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第二章 平面向量

一、选择题

1．在△ ABC 中，AB ＝ AC ，D ，E 分别是 AB ，AC 的中点，则 ( ) ．

A ． A

B 与 A

C 共线

B ． DE 与 CB 共线

C ． A

D 与 A

E 相等

D ． AD 与 BD 相等

( 第 1 题)

2．下列命题正确的是 ( ) ．

A ．向量 A

B 与 BA 是两平行向量

B ．若 a ， b 都是单位向量，则 a ＝ b

C ．若 AB ＝ DC ，则 A ， B ，C ，

D 四点构成平行四边形

D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同

3．平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 已知两点 A( 3，1) ，B( － 1，3) ，若点 C 满足 OC

＝ OA ＋ OB ，其中

， ∈R ，且 ＋ ＝1，则点 C 的轨迹方程为 (

) ．

A ． 3x ＋ 2y －11＝0

B ．( x － 1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 5

C ． 2x － y ＝ 0

D ． x ＋ 2y － 5＝ 0

4．已知 a 、b 是非零向量且满足 ( a － 2b) ⊥ a ，( b － 2a) ⊥ b ，则 a 与 b 的夹角是 (

) ．

A ．

B ．

C ．

2

D ．

5

6

3 3

6

5．已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上 ( 不包括端点 A ，C) ，则 AP ＝ ( ) ．

A ． λ( A

B ＋ AD ) ， λ∈( 0， 1)

B ．λ( AB ＋ B

C ) ，λ∈ ( 0， 2 )

2 C ． λ( AB － AD ) ， λ∈( 0， 1)

D ． λ( AB － BC ) ， λ∈ ( 0， 2 )

2

6．△ ABC 中， D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， AC 的中点，则 DF ＝ ( ) ．

A ． EF ＋ ED

B ． EF － DE

C ． EF ＋ AD

D ． EF ＋ AF

7．若平面向量 a 与 b 的夹角为

60°， | b| ＝ 4， ( a ＋ 2b) · ( a － 3b) ＝－ 72，则向量 a 的

模为 (

) ．

A． 2 B ． 4C．6 D ． 12

8．点 O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA · OB ＝ OB · OC ＝ OC · OA ，则点 O 是△ ABC 的 () ．

A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点

C．三条中线的交点D．三条高的交点

9．在四边形 ABCD 中， AB ＝a＋ 2b， BC ＝－ 4a－ b， CD ＝－ 5a－3b，其中 a， b 不共线，则四边形 ABCD 为 ( ) ．

A．平行四边形 B ．矩形C．梯形 D ．菱形

10．如图，梯形 ABCD 中， | AD |＝ | BC |， EF ∥ AB ∥ CD 则相等向量是 ( ) ．

A． AD 与 BC B ． OA 与 OB

C． AC 与 BD D ． EO 与 OF

二、填空题( 第 10 题)

11．已知向量 OA ＝ ( k，12) ， OB ＝ ( 4，5) ， OC ＝( －k，10) ，且 A，B，C 三点共线，则 k ＝．

12．已知向量a＝ ( x＋ 3， x2－ 3x－ 4) 与 MN 相等，其中M( － 1， 3) ， N( 1， 3) ，则 x ＝．

13．已知平面上三点A，B，C 满足 | AB | ＝ 3，| BC | ＝ 4，| CA | ＝ 5，则 AB · BC ＋BC · CA ＋ CA · AB 的值等于．

14．给定两个向量a＝ ( 3， 4) ， b＝( 2，－ 1) ，且 ( a＋ mb) ⊥ ( a－ b) ，则实数 m 等

于．

15．已知 A， B， C 三点不共线，O 是△ ABC 内的一点，若OA ＋ OB ＋ OC ＝ 0，则 O 是△ ABC 的．

16．设平面内有四边形ABCD 和点 O， OA ＝ a， OB ＝ b， OC ＝ c, OD ＝ d，若 a＋ c ＝ b＋ d，则四边形ABCD 的形状是．

三、解答题

17．已知点A( 2， 3) ，B( 5，4) ， C( 7， 10) ，若点 P 满足 AP ＝ AB ＋λAC ( λ∈ R ) ，试求λ为何值时，点P 在第三象限内？

18．如图，已知△ABC， A( 7， 8) ， B( 3， 5) ，C( 4，3) ， M， N，D 分别是AB， AC，BC 的中点，且MN 与 AD 交于 F，求 DF ．

( 第 18 题)

19．如图，在正方形ABCD 中， E， F 分别为 AB， BC 的中点，求证：AF⊥ DE ( 利用向量证明 ) ．

( 第 19 题) 20．已知向量a＝ ( cos θ， sin θ)，向量 b＝ (3 ，－1)，则| 2a－b|的最大值．

参考答案

一、选择题

1． B

解析：如图， AB 与 AC ， AD 与 AE 不平行， AD 与 BD 共线反

向．

2．A

( 第 1 题)

解析：两个单位向量可能方向不同，故

B 不对．若 AB ＝ D

C ，可能 A ， B ，C ，

D 四点

共线，故 C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故

D 也不对．

3．D

解析：提示：设 OC ＝ ( x ， y) ， OA ＝ ( 3， 1) ， OB ＝ ( － 1， 3) ， OA ＝ ( 3 ， ) ，

OB ＝ ( － ， 3 ) ，又 OA ＋ OB ＝ ( 3 － ， ＋ 3 ) ，

∴ ( x ， y) ＝ ( 3 － ， ＋3 ) ，∴

x ＝ －

D ．

3 ，又 ＋ ＝ 1，由此得到答案为

y ＝ ＋

3

4． B

解析：∵ ( a － 2b) ⊥ a ， ( b － 2a) ⊥b ，

∴ ( a －2b) · a ＝a 2－ 2a · b ＝ 0， ( b － 2a) · b ＝ b 2－2a · b ＝ 0，

∴ a 2＝b 2，即 | a| ＝ | b| ．∴ | a| 2＝ 2| a|| b| cos θ＝ 2| a| 2cos θ．解得 cos θ＝ 1 ．

2

∴ a 与 b 的夹角是 π

．

3

5．A

解析：由平行四边形法则， AB ＋ AD ＝ AC ，又 AB ＋ BC ＝ AC ，由 λ的范围和向量

数乘的长度， λ∈ ( 0， 1) ．

6．D

解析：如图，∵ AF ＝ DE ，

∴ DF ＝ DE ＋ EF ＝ EF ＋ AF ．

( 第 6 题)