运筹学课件 第五章多目标规划

目标3 ：应尽可能利用现有设备，但不希望加班； 目标4 ：应尽可能达到并超过计划利润指标(56元)。
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
目标规划的目标函数是由各目标约束的正、负偏差变 量及相应的优先因子、权系数构成的，其中不含决策变量。 因为决策者的愿望总是尽可能缩小偏差，实现目标。故总 是将目标函数极小化，其基本形式有三种。
线性规划问题的局限性：
1. 要求问题的解必须满足全部约束条件，但实际问 题中并非所有约束都需严格满足；
2. 只能处理单目标的优化问题，因此线性规划模型 认为地将一些次要目标转为约束。而实际问题中，目标和 约束可以互相转化，处理时不一定严格区分；
3. 线性规划中各个约束条件都处于同等重要的地位， 但实际问题中，各目标的重要性是有差别的；
绝对约束是指必须严格满足的等式约束或不等式
约束；如线性规划问题的所有约束条件，不能满足这些条 件的解称为非可行解，所以绝对约束是硬约束。
目标约束是目标规划所特有的一种约束，它把要
追求的目标值作为右端常数项，在追求此目标值时允许发 生正偏差和负偏差。因此，目标约束是由决策变量，正、 负偏差变量和要追求的目标值组成的软约束。
目标约束不会不满足，但可能偏差过大。
假设问题中甲、乙两产品的产量分别为 x1 和 x2 。 绝对约束：问题中的目标 2，在原料供应受严格限制
的基础上考虑，可写成绝对约束为
2x1 x2 11
目标约束：问题中的目标 4 可写成目标约束为
8x1 10 x2 56 d1 d1
化为标准形式是： 8x1 10 x2 d1 d1 56
min
d
i
d
i
加入优先因子和权系数后，建立目标函数，其一般形 式为：
K
L
min z
pk
kl
dl
kl
d
l
k 1 l 1
前述问题的目标规划模型可以写为：
min z p1d1 p2
d
2
d
2
p3
d
3
2x1 x2 11，
x1
x2
d1
d1
0，
s.t.
x1
2x2
根据目标函数中的优先因子次序，首先考虑具有优先
因子 p1 的目标的实现。目标函数要求实现 min d1+，从图 中可见，可以满足d1+=0 ，这时，只能在三角形 OBC的区 域上取值；
对于第 i 个目标:
fi X
d
i
d
i
bi
(1) 若要求决策值超过目标值，则相应的负偏差变量
要尽可能地小，而对正偏差变量不加限制，目标函数的形
式为 ：
min
d
i
(2) 允许达不到目标值，就是相应的正偏差变量要尽 可能地小， 目标函数的形式为 ：
min
d
i
(3) 恰好达到目标，则相应的正、负偏差变量都要尽 可能地小， 目标函数的形式为 ：
4. 线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找 出满意解就可以了。
一、问题的提出
最佳生产计划问题 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品的有关 数据如下表所示。
工厂在作决策பைடு நூலகம்，要实现如下的目标： 目标1 ：根据市场信息，产品甲的销售量有下降的趋 势，故考虑产品甲的产量不大于产品乙；
目标2 ：超过计划供应的原料时，需要高价采购，使 成本增加，因而只采购计划供应的原料；
d
2
d
2
10，
8x1
10x2
d
3
d
3
56，
x1
, x2
,
d
i
,
d
i
0,i
1, 2,3。
目标规划的一般数学模型，见教材 135~136页。
§2．目标规划的图解分析法
对于只有两个决策变量的线性目标规划的数学模型， 可以用图解法来分析求解。传统的线性规划一般只是寻求 一个点，在这个点上得到单目标的最优值，目标规划一般 是寻求一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折 衷方案。
步骤1 建立直角坐标 系，令各偏差变量为0，作 出所有的约束直线 。满足 所有绝对约束条件的区域， 用阴影标出。
步骤2 作图表示差变量增减对约束直线的影响 在所有目标约束直线旁标上 d +， d - ，如图所示。这 表明目标约束直线可以沿d +， d - ，所示的方向平移。
步骤3 根据目标函数中的优先因子次序，逐步分析求 解。
第五章 多目标规划
§1．问题的提出与目标规划的数学模型 § 2．目标规划的图解分析法 § 3．用单纯形法求解目标规划 § 4．求解目标规划的层次算法 § 5．应用举例
§1．问题的提出与 目标规划的数学模型
线性规划、整数规划和后面将要学习的动态规划都是 解决单个目标函数在一组约束条件下的极值问题。但在许 多实际问题中，在一组约束条件下，往往要求实现多个目 标。例如，在企业安排生产问题中，既要利润高，又要消 耗低，还要考虑市场需求，等等。这些目标的重要性各不 相同，目标规划正是为了解决这类多目标规划问题而产生 的，它能把决策者的意愿反映到数学模型中去。