =+，可得M E 5.18.410+=，设日本东北部海域发生的里氏9.0级地震-与我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量分别为21,E E ，则.1010105.185.18.495.18.421==⨯+⨯+E E6. A【解析】因为()x f 的定义域为R ，()x x x f cos +-=-，)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-，故该函数既不是奇函数又不是偶函数，排除B 、C ；又当2π=x 时，x x x =+cos ，即)(x f 的图象与直线x y =的图象的交点中有一个点的坐标为2π，排除D ，故只能选A. 7. D【解析】由二项式定理，得311⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 的通项rr r x C T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+131，则()3112⎪⎭⎫ ⎝⎛--x mx 展开式中的常数项为()m x C mx C 32121303+=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-+⨯，所以832=+m ，解得.2=m 8. D【解析】将曲线x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，得到曲线 x x x y 2sin 22cos 42cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ的图象，再将所得曲线上的所有点的横坐标缩短到原来的21，得到曲线x y 4sin -=.由题意，得x x f x 2cos )(4sin =-，所以 x xx x x x x f 2sin 22cos 2cos 2sin 22cos 4sin )(-=-=-=，则.3232sin 23sin 236-=--=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛ππππf f9. D【解析】由题知，()()()[]53sin sin sin cos cos sin =-=--=---αβαβββαβαβ，所以53sin -=α，又α为第三象限的角,则().102sin cos 224sin sin 4cos cos 4cos -=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπαπαπα 10. B【解析】因为正方体的面对角线的长为22，故将正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转的最大高度是22.又因为容器里水的体积正好是容器体积的一半，所以容器时水面的最大高度是面对角线长度的一半，即容器中水面的最大高度为.2 11. Ab a b a +=+a 与b 共线且方向相同，故充分性成立；但当a 与b 共线且b a b a +≠+，故必要性不成立.因此，命题b a b a =+”是命题“a 与b 共线”的充分而不必要条件.)12. A【解析】因为{}][x x x -=，当x 为整数时，{}().1,0--==x x f x 令()01=--=x x f ，得.1-=x 当x 不为整数时，{}{}.11][][],[1][+-=+-=---=---=-x x x x x x x x 因为{}12)(--=x x x x f ，所以 (){}{}(){}1211212--=-++--=-+-⋅-=-x x x x x x x x x x f ，此时)()(x f x f =-，即)(x f 为偶函数，图象关于y 轴对称，故x 不为整数时，对称区间的零点之和为0,所以所有零点之和为 1.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.61,31,21【解析】因和为1,故3个数中必有一个大于31，也必有一个小于31，在这个原则下验算得1613121=++，所以3个埃及分数按从大到小的顺序依次为61,31,21. 14.34【解析】斐波那契数列{}n F 为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…将数{}n F 的每一项除以2所得余数构成-的新数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,…这是一个周期数列，周期为3,又216350⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷，故数列{}n a 的前50项的和为.3411216=++⨯ 15. 15-【解析】因为F 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的右焦点，所以()0,c F .由题知双曲线的一条渐过线的方程为x a b y =，不妨设()0,000>⎪⎭⎫ ⎝⎛x x a b x A ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛--00,x a b x B ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000,,,x a b x c BF x a b x c AF ，则()()020222202200=-=-+-=⋅x a c c x a b x c x c BF AF ，由此得.220a x =因此点A 的坐标为()b a A ,，线段AF 的中点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+2,2b c a ，因为它在双曲线上，所以1222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a c a ，化简得512=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a c ，解得.15-==a c e16. 52π 4π【解析】由已知得222BC AC AB =+，则AC AB ⊥.因为⊥PA 平面ABC ，所以可将三棱锥ABC P -补成以AP AC AB ，，分别为长、宽、高的长方体，则三棱锥ABC P -的外接球直径为长方体的体对角线的长，即()13262322222222=++=++=AP AC AB R （R 为外接球的半径），所以13=R ，所以球O 的表面积为.5242ππ=R 因为D AC AB ，⊥为BC 中点，所以D 为ABC Rt ∆的外接圆圆心，且⊥OD 平面ABC ，所以过点D 作球O 的截面，面积最小的截面即为ABC ∆的外接圆面，外接圆的半径为22==BCr ，所以面积的最小值为.42ππ=r 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个题考生都必作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一）必考题：共60分.17.（1）因为m ∥n ，所以()()()B a b C A a c sin sin sin -=+-，……………(2分)由正弦定理，得()()()b a b c a a c -=+-，化简得ab c b a =-+222，……………(4分)所以，.2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 又()π,0∈C ，所以.3π=C ………………………………………(6分) （2）由（1）知A B -=32π， 由题设及正弦定理，得A A C sin 332sin 3sin 6=⎪⎭⎫⎝⎛-+π， 整理，得0sin 21cos 2322=-+A A ，即.223sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA ……………………(8分) 因为320π<<A ，所以333πππ<-<-A ，.223cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA …………………(10分) 故.4263sin 3cos 3cos 3sin 33sin sin +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππA A A A…………………………………………………………………………………………(12分)18.（1）如图所示，在PC 上取点H ，且满足3:2:=PC PH ，……………………(2分)连接HD GH ,，则GH ∥BC ，所以AD ∥GH ，且GH AD =，所以四边形ADHG 是平行四边形.则AG ∥.HD ………………………(4分)又因为⊂HD 平面AG PCD ,不在平面PCD 内， 所以AG ∥平面PCD .…………………………………(6分)（2）过点A 作AM ∥CD 交BC 于点M ，易证AD AP AM ,,两两垂直，所以以M 为原点，AM 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立平面直角坐标系,xyz A -则有()()()().0,1,2,1,1,0,32,32,34,0,2,2,2,0,0-⎪⎭⎫⎝⎛-B E GC P ………………(8分) 设平面AEFG 的法向量为()z y x n ,,=，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0AE n AG n即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-,0,0323234z y z y x 令1=z ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.1,1,1z y x 所以，()1,1,1--=n 是平面AEFG 的一个法向量.因为点F 在PC 上，所以()().22,2,21λλλλλ-=-+=AP AC AF 因为⊂AF 平面AEFG ，所以02222=-+--=⋅λλλn AF ，解得31=λ，所以.34,32,32⎪⎭⎫⎝⎛=AF ……………………………………(10分)设平面PAB 的法向量为()1111,,z y x n =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,011AB n AP n 即⎩⎨⎧=-=,02,02111y x z 令11=x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===.0,2,1111z y x所以，()0,2,11=n 是平面PAB 的一个法向量，1030cos 1=n AF ，即AF 与平面PAB 所成角的正弦值为.1030………………………………(12分)19.（1）由样本频率分布直方图，得样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等 奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖.……………………………………(2分)从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为.2100C 设“抽取两名学生中有一名学生获奖”的事件为A ，则事件A 包含的基本事件的个数为130170C C .……(4分)因为每个基本事件出现的可能性相等，所以().33142100130170==C C C A P 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为.3314………………………………(6分) （2）由样本频率分布直方图得样本平均数估计值+⨯⨯=10006.035μ+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10008.08510016.07510034.06510018.05510012.045,6410006.095=⨯⨯所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布().15,642N ……(8分)①因为79=+σμ，所以()15865.026827.0179=-≈>X P ，参赛学生中成绩超过79分的人数约为.15871000015865.0=⨯②由64=μ，得()2164=>X P ，即从所有学生中随机抽取1名学生，该生的成绩在64分以上的概率为21，所以随机变量ξ服从二项分布⎪⎭⎫⎝⎛21,3B ，随机变量ξ的可能值为0,1,2,3,且()812112103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ，()832112112113=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ， ()832112121223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，().812112130333=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ所以随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P8183 83 81……………………………(10分)随机变量ξ的数学期望().23813832831810=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………(12分) 20.（1）易求得()().0,1,0,121F F -设点C B A ,,三点的坐标依次为()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ,由C F AF B F AF 222111,λλ==，得()()2211,1,1y x y x +=---λ,()()3311,1,1y x y x -=--λ……………………(2分)由此得()()11,11321211-=-+=--x x x x λλ，进而得.11,11213112+-=-+-=λλx x x x…………………………………(4分)由椭圆的性质可知，22211++=x x λ，将11112-+-=λx x 代入，得3211+=x λ； 同理得31222x x --=λ，将11213+-=λx x 代入，得.3212+-=x λ 因此，632321121=+-+=+x x λλ为定值.……………………(6分) （2）因为.213131211y y y y F F S AC F -=-⋅⋅=∆………………………………………(8分) 设直线AC 的方程为1+=my x ，与椭圆方程联立得().012222=-++my y m………………………………(10分)从而21111222222222231≤+++⋅=++=-m m m m y y ，当且仅当0=m 时，即直线AC 的方程为1=x 时，AC F 1∆的面积S 取到最大值.2……………(12分)21.（1）记()xe x x x g -+=1)(2,则()()xex x g -='2.易知，当()0,∞-∈x 时，()0<'x g ；当()2ln ,0∈x 时，()0>'x g ，当(]1,2ln ∈x 时，()0<'x g .……………(2分)所以，)(x g 在()0,∞-上单调递减，在()2ln ,0上单调递增，在(]1,2ln 上单调递减,进而知)(x f 的最小值()()(){}minmin 0,1 1.f x g g ⎡⎤==⎣⎦故()1≥x g ,即()112≥-+xe x x ,().112x e x x≤--…………………………………(4分)（2）由()x ne n x n x xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12，得 ().121112112⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='--n xn n x n x e x n n x n n x n e x x f当1=n 时,由(1)知()1)(≥=x g x f ,命题成立.………………………(6分)当2≥n 时，令()11n xx h x e n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()12211()1111.n n n xxx x x x x h x e e n e n n n n n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+⋅--⋅-=⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭易知，当()1,∞-∈x 时，()0h x '>，当[]n x ,1∈时，()0h x '<.所以，在区间()1,∞-上函数()h x 单调递增，在区间[]n ,1上函数()h x 单调递减.所以，当1=x 时，()h x 取得最大值11(1)1.n h e n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭……………………………(8分)由于熟知结论n n 111ln -<⎪⎭⎫ ⎝⎛-，得nn e -⎪⎭⎫⎝⎛-<11，于是.21111111≤-=⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫⎝⎛---n n n n e n …………………………(10分)因此，0121>⎪⎭⎫⎝⎛---n xn x e ，故当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减，当(]n x ,0∈时，()0>'x f ，()x f 单调递增，即()x f 的最小值为()n f =0.所以，n e n x n x x n≥⎪⎭⎫⎝⎛-+12，即().n x f ≥………………………………………(12分)（二）选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（1）因为点⎪⎭⎫⎝⎛4,2πC 的直角坐标为()1,1， 所以圆C 的直角坐标方程为()()31122=-+-y x ，…………………(2分)化为极坐标方程即为().01sin cos 22=-+-θθρρ………………………………(4分)（2）将⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2t y t x 代入圆C 的直角坐标方程()()31122=-+-y x ，并化简得().01sin cos 22=-++ααt t …………………………(6分)设点B A ,对应的参数分别为21,t t ，则().1,sin cos 22121-=+-=+t t t t αα 所以，().2sin 2242122121α+=-+=-=t t t t t t AB …………………………(8分)因为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈4,0πα，所以3222,2,02<≤⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈AB πα，即AB 的取值范围是[).32,22……………………………………(10分)23.（1）当2=a 时，原不等式化为3213≥-+-x x ，………………(2分) ①当31≤x 时，3231≥-+-x x ，解得0≤x ，所以0≤x ； ②当231<<x 时，3213≥-+-x x ，解得1≥x ，所以21<≤x ； ③当2≥x 时，3213≥-+-x x ，解得23≥x ，所以2≥x .……………………(4分)综上所述，当2=a 时，不等式的解集为{}10|≥≤x x x 或.……………………(6分)（2）不等式x x f x ≤+-)(31可化为x a x x 313≤-+-，依题意该不等式在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31x 上恒成立.………………………………(8分)所以x a x x 313≤-+-，即1≤-a x ，即11+≤≤-a x a .故⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-,211,311a a 解得3421≤≤-a ，即实数a 的取值范围是.34,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-………………(10分)高三数学（理）参考答案第21页（共21页）。
立体几何专题检测——江苏省2023届高三数学一轮总复习
江苏省2023届高三数学一轮总复习专题检测立体几何一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、下列命题正确的是A 、正方形的直观图是正方形B 、用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台C 、各个面都是三角形的几何体是三棱锥D 、圆锥有无数条母线2、设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是A 、 若m α⊥，m n ⊥，则 n α∥B 、 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C 、若n α∥，m n ⊥，则m α⊥D 、若αβ∥，m ⊂α，n ⊂β，则m n ∥3、已知圆锥的高为6，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A ．2 2B ．2 3C ．2 6D ．4 24、正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体､正六面体（即正方体）､正八面体､正十二面体､正二十面体.连接正方体中相邻面的中心，可以得到另一个柏拉图体.已知该柏拉图体的体积为323，则生成它的正方体的棱长为（ ） A. 2 B. 322 C. 324 D. 45、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．7 2.65≈）（ ） A. 931.010m ⨯B. 931.210m ⨯C. 931.410m ⨯D.931.610m ⨯6、在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱1113,60AA A AD A AB ︒=∠=∠=，则1AC =（ ）.A 22 .B 10 .C 3 .D 177、如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,,E F G H 分别是所在棱上的动点，且满足1DH BG AE CF +=+=，则以下四个结论正确的是（ ）A ．,,,E G F H 四点一定不共面B ．若四边形EGFH 为矩形，则DH CF =C ．若四边形EGFH 为菱形，则,E F 一定为所在棱的中点D ．若四边形EGFH 为菱形，则四边形EFGH 周长的取值范围为[4,25]8. 足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足2dm AB BC AD BD CD =====，二面角A BD C --的大小为23π，则该足球的体积为（ ） A.342dm 27πB.3352dm 27πC.314dm 27πD.32dm 27π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9、已知直线l 与平面α相交于点P ，则( ) A ．α内不存在直线与l 平行 B ．α内有无数条直线与l 垂直C ．α内所有直线与l 是异面直线D ．至少存在一个过l 且与α垂直的平面 10、已知正方体1111ABCD A B C D -，则（ ） A. 直线1BC 与1DA 所成的角为90︒ B. 直线1BC 与1CA 所成的角为90︒ C. 直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D. 直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒11、在一个圆锥中，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，P 为线段DO 的中点，AE 为底面圆的直径，△ABC 是底面圆的内接正三角形，AB ＝AD ＝3，则下列说法正确的是 A ．BE ∥平面PACB ．PA ⊥平面PBCC ．在圆锥侧面上，点A 到DB 中点的最短距离为32D ．记直线DO 与过点P 的平面α所成的角为θ，当cos θ∈(0，33)时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆12、已知圆台1OO 上､下底面的半径分别为2和4，母线长为4.正四棱台上底面1111D C B A 的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面ABCD 的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（ ） A. 1AA 与底面所成的角为60° B. 二面角1A ABC 小于60°C. 正四棱台1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为64πD. 设圆台1OO 的体积为1V ，正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为2V ，则12V V π=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知正四棱锥P ABCD -32，则正四棱锥P ABCD -的侧面积为14、已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为23cm ，母线与轴的夹角为30︒，则这个圆台的轴截面的面积等于 2.cm 15、已知,,,A B C D 在球O 的球面上，ABC 为等边三角形且其面积为33，AD ⊥平面,2ABC AD =，则球O 的表面积为 .16、在等腰梯形ABCD 中，22AB CD ==，3DAB CBA π∠=∠=，O 为AB 的中点．将BOC∆沿OC 折起，使点B 到达点B '的位置，则三棱锥B ADC '-外接球的表面积为 ；当3B D '=B ADC '-外接球的球心到平面B CD '的距离为 ．四、解答题：本题共6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，AC 与BD 相交于点M ，点N 在线段AP 上，AN AP λ=（0λ>），且//MN 平面PCD . （I ）求实数λ的值；（Ⅱ）若1AB AD DP ===，2PA PB ==，60BAD ︒∠=，求点N 到平面PCD 的距离.18．（本小题满分12分）如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，12AD CD AB ==，平面PAD ⊥平面PAB ，PA PB ⊥． （1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ； （2）若二面角P AB D --的余弦值为33，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小．19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为2． （1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．20．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为2的等边三角形，,22PA AB BD CD ===，22PC PB ==，点E 是BC 中点，平面ABC ⊥平面BCD .(1) 求证：//DE 平面PAC ；(2) F 是直线BC 上的一点，若二面角F DA B --为直二面角，求BF 的长.21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥点M 在棱PB 上，2PM MB =点N 在棱PC 上，223PA AB AD BC ====. （1）若2CN NP =，Q 为PD 的中点，求证：A ，M ，N ，Q 四点共面； （2）求直线PA 与平面AMN 所成角的正弦的最大值.22．（本小题满分12分）如图1，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝33，∠ABC ＝30º，AE ⊥BC ，垂足为E ．以AE 为折痕把△ABE 折起，使点B 到达点P 的位置，且平面PAE 与平面AECD 所成的角为90º(如图2)．（1）求证：PE ⊥CD ；（2）若点F 在线段PC 上，且二面角F －AD －C 的大小为30º，求三棱锥F －ACD 的体积．补充练习：1、如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，AD AB ⊥，122AA AD BC ===，2AB E 在棱11A D 上，平面1BC E 与棱1AA 交于点F ．（1）求证：1BD C F ⊥；（2）若BE 与平面ABCD 所成角的正弦值为45，试确定点F 的位置．【解答】（1）证明：在直四棱柱中1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ∴⊥，连接AC ，2tan 2AB ADB AD ∠==，2tan 2CB CAB AB ∠==， ADB CAB ∴∠=∠，AC BD ∴⊥， 1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，1AA AC A =，BD ∴⊥平面11ACC A ，1C F ⊂平面11ACC A ，1BD C F ∴⊥．（2）以A 为坐标原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，(0B 20)，(1C 20)，1(1C 22)， 平面ABCD 的法向量为(0n =，0，1)，(BE x =，2-2)，0x >，则242|cos ,|56BE n x =<>=+，解得12x =， 则1(2E ，0，2)，1(2BE =，22)，11(2C E =-，2-0)，设(0F ，0，)z ，1(1C F =-，2-2)z -，则(1-，2-12)(2z m -=，2-12)(2n +-，2-0)，∴11122222m n m n ⎧-=-⎪⎨⎪--=-⎩，解得12m =-，32n =，1z =，(0F ∴，0，1)，F ∴为棱1AA 的中点．参考答案1、D2、B3、A4、D5、C6、D7、D8、A 8、【详解】根据题意，三棱锥A BCD -如图所示，图中点O 为线段BD 的中点，,N M 分别是线段,AO CO 上靠近点O 的三等分点， 因为2dm AB BC AD BD CD =====，所以ABD △和CBD 均为等边三角形，因为点O 为线段BD 的中点，所以,AO BD CO BD ⊥⊥， 所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，所以23AOC π∠=， 因为ABD △和CBD 均为等边三角形，点O 为线段BD 的中点， 所以,AO CO 分别为ABD △和CBD 的中线，因为,N M 分别是线段,AO CO 上靠近点O 的三等分点， 所以,N M 分别为ABD △和CBD 的外心，过,N M 分别作平面ABD 和平面CBD 的垂线,EN EM ，交于点E ，则点E 为三棱锥A BCD -外接球的球心，即为足球的球心，所以线段EB 为球的半径，因为,AO BD CO BD ⊥⊥，2dm AB BC AD BD CD =====，所以6dm 2AO CO ==，则6dm 6NO MO ==， 因为,,90AO CO EO EO ENO EMO ==∠=∠=︒， 所以ENO △≌EMO △，所以123EON EMO AOC π∠=∠=∠=， 在直角EMO △中，2tan32EM OM π==，因为EM ⊥平面BCD ，BM ⊂平面BCD ，所以BM EM ⊥， 因为M 是CBD 的外心，所以63BM =，所以2276EB EM BM =+=, 所以3344774233627V EB πππ⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭， 所以足球的体积为742dm 27π，故选：A9、ABD 10、ABD 11、BD 12、AC12、【详解】如图，过1A 作1A P AO ⊥，作出截面11ACC A 的平面图，易知11ACC A 为等腰梯形，且1,O O 为11,AC A C 中点，易得1114,8,4AC AC AA ===，1122AC AC AP -==，故22114223OO A P ==-=即圆台的高3h =111122,4222A B AB ====2242 选项A ：易得1A AO ∠即为1AA 与底面所成角，则111cos 2AP A AO AA ∠==，故13A AO π∠=，正确；选项B ：过P 作PQ AB ⊥于Q ，连接1A Q ，由1A P AB ⊥，1A P PQ P ⋂=，故AB ⊥面1A PQ ，1AQ ⊂面1A PQ ，故1AB A Q ⊥， 1A QP ∠即为二面角1A AB C 的平面角，111sin A P AQP A Q ∠=，111sin A PA AP A A∠=，又11A Q A A <，故11sin sin AQP A AP ∠>∠，即160AQP ∠>，B 错误； 选项C ：设外接球半径为R ，球心到下底距离为x ，在11ACC A 的平面图中，2O 为球心， 则221,23O O x O O x ==，112,4O C OC ==，212O C O C R ==，故()2222164234R x R R x ⎧-=⎪⇒=⎨-=⎪⎩， 故表面积2464S R ππ==，正确；选项D ：()2215632482333V ππ=++⨯=，()21112383216233V =++⨯=然12V V π≠，错误. 故选：AC.13、8 14、3 15、8π 16、4π313． 16、解：等腰梯形ABCD 中，22AB CD ==，3DAB CBA π∠=∠=，O 为AB 的中点，BOC ∴∆，ADO ∆，DOC ∆为等边三角形，1OA OB OC OD ====，∴三棱锥B ADC '-处接球的球心为O ，半径为1，414S ππ∴=⨯=，连接BD 与OC 交于M ，则OC MD ⊥，OC MB ⊥，OC MB ⊥'，B MD ∴∠'是二面角的平面角，3BM DM B D =='=，3B MD π∴∠'=， B ∴'到平面COD 的距离为3334h π'==， 在△B CD '中，1B C '=，3B D '=1CD =，2133391()24B CDS '=-=， 设球心O 到平面B CD '的距离为h ， 由O B CD B COD V V ''--=，得1133B CDCOD Sh S h '∆'⋅=⋅， ∴139133334h =，解得313h ，∴三棱锥B ADC '-外接球的球心到平面B ADC '-处接球的球心到平面B CD '的距离为31313． 故答案为：4π；31313．17、【详解】分析：解法一：（1）由平行线的性质可得13AM AC =，结合线面平行的性质定理有//MN PC ．据此可得13λ=． (2) 由题意可知ABD ∆为等边三角形，则1BD AD ==，结合勾股定理可知PD BD ⊥且PD DA ⊥，由线面垂直的判断定理有PD ⊥平面ABCD ，进一步有平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ，则ME ⊥平面PCD ． ME 即为N 到平面PCD 的距离．结合比例关系计算可得N 到平面PCD 3解法二：（1）同解法一．（2）由题意可得ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==，结合勾股定理可得PD BD ⊥且PD DA ⊥，则PD ⊥平面ABCD ．设点N 到平面PCD 的距离为d ，利用体积关系：2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==， 即2193ACDPCDPD Sd S ⋅=⋅．求解三角形的面积然后解方程可得N 到平面PCD 3 详解：解法一：（1）因为//AB CD ,所以1,2AM AB MC CD ==即13AM AC =． 因为//MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC ⋂平面PCD PC =， 所以//MN PC ． 所以13AN AM AP AC ==，即13λ=．(2) 因为0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==， 又因为1PD =，2PA PB ==，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D ⋂=，所以PD ABCD ⊥平面 因PD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ．作ME CD ⊥于E ，因为平面PCD ⋂平面=ABCD CD ，所以ME ⊥平面PCD ． 又因为//MN 平面PCD ，所以ME 即为N 到平面PCD 的距离． 在△ABD 中，设AB 边上的高为h ，则3h =因为23MD MC BD AC ==，所以233ME h ==N 到平面PCD 3 解法二、（1）同解法一．（2）因为0,60AB AD BAD =∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==， 又因为1PD =，2PA PB ==，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+，所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D ⋂=，所以PD ⊥平面ABCD ． 设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =， 所以2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==， 即2193ACDPCDPD S d S ⋅=⋅．因为1322ACDS AD DC sin ADC =⋅⋅∠=，112PCDS PD CD =⋅=，1PD =， 所以23193d =，解得3d =N 到平面PCD 318、【1】因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD 平面PAB PA =，PA PB ⊥，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥平面PAD ，又因为PB ⊂平面PBC ，所以平面PAD ⊥平面PBC ． 【2】过D 作DH PA ⊥，⊥DO AB ，垂足分别为H ，O ，连接HO ，因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD 平面PAB PA =，DH PA ⊥，DH ⊂平面PAD ，所以DH ⊥平面PAB ，又AB 平面PAB ，所以DH AB ⊥，又⊥DO AB ，且DO DH D =，DO ，DH ⊂平面DHO ，所以AB ⊥平面DHO ， 因为HO ⊂平面DHO ，所以AB HO ⊥，即DOH ∠即为二面角P AB D --的平面角， 不妨设4AB =，则可知2AD CD BD ===，且1AO =，3OD =因为3cos DOH ∠=1OH =，所以4BAP π∠=，过O 作OM ⊥平面PAB ，以{},,OA OH OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,1,2D ，()1,2,0P -，()3,0,0B -，(2C -， 所以(1,2PD =-，()2,2,0BP =，(1,1,2CP =-，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则22020m BP x y m CP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1y =-，0z =，所以()1,1,0m =-，设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，则2sin 211112m PD m PDθ⋅===+⋅++⋅， 即4πθ=.19、【1】在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ， 则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅==， 解得2h =所以点A 到平面1A BC 2；【2】取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥, 又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥， 又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =12AA AB ==，122A B =2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点()1,1,1D ， 则()1,1,1BD =，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =，则020m BD a b c m BC a ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩， 可取()0,1,1n =-， 则11cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C --21312⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 20、(1)ABC 是边长为2的等边三角形，则2PA AB AC ===，又22PC PB ==股定理知,PA AB PA AC ⊥⊥，故PA ⊥平面ABC ，BD CD =，点E 是BC 中点，则DE BC ⊥，由于平面ABC ⊥平面BCD 知DE ⊥平面ABC ，则//DE PA ，//DE 平面PAC (2) 以点E 为原点，EC 方向为x 轴，EA 方向为y 轴，ED 方向为z 轴建系 则(0,0,1),3,0),(1,0,0)D A B -，设(,0,0)F a平面FDA 内，(0,3,1),(,0,1)DA DF a =-=-，法向量(3,3)m a a = 平面BDA 内，(0,3,1),(1,0,1)DA DB =-=--，法向量(3,1,3)m =-设直二面角F DA B --的平面角θ，则37cos 0,430,,44m n a a BF θ==-===21、【1详】解：以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，()0,1,1Q ，42,0,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，24,1,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则42,0,33AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,1,1AQ Q =，24,1,33AN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设AN x AM y AQ =+，则243314233x y x y ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得1,12x y ==，则12AN AM AQ =+，即A ，M ，N ，Q 四点共面.【2】解：由（1）中的空间直角坐标系，可得(0,0,2)P ，()2,3,0C ，()0,0,2AP =， 设PN PC =λ，（其中01λ≤≤），且(),,N x y z ， 则()(),,22,3,2x y z λ-=-，解得()2,3,22N λλλ-， 可得42(,0,)33AM =()2,3,22AN λλλ=-设平面AMN 的法向量为(),,n a b c =，由4203323(22)0n AM a c n AN a b c λλλ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++-=⎩， 取1a =，可得42,23b c λ=-=-，所以41,2,23n λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设直线AP 与平面AMN 所成角为θ，则225sin 4523AP n AP nθλ⋅==≤⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当且仅当23λ=时等号成立. 直线PA 与平面AMN 25.22、解：（1）方法1在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，所以AE ⊥PE ．因为平面PAE 与平面AECD 所成的角为90º，即平面PAE ⊥平面AECD ． ················· 2分 又因为平面PAE ∩平面AECD ＝AE ，PE ⊂平面PAE ，所以PE ⊥平面AECD ．因为CD ⊂平面AECD ，所以PE ⊥CD ． ············································································ 4分 方法2在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，所以AE ⊥PE ，AE ⊥CE ， 所以∠PEC 为平面PAE 与平面AECD 所成角的平面角．因为平面PAE 与平面AECD 所成的角为90º，所以∠PEC ＝90º，即PE ⊥CE ． ········· 2分 又PE ⊥AE ，AE ∩CE ＝E ，AE ⊂平面AECD ，CE ⊂平面AECD ，所以PE ⊥平面AECD ． 因为CD ⊂平面AECD ，所以PE ⊥CD ． ············································································ 4分 （2）方法1由（1）得PE ⊥平面AECD ，AE ⊥EC ，故以{EA →，EC →，EP →}为正交基底，建立空间直角坐标系．易得A (1，0，0)，C (0，23，0)，D (1，33，0)，P (0，0，3)，所以PC →＝(0，23，－3)，AP →＝(－1，0，3)，AD →＝(0，33，0)． ································································································· 5分 设PF →＝λPC →＝(0，23λ，－3λ)，λ∈[0，1]，则AF →＝AP →＋PF →＝(－1，23λ，3－3λ)． ······························································ 6分设平面FAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋23λy ＋(3－3λ)z ＝0，取z ＝1，得x ＝3－3λ，则平面FAD 的一个法向量为n ＝(3－3λ，0，1)． ·················································· 8分 又因为平面AECD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)， 且二面角F －DA －C 的大小为30º，所以|cos ＜m ，n ＞|＝|m ·n |m |·|n ||＝|1(3－3λ)2＋1|＝32，整理得9λ2－18λ＋8＝0，即(3λ－2)(3λ－4)＝0，解得λ＝23或λ＝43(舍去)，故PF →＝23PC →． ................................................................................ 10分因为S △ACD ＝12×33×1＝332，所以V F －ACD ＝13V P －ACD ＝13S △ACD ×13PE ＝12． ............................................................................... 12分方法2在△PEC 中，过F 作FG ∥EC ，交PE 于点G ．因为EC ∥AD ，所以FG ∥AD ，因此A ，D ，F ，G 共面． 在平行四边形ABCD 中，易知AD ⊥AE ．由（1）得PE ⊥平面AECD ， 因为AD ⊂平面AECD ，所以AD ⊥PE ．又PE ∩AE ＝E ，AE ，PE ⊂平面PAE ，所以AD ⊥平面PAE ． 因为AG ⊂平面PAE ，所以AD ⊥AG ．所以∠GAE 为二面角F －AD －C 的平面角，所以∠GAE ＝30º． ································· 8分 在Rt △AEG 中，∠AEG ＝90º，∠GAE ＝30º，AE ＝1，所以EG ＝33． ···················· 10分 因为FG ∥AD ，FG ⊄平面AECD ，AD ⊂平面AECD ，所以FG ∥平面AECD ．因此V F －ACD ＝V G －ACD ＝13×(12×33×1)×33＝12．······················································ 12分。
2021高考数学(理)一轮复习专项检测《数列》(解析版)
故选 A。 4．（山东省潍坊市 2019 届高三模拟）如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一
些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有 n 个圆盘，较
a1, a2 ,, an,, 并记相应的极大值为 b1, b2 ,, bn,, 则 a1b1 a2b2 a20b20 的值为（ ）
A．19 320 1 B．19 319 1
C． 20 319 1
D． 20 320 1
【答案】A
【解析】由题当当 0 x 2 时， f x 2x x2 x 12 1, 极大值点为 1，极大值为 1
A.64
B.48
C.36
D.24
【答案】B
【解析】由等差数列性质可知， S17 17a9 272，解得 a9 16 ，故 a3 a9 a15 3a9 48.
故选 B。
6．（山东省日照市 2019 届高三联合考试）已知数列 an 前 n 项和为 Sn ，满足 Sn an2 bn （ a,b 为
常数），且 a9
2
，设函数
f
(x)
2 sin
2x
2 sin 2
x 2
，记
yn f an
，则数列 yn 的前 17 项和为
（）
A． 17 2
【答案】D
B． 9
C．11
D．17
【解析】 因为 f ( x) 2 sin 2x 2 sin 2 x sin 2x cos x 1，
2
由 Sn an2 bn ，得 an Sn Sn1 an2 bn a(n 1)2 b(n 1) 2an a b ，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020学年度???学校9月月考卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量,a b的夹角为135，且1a=，22a b+=，则b=A B．2C1D2．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b 的夹角为A．π6B．π3C．2π3D ．5π63．设,a b是非零向量，则2a b=是a ba b=成立的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件4．已知正方形ABCD的边长为1，,AB a=,BC b=,AC c=则a bc++等于（）C. D.35．在ABC△中，,,A B C的对边分别为,,a b c，已知,sin2sin3c C B Aπ===，则ABC△的周长是（）A. B.2+ C.3+ D.4+6．设α为锐角，若4cos65πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A．B．2425C．2425-D．1225-7．在ABC△中，60A︒=，4AC=，BC=ABC△的面积为（）A．B．4 C．D．二、填空题8．已知平面向量,a b满足2,1,223a b a b==+=，则a brr与的夹角为___________．9．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，△ACD是等边三角形，则AC BD⋅的值为_______________．10．已知向量与的夹角为，，则__________.11．在ABC∆中, 2,4BC AB==,1,2DB AD CE EA==,则BE与CD的夹角为__________．三、解答题12．的内角的对边分别为,,a b c，已知2sin()8sin2BA C+=．（1）求cos B；（2）若6a c+=，ABC∆面积为2，求b．13．设向量(2cos)m x x=,(sin,2sin)n x x=-,记()f x m n=⋅（1）求函数()f x的单调递减区间；（2）求函数()f x在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．第1页共4页◎第2页共4页第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页14．如图，在四边形ABCD 中，2,1AD AB ==.（1）若ABC ∆为等边三角形，且//,AD BC E 是CD 的中点，求AE BD ⋅. （2）若3,cos 5AC AB CAB =∠=，45AC BD ⋅=，求||DC.参考答案1．A 【解析】 【分析】 将22a b +=进行平方运算可化为关于b 的方程，解方程求得结果.【详解】 由22a b +=得：()2222224444cos1352a ba ab b a a b b +=+⋅+=+⋅+=即：220b b -+=，解得：2b =本题正确选项：A 【点睛】本题考查向量模长的求解，关键是能够通过平方运算，利用数量积运算构造出关于所求模长的方程，属于常考题型. 2．B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 3．B 【解析】 【分析】是非零向量，2a b =，则a b ，方向相同，将,a b 单位化既有a b a b=，反之则不成立. 【详解】由2a b =可知：a b ， 方向相同，a ba b ， 表示 a b ， 方向上的单位向量所以a b a b=成立;反之不成立. 故选B 【点睛】本题考查了相量相等、向量的单位化以及充分必要条件；判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想求解外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题来解决． 4．C 【解析】分析：根据平面向量的基本定理，得到2a b c AB BC AC AC ++=++=，即可求解其模．详解：因为正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===， 则2a b c AB BC AC AC ++=++=，因为1,AB BC AB BC ==⊥，所以22a b c ++=，故选C ．点睛：本题考查了两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模模的方法，运用向量和三角形法则求出向量的和是解题的关键． 5．C 【解析】【分析】由sinB=2sinA ，利用正弦定理得b=2a ，由此利用余弦定理能求出a ，b ，从而得到ABC 的周长. 【详解】∵sinB=2sinA ，∴由正弦定理得b=2a ，由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+4a 2﹣2a 2=3a 2，又a=1，b=2．∴ABC 的周长是123a b c =++=＋＋故选：C 【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 6．B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用二倍角公式可求出sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】因为设α为锐角，则02πα<<，2663πππα∴<+<，4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q ，所以3sin 65πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 所以3424sin 2sin 22sin cos 236665525ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查同角三角函数以及二倍角正弦公式求值，再利用同角三角函数求值时，需要确定角的取值范围，判断出所求函数值的符号，考查运算求解能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】首先利用余弦定理求出2AB =，利用三角形面积计算公式即可得出． 【详解】由余弦定理可得：2224(24cos 60AB AB =+-⨯⨯︒， 化为：2440AB AB -+=，解得2AB =，∴ABC △的面积1sin 422212S AC AB A =⋅⋅=⨯⨯⨯=， 故选C ． 【点睛】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．3π【解析】 【分析】对223a b +=两边平方结合题设条件得到·1a b =，故可得两向量夹角的大小． 【详解】由223a b +=可以得到224?412a a b b ++=，所以·1a b =，所以21cos ,1a b ⨯⨯=，故1c o s ,2a b =，因[],0,a b π∈，故,3a b π=．填3π． 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用·a a a = ；（2）计算角，·cos ,a ba b a b=.特别地，两个非零向量,a b 垂直的充要条件是0a b =.9．14.【解析】【分析】根据三角形的边角关系，求得各个边长和角度；根据向量数量积求得AC BD⋅的值。
【详解】AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴cos∠BAC=35；又△ACD是等边三角形，∴AD=AC=10，cos∠CAD=12，∴AC•BD=AC•（AD﹣AB）=AC•AD﹣AC•AB=10×10×12﹣10×6×35=14．【点睛】本题考查了利用三角形中各个角和边的关系，求向量数量积的运算，属于基础题。
10．【解析】【分析】根据向量模的运算可得，即可求解的值，得到答案. 【详解】由题意，向量与的夹角为，，则，所以.【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量模的运算，以及向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．2π【解析】【分析】设BA a BC b==，，将BE与CD分别用a b，表示，通过求CD BE可求出两向量的夹角．【详解】设BA a BC b ==，， 则12CD BD BC a b =-=-，()11123333BE BC CA b a b a b =+=+-=+． ∴2211212023363CD BE a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=-+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴CD BE ⊥． ∴BE 与CD 的夹角为2π． 【点睛】求向量夹角时，可先由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积，并求得两向量的模，然后根据公式求出两向量夹角的余弦值，最后根据向量夹角的范围求出两向量的夹角． 12．（1）1517；（2）2． 【解析】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin 2B AC +=，∴()sin 41cos B B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．13．（1）7[k ,k ],1212k Z ππππ++∈；（2）⎡-⎣. 【解析】分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.详解：（1）依题意,得()22cos sin sin2f x m n x x x x x =⋅=-==2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭由32k 22k ,232x k Z πππππ+≤+≤+∈,解得7k k ,1212x k Z ππππ+≤≤+∈故函数()f x 的单调递减区间是7[k ,k ],1212k Z ππππ++∈．（2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当36x ππ-≤≤时,得22333x πππ-≤+≤,所以sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭,所以2sin 223x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡--⎣．点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.14．（1）114（2 【解析】 【分析】（1）先由题意，结合平面向量基本定理，用,AD AB 表示出,AE BD ，再由向量的数量积运算，即可得出结果；（2）先由向量数量积的运算，求出AC AD ⋅，再由2222||||2DC AC AD AC AD AC AD =-=+-⋅，结合题中条件，即可得出结果.【详解】 解：（1）ABC ∆为等边三角形，且//AD BC ，120DAB ︒∴∠=又2,2AD AB AD BC ∴=∴=E 是CD 中点，11()()22AE AD AC AD AB BC ∴=+=++11312242AD AB AD AD AB ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭又BD AD AB =-31()42AE BD AD AB AD AB ⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22311424AD AB AD AB=--⋅311111412142424⎛⎫=⨯-⨯-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ （2）由题意：1AB AC ==，45AC BD ⋅=，4()5AC AD AB ∴⋅-=， 45AC AD AC AB ∴⋅-⋅=又3||||cos 5AC AB AC AB CAB ⋅=∠=4755AC AD AC AB ∴⋅=+⋅=2222||||2DC AC AD AC AD AC AD ∴=-=+-⋅71114255=+-⨯= 55||DC ∴=【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.。