九年级数学下册 第二章 二次函数 2.2 二次函数的图像与性质 2.2.1 二次函数y=±x2的图象
2.2二次函数的图像和性质 (九年级数学精品课件)
y
A O
B
x
C
y
◇[还原坐标系]
O
◇[改刻度字体]
◇[操作控制台]
x=h
◇[操作控制台]
O
x
开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
向上
向下
向上
y=a(x-h)2＋k (a＜0)
y
O
x
x=h
向下
向下 （1，－4）
左
1
下
2
4y
3 2 1
–4 –3 –2 –1 O
–1 –2 –3 –4
1 2 3 4x
10 分 钟
y y = 2∙(x 0.5)∙(x 2)
O1
2
x
2
10 分 钟
向上
＜ ＞＞
＜ ＞＞
＞
＜
◇[系统初始化] ◇[显示网格线] ◇[显示刻度线] ◇[显示刻度值] ◇[xy等单位长] ◇[切换成数轴] ◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体]
y
A O
B
x
C
◇[系统初始化] ◇[显示网格线] ◇[显示刻度线] ◇[显示刻度值] ◇[xy等单位长] ◇[切换成数轴] ◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体]
北师大版本义务教育教科书九下第二章
2分钟
1、填空 抛物线
始化] 格线] 度线] 度值] 位长] 数轴] 标系] 字体] 制台]
图形
◇[系统初始化]
y=a(x-h) ◇[显示网格线]
◇[显示刻度线]
2
(a>0)
◇[显示刻度值]
◇[xy等单位长]
◇[切换成数轴]
◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体]
y
◇[操作控制台]
二次函数的图象与性质(第4课时)-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
2.2.2二次函数的图像与性质
二配（配y方：1 同 x时加6上 x+2
两根式 。）
三结合(前面2所配的完全平方式结合，后面的常数结合。)
写出一般式：y= ax2 +bx+c(a ≠0)的顶点式，
顶点式配方四一y步提 骤a（(：x提一自2b提a变)、2量二的4配a二c4、a次三b项2 结系合数、）四乘开 二配（配方： 同a(时x 加h上)2 并 k减去 （ 一次项系数 ）2 。）
性质：当x=-2时，y有最大值1，记作ymax=1
值域（-∞，1]
单调增区间 （-∞，-2） 单调减区间 （-2， +∞ ）
y= -(x+2)2 +1 在x=-2两边取两个对称的x的值
-2+m
-2+m和-2-m -2-m f(-2+m)=-(-2+m+2)2+1=-m2+1
f(-2-m)=-(-2-m+2)2+1=-m2+1
f(-2+m)=f(-2-m)
对称轴：x= -2
x= -2
f(h+m)=f(h-m) 对称轴：x= h
y= ax2 +bx+c(a ≠0)的性质
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
条件 开口向 顶点
对称轴
a>0 上 a<0 下
( b
, 4ac b2
X= b ) 2a
•1、思考：做函数y= -x2 -4x-3的图像，试叙述它的性质
(1)配方： y= -(x+2)2 +1
(2)开口：a=-1<0,开口向下
对称轴：x= -2 顶点坐标（-2，1） 与x轴交点坐标（-3，0）,(-1,0)
北师大版数学九年级下册《二次函数的图象及性质》课件
象.
y
8
7 6 5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
自学指导2（1分钟）
认真观察下图，思考二次函数 y ax2 ay 02x图2 象y 的性质
是什么？（从形状、开口方向、对称轴、顶点8、增减性、
最值、开口大小进行分析）
y x2
结论：
抛 物 线 y=ax2+c 的 图 象 相 当 于 把 抛 物 线
y=ax2的图象
（c＞0）或 10
y = 2x2＋
向上 8
1 y = 2x2－
向下 （c＜0）平
移 |c| 个单位. 6 1
4
2
－4 －2 －2
24
可以发现，把抛物线y=2x2 向 上 平移1个单位长 度，就得到抛物线 y=2x2+1 ；把抛物线 y=2x2 向 下 平
当a＜0时，a越大开口越大
a 越大，开口越小
学生自学，教师巡视（4分钟）
自学检测2 (5分钟)
1.函数 y ax a 是二次函数，当a＝ 2 时，其图象开口 向上；这时候函数有最__小___值___0___
2.已知二次函数 y1 3x2, y2 象开口由小到大的顺序是(
C
1x
3)
2
,
y3
3 x2 2
易错点： 当点所在象限不明确时，要分类讨论
小结（2分钟） 1、二次函数 y ax2的图象及性质
2、二比次较函y数值大小y的方ax法2 a 0
y ax2 a 0
图象①形代状入法
抛物线
图②象利及用增减性y
开口③方图向象法
向上
y o
2.2二次函数的图象与性质第一课时
（1）列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
（2）描点. （3）连线.
y
O
-5-4 -3-2-1 1 2 3 45
x
-2
-4
-6
-8
y=-x2
探索新知 思考：（1）二次函数y=-x2与y=x2的图象形状是否相同？
（2）寻找二次函数y=-x2与y=x2的图象之间的联系以及区别
提出、分析问题？
谢谢观看 XIE XIE GUAN KAN
（2）在直角坐标系中描点. （3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图象.
10 y y=x2 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
探究新知
观察y=x2的图象，回答下列问题： （1）你能描述图象的形状吗？ （2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （3）当x <0时，随着x的增大， y的值如何变化？ x >0呢？ （4）当x取什么值时， y的值最小？
应用提高
3 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝x2的图象交于A(－1，1)和
B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取值范围是( D )
A．x<－1
B．x>2
C．－1<x<2
D．x<－1或x>2
4 已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3) 都在函数y＝x2的图象上，则( C )
练习提高
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象上的两点，当x1<x2<0时，y1 与y2的大小关系为_y_1＜__y_2__．
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1
(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵- ＜0
∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8
∴顶点坐标为（0,8）
（2）∵将抛物线y=−
+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
数学北师大版九年级下册第二章二次函数图像和性质教案
2.2二次函数的图像和性质（第二课时）教学目标知识与技能1、能作出2ax y =和c ax y +=2的图像||，并研究它们的性质.2、比较2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 过程与方法1、经历探索二次函数2ax y =和c ax y +=2的图像的作法和性质的过程||，进一步获得将表格、表达式、图像三者联系起来的经验.2、通过比较2ax y =||， c ax y +=2与2x y =的图像和性质的比较||，培养学生的比较、鉴别能力.情感、态度与价值观让学生积极投身于数学学习活动中||，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论||，不仅使他们记忆犹新||，还能建立自信心.由学生自己思考在经过合作交流完成的数学活动||，不仅能使学生学到知识||，还能使他们互相增进友谊.教学重点、难点教学重点：描点法画出二次函数c ax y +=2的图象||，理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解函数c ax y +=2与函数2ax y =的相互关系是教学重点会用描||。
教学难点：正确理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解抛物线c ax y +=2与抛物线2ax y =的关系是教学的难点||。
关键：掌握2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 突破方法： 根据设问层层深入逐个破解||，然后进行类比、归纳、总结的探索模式学习||，最后得出2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同及a 与c 对二次函数图像的影响教学准备:教师准备：多媒体课件（用于展示操作过程||，引导讨论||，出示答案）．学生准备：课前预习||，两张坐标纸画图工具．教学过程(一)创设问题情景||，引入新课知识回顾：1．二次函数2x y =的图象是____||，它的开口向_____||，顶点坐标是_____；对称轴是______||，在对称轴的左侧||，y 随x 的增大而______||，在对称轴的右侧||，y 随x 的增大而______||，函数2ax y =与x ＝______时||，取最______值||，其最______值是______||。
二次函数的图像与性质（教案）
北师大版数学九年级2.2.1二次函数的图像与性质教学设计讲授新课师：小组合作，画二次函数y=x2的图像（1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：（2）在直角坐标系中描点。
（3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图像。
师：小组讨论，对于二次函数y=x2的图像，（1）你能描述图像的形状吗？与同伴进行交流。
（2）图像与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当x˂0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x˃0时呢？（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流。
生：小组合作完成二次函数y=x2的图像生：（1）图像是一条抛物线，开口向上（2）有，（0,0）（3）当x˂0时，随着x值的增大，y值减小；当x˃0时，随着x值的增大，y值增大。
（4）当x=0时，y的值，最小值0，（0,0）点为最小值点。
（5）是轴对称问题由浅入深，层层递进，把学习的主动权交给学生，增强学生的信心，体验成功的快乐。
师：二次函数y=-x2的图像是什么形状？先想一想，然后画出它的图像。
它与二次函数y=x2的图像有什么关系？与同伴进行交流师：请同学们根据刚才的结果完成下列表格。
师：下面我们来检验一下大家的掌握情况吧。
1.已知（-0.5,0.25）是二次函数y=-x2图像上的一点，则图像上与之对称的点的坐标是（）A.(-0.5，-0.25)B.（0.5,0.25）C.（0.5,-0.25）D.（0.5,0.5）图形，对称轴是y轴，对称点有（-1,1）和（1,1），（-2,4）和（2,4），（-3,9）和（3,9）等生：画出二次函数y=-x2的图像，并得到它的性质。
生：完成表格生：完成练习把学习的主动权交给学生，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，增强学生的动手能力，体验成功的快乐2.抛物线y=2x2的顶点坐标是，对称轴是。
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课时作业(九)
[第二章 2 第1课时 二次函数y ＝±x 2
的图象与性质]
一、选择题
1．下列关于二次函数y ＝x 2
的图象的说法：①是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过点(0，0)；⑤它的顶点是原点，且是抛物线的最高点；⑥y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的有()
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
2．下列函数中，当x >0时，y 的值随x 值的增大而减小的是( )
A ．y ＝x 2
B ．y ＝x －1
C ．y ＝34x
D ．y ＝1x
3．下列关于抛物线y ＝x 2
和y ＝－x 2
的异同点说法错误的是( )
A ．抛物线y ＝x 2和y ＝－x 2
有共同的顶点和对称轴
B ．在同一直角坐标系中，抛物线y ＝x 2和y ＝－x 2
既关于x 轴对称，又关于原点对称
C ．抛物线y ＝x 2和y ＝－x 2
的开口方向相反
D ．点A (－3，9)既在抛物线y ＝x 2上，也在抛物线y ＝－x 2
上
4．二次函数y ＝x 2
与一次函数y ＝－x －1在同一直角坐标系中的图象大致为( )
图K －9－1
5．已知a ＜－1，点(a －1，y 1)，(a ，y 2)，(a ＋1，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，则( ) 链接听课例2归纳总结
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 1＜y 3＜y 2
C ．y 3＜y 2＜y 1
D ．y 2＜y 1＜y 3 二、填空题
6．函数y ＝x 2
的图象的顶点坐标为________，若点(a ，4)在该函数图象上，则a 的值是________．
7．如图K －9－2，A ，B 分别为抛物线y ＝x 2
上的两点，且线段AB ⊥y 轴，若AB ＝6，则直线AB 的表达式为________．
图K －9－2
8．如图K －9－3，边长为2的正方形ABCD 的中心在直角坐标系的原点O 处，AD ∥x 轴，以O 为顶点且过A ，D 两点的抛物线与以O 为顶点且过B ，C 两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是________．
图K－9－3
三、解答题
9．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点(2，n)．
(1)画出y＝－x2的图象，并求出m，n的值；
(2)抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m是否存在另一个交点？若存在，请求出这个点的坐标．
规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3，…，A n在抛物线y＝x2上，点B0，B1，B2，B3，…，B n在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△A n B n－1B n都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，则△A2018B2017B2018的腰长等于________．
图K－9－4
详解详析
【课时作业】 [课堂达标]
1．[解析] B ①②③④正确． 2．[答案] D
3．[解析] D 点A (－3，9)在抛物线y ＝x 2上，但不在抛物线y ＝－x 2
上．故选D.
4．[解析] D y ＝x 2
中a ＝1＞0，图象开口向上，在第一、二象限；y ＝－x －1中，k ＝－1＜0，图象经过第二、四象限，b ＝－1＜0，图象与y 轴交于负半轴，所以直线经过第二、三、四象限．故选D.
5．[答案] C
6．[答案] (0，0) ±2
[解析] 若点(a ，4)在函数y ＝x 2的图象上，则a 2
＝4，a ＝±2. 7．[答案] y ＝9
[解析] ∵线段AB ⊥y 轴，且AB ＝6，∴由抛物线的对称性可知，点B 的横坐标为3.当x ＝3时，y ＝x 2＝32＝9，∴直线AB 的表达式为y ＝9.
8．[答案] 2
[解析] 根据图示及抛物线、正方形的性质，得S 阴影＝12S 正方形＝1
2
×2×2＝2.
9．解：(1)图略．把点(2，n )代入y ＝－x 2
中，得n ＝－22
，∴n ＝－4.把点(2，－4)代
入y ＝3x ＋m 中，
得－4＝3×2＋m ，∴m ＝－10.
(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －10，
y ＝－x 2
， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－5，
y ＝－25.
∴抛物线y ＝－x 2
与直线y ＝3x ＋m 存在另一个交点，其坐标为(－5，－25)．
[点评] 判断两个函数图象的交点个数就是看这两个函数表达式所组成的方程组的解的个数．
[素养提升]
[答案] 2018 2
[解析] 作A 1C ⊥y 轴，A 2E ⊥y 轴，A 1D ⊥x 轴，A 2F ⊥x 轴，垂足分别为C ，E ，D ，F .∵△A 1B 0B 1，△A 2B 1B 2都是等腰直角三角形，∴B 1C ＝B 0C ＝DB 0＝A 1D ，B 2E ＝B 1E ，设A 1(a ，a )．
将点A 1的坐标代入表达式y ＝x 2，得a ＝a 2
，解得a ＝0(不符合题意，舍去)或a ＝1.由
勾股定理，得A1B0＝ 2.则B1B0＝2.过点B1作B1N⊥A2F于点N，设点A2(x2，y2)，可得A2N＝y2－2，B1N＝x2＝y2－2，又点A2在抛物线上，∴y2＝x22，即x2＋2＝x22，解得x2＝2或x2＝－1(不合题意，舍去)，则A2B1＝2 2，同理可得：A3B2＝3 2，A4B3＝4 2，…，∴A2018B2017＝2018 2，∴△A2018B2017B2018的腰长为2018 2.。