2019年上海市华师大二附中高二(下)期末数学试卷(含答案)
2018-2019学年上海市华师大二附中高二上学期期末数学试题(解析版)
上海市华师大二附中高二上学期期末数学试题一、单选题1．关于x 、y 的二次一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ）A.0543- B.1024C.0543D.0543- 【答案】C【解析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解． 【详解】解：关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式：4530x D =．故选：C ． 【点睛】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．2．使复数z 为实数的充分而不必要条件的是（ ） A.2z 为实数 B.z z +为实数C.z z =D.z z =【答案】D【解析】一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个项加以判别，发现A 、B 都没有充分性，而C 是充分必要条件，由此不难得出正确的选项． 【详解】解：设复数z a bi =+（i 是虚数单位），则 复数z 为实数的充分必要条件为0b = 由此可看出：对于A ，2z 为实数，可能z i =是纯虚数，没有充分性，故不符合题意； 对于B ，同样若z 是纯虚数，则0z z +=为实数，没有充分性，故不符合题意； 对于C ，若,,z a bi z a bi z z =+=-=等价0b =，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D ，若0z z =≥，说明z 是实数，反之若z 是负实数，则z z =不成立，符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握复数有关概念，是解决本题的关键．3．下列动点M 的轨迹不在某一直线上的是（ ）A.动点M 到直线4350x y +-=和43100x y ++=的距离和为3B.动点M 到直线()1,0和()1,0-的距离和为2C.动点M 到直线()0,2和()0,2-的距离差为4D.动点M 到点()2,3和到210x y --=的距离相等4 【答案】A【解析】利用平行线之间的距离，判断选项A 的正误；利用两点间距离个数判断B 的正误；轨迹方程判断C ，D 的正误； 【详解】解：直线4350x y +-=和43100x y ++=3=，所以动点M到直线4350x y +-=和43100x y ++=的距离和为3，动点的轨迹是平行线之间的区域．满足题意．动点M 到直线（1，0）和（−1，0）的距离和为2，是两点之间的线段，轨迹在一条直线上，所以B 不正确；动点M 到直线（0，2）和（0，−2）的距离差为4，是两条射线，在一条直线上，所以C 不正确；动点M 到点（2，3）和到210x y --=的距离相等，动点M 的轨迹是经过（2，3）与直线垂直的直线，所以D 不正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A坐标为()3,1,M -、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ） A.0个 B.2个C.4个D.无数个【答案】D【解析】根据题意画出图形，通过计算得出公共弦MN 也是以AQ 为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形AMQN 能构成矩形的个数为无数个． 【详解】解：如图所示，任取圆2C 上一点Q ，以AQ 为直径画圆，交圆1C 与,M N 两点，设(),Q m n ，则AQ 中点坐标31,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭， 有2214m n +=，以AQ 为直径的圆的方程为()(3)()(1)0x m x y n y --+-+=， 即22(3)(1)3x m x y n y n m -++--=-，用1C 的方程减去以AQ 为直径的圆的方程，可得公共弦MN 所在的直线方程， 即(3)(1)123m x n y n m ++-=-+，将AQ 中点坐标31,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭代入上式得： 左边=22316921(3)(1)222m n m m n n m n +-+++-+⎛⎫++-⋅= ⎪⎝⎭ 62243122m n m n -+==-+=右边，所以公共弦MN 也是以AQ 为直径的圆的直径， 则MN AQ =，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形AMQN 是矩形， 由Q 的任意性知，四边形AMQN 能构成无数个矩形， 故选：D 。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二第二学期期末数学试卷一、填空题（共10小题）.1．不等式的解集为．2．集合A＝{x|x＝sin，k∈Z}的真子集的个数是．3．（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a0+a1+a2+…+a2020＝．4．如图，四面体ABCD中，PA，PB，PC两两垂直，且|PA|＝|PB|＝|PC|＝2，则点P到平面ABC的距离为．5．若x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）＝1，则x+y的取值范围为．6．若某圆锥的侧面展开图是一个半径为1的半圆，求圆锥的表面积．7．（2x﹣）6展开式中的常数项为（用数字作答）8．不等式|2x﹣y|＜|5﹣2x|对任意x∈[1，2]都成立，则实数y的取值范围为．9．4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人，参加的不同的分组共有种．10．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为1，B是直线l上的动点，C是平面α上的动点，求O到点D的距离的最大值为．二、选择题11．某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于（）A．12B．18C．24D．3612．今年3月9日湖北武汉某方舱医院“休仓”，某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低的概率为（）A．B．C．D．13．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合{（x，y）|＜r}⊆A，则称A为一个“K集”给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2＝1}；②{（x，y）|x+y＜6}；③{（x，y）|x+y+2≥0}；④{（x，y）|0＜x2+（y﹣）2＜1}．其中是“K集”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④14．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝（x＞0）的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）A．πB．C．D．三、解答题：15．已知集合A＝{x|x2﹣（3a﹣1）x+2a2﹣a＜0}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＜0}．（1）当a＝2时，求A∩B；（2）命题P：x∈A，命题Q：x∈B，若P是Q的充分条件，求实数a的取值范围．16．已知f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）的最小值为．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝m，求证：．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．（1）求证：BC1⊥平面A1B1C；（2）点N在线段BB1上运动，求A1N与B1C所成角的范围．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}，其中a i∈R，1≤i≤n，n＞2，l（A）表示a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（1）设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{1，3，9，27}，分别求l（P），l（Q）；（2）若集合A＝{1，3，9，…，3n）（n＞1，n∈N），证：l（A）＝；（3）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．参考答案一、填空题1．不等式的解集为（﹣∞，0）∪[1，+∞）．【分析】化简不等式为分式不等式，然后转化为二次不等式解答即可．解：不等式，可化为，即：x（1﹣x）≤0且x≠0解得x＜0或x≥1故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）2．集合A＝{x|x＝sin，k∈Z}的真子集的个数是7．【分析】先结合正弦函数的周期性解出集合A，再通过真子集个数的计算公式即可得出答案．解：因为正弦函数y＝sin x的周期为2π，不妨让k取1，2，3，4，得到集合A＝{1，0，﹣1}，集合A中共有3个元素，故集合A得真子集得个数是23﹣1＝7个．故答案为：7．3．（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a0+a1+a2+…+a2020＝1．【分析】利用赋值法，令x＝1代入即可．解：令x＝1得，（1﹣2）2020＝a0+a1+a2+…+a2020，则a0+a1+a2+…+a2020＝1，故答案为：14．如图，四面体ABCD中，PA，PB，PC两两垂直，且|PA|＝|PB|＝|PC|＝2，则点P到平面ABC的距离为．【分析】以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面ABC的距离．解：∵四面体ABCD中，PA，PB，PC两两垂直，且|PA|＝|PB|＝|PC|＝2，∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），＝（﹣2，0，0），＝（﹣2，2，0），＝（﹣2，0，2），设平面ABC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），∴点P到平面ABC的距离为d＝＝＝．故答案为：．5．若x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）＝1，则x+y的取值范围为[2+2，+∞）．【分析】由题意可得x+y+1＝xy≤（）2，即（x+y）2﹣4（x+y）﹣4≥0，解此不等式求得x+y的取值范围．解：由x，y∈（0，+∞），且xy﹣（x+y）＝1，可得x+y+1＝xy≤（）2，化简可得（x+y）2﹣4（x+y）﹣4≥0，解得x+y≤2﹣2（舍去），或x+y≥2+2．综上可得x+y的取值范围是[2+2，+∞），故答案为：[2+2，+∞）．6．若某圆锥的侧面展开图是一个半径为1的半圆，求圆锥的表面积．【分析】由圆锥的底面周长是π，求出圆锥的底面半径是r＝，再由圆锥的母线长为l ＝1，能求出圆锥的表面积．解：圆锥的底面周长是π，设圆锥的底面半径是r，则2πr＝π．解得r＝，∵圆锥的母线长为l＝1，∴圆锥的表面积是S＝πrl+πr2＝＝．故答案为：．7．（2x﹣）6展开式中的常数项为240（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：（2x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•（﹣1）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得展开式中的常数项为•24＝240，故答案为：240．8．不等式|2x﹣y|＜|5﹣2x|对任意x∈[1，2]都成立，则实数y的取值范围为（3，5）．【分析】由指数函数的单调性，可得|2x﹣y|＜5﹣2x，再由绝对值不等式的解法，结合指数函数的单调性和恒成立思想，可得y的范围．解：由x∈[1，2]，可得2x∈[2，4]，5﹣2x＞0，不等式|2x﹣y|＜|5﹣2x|对任意x∈[1，2]都成立，即为|2x﹣y|＜5﹣2x，则有2x﹣5＜y﹣2x＜5﹣2x，可得2•2x﹣5＜y＜5，由f（x）＝2•2x﹣5在[1，2]递增，可得f（x）的值域为[﹣1，3]，则3＜y＜5，即y的取值范围是（3，5）．故答案为：（3，5）．9．4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人，参加的不同的分组共有90种．【分析】根据题意，分析可得：4名学生中有2人参加了两个小组，其他2人参加了1个小组，先计算在4人中任选2人，参加2个兴趣小组的情况数目，再分类讨论参加2个兴趣小组的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分析可得：4名学生中有2人参加了两个小组，其他2人参加了1个小组，在4人中任选2人，参加2个兴趣小组，有C42＝6种选法；分2种情况讨论：①，选出2人参加的兴趣小组完全相同，则剩下的2人参加剩下的1个小组，有C32＝3种情况，②，选出2人参加的兴趣小组只有1个相同，有C32C21A22＝12种情况，则一共有6（12+3）＝90种分组方法；故答案为：9010．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为1，B是直线l上的动点，C是平面α上的动点，求O到点D的距离的最大值为．【分析】直线BC与动点O的位置关系是：点O是以BC为直径的球面上的点，O到AD 的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，点O到AD的最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+球半径，由此能求出O到点D的距离的最大值．解：由题意，直线BC与动点O的位置关系是：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，分别取AD、BC中点E、F，连结AF，DF，则AF＝DF＝＝，∴EF＝＝，点O到AD的最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+球半径，∴O到AD的距离的最大值为：OE max＝+＝，∴O到点D的距离的最大值为：OD max＝＝＝．故答案为：．二、选择题11．某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于（）A．12B．18C．24D．36【分析】利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出结果．解：由分层抽样的性质得：＝，解得n＝36．故选：D．12．今年3月9日湖北武汉某方舱医院“休仓”，某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝120，恰好从中间往两边看都依次变低包含的基本事件个数m＝＝6．由此能求出恰好从中间往两边看都依次变低的概率．解：某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，基本事件总数n＝＝120，恰好从中间往两边看都依次变低包含的基本事件个数m＝＝6．∴恰好从中间往两边看都依次变低的概率为p＝＝＝．故选：B．13．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合{（x，y）|＜r}⊆A，则称A为一个“K集”给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2＝1}；②{（x，y）|x+y＜6}；③{（x，y）|x+y+2≥0}；④{（x，y）|0＜x2+（y﹣）2＜1}．其中是“K集”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④【分析】根据K集的定义逐个验证选项，即可得到答案．①x2+y2＝1表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取一点（x0，y0），均不满足{（x，y））|＜r}⊆A，故①不是“K集”；②平面点集A中的任一点（x0，y0），满足{（x，y）|＜r}⊆A，故②该集合是“K集”；③在曲线x+y+2＝0任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y）|＜r}⊆A，故③该集合不是“K集”；④表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，该平面点集A中的任一点（x0，y0），满足{（x，y）|＜r}⊆A，故④该集合是“K集”．解：①：x2+y2＝1表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取一点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y））|＜r}⊆A，故①不是“K集”；②A＝{（x，y）|x+y＜6}时，在平面点集A中的任取一点（x0，y0），则该点到直线的距离为d，取r＝d，则满足{（x，y）|＜r}⊆A，故②该集合是“K集”；③A＝{（x，y）|x+y+2≥0}，在曲线x+y+2＝0任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{（x，y）|＜r}⊆A，故③该集合不是“K集”；④A＝{（x，y）|0＜x2+（y﹣）2＜1}表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r＝d，则满足{（x，y）||＜r}⊆A，故④该集合是“K集”．故选：C．14．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝（x＞0）的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）A．πB．C．D．【分析】先求出y的范围，再设出点AB的坐标，根据AB两点的纵坐标相等得到x2•x1＝1，再求出高h，根据圆柱体的体积公式得到关于y的代数式，最后根据基本不等式求出体积的最大值．解：∵y＝＝≤当且仅当x＝1时取等号，∴x+＝∵矩形绕x轴旋转得到的旋转体一个圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆的半径为y，高位h＝x2﹣x1，∵f（x1）＝，f（x2）＝，∴＝，即（x2﹣x1）（x2•x1﹣1）＝0，∴x2•x1＝1，∴h2＝（x2+x1）2﹣4x2•x1＝（x1+）2﹣4＝﹣4，∴h＝，∴V圆柱＝πy2•h＝πy＝•≤π•（）＝π，当且仅当y＝时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为π，故选：C．三、解答题：15．已知集合A＝{x|x2﹣（3a﹣1）x+2a2﹣a＜0}，集合B＝{x|x2﹣4x+3＜0}．（1）当a＝2时，求A∩B；（2）命题P：x∈A，命题Q：x∈B，若P是Q的充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）把a＝2代入化简A，求解一元二次不等式化简B，再由交集运算得答案；（2）由P是Q的充分条件，得A⊆B．然后对a分类求解A，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．解：（1）当a＝2时，A＝{x|x2﹣（3a﹣1）x+2a2﹣a＜0}＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝{x|1＜x＜3}．A∩B＝{x|2＜x＜3}∩{x|1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}；（2）P：x∈A，Q：x∈B，若P是Q的充分条件，则A⊆B．当a＜1时，A＝{x|2a﹣1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，∴，解得a∈∅；当a≥1时，A＝{x|a＜x＜2a﹣1}，B＝{x|1＜x＜3}，∴，解得1≤a≤2．∴实数a的取值范围是[1，2]．16．已知f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）的最小值为．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝m，求证：．【分析】（Ⅰ）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出f（x）的最小值，与已知最小值相等列式可求出；（Ⅱ）利用分析法结合基本不等式即可证明．解：（Ⅰ）f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|＝，∴f（x）∴f（x）在区间（﹣∞，]上单调递减，在区间[，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣3m＝﹣，∴m＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，要证，只要证b4+a4≥ab，即证（a2+b2）2﹣2a2b2≥ab，即证2a2b2+ab﹣1≤0，即证（2ab﹣1）（ab+1）≤0，即证2ab≤1，即证2ab≤a2+b2，显然1＝a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b＝时取等号．∴．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．（1）求证：BC1⊥平面A1B1C；（2）点N在线段BB1上运动，求A1N与B1C所成角的范围．【分析】（1）推导出BC1⊥B1C，A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1，从而A1B1⊥平面BCC1B1，进而BC1⊥A1B1，由此能证明BC1⊥平面A1B1C．（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A1N与B1C所成角的范围．解：（1）证明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，∴A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1，∵BB1∩B1C1＝B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥A1B1，∵A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C．（2）解：点N在线段BB1上运动，由（1）知，A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥B1C，∴当N与B1重合时，A1N与B1C所成角取最大值，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，2，2），N（0，0，t），（0≤t≤2），B1（0，0，2），C（2，0，0），＝（0，﹣2，t﹣2），＝（2，0，﹣2），设A1N与B1C所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴t＝2时，cosθ取最小值0，t＝0时，cosθ取最大值，∴N与B重合时，θ取最小值，N与B1重合时，θ取最大值，∴A1N与B1C所成角的范围是[，]．18．已知集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}，其中a i∈R，1≤i≤n，n＞2，l（A）表示a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（1）设集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{1，3，9，27}，分别求l（P），l（Q）；（2）若集合A＝{1，3，9，…，3n）（n＞1，n∈N），证：l（A）＝；（3）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【分析】（1）直接利用定义把集合P，Q中的值代入，即可求出l（P）和l（Q）；（2）先由a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，可得，再利用定义推得所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论；（3）l（A）存在最小值，设a1＜a2＜…＜a n，则＜a1+a n ＜a2+a n＜…＜a n﹣1+a n，由此可得到l（A）的最小值2n﹣3．解：（1）根据题中的定义可知：由1+2＝3，1+3＝4，1+4＝5，2+3＝5，2+4＝6，3+4＝7，得l（P）＝5；由1+3＝4，1+9＝10，1+27＝28，2+9＝12，3+27＝30，9+27＝36，得l（Q）＝6．（2）证明：因为a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，所以，又集合A＝{1，3，9，…，3n}，任取a i+a j，a k+a l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），当j≠l时，不妨设j＜l，则，即a i+a j≠a k+a l．当j＝l，i≠k时，a i+a j≠a k+a l，因此，当且仅当i＝k，j＝l时，a i+a j＝a k+a l，即所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，所以．（3）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3，不妨设a1＜a2＜…＜a n，所以＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣1+a n，所以a i+a j（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3 个不同的数，即l（A）≥2n﹣3，事实上，设a1，a2，a3，…，a n成等差数列，考虑a i+a j（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，当i+j≤n时，a i+a j＝a1+a i+j﹣1，当i+j＞n时，a i+a j＝a i+j﹣n+a n，因此每个a i+a j（1≤i＜j≤n）等于a1+a k（2≤k≤n）中的一个，或者等于a l+a n（2≤l≤n﹣1）中的一个，所以对这样的A，l（A）＝2n﹣3，所以l（A）的最小值为2n﹣3．。
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题(原卷版)
当点A、B、C在平面 的异侧时，平面 与平面 相交，如下图：
故选: C
【点睛】此题为基础题，判断平面与平面的位置关系.
13.从集合 中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（）个
【详解】若此平面与平面 平行，这样的平面有2个到三顶点距离为 ；
若此平面与平面 相交，
则一定过三角形其中两边的中点，
由于三角形边长为 ，
因此如过 的中点 和 的中点 的平面，
到三顶点距离为 的有两个，这样共有6个，
所以所求平面个数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查点到平面的距离，由于是三角形的三个顶点到平面的距离相等，因此要分类讨论，即三角形所在平面与所求平面平行和相交两种情形，相交时为保证距离相等，平面必定过三角形两边中点．属于较易题.
①当直线 与a成60°角时， 与b成30°角；
②当直线 与a成60°角时， 与b成45°角；
⑤直线 与a所成角的最大值为60°；
④直线 与a所成角的最小值为30°；
其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）
二、选择题（16分）
11.已知一组数据 、 、 、 、 的平均数是 ，则这组数据的中位数是（）
【解析】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ【分析】
利用插空法求解.
【详解】现将 名男生全排列，然后再将 名女生插入 名男生之间，则共有 种排列方法.
故答案为： .
【点睛】本题考查排列与组合，考查插空法的运用，属于基础题.
6.已知正三角形 的边长 ，则到三个顶点的距离都为2的平面有___个；
【答案】8
【解析】
2019-2020学年上海师大二附中高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海师大二附中高二第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知C＝C（n∈N*，n≥6），则n＝．2．已知复数z满足z•（1+i）＝2，其中i为虚数单位，则z＝．3．若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝．4．在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为．5．有6名男医生和5名女医生，从中选出2名男医生和1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有．6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与A1C1所成的角的大小为．7．若一个球的体积为，则它的表面积为．8．平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为．9．已知方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0至少有一个实根，则实数k的值为．10．从集合{1，2，3，4，5}中随机取一个数a，从集合{1，3，5}中随机取一个数b，则“事件a≥b”发生的概率是．11．关于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），在复平面上的一点Z 对应的复数z满足|z|＝1，则|z﹣m﹣ni|的取值范围是．12．已知f（x）＝，将f（x）的图象与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，所得的旋转体的体积为．二、选择题：（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．“直线l垂直于△ABC的边BC”是“直线l垂直于△ABC的边AB，AC”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状态，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（）A．84B．78C．81D．9615．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A．6：5B．5：4C．4：3D．3：216．（理科）已知z＝a+bi（a、b∈R，i是虚数单位），z1，z2∈C，定义：D（z）＝||z||＝|a|+|b|，D（z1，z2）＝||z1﹣z2||．给出下列命题：（1）对任意z∈C，都有D（z）＞0；（2）若是复数z的共轭复数，则恒成立；（3）若D（z1）＝D（z2）（z1、z2∈C），则z1＝z2；（4）对任意z1、z2、z3∈C，结论D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立，则其中真命题是（）A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（3）（4）C．（2）（4）D．（2）（3）三、解答题：（本题满分76分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.17．在四棱锥P﹣ABCD的底面矩形中，AB＝1，AD＝3，又已知PA⊥平面ABCD，PA＝1．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．18．已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：（1）a1+a2+a3+…+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|．19．（16分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M为棱CC1上一点．（1）若C1M＝1，求直线A1M和平面A1B1C1D1所成的角；（2）若C1M＝2，求证BM⊥平面A1B1M．20．（16分）如图，圆锥SO的底面半径OA＝1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形．（1）求此圆锥的体积；（2）求从底面圆周上一点绕其侧面一周再回到该点的最短路线的长度；（3）如图，设M，N为半圆弧AC的3等分点，求O到平面AMS的距离．21．（16分）已知正四棱锥P﹣ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．斜高为h'．（1）设底面ABCD的边长为a，请写出h'与a的等量关系；（2）试用h表示底面ABCD的边长a，并求正四棱锥体积V的最大值；（3）当V取最大值时，求二面角P﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．参考答案一、填空：（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知C＝C（n∈N*，n≥6），则n＝8．【分析】由题意利用组合数的性质，求得n的值．解：已知C＝C（n∈N*，n≥6），∴2+6＝n，则n＝8，故答案为：8．2．已知复数z满足z•（1+i）＝2，其中i为虚数单位，则z＝1﹣i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：∵复数z满足z•（1+i）＝2，∴z（1+i）（1﹣i）＝2（1﹣i），∴2z＝2（1﹣i），化为z＝1﹣i．故答案为1﹣i．3．若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝．【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出．解：∵复数z＝＝＝＝﹣1+2i．∴|z|＝．故答案为：．4．在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为﹣560．【分析】直接利用二项式定理写出结果即可即可．解：在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为：＝﹣560．故答案为：﹣560．5．有6名男医生和5名女医生，从中选出2名男医生和1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有75．【分析】解：根据题意，分2步进行分析：①、选取男医生，在6名男医生中选取2人即可，②、选取女医生，在5名女医生中选取1人即可，由组合数公式可得每一步的选取方法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①、选取男医生，在6名男医生中选取2人即可，有C62＝15种选法，②、选取女医生，在5名女医生中选取1人即可，有C51＝5种选法，则不同的选取方法有15×5＝75种；故答案为：75．6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与A1C1所成的角的大小为60°．【分析】由正方体的性质可知，AD1∥BC1，于是∠A1C1B即为所求，易知△A1C1B是等边三角形，可得∠A1C1B＝60°，故而得解．解：由正方体的性质可知，AD1∥BC1，所以∠A1C1B即为异面直线AD1与A1C1所成的角，由于A1B＝C1B＝A1C1，所以△A1C1B是等边三角形，所以∠A1C1B＝60°．故答案为：60°．7．若一个球的体积为，则它的表面积为12π．【分析】有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．解：由得，所以S＝4πR2＝12π．8．平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为．【分析】先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．解：∵截面圆的面积为π，∴截面圆的半径是1，∵球O半径为2，∴球心到截面的距离为．故答案为：．9．已知方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0至少有一个实根，则实数k的值为．【分析】关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实根，考虑到k是实数，用复数相等的条件求解．解：∵方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实根，不妨令x为实数，∴，消去x得+2＝0，∴k＝±2．故答案为：±2．10．从集合{1，2，3，4，5}中随机取一个数a，从集合{1，3，5}中随机取一个数b，则“事件a≥b”发生的概率是．【分析】试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有5×3种结果，满足条件的事件是满足a≥b，可以列举出所有的事件，根据概率公式得到结果．解：由题意知，试验发生包含的事件是分别从两个集合中取两个数字，共有5×3＝15种结果，满足条件的事件是满足a≥b，可以列举出所有的事件，当b＝1时，a＝1，2，3，4，5，当b＝3时，a＝3，4，5，当b＝3时，a＝5，共有5+3+1＝9个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是．故答案为：．11．关于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），在复平面上的一点Z 对应的复数z满足|z|＝1，则|z﹣m﹣ni|的取值范围是[，]．【分析】由题意求得方程的另一个根为1﹣ni，由根与系数的关系可得m＝﹣2，n2＝1．满足|z|＝1的复数z在以原点O为圆心的单位圆上，而|z﹣m﹣ni|表示点z到点M（m，n）的距离，求得|OM|的值，即可得到|z﹣m﹣ni|的取值范围．解：∵关于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），∴另一个根为1﹣ni，由根与系数的关系可得（1+ni）+（1﹣ni）＝﹣m，且（1+ni）（1﹣ni）＝2．解得m＝﹣2，n2＝1．满足|z|＝1的复数z在以原点O为圆心的单位圆上，而|z﹣m﹣ni|表示点z到点M（m，n）的距离．而|OM|＝＝＝，故|z﹣m﹣ni|的最小值为﹣1，最大为+1故|z﹣m﹣ni|的取值范围为[﹣1，+1]，故答案为[﹣1，+1]．12．已知f（x）＝，将f（x）的图象与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，所得的旋转体的体积为．【分析】根据曲线旋转后的图形，即可得到结论．解：当0≤x≤2时，函数f（x）与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周为两个圆锥，其中圆锥的高为1，底面半径为1，底面圆的半径为1，所以对应几何体的体积为V＝2×π•12•1＝．故答案为：．二、选择题：（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．“直线l垂直于△ABC的边BC”是“直线l垂直于△ABC的边AB，AC”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质定理进行判断即可．解：若直线l垂直于△ABC的边AB，AC，∵AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，则直线l垂直于△ABC的边BC，即必要性成立，反正若直线l垂直于△ABC的边BC，则直线l不一定垂直于平面ABC，故直线l垂直于△ABC的边AB，AC不成立，故“直线l垂直于△ABC的边AB，AC”是“直线l垂直于△ABC的边BC”的必要非充分条件，故选：B．14．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状态，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（）A．84B．78C．81D．96【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴设高三x人，则x+x+30+480＝1290，解得x＝390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为人，故选：B．15．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A．6：5B．5：4C．4：3D．3：2【分析】设圆柱的底面半径，求出圆柱的全面积以及球的表面积，即可推出结果．解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的全面积是：2πr2+2rπ×2r＝6πr2球的全面积是：4πr2，所以圆柱的全面积与球的表面积的比：3：2故选：D．16．（理科）已知z＝a+bi（a、b∈R，i是虚数单位），z1，z2∈C，定义：D（z）＝||z||＝|a|+|b|，D（z1，z2）＝||z1﹣z2||．给出下列命题：（1）对任意z∈C，都有D（z）＞0；（2）若是复数z的共轭复数，则恒成立；（3）若D（z1）＝D（z2）（z1、z2∈C），则z1＝z2；（4）对任意z1、z2、z3∈C，结论D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立，则其中真命题是（）A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（3）（4）C．（2）（4）D．（2）（3）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案．解：对于（1），当z＝0时，D（z）＝|0|＝|0|+|0|＝0，命题（1）错误；对于（2），设z＝a+bi，则，则D（）＝||＝|a|+|﹣b|＝|a|+|b|＝|z|＝D（z），命题（2）正确；对于（3），若D（z1）＝D（z2）（z1、z2∈C），则z1＝z2错误，如z1＝1+i，z2＝1﹣i，满足D（z1）＝D（z2）（z1、z2∈C），但z1≠z2；对于（4），设z1＝a+bi，z2＝c+di，z3＝e+fi，则D（z1，z2）＝||z1﹣z2||＝||（a﹣c）+（b﹣d）i||＝|a﹣c|+|b﹣d|，D（z2，z3）＝||z2﹣z3||＝||（c﹣e）+（d﹣f）i||＝|c﹣e|+|d﹣f|，D（z1，z3）＝||z1﹣z3||＝|（a﹣e）+（b﹣f）i|＝|a﹣e|+|b﹣f|，由|a﹣e|＝|（a﹣c）+（c﹣e）|≤|a﹣c|+|c﹣e|，|b﹣f|＝|（b﹣d）+（d﹣f）|≤|b﹣d|+|d﹣f|，得D（z1，z3）≤D（z1，z2）+D（z2，z3）恒成立，（4）正确．∴正确的命题是（2）（4）．故选：C．三、解答题：（本题满分76分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.17．在四棱锥P﹣ABCD的底面矩形中，AB＝1，AD＝3，又已知PA⊥平面ABCD，PA＝1．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【分析】（1）由已知可得AB∥CD，则∠PBA为异面直线PB与CD所成角，再由已知可得三角形PAB为等腰直角三角形，则答案可求；（2）直接由棱锥体积公式求解．解：（1）∵ABCD为矩形，则AB∥CD，∴∠PBA为异面直线PB与CD所成角．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，在Rt△PAB中，由PA＝AB＝1，可得∠PBA＝45°，即异面直线PB与CD所成角的大小为45°；（2）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3，可得S矩形ABCD＝1×3＝3，又PA⊥平面ABCD，PA＝1，∴．18．已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：（1）a1+a2+a3+…+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|．【分析】（1）根据所给的等式可得常数项a0＝1，在所给的等式中，令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a7＝﹣1，从而求得a1+a2+a3+…+a7的值．（2）在所给的等式中，分别令x＝1、x＝﹣1，可得2个等式，化简这2个等式即可求得a1+a3+a5+a7的值．（3）用①加上②再除以2可得a0+a2+a4+a6的值．（4）在（1+2x）7中，令x＝1，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值．解：（1）∵已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，∴常数项a0＝1．在所给的等式中，令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a7＝﹣1，∴a1+a2+a3+…+a7＝﹣2．（2）在所给的等式中，令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a7＝﹣1①，令x＝﹣1可得得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7＝37②，用①减去②再除以2可得a1+a3+a5+a7＝﹣1094．（3）用①加上②再除以2可得a0+a2+a4+a6＝1093．（4）在（1+2x）7中，令x＝1，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|＝37＝2187．19．（16分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M为棱CC1上一点．（1）若C1M＝1，求直线A1M和平面A1B1C1D1所成的角；（2）若C1M＝2，求证BM⊥平面A1B1M．【分析】（1）由长方体的性质可知，C1M⊥面A1B1C1D1，即点M在面A1B1C1D1上的投影为点C1，因此∠MA1C1为直线A1M和平面A1B1C1D1所成的角，利用三角函数知识求出tan∠MA1C1即可得解；（2）首先由线面垂直的性质定理可知A1B1⊥BM，然后在△B1BM中，由勾股定理可知BM⊥B1M，最后根据线面垂直的判定定理即可得证．解：（1）连接MA1，由长方体的性质可知，C1M⊥面A1B1C1D1，即点M在面A1B1C1D1上的投影为点C1，∴∠MA1C1即为直线A1M和平面A1B1C1D1所成的角，∵C1M＝1，A1C1＝A1B1＝，∴tan∠MA1C1＝＝＝，故直线A1M和平面A1B1C1D1所成的角为arctan．（2）由长方体的性质可知，A1B1⊥面B1BCC1，∵BM⊂面B1BCC1，∴A1B1⊥BM．∵C1M＝2，∴M为CC1的中点，∴C1M＝CM＝2，B1M＝BM＝CM＝，∴，即BM⊥B1M，∵A1B1、B1M⊂面A1B1M，且A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥面A1B1M．20．（16分）如图，圆锥SO的底面半径OA＝1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形．（1）求此圆锥的体积；（2）求从底面圆周上一点绕其侧面一周再回到该点的最短路线的长度；（3）如图，设M，N为半圆弧AC的3等分点，求O到平面AMS的距离．【分析】（1）由已知求出圆锥母线长，进一步求得高，代入圆锥体积公式求解；（2）画出圆锥侧面展开图，由余弦定理求从底面圆周上一点绕其侧面一周再回到该点的最短路线的长度；（3）连接AM，OM，SM，取AM的中点G，连接OG，SG，证明AM⊥平面SOG，则平面SOG⊥SAM，在平面SOG内，过O作OH⊥SG，可得OH⊥平面SAM．求解直角三角形得答案．解：（1）设圆锥的高为h，母线长为l，由圆锥底面圆的周长与展开图的弧长相等，可得，则l＝3．∴圆锥的高为h＝．则圆锥的体积V＝；（2）沿母线SC剪开再展开，至SC′，则，由母线长l＝3，可得CC′＝．即从底面圆周上一点绕其侧面一周再回到该点的最短路线的长度为；（3）∵M为半圆弧AC的3等分点（靠近A），连接AM，OM，SM，则△AOM是等边三角形，取AM的中点G，连接OG，SG，则OG⊥AM，SG⊥AM，又OG∩SG＝G，∴AM⊥平面SOG，而AM⊂平面SAM，则平面SOG⊥SAM，又平面SOG∩平面SAM＝SG，在平面SOG内，过O作OH⊥SG，可得OH⊥平面SAM．在Rt△SOG中，由SO＝，OG＝，得．∴OH＝＝．21．（16分）已知正四棱锥P﹣ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．斜高为h'．（1）设底面ABCD的边长为a，请写出h'与a的等量关系；（2）试用h表示底面ABCD的边长a，并求正四棱锥体积V的最大值；（3）当V取最大值时，求二面角P﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．【分析】（1）由已知写出四棱锥的求面积，整理可得h'与a的等量关系；（2）利用勾股定理把h′用a与h表示，再把体积写出关于h的函数，然后利用基本不等式求最值；（3）结合（2）求出V取最大值时的a与h的值，求出二面角P﹣BC﹣A的平面角的正切值，利用反三角得答案．解：（1）由正四棱锥P﹣ABCD的全面积为2，斜高为h'，底面ABCD的边长为a，得，即a2+2ah′＝2；（2）取BC的中点E，连接PE，设正方形ABCD的中心为O，连接PO，OE，可知PE＝h′，PO＝h，OE＝，则h′＝．又由（1）知，a2+2ah′＝2，则，整理得：a＝（h＞0）．＝＝．当且仅当h＝，即h＝1时正四棱锥体积V有最大值为；（3）由（2）知，当V取最大值时，PO＝h＝1，此时a＝，OE＝，则tan．即二面角P﹣BC﹣A的大小为arctan．。
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(下)期末数学试卷
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷试题数：18.满分：0≤1的解集为___ ．1.（填空题.3分）不等式1x2.（填空题.3分）集合A={x|x=sin kπ.k∈Z}的真子集的个数是 ___ ．23.（填空题.3分）（1-2x）2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020.则a0+a1+a2+…+a2020=___ ．4.（填空题.3分）如图.四面体ABCD中.PA.PB.PC两两垂直.且|PA|=|PB|=|PC|=2.则点P到平面ABC的距离为___ ．5.（填空题.3分）若x＞0.y＞0.且xy-（x+y）=1.则x+y的取值范围为___ ．6.（填空题.3分）若某圆锥的侧面展开图是一个半径为1的半圆.求圆锥的表面积___ ．7.（填空题.3分）（2x- 1）6展开式中的常数项为___ .（用数字作答）x28.（填空题.3分）不等式|2x-y|＜|5-2x|对任意x∈[1.2]都成立.则实数y的取值范围为___ ．9.（填空题.3分）4名学生参加3个兴趣小组活动.每人参加一个或两个小组.那么3个兴趣小组都恰有2人.参加的不同的分组共有___ 种．10.（填空题.3分）如图.直线l⊥平面α.垂足为O.正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD的棱长为1.B是直线l上的动点.AD⊥l.C是平面α上的动点.求O到点D的距离的最大值为___ ．11.（单选题.3分）某中学有高中生960人.初中生480人.为了了解学生的身体状况.采用分层抽样的方法.从该校学生中抽取容量为n的样本.其中高中生有24人.那么n等于（）A.12B.18C.24D.3612.（单选题.3分）今年3月9日湖北武汉某方舱医院“休仓”.某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念.庆祝圆满完成“抗疫”任务.若恰好从中间往两边看都依次变低的概率为（）A. 110B. 120C. 310D. 1513.（单选题.3分）定义：若平面点集A中的任一个点（x0.y0）.总存在正实数r.使得集合{（x.y）| √(x−x0)2+(y−x0)2＜r}⊆A.则称A为一个“K集”给出下列集合：① {（x.y）|x2+y2=1}；② {（x.y）|x+y＜6}；③ {（x.y）|x+y+2≥0}；④ {（x.y）|0＜x2+（y- √3）2＜1}．其中是“K集”的是（）A. ① ④B. ② ③C. ② ④D. ③ ④14.（单选题.3分）一矩形的一边在x轴上.另两个顶点在函数y= x（x＞0）的图象上.如图.1+x2则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）A.πB. π3C. π4D. π215.（问答题.0分）已知集合A={x|x2-（3a-1）x+2a2-a＜0}.集合B={x|x2-4x+3＜0}．（1）当a=2时.求A∩B；（2）命题P：x∈A.命题Q：x∈B.若P是Q的充分条件.求实数a的取值范围．16.（问答题.0分）已知f（x）=|2x-m|-|x+2m|（m＞0）的最小值为−52．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知a＞0.b＞0.且a2+b2=m.求证：b3a +a3b≥1．17.（问答题.0分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.BB1⊥平面ABC.AB⊥BC.AA1=AB=BC=2．（1）求证：BC1⊥平面A1B1C；（2）点N在线段BB1上运动.求A1N与B1C所成角的范围．18.（问答题.0分）已知集合A={a1.a2.a3.….a n}.其中a i∈R.1≤i≤n.n＞2.l（A）表示a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（1）设集合P={1.2.3.4}.Q={1.3.9.27}.分别求l（P）.l（Q）；（2）若集合A={1.3.9.….3n}（n＞1.n∈N）.证明：l（A）= n(n+1)2；（3）l（A）是否存在最小值？若存在.求出这个最小值；若不存在.说明理由．2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：01.（填空题.3分）不等式1x≤1的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-∞.0）∪[1.+∞）【解析】：化简不等式为分式不等式.然后转化为二次不等式解答即可．【解答】：解：不等式1x ≤1 .可化为1−xx≤0 .即：x（1-x）≤0且x≠0解得x＜0或x≥1故答案为：（-∞.0）∪[1.+∞）【点评】：本题考查分式不等式的解法.是基础题．2.（填空题.3分）集合A={x|x=sin kπ2.k∈Z}的真子集的个数是 ___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：先结合正弦函数的周期性解出集合 A.再通过真子集个数的计算公式即可得出答案．【解答】：解：因为正弦函数y=sinx的周期为2π.不妨让k取1.2.3.4.得到集合A={1.0.-1}.集合A中共有3个元素.故集合A得真子集得个数是23-1=7个．故答案为：7．【点评】：本题主要考查利用集合元素个数判断集合真子集个数的应用.含有n个元素的集合.其子集个数为2n-1个.属于简单题．3.（填空题.3分）（1-2x）2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020.则a0+a1+a2+…+a2020=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：利用赋值法.令x=1代入即可．【解答】：解：令x=1得.（1-2）2020=a 0+a 1+a 2+…+a 2020.则a 0+a 1+a 2+…+a 2020=1.故答案为：1【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.利用赋值法是解决本题的关键．比较基础．4.（填空题.3分）如图.四面体ABCD 中.PA.PB.PC 两两垂直.且|PA|=|PB|=|PC|=2.则点P 到平面ABC 的距离为___ ．【正确答案】：[1] 2√33【解析】：以P 为原点.PA 为x 轴.PB 为y 轴.PC 为z 轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出点P 到平面ABC 的距离．【解答】：解：∵四面体ABCD 中.PA.PB.PC 两两垂直.且|PA|=|PB|=|PC|=2.∴以P 为原点.PA 为x 轴.PB 为y 轴.PC 为z 轴.建立空间直角坐标系.P （0.0.0）.A （2.0.0）.B （0.2.0）.C （0.0.2）.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2.0.0）. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2.2.0）. AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2.0.2）. 设平面ABC 的法向量 m ⃗⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0.取x=1.得 n ⃗ =（1.1.1）. ∴点P 到平面ABC 的距离为d=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||n ⃗ | = √3 = 2√33 ． 故答案为： 2√33．【点评】：本题查点到平面的距离的求法.向量法等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．5.（填空题.3分）若x＞0.y＞0.且xy-（x+y）=1.则x+y的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][2+2 √2 .+∞）【解析】：由题意可得x+y+1=xy≤（x+y2）2.即（x+y）2-4（x+y）-4≥0.解此不等式求得x+y的取值范围．【解答】：解：由x.y∈（0.+∞）.且xy-（x+y）=1.可得x+y+1=xy≤（x+y2）2.化简可得（x+y）2-4（x+y）-4≥0.解得x+y≤2-2 √2（舍去）.或x+y≥2+2 √2．综上可得x+y的取值范围是[2+2 √2 .+∞）.故答案为：[2+2 √2 .+∞）．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用.一元二次不等式的解法.属于基础题．6.（填空题.3分）若某圆锥的侧面展开图是一个半径为1的半圆.求圆锥的表面积___ ．【正确答案】：[1] 3π4【解析】：由圆锥的底面周长是π.求出圆锥的底面半径是r= 12.再由圆锥的母线长为l=1.能求出圆锥的表面积．【解答】：解：圆锥的底面周长是π.设圆锥的底面半径是r.则2πr=π．解得r= 12.∵圆锥的母线长为l=1.∴圆锥的表面积是S=πrl+πr2= 12π+π4= 3π4．故答案为：3π4．【点评】：本题考查圆锥的表面积的求法.考查圆锥的表面积、侧面展开图的性质等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．）6展开式中的常数项为___ .（用数字作答）7.（填空题.3分）（2x- 1x2【正确答案】：[1]240【解析】：在二项展开式的通项公式中.令x的幂指数等于0.求出r的值.即可求得常数项．）6展开式的通项公式为 T r+1= C6r•26-r•（-1）r•x6-3r.【解答】：解：（2x- 1x2令6-3r=0.求得r=2.可得展开式中的常数项为C62•24=240.故答案为：240．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.二项展开式的通项公式.求展开式中某项的系数.二项式系数的性质.属于基础题．8.（填空题.3分）不等式|2x-y|＜|5-2x|对任意x∈[1.2]都成立.则实数y的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（3.5）【解析】：由指数函数的单调性.可得|2x-y|＜5-2x.再由绝对值不等式的解法.结合指数函数的单调性和恒成立思想.可得y的范围．【解答】：解：由x∈[1.2].可得2x∈[2.4].5-2x＞0.不等式|2x-y|＜|5-2x|对任意x∈[1.2]都成立.即为|2x-y|＜5-2x.则有2x-5＜y-2x＜5-2x.可得2•2x-5＜y＜5.由f（x）=2•2x-5在[1.2]递增.可得f（x）的值域为[-1.3].则3＜y＜5.即y的取值范围是（3.5）．故答案为：（3.5）．【点评】：本题考查绝对值不等式恒成立问题解法.考查指数函数的单调性的运用.以及化简运算能力.属于中档题．9.（填空题.3分）4名学生参加3个兴趣小组活动.每人参加一个或两个小组.那么3个兴趣小组都恰有2人.参加的不同的分组共有___ 种．【正确答案】：[1]90【解析】：根据题意.分析可得：4名学生中有2人参加了两个小组.其他2人参加了1个小组.先计算在4人中任选2人.参加2个兴趣小组的情况数目.再分类讨论参加2个兴趣小组的情况数目.由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意.分析可得：4名学生中有2人参加了两个小组.其他2人参加了1个小组.在4人中任选2人.参加2个兴趣小组.有C 42=6种选法；分2种情况讨论：① .选出2人参加的兴趣小组完全相同.则剩下的2人参加剩下的1个小组.有C 32=3种情况. ② .选出2人参加的兴趣小组只有1个相同.有C 32C 21A 22=12种情况.则一共有6（12+3）=90种分组方法；故答案为：90【点评】：本题考查排列、组合的应用.涉及分类计数原理的应用.属于基础题．10.（填空题.3分）如图.直线l⊥平面α.垂足为O.正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）ABCD 的棱长为1.B 是直线l 上的动点.AD⊥l .C 是平面α上的动点.求O 到点D 的距离的最大值为___ ．【正确答案】：[1] √4+2√22【解析】：直线BC 与动点O 的位置关系是：点O 是以BC 为直径的球面上的点.O 到AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离.点O 到AD 的最大距离为AD 到球心的距离（即BC 与AD 的公垂线）+球半径.由此能求出O 到点D 的距离的最大值．【解答】：解：由题意.直线BC 与动点O 的位置关系是：点O 是以BC 为直径的球面上的点.所以O 到AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离.分别取AD 、BC 中点E 、F.连结AF.DF.则AF=DF= √1−14 = √32 .∴EF= √34−14 = √22 .点O 到AD 的最大距离为AD 到球心的距离（即BC 与AD 的公垂线）+球半径.∴O 到AD 的距离的最大值为：OE max = √22 + BC 2 = √2+12. ∴O 到点D 的距离的最大值为：OD max = √OE max 2+DE 2 = √(√2+12)2+(12)2 = √4+2√22 ． 故答案为：√4+2√22 ．【点评】：本题考查了点、线、面间的距离计算问题.考查分析问题解答问题的能力、运算求解能力.是中档题．11.（单选题.3分）某中学有高中生960人.初中生480人.为了了解学生的身体状况.采用分层抽样的方法.从该校学生中抽取容量为n 的样本.其中高中生有24人.那么n 等于（ ）A.12B.18C.24D.36【正确答案】：D【解析】：利用分层抽样的性质列出方程.由此能求出结果．【解答】：解：由分层抽样的性质得： n 960+480 = 24960 .解得n=36．故选：D ．【点评】：本题考查实数值的求法.考查分层抽样等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．12.（单选题.3分）今年3月9日湖北武汉某方舱医院“休仓”.某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念.庆祝圆满完成“抗疫”任务.若恰好从中间往两边看都依次变低的概率为（ ）A. 110B. 120C. 310D. 15【正确答案】：B【解析】：基本事件总数n= A55 =120.恰好从中间往两边看都依次变低包含的基本事件个数m= C42C22 =6．由此能求出恰好从中间往两边看都依次变低的概率．【解答】：解：某省驰援湖北“抗疫”的5名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念.基本事件总数n= A55 =120.恰好从中间往两边看都依次变低包含的基本事件个数m= C42C22 =6．∴恰好从中间往两边看都依次变低的概率为p= mn = 6120= 120．故选：B．【点评】：本题考查概率的求法.考查古典概型、排列组合等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．13.（单选题.3分）定义：若平面点集A中的任一个点（x0.y0）.总存在正实数r.使得集合{（x.y）| √(x−x0)2+(y−x0)2＜r}⊆A.则称A为一个“K集”给出下列集合：① {（x.y）|x2+y2=1}；② {（x.y）|x+y＜6}；③ {（x.y）|x+y+2≥0}；④ {（x.y）|0＜x2+（y- √3）2＜1}．其中是“K集”的是（）A. ① ④B. ② ③C. ② ④D. ③ ④【正确答案】：C【解析】：根据K集的定义逐个验证选项.即可得到答案．① x2+y2=1表示以原点为圆心.1为半径的圆.则在该圆上任意取一点（x0.y0）.均不满足 {（x.y））| √(x−x0)2+(y−y0)2＜r}⊆A.故① 不是“K集”；② 平面点集A中的任一点（x0.y0）.满足{（x.y）| √(x−x0)2+(y−y0)2＜r}⊆A.故② 该集合是“K集”；③ 在曲线x+y+2=0任意取点（x0.y0）.以任意正实数r为半径的圆面.均不满足 {（x.y）|√(x−x0)2+(y−y0)2＜r}⊆A.故③ 该集合不是“K集”；④ 表示以点（0. √3）为圆心.1为半径除去圆心和圆周的圆面.该平面点集A中的任一点（x0.y0）.满足{（x.y）| √(x−x0)2+(y−y0)2＜r}⊆A.故④ 该集合是“K集”．【解答】：解：① ：x2+y2=1表示以原点为圆心.1为半径的圆.则在该圆上任意取一点（x0.y0）.以任意正实数r为半径的圆面.均不满足 {（x.y））| √(x−x0)2+(y−y0)2＜r}⊆A.故① 不是“K集”；② A={（x.y）|x+y＜6}时.在平面点集A中的任取一点（x0.y0）.则该点到直线的距离为d.取r=d.则满足{（x.y）| √(x−x0)2+(y−y0)2＜r}⊆A.故② 该集合是“K集”；③ A={（x.y）|x+y+2≥0}.在曲线x+y+2=0任意取点（x0.y0）.以任意正实数r为半径的圆面. 均不满足 {（x.y）| √(x−x0)2+(y−y0)2＜r}⊆A.故③ 该集合不是“K集”；④ A={（x.y）|0＜x2+（y- √3）2＜1}表示以点（0. √3）为圆心.1为半径除去圆心和圆周的圆面.在该平面点集A中的任一点（x0.y0）.则该点到圆周上的点的最短距离为d.取r=d.则满足{（x.y）| √(x−x0)2+(y−y0)2＜r}⊆A.故④ 该集合是“K集”．故选：C．【点评】：本题属于集合的新定义型问题.考查学生即时掌握信息.解决问题的能力.正确理解K 集的定义是解决本题的关键.属于中档题．（x＞0）的图象上.如图.14.（单选题.3分）一矩形的一边在x轴上.另两个顶点在函数y= x1+x2则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）A.πB. π3C. π4D. π2【正确答案】：C【解析】：先求出y的范围.再设出点AB的坐标.根据AB两点的纵坐标相等得到x2•x1=1.再求出高h.根据圆柱体的体积公式得到关于y的代数式.最后根据基本不等式求出体积的最大值．【解答】：解：∵y= x1+x2 = 1x+1x≤ 12当且仅当x=1时取等号.∴x+ 1x = 1y∵矩形绕x轴旋转得到的旋转体一个圆柱.设A点的坐标为（x1.y）.B点的坐标为（x2.y）. 则圆柱的底面圆的半径为y.高位h=x2-x1.∵f（x1）= x11+x12 .f（x2）= x21+x22.∴ x1 1+x12 = x21+x22.即（x2-x1）（x2•x1-1）=0. ∴x2•x1=1.∴h2=（x2+x1）2-4x2•x1=（x1+ 1x1）2-4= 1y2-4.∴h= √1−4y2y.∴V圆柱=πy2•h=πy √1−4y2 = 12π• √4y2(1−4y2)≤ 12π•（4y2+(1−4y2)2）= 14π.当且仅当y= √24时取等号.故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为14π.故选：C．【点评】：本题主要考查空间几何体的体积计算.基本不等式的应用.本题求出x2•x1=1是关键.属于中档题．15.（问答题.0分）已知集合A={x|x2-（3a-1）x+2a2-a＜0}.集合B={x|x2-4x+3＜0}．（1）当a=2时.求A∩B；（2）命题P：x∈A.命题Q：x∈B.若P是Q的充分条件.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）把a=2代入化简A.求解一元二次不等式化简B.再由交集运算得答案；（2）由P是Q的充分条件.得A⊆B．然后对a分类求解A.再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．【解答】：解：（1）当a=2时.A={x|x2-（3a-1）x+2a2-a＜0}={x|2＜x＜3}.B={x|x2-4x+3＜0}={x|1＜x＜3}．A∩B={x|2＜x＜3}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}；（2）P：x∈A.Q：x∈B.若P是Q的充分条件.则A⊆B且A≠∅．当a=1时.A=∅.不合题意；当a＜1时.A={x|2a-1＜x＜a}.B={x|1＜x＜3}.∴ {2a−1≥1a≤3.解得a∈∅；当a＞1时.A={x|a＜x＜2a-1}.B={x|1＜x＜3}.∴ {a＞12a−1≤3.解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1.2]．【点评】：本题考查交集及其运算.考查充分必要条件的判定及其应用.考查数学转化思想方法.是中档题．16.（问答题.0分）已知f（x）=|2x-m|-|x+2m|（m＞0）的最小值为−52．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知a＞0.b＞0.且a2+b2=m.求证：b3a +a3b≥1．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）去绝对值变成分段函数.根据分段函数的单调性可求出f（x）的最小值.与已知最小值相等列式可求出；（Ⅱ）利用分析法结合基本不等式即可证明．【解答】：解：（Ⅰ）f （x ）=|2x-m|-|x+2m|= { −x +3m ．x ≤−2m−3x −m ，−2m ＜x ＜m2x −3m ，x ≥m 2 .∴f （x ）∴f （x ）在区间（-∞. m2 ]上单调递减.在区间[ m2 .+∞）上单调递增. ∴f （x ）min =f （ m2 ）= m2 -3m=- 52 . ∴m=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a ＞0.b ＞0.且a 2+b 2=1. 要证 b 3a +a 3b≥1 .只要证b 4+a 4≥ab . 即证（a 2+b 2）2-2a 2b 2≥ab . 即证2a 2b 2+ab-1≤0. 即证（2ab-1）（ab+1）≤0. 即证2ab≤1. 即证2ab≤a 2+b 2.显然1=a 2+b 2≥2ab .当且仅当a=b= √22时取等号． ∴ b 3a+a 3b≥1 ．【点评】：本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明.属中档题．17.（问答题.0分）如图.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.BB 1⊥平面ABC.AB⊥BC .AA 1=AB=BC=2． （1）求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ；（2）点N 在线段BB 1上运动.求A 1N 与B 1C 所成角的范围．【正确答案】：【解析】：（1）推导出BC 1⊥B 1C.A 1B 1⊥BB 1.A 1B 1⊥B 1C 1.从而A 1B 1⊥平面BCC 1B 1.进而BC 1⊥A 1B 1.由此能证明BC 1⊥平面A 1B 1C ．（2）以B 为原点.BC 为x 轴.BA 为y 轴.BB 1为z 轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出A 1N 与B 1C 所成角的范围．【解答】：解：（1）证明：∵在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.BB 1⊥平面ABC. AB⊥BC .AA 1=AB=BC=2．∴四边形BCC 1B 1是正方形.∴BC 1⊥B 1C. ∵BB 1⊥平面ABC.AB⊥BC . ∴A 1B 1⊥BB 1.A 1B 1⊥B 1C 1.∵BB 1∩B 1C 1=B 1.∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1. ∵BC 1⊂平面BCC 1B 1.∴BC 1⊥A 1B 1. ∵A 1B 1∩B 1C=B 1.∴BC 1⊥平面A 1B 1C ． （2）解：点N 在线段BB 1上运动.由（1）知.A 1B 1⊥平面BCC 1B 1.BC 1⊂平面BCC 1B 1.∴A 1B 1⊥B 1C. ∴当N 与B 1重合时.A 1N 与B 1C 所成角取最大值 π2 .以B 为原点.BC 为x 轴.BA 为y 轴.BB 1为z 轴.建立空间直角坐标系. A 1（0.2.2）.N （0.0.t ）.（0≤t≤2）.B 1（0.0.2）.C （2.0.0）. A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.-2.t-2）. B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.0.-2）. 设A 1N 与B 1C 所成角为θ.则cosθ= |A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √4+(t−2)2•√8 = √2(2−t)2+8. ∴t=2时.cosθ取最小值0.t=0时.cosθ取最大值 12 .∴N 与B 重合时.θ取最小值 π3.N 与B 1重合时.θ取最大值 π2. ∴A 1N 与B 1C 所成角的范围是[ π3 . π2 ]．【点评】：本题考查线面垂直的证明.考查异面直线所成角的取值范围的求法.考查空间中线线、线面间的位置关系、向量法等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．18.（问答题.0分）已知集合A={a1.a2.a3.….a n}.其中a i∈R.1≤i≤n.n＞2.l（A）表示a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（1）设集合P={1.2.3.4}.Q={1.3.9.27}.分别求l（P）.l（Q）；（2）若集合A={1.3.9.….3n}（n＞1.n∈N）.证明：l（A）= n(n+1)2；（3）l（A）是否存在最小值？若存在.求出这个最小值；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用定义把集合P.Q中的值代入.即可求出l（P）和l（Q）；（2）先由 a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有C n2=n(n+1)2个值.可得l(A)≤n(n+1)2.再利用定义推得所有 a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同.即可证明结论；（3）l （ A ）存在最小值.设 a1＜a2＜…＜a n.则 a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n-1+a n.由此可得到 l（A）的最小值 2n-3．【解答】：解：（1）根据题中的定义可知：由1+2=3.1+3=4.1+4=5.2+3=5.2+4=6.3+4=7.得l（P）=5；由1+3=4.1+9=10.1+27=28.2+9=12.3+27=30.9+27=36.得l（Q）=6．（2）证明：因为 a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有C n2=n(n+1)2个值.所以l(A)≤n(n+1)2.又集合A={1.3.9.….3n}.任取 a i+a j.a k+a l（1≤i＜j≤n.1≤k＜l≤n）.当j≠l 时.不妨设 j＜l.则a i+a j＜3a j=3j+1≤a l＜a k+a l .即 a i+a j≠a k+a l．当 j=l.i≠k 时.a i+a j≠a k+a l.因此.当且仅当 i=k.j=l 时.a i+a j=a k+a l.即所有 a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同.．所以l(A)=n(n+1)2（3）l（A）存在最小值.且最小值为2n-3.不妨设 a1＜a2＜…＜a n.所以 a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n-1+a n.所以 a i+a j（1≤i＜j≤n）中至少有 2n-3 个不同的数.即l（A）≥2n-3.事实上.设 a1.a2.a3.….a n成等差数列.考虑 a i+a j（1≤i＜j≤n）.根据等差数列的性质.当i+j≤n 时.a i+a j=a1+a i+j-1.当i+j＞n 时.a i+a j=a i+j-n+a n.因此每个 a i+a j（1≤i＜j≤n）等于 a1+a k（2≤k≤n）中的一个.或者等于 a l+a n（2≤l≤n-1）中的一个.所以对这样的 A.l （A）=2n-3.所以 l（A）的最小值为2n-3．【点评】：本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用.综合性较强.解题时注意整体思想和转化思想的运用.解题时要认真审题.仔细解答.避免错误.属于难题．。
2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二(下)期末数学试卷(a卷)(解析版)
2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期末数学试卷（A卷）一、填空题1．（3分）直径为2的球的表面积与此球的体积之比是．2．（3分）直线P A与平面ABC所成角为，则直线P A与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范国是3．（3分）已知正整数n，二项式（x3+）n的展开式中含有x7的项，则n的最小值是4．（3分）若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则a，n 的可能值是（a，n）＝5．（3分）已知空间向量＝（﹣，，1），＝（﹣，，0），若空间単位向量满足：＝0，则＝6．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是．7．（3分）掷三个般子，出现的三个点数的乘积为偶数的概率是．8．（3分）高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排，身高由矮到高，再由高到矮（最高的女生站在正中间）．这七位女生的排队姿态有种．9．（3分）在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于．10．（3分）从集合{1！，2！，3！，…24！}中，删掉一个元素后，集合中余下的23个元素之积是一个完全平方数．二.选择题11．（3分）给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要12．（3分）下列说法中，正确的是（）A．数据3，3，4，5，4，6的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数D．数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半13．（3分）下列四个组合数公式：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）＝（0≤k≤n）（2）＝（0≤k≤n）（3）＝（1≤k≤n）（4）＝+（1≤k≤n）其中正确公式的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个14．（3分）圆锥SO的底面圆O的半径为1，高为h．已知圆锥SO的内接圆柱O1O（圆柱O1O的下底面圆的圆心是O，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是π，则该圆锥的内接圆柱O1O且其体积为的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个三、简答题15．解不等式（1）解关于实数x的不等式：（a2﹣1）x＞a3﹣1，其中a是实参数；（2）解关于正整数k≤2n的不等式：＞，其中n是给定的正整数．16．SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0．（1）证明：棱锥的底面四边形ABCD是矩形；（2）求此棱锥的全面积S和棱锥的体积V．17．非空有限集合S是由若干个正实数组成，集合S的元素个数|S|≥2．对于任意a，b∈Sa≠b，数a b或b a中至少有一个属于S，称集合S是“好集”：否则，称集合S是“坏集”．（1）判断A＝{1，3，9}和B＝{1，，，}是“好集”，还是“坏集”；（2）题设的有限集合S中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S是“坏集”．18．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p（0＜p＜1），考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1＝p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2＝p2，他发现p1＞p2，只做一道更容易及格．（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3及p4；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）直径为2的球的表面积与此球的体积之比是．【解答】解：∵直径为2，∴半径为1，∴＝3，故答案为：3：1．2．（3分）直线P A与平面ABC所成角为，则直线P A与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范国是[]【解答】解：∵一条直线P A与平面ABC成角为，∴根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为，再根据线线夹角的定义，得到这条直线与平面内的直线所成角中最大值为，这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是[]．故答案为：[]．3．（3分）已知正整数n，二项式（x3+）n的展开式中含有x7的项，则n的最小值是4【解答】解：二项式（x3+）n的展开式的通项为＝．令3n﹣5r＝7，可得n＝，当r＝1时，n有最小值为4．故答案为：4．4．（3分）若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则a，n 的可能值是（a，n）＝（2，5）或（﹣2，5）【解答】解：若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则（1+|a|）n＝243，∴a＝±2，n＝5，故a，n的可能值是（a，n）＝（2，5），或（﹣2，5），故答案为：（2，5）或（﹣2，5）．5．（3分）已知空间向量＝（﹣，，1），＝（﹣，，0），若空间単位向量满足：＝0，则＝±【解答】解：设＝＝（x，y，z），∵＝0，则＝•＝0，∴x+y+z＝0，x+y＝0，令x＝1，则y＝﹣，z＝0．∴＝（1，，0）．∴＝±＝±．故答案为：．±．6．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是a＜b＜c．【解答】解：计算这组数据的平均数为a＝×（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）＝14.7，求出中位数为b＝15，众数为c＝17，则有a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．7．（3分）掷三个般子，出现的三个点数的乘积为偶数的概率是．【解答】解：掷三个般子，基本事件总数n＝63＝216，出现的三个点数的乘积为偶数，包含的基本事件个数＝m＝63﹣33＝189，∴出现的三个点数的乘积为偶数的概率是p＝＝＝．故答案为：．8．（3分）高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排，身高由矮到高，再由高到矮（最高的女生站在正中间）．这七位女生的排队姿态有20种．【解答】解：根据题意，最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有C63＝20种排法，第二步：将另外三人按从高到低的顺序排列，有1种情况，则不同的排法有20×1＝20种，故答案为：209．（3分）在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于．【解答】解：由于4条体对角线都经过正方体的中心，所选的两条对角线必定包含一条画对角线①两条对角线都是面对角线：任取1条面对角线，剩余的11条面对角线中，有5条与之异面，考虑重复选取，∴＝30（种）；②一条面对角线一条体对角线：任取1条面对角线，有2条体对角线与之异面，∴12x2＝24 （种）∴这两条对角线所在的直线为异面直线的概率p＝＝．故答案为：．10．（3分）从集合{1！，2！，3！，…24！}中，删掉一个元素12！后，集合中余下的23个元素之积是一个完全平方数．【解答】解：1！×2！×3！…×23!×24!＝（1×1×2）（3×3×4）×…×（23×23×24）＝（1×2×...×23）2×（2×4×6 (24)＝（1×2×…×23）2×212×12＝（1×2×…×23×26）2×12，所以删除元素为12！．故答案为：12！．二.选择题11．（3分）给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”，则A＝B，反之A＝B，则A∩B⊇A∪B成立，即“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的充要条件，故选：C．12．（3分）下列说法中，正确的是（）A．数据3，3，4，5，4，6的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数D．数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半【解答】解：在A中，数据3，3，4，5，4，6的众数是3和4，故A错误；在B中，一组数据的标准差是这组数据的方差的开方，故B错误；在C中，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故C错误；在D中，数据1，2，3，4的平均数为：＝，方差为：[（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2+（4﹣）2]＝，标准差为，是数据2，4，6，8的平均数为：＝5，方差为：[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]＝5，标准差为：，∴数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半，故D正确．故选：D．13．（3分）下列四个组合数公式：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）＝（0≤k≤n）（2）＝（0≤k≤n）（3）＝（1≤k≤n）（4）＝+（1≤k≤n）其中正确公式的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【解答】解：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）由排列与组合数的计算公式可知：＝（0≤k≤n），正确．（2）由组合数的性质可得：＝（0≤k≤n），正确．（3）左边＝＝＝（1≤k≤n）正确．（4）由组合数的性质可得：＝+（1≤k≤n），正确．因此正确公式的个数是4．故选：A．14．（3分）圆锥SO的底面圆O的半径为1，高为h．已知圆锥SO的内接圆柱O1O（圆柱O1O的下底面圆的圆心是O，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是π，则该圆锥的内接圆柱O1O且其体积为的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：设SO1＝h1，内接圆柱O1O的半径为r，（0＜r＜1），由题意得h1＝rh，OO1＝h﹣rh，∴＝πr2（h﹣rh）＝πhr2（1﹣r），∵≤•[]3＝，∴＝πhr2（1﹣r）≤，解得h＝1．＝πr2（1﹣r）＝，∴8r3﹣8r2﹣1＝0，∵0＜r＜1，∴方程有两个解符合题意．故选：B．三、简答题15．解不等式（1）解关于实数x的不等式：（a2﹣1）x＞a3﹣1，其中a是实参数；（2）解关于正整数k≤2n的不等式：＞，其中n是给定的正整数．【解答】解：（1）①当a＝1时，不等式不成立当a＝﹣1时，解当﹣1＜a＜1时集为空集；②当a＝﹣1时，不等式恒成立，解集为R；③当﹣1＜a＜1时，x＜，不等式解集为（﹣∞，）；④当a＜﹣1或a＞1时，x＞，不等式的解集为（，+∞）（2）根据组合数公式得：＞，化简得：1≤k＜n+≤n，故不等式的解集为{k|1≤k≤n，n∈N*，k∈N*}16．SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0．（1）证明：棱锥的底面四边形ABCD是矩形；（2）求此棱锥的全面积S和棱锥的体积V．【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结SO，∵SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0，四边形是平面四边形，∴四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，且O是BD的中点，∴SO⊥AC，SO⊥BD，∴SO⊥平面ABCD，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴AC＝BD，∴棱锥的底面四边形ABCD是矩形．解：（2）此棱锥的全面积：S＝2S △SAB+2S△SBC+S＝+2×+2a×a＝a2，此棱锥的体积V＝＝×2a2＝a3．17．非空有限集合S是由若干个正实数组成，集合S的元素个数|S|≥2．对于任意a，b∈Sa ≠b，数a b或b a中至少有一个属于S，称集合S是“好集”：否则，称集合S是“坏集”．（1）判断A＝{1，3，9}和B＝{1，，，}是“好集”，还是“坏集”；（2）题设的有限集合S中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S是“坏集”．【解答】解：（1）∵A＝{1，3，9}，39∉A，且93∉A，∴A是“坏集”，∵B＝{1，，，}，∈B，（）∈B，∴B是“好集”．证明：（2）∵a是S中小于1的元素中的最小元素，b是S中大于1的元素中的最小元素，则由指数函数的单调性得：a b＜a1＝a，1＜b a＜b1＝b，∴a b∉S，且b a∉S，∴集合S是“坏集”．18．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p（0＜p＜1），考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1＝p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2＝p2，他发现p1＞p2，只做一道更容易及格．（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3及p4；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？【解答】解：（1）由题意得：，．（2）①p1＞p3且p1＞p4，∴0＜p ＜；②p3＞p1且p3＞p4，；③p4＞p1且p4＞p3，无解．综上，0＜p ＜时，恰做一道及格概率最大；p ＝时，p1＝p3；时，恰做三道及格概率最大．第11页（共11页）。
华师大二附中数学高二下期末
2012-2013学年上海市华师大二附中高二（下）期末数学试卷（理科）一.填空题（每题3分，共36分）1．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）表示随机事件发生的可能性大小的数叫做该事件的．2．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）在空间刻画两条异面直线的位置关系，需要用异面直线的．3．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）掷一颗均匀的骰子，若随机事件A表示“出现奇数点”，则A的对立事件B表示．4．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）若三棱柱ABC﹣A'B'C'的体积是12，则四棱锥C'﹣A'B'BA的体积是．5．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）四面体的4个顶点和6条棱的6个中点可以确定条直线．6．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）若正四面体ABCD的棱长为1，M是AB的中点，则=．7．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）若（n+a）n展开式中a的系数是256，则n=．8．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）若三棱锥各侧面与底面所成的二面角均为60°，底面三角形三边为3、4、5，则此三棱锥的侧面积为．9．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）据上海中心气象台发布的天气预报，一月上旬某天上海下雨的概率是70%至80%．写出下列解释中正确的序号．①上海地区面积的70%至80%将降雨；②上海地区下雨的时间在16.8小时至19.2%小时之间；③上海地区在相似的气候条件下有70%至80%的日子是下雨的；④上海地区在相似的气候条件下有20%至30%的日子是晴，或多云，或阴．10．（3分）（2012•株洲模拟）已知ABCD﹣A1B1C1D1为单位正方体，黑白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数），设黑、白蚂蚁都走完2012段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两只蚂蚁的距离是．11．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）若把A、B、C、D、E、F、G七人排成一排，则A、B必须相邻，且C、D不能相邻的概率是（结果用数值表示）．12．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）由棱长为a的正方体的每个面向外侧作侧棱为a 的正四棱锥，以这些棱锥的顶点为顶点的凸多面体的全面积是．二.选择题（每题3分，，共12分）13．（3分）（2010秋•下城区校级期末）在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体的（）A．平均状态 B．频率分布C．波动大小 D．最大值和最小值14．（3分）（2012•湘潭四模）在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）A．B．C．D．15．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）有13对夫妇参加活动，每位男士与所有的人（除自己的妻子）握手，但妇女之间不握手，这26人之间共握手（）A．次B．次C．次D．次16．（3分）（2013春•浦东新区校级期末）若一个圆锥和一个半球有公共的底面，且它们的体积相等，则圆锥的轴截面的顶角是（）A．B．C．D．三.解答题（共52分）17．（8分）（2013春•浦东新区校级期末）已知正方体的棱长为3cm，在每一个面的正中有一个正方形孔贯通到对面，孔的边长为1cm，孔的各棱与正方体的棱要么平行，要么垂直．（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．18．（10分）（2013春•浦东新区校级期末）已知球O与球P在棱长为1正方体内外切，球O与球P至少与正方体的三个面相切，且正方体的中心在线段OP上．（1）求两球的半径之和；（2）求两球面积之和的最大值和最小值．19．（10分）（2013春•浦东新区校级期末）在高为1的直四棱柱ABCD﹣A'B'C'D'中，底面ABCD是等腰梯形，AB=BC=CD=1，AD=2．（1）求异面直线BC'与CD'所成的角；（2）求被截面ACD'所截的两部分几何体的体积比．20．（12分）（2013春•浦东新区校级期末）点A从坐标原点出发，每次等可能地或向右、或向左、或向上、或向下平移一个单位．经过4次平移后，点A的坐标是（x，y），此事件发生的概率是p（x，y）．（1）求p（4，0）和p（3，1）；（2）求p（2，0）和p（1，1）；（3）当点A的坐标是（x，y）时，随机变量ξ表示获得64（|x|+|y|）元的奖金，求ξ的数学期望．21．（12分）（2013春•浦东新区校级期末）在的展开式中，把，叫做三项式的n次系数列．（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列；（2）列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N），用三项式的n次系数表示（1≤k≤2n﹣1）；（3）用二项式系数表示．2012-2013学年上海市华师大二附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案一.填空题（每题3分，共36分）1．概率；2．距离和夹角；3．出现偶数点；4．8；5．33；6．；7．4；8．12；9．③； 10．；11．；12．（）a2；二.选择题（每题3分，，共12分）13．C； 14．B； 15．B； 16．C；三.解答题（共52分）17．；18．；19．；20．；21．；。
2019学年上海市高二下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)
在二项式」-的展开式中：
7
（1）若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大 的项；
（2）若所有项的二项式系数和等于4096，求展开式中系数最大的项.
21.（本题满分1 4分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分
8分.
已知圆I:I•
(1)求过点，.I的圆C的切线 的方程;
形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为<a href="/">.■-cm
的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升<a
href="http://www.7caiedu.c n/">「cm，贝U <a href="http://www.7caiedu.c n/">"-
6.设<a href=""> ■.分别是双曲线<a
rhref="">:— -—1的左、右焦点，若点<a
9
href="">p在双曲线上，且FF尸F二0，贝VPF、=
7.若五个人排成一排，则甲乙两人之间仅有一人的概率是
cm .
12.如图，匕…一 中，.厂一门丁二一；匸..二厂一:，在三角形内挖去半圆，圆心
在边AC上，半圆与BC AB相切于点C M,与AC交于点N,则图中阴影部分绕直线
AC旋转一周所得旋转体的体积为.
13.已知抛物线|，过定点二门作两条互相垂直的直线•，
与抛物线交于•.两点， 与抛物线交于••两点，设.的斜率为•若某
23.(本题满分1 8分) 本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分
上海华东师大附属中学高二数学文下学期期末试题含解析
上海华东师大附属中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知{a n}为递增的等差数列，且构成等比数列.若，数列的前n项和恒成立，则M的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：D设数列的公差为，由题意，则，（舍去），∴，，∴，易知是递增数列，且，∴，即的最小值为.故选D.2. 过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为（）A、4B、8C、12D、16参考答案：D3. 化简的结果是（）A. B. C.参考答案：B 4. 已知xy＞0，若+＞m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥﹣1或m≤﹣4 B．m≥4或m≤﹣1 C．﹣4＜m＜1 D．﹣1＜m＜4参考答案：C【考点】函数恒成立问题；基本不等式．【分析】，将不等式转化为m2+3m﹣4＜0，解不等式即可【解答】解：∵xy＞0，∴，当且仅当时，等号成立．的最小值为4．将不等式转化为m2+3m﹣4＜0解得：﹣4＜m＜1．故选：C．5. 设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（）A．相交B．相切C．相离D．以上答案均有可能参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M且到准线的距离是d．设P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．结合中位线的定义与抛物线的定义可得： ==半径，进而得到答案．【解答】解：不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，由抛物线的定义可得： ==半径．所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切．故选：B．6. 抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．B．（﹣1，0）C．D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线 x2=﹣2p y 的焦点坐标为（0，﹣），求出物线y=﹣2x2的焦点坐标．【解答】解：∵在抛物线y=﹣2x2，即 x2=﹣y，∴p=， =，∴焦点坐标是（0，﹣），故选 D．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x2=﹣2p y 的焦点坐标为（0，﹣）．7. 直线2x﹣y﹣3=0的倾斜角为θ，则tanθ=（）A．B．C．2 D．﹣2参考答案：C【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线的斜率公式计算即可，【解答】解：∵直线2x﹣y﹣3=0的倾斜角为θ，则tanθ，∴tanθ=k=2．故选：C8. 已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是 ( )A、合格产品少于9件B、合格产品多于9件C、合格产品正好是9件D、合格产品可能是9件参考答案：D9. 抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )．参考答案：D10. 已知数列的首项，且，则为（）A．7 B．15 C.30D．31参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知圆与圆相交，则实数的取值范围为_▲_．参考答案：12. 。
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
华东师大二附中2019届高二数学期中考试试卷一、填空题：1.设是平面外两条直线，且，那么是的________条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】判断由能否得到，再判断由能否得到【详解】证明充分性：若，结合，且在平面外，可得，是充分条件；证明必要性：若，结合，且是平面外，则可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件. 故填“充分不必要”【点睛】本题考查空间线面平行，线线平行之间的关系，充分条件和必要条件，属于简单题.2.已知直线及平面，下列命题中：①；②；③；④.所有正确命题的序号为________.【答案】④【解析】【分析】①直线还可能在面内，②直线与平面也可能平行, ③直线还可能在面内, ④正确.【详解】①直线与平面可能平行，也可能在面内，所以错误②直线与平面可能垂直，也可能平行，所以错误.③直线与平面可能平行，也可能在面内，所以错误.④可以得到直线与平面垂直，所以正确.【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，属于简单题.3.地球北纬圈上有两地分别在东经和处，若地球半径为，则两地的球面距离为________. 【答案】【解析】【分析】由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的弦长，以及球心角，然后求出球面距离．【详解】地球表面上从地（北纬，东经）到地（北纬，西经）两地都在北纬上，对应的的纬圆半径是,经度差是所以所以球心角是所以两地的球面距离是.【点睛】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．4.如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是________.【答案】【解析】【分析】根据图形很容易找到球的半径，再计算体积得到答案.【详解】球和立方体的每条棱都相切，则球的直径为立方体的面对角线长度，所以单位立方体的棱切球的半径为所以球的体积为【点睛】考查空间想象能力，球的体积计算，是基础题．5.若三棱锥的所有的顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为__________．【答案】【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，因为平面，所以，所以，所以截球所得的圆的半径，所以球的半径，所以球的表面积为.点睛：本题主要考查了有关球的组合体问题，其中解答中涉及到直线与平面垂直的性质，球的性质和球的表面公式等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握组合体的结构特征，正确应用球的性质是解答的关键.6.如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱，，则它的5个面中，互相垂直的面有__________对.【答案】5【解析】由勾股定理逆定理得P A⊥AD，P A⊥AB，∴P A⊥面ABCD，P A⊥CD，P A⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面PBC，平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面PCD.答案：5.7.下图由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成，将4个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为________.【答案】【解析】【分析】画出立体图形，通过底面对角线的一半，侧棱，以及高所构成的直角三角形，求出高，再求出四棱锥的体积. 【详解】根据平面图形可得四棱锥侧棱长度为2，底面正方形的边长为2，其对角线长度为，在底面对角线的一半，侧棱，以及高所构成的直角三角形，高的长度为所以四棱锥的体积为【点睛】本题考查平面图形与立体图形的关系，求四棱锥的体积，属于简单题.8.有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示，，则这块菜地的面积为________.【答案】【解析】【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长，即可求得图形的面积．【详解】在直观图中，，，，原来的平面图形上底长为，下底为，高为平面图形的面积为【点睛】本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．属于简单题. 9.四面体的6条棱所对应的6个二面角中，钝二面角最多有________个.【答案】3【解析】【分析】通过定性分析，对四面体取特殊情况可以得到钝二面角的个数【详解】将三棱锥的顶点，向下压到与底重合，侧面的3个二面角都是，将这个顶点稍稍提高一点点，离开底面，此时3个侧面的二面角都是钝角.【点睛】本题考查利用极限思想，通过定性分析来解决问题，属于简单题.10.如图1，平面中的角的内角平分线分面积所成的比，把这个结论类比到空间：在三棱锥（如图2）中，平面平分二面角且与相交于，则类比的结论是____________.【答案】【解析】二、选择题：11.当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A. 三点确定一平面B. 不共线三点确定一平面C. 两条相交直线确定一平面D. 两条平行直线确定一平面【答案】B【解析】【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.故选B项.【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.12.正方体被平面所截得的图形不可能是（）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形【答案】C【解析】【分析】平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形【详解】如图所示，平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，故选C项【点睛】本题考查正方形的截面图形，空间想象能力，属于基础题.13.如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是A.B.C. 三棱锥的体积为定值D.【答案】D【解析】可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误。