高考高中数学第81炼 排列组合——选择合适的数学模型 (1)

第81炼 排列组合——寻找合适的模型

在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题 一、典型例题：

例1：设集合A 由n 个元素构成，即{}12,,

,n A a a a =，则A 所有子集的个数为_______

思路：可将组成子集的过程视为A 中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，所以第一步从1a 开始，有两种选择，同样后面的23,,

,n a a a 都有两种选择，所以总数

2222n n N =??

?=个

个

答案：2n

例2：已知{}1,2,3,

,40S =，A S ?且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，

则这样的集合A 共有（ ）个

A. 460

B. 760

C. 380

D. 190

思路：设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ，则有2b a c =+，由此可得,a c 应该同奇同偶，而当,a c 同奇同偶时，则必存在中间项b ，所以问题转变为只需在140-中寻找同奇同偶数的情况。,a c 同为奇数的可能的情况为2

20C ，同为偶数的可能的情况为2

20C ，所以一共有

2202380C ?=种

答案：C

例3：设集合(){}{}{}

12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）

A. 60

B. 90

C. 120

D. 130

思路：因为0i x =或1i x =，所以若1234513x x x x x ≤++++≤，则在

()1,2,3,4,5i x i =中至少有一个1i x =，且不多于3个。所以可根据i x 中含0的个数进行分

类讨论。

① 五个数中有2个0，则另外3个从1,1-中取，共有方法数为23152N C =?

② 五个数中有3个0，则另外2个从1,1-中取，共有方法数为32

252N C =? ③ 五个数中有4个0，则另外1个从1,1-中取，共有方法数为4

352N C =? 所以共有23324

555222130N C C C =?+?+?=种

答案：D

例4：设集合{1,2,3,,10}A =，设A 的三元素子集中，三个元素的和分别为12,,,n a a a ，

求12n a a a ++

+的值

思路：A 的三元子集共有3

10C 个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。所以不妨换个思路，考虑将这些子集中的1,2,,10各自加在一起，

再进行汇总。则需要统计这3

10C 个子集中共含有多少个1,2,

,10。以1为例，含1的子集可视为集合中有元素1，剩下两个元

素从9个数中任取，不同的选取构成不同的含1的子集，共有2

9C 个，所以和为2

91C ?，同理，含2的集合有2

9C ，其和为2

92C ?……，含10的集合有2

9C 个，其和为2

910C ?所以

()2

12912101980n a a a C ++

+=+++=

答案：1980

例5：身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个子矮，则所有不同的排法种数是多少

思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且进行排列，即可完成任务。至于高矮问题，在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而

将问题转化为分组问题。则222

3

64233

3

90C C C N A A =?=（种） 答案：90

例6：四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有（ ）对异面直线

A. 450

B. 441

C. 432

D. 423

思路：首先要了解一个结论，就是在一个三棱锥中存在3对异面直线，而不共面的四个点便可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为

寻找这10个点中共面四点的情况。首先4个面上共面的情况共有4

6460C ?=，每条棱与对

棱中点共面情况共有6种，连结中点所成的中位线中有3对平行关系，所以共面，所以四点

共面的情况共有4646369C ++=种，所以四点不共面的情况有4

1069141C -=种，从而异

面直线的对数为1413423N =?=种 答案：D

小炼有话说：要熟悉异面直线问题的转化：即异面→三棱锥→四点不共面→四点共面，从而将所考虑的问题简单化

例7：设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?且1k A +?，那么称k 是集合A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，则S 的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ）

A. 6

B. 15

C. 20

D. 25

思路：首先要理解“k A ∈，则1k A -?且1k A +?”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用

插空法可得：3

620C =种

答案：C

例8：圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个 思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成，也就用去圆上4个点，而这四个点可以构成一个四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可

组成多少个四边形的问题，所以共有4

204845C =个

答案：4845个

例9：一个含有10项的数列{}n a 满足：11010,5,1,(1,2,,9)k k a a a a k +==-==，则符

合这样条件的数列{}n a 有（ ）个

A. 30

B. 35

C. 36

D. 40

思路：以11k k a a +-=为入手点可得：11k k a a +=±，即可视为在数轴上，k a 向左或向右移动一个单位即可得到1k a +，则问题转化为从10a =开始，点向左或向右移动，总共9次达到105a =，所以在这9步中，有且只有2步向左移动1个单位，7步向右移动1个单位。

所以不同的走法共有2

936C =种，即构成36种不同的数列

答案：36种

例10：方程10x y z w +++=的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？

思路：本题可将10理解为10个1相加，而,,,x y z w 相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个1，则这个变量的值就为多少。从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡

板法得：3

984C =种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，

所以考虑进行化归：()()()()10111114x y z w x y z w +++=?+++++++=，则

1,1,1,1x y z w ++++这四个盒子非空即可。所以使用挡板法得：3

13

286C =种 答案：正整数解有84种，非负整数解有286种 二、历年好题精选

1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ） A ．144种 B ．96种 C ．48种 D ．34种

2、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 （ ） A. 232 B. 252 C.472 D. 484

3、在1，2，3，4，5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有（ ）

A. 16个

B. 18个

C.19个

D.21个 4、把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ） A ．96 B ．240 C ．48 D ．40

5、某班组织文艺晚会，准备从,A B 等8个节目中选出4个节目演出，要求：,A B 两个节目至少有一个选中，且,A B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（ ）

A ．1860

B ．1320

C ．1140

D ．1020

6、某班一天中有6节课，上午3节课，下午3节课，要排出此班一天中语文、数学、英语、

物理、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，艺术课排在下午，不同排法种数为（ ）

A ．72

B ．216

C ．320

D ．720

7、用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（ ）

A ．48

B ．36

C ．28

D ．12

8、某宾馆安排A 、B 、C 、D 、E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A 、B 不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种

A ．24

B ．48

C ．96

D ．114 9、（2014重庆八中一月考，2）要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别分层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是

A ．2

53

9C C

B ．25310

C C C ．2

5310A A

D ．2

54

10C C

10、（2015，广东文），若集合：

(){}

,,,|04,04,04,,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈ ，

(){},,,|04,04,,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈，用()card X 表示集合X 中的

元素个数，则()()card E card F +=（ ）

A. 50

B. 100

C. 150

D. 200 11、（2014，浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种

12、（2014，安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )

A ．24对

B ．30对

C ．48对

D ．60对 13、（2014，重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )

A ．72

B ．120

C ．144

D ．168 14、（2014，广东）设集合(){}{}1

2

3

4

5

,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i

A x x x x x x i =

∈-=，那么集合A

中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）

A. 60

B. 90

C. 144

D. 168

15、（2016，哈尔滨六中上学期期末考试）高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为 ( )

A. 484

B. 472

C. 252

D. 232 16、集合{}1,2,3,

,20S =的4元子集{}1234,,,T a a a a =中，任意两个元素差的绝对值都

不为1，这样的4元子集T 的个数有_____个

习题答案： 1、答案：B

解析：,B C 相邻则考虑使用整体法，程序A 有要求所以先确定A 的位置，共有2种选法，

然后排剩下的元素44A ，再排,B C 间的顺序22A ，所以总数为42

42296N A A ==

2、答案：C

解析：考虑使用间接法，16张卡片任取3张共有3

16C 种，然后三张卡片同色则不符合要求，共有3

44C ?种，然后若红色卡片有2张则不符合要求，共有2

1

412C C 种，所以不同的取法种数

为：3321

1644124472N C C C C =--=

3、答案：A

解析：可按重复数字个数进行分类讨论，若没有重复数字，则数字只能是1,3,5或2,3,4，

三位数共有332A 个；若有两个重复数字，则数字为2,2,5和1,4,4，三位数有1

326C =个；若三个数字相同，则只有333，所以31

3322119N A C =++=

4、答案：A

解析：5张票分给4个人，则必有一人拿两张票，所以先确定哪个人有两张票，共1

4C 种选择，然后确定给哪两张连号的票，共4种情况，剩下的票分给3人即可。所以

13

43496N C A =?=

5、答案：C

解析：由题可知可分为两类：第一类,A B 只有一个选中，则还需从剩下6个里选出3个节

目，然后全排列，所以不同的演出顺序有134264C C A ；第二类，,A B 同时选中，则还需从剩下6个里选出2个，然后,A B 不相邻则进行插空，所以不同演出顺序有222623C A A 。综上1342222646231140N C C A C A A =+=

6、答案：B

解析：先排数学与艺术各有3种共9种，其余的4个科目全排列有44A 种，所以449216N A ==

7、答案：C

解析：根据题意，在0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，可以分3种情况讨论：

（1）0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整

体，与2、4全排列，有63

3=A 种情况；故0被奇数夹在中间时，有33212A =种情况；

（2）2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、2、3看成一个整

体，与0、4全排列，有63

3=A 种情况，其中0在首位的有2种情况，则有624-=种排法；

故2被奇数夹在中间时，有248?=种情况；

（3）4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况， 则这样的五位数共有12+8+8=28种. 8、答案：D

解析：由题可知，5个人住三个房间，每个房间至少住一人，则有（3,1,1）和（2,2,1）两

种，当为（3,1,1）时，有603335=?A C 种，A 、B 住同一房间有183313=?A C 种，

故有421860=-种，当为（2,2,1）时，有90332

2

2325=??A A C C 种，A 、B 住同一房间有18222313=??A C C 种，故有901872-=种，根据分类计数原理共有4272114+=种 9、答案：A

解析：由分层抽样可得男生需要4名，女生需要2名，甲男生担任队长，则还需要出3名男

生，所以32

95N C C =

10、答案：D

解析：分别统计,E F 中元素的个数，在E 中，,,p q r 可取的值由s 的值决定，当4s =时

,,p q r 分别可选0,1,2,3，

所以有3464=种，当3s =时；同理,,p q r 有3

327=种；当2s =时；同理,,p q r 有3

28=种；当1s =时；同理,,p q r 有1种，所以共计

()182764100card E =+++=；在F 中，可知,t u 一组，,v w 一组，按照E 的计算方

式可得,t u 和,v w 的选择各有10种，所以()1010100card F =?=。从而

()()200card E card F +=

11、答案：60

解析：可按获奖人数进行分类讨论，若有3人，则一人获得一张中奖的奖券，即3

1424N A ==，若2人，则1人获1个奖，1人获2个奖，2

24336N A =?=，所以共计60S =

12、答案：C

解析：正方体的对角线共有12条，其所成角大致分为0,60,90，可使用间接法，2个一

对共有2

1266C =种选法，其中成0的有6对，成90有12对，所以成60的共有

6612648--=对

13、答案：B

解析：不相邻则“插空”，可歌舞类节目搭架子，因为歌舞类节目也不能相邻，所以另外3个节目插空时有两种情况，一种情况为3个节目插3个空，则有2种插法，再安排完顺序，

合计：33

133272N A A =??=；另一种情况为相声与一个小品相邻，然后与另一个小品插两个空，则1223

2222348N C A A A =???=，则共计12120S N N =+=种

14、答案：D

解析：1234513x x x x x ≤++++≤可知在12345,,,,x x x x x 中，1i x =±的情况至少1个，最多3个，从而分1,2,3三种情况讨论即可，每种讨论都分为两步，第一步确定几个选

0，几个选1±；第二步确定选1±的是选1还是1-：12233

555222130N C C C =?+?+=

15、答案：B

解析：分两种情况讨论，当三班没人时，33

11243208N C C =-?=，当三班恰有一人时，12

2412264N C C ==，所以12472S N N =+=

16、答案：4

17C

解析：两个元素差绝对值不为一，说明T 中的四个元素两两不相邻，所以考虑插空法，剩下16个位置共17个空，选择四个孔即可，共有4

17C 个

一、光速解题——学会9种快速解题技法

技法1 特例法

在解答填空题时,可以取一个(或一些)特殊值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,失去了推理论证的演算过程,提高了解题速度.特例法是解答填空题时经常用到的一种

典例1(特殊数值)求值:cos2α+cos2(α+120°)+cos2(α+240°)=.

答案

解析题目中“求值”二字提供了这样的信息:答案为一定值,于是不妨令α=0°,则原式=cos20+cos2120°+cos2240°=1++=.

典例2(特殊点)点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC、AC的平行线交AC 于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2= .

答案1

解析不妨取点P,则S1=×(5-4)=,PD=2,PE=,所以

S2=×2×=,所以S1∶S2=1.

典例3(特殊函数)若函数y= f(x)对定义域D中的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使f(x1)·f(x2)=1成立,则称f(x)为“影子函数”,有下列三个命题:

①“影子函数” f(x)的值域可以是R;

②“影子函数” f(x)可以是奇函数;

③若y= f(x),y=g(x)都是“影子函数”,且定义域相同,则y= f(x)·g(x)是“影子函数”.

上述正确命题的序号是.

答案②

解析对于①:假设“影子函数”的值域为R,则存在x1,使得f(x1)=0,此时不存在x2,使得f(x1)·f(x2)=1,所以①错误;

对于②:函数f(x)=x(x≠0),对任意的x1∈(-∞,0)∪(0,+∞),取x2=,则f(x1)·f(x2)=1,因为函数f(x)=x(x≠0)为奇函数,所以“影子函数” f(x)可以是奇函数,②

对于③:函数f(x)=x(x>0),g(x)=(x>0)都是“影子函数”,但F(x)= f(x)·g(x)=1(x>0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0,+∞),存在无数多个x2∈(0,+∞),使得F(x1)·F(x2)=1),所以③错误.

典例4(特殊位置)(1)已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令=a,=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且=ma,=nb,则+= .

(2)如图,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q,且A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成上、下两部分,则上、下两部分的体积之比为.

答案(1)3 (2)2∶1

解析(1)由题意知结果必然是一个定值,故可利用特殊直线确定所求值.如图,令PQ∥BC,则=,=,此时,m=n=,故+=3.

(2)将P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此时仍满足条件A1P=BQ(=0),则有

==.

因此过P,Q,C三点的截面把棱柱分成了体积比为2∶1的上、下两部分.

典例5(特殊图形)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则= .

答案

解析不妨令△ABC为等边三角形,则cos A=cos C=,则=.

技法2 换元法

换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推理.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中再研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.

典例1(三角换元)已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围是.

答案[4,12]

解析已知x2+2xy+4y2=6,

即(x+y)2+(y)2=()2,

故设x+y=cos α,y=sin α,

即x=cos α-sin α,y=sin α.

则z=x2+4y2=6-2xy=6-2(cos α-sin α)·sin α

=8-4sin.

所以8-4≤z≤8+4,即z的取值范围是[4,12].

典例2(整体代换)函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的最小值是.

答案-1

解析设t=sin x-cos x=sin,

则sin xcos x=,

因为x∈[0,π],所以x-∈,

所以t∈[-1,],

所以y=t+=-(t-1)2+1,当t=-1时,y min=-1.

典例3(局部换元)设对一切实数x,不等式x2log2+2xlog2+log2>0恒成立,求a的取值范围.

解析设log2=t,则log2=log2=3+log2=3-log2=3-t,log2=2log2 =-2t,则原不等式化为(3-t)x2+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立,所以

解得所以t<0,即log2<0,所以

0<<1,解得0

技法3 数形结合法

数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用分为两种情形:一是代数问题几何化,借助形的直观性来阐明数之间的联系,即以形为手段,以数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是几何问题代数化,借助数的精确性阐明形的某些属性,即以数为手段,以形为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

典例1(平面向量问题)设a,b,c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为.

答案1-

解析由于(a-c)·(b-c)=-(a+b)·c+1,因此求(a-c)·(b-c)的最小值等价于求(a+b)·c的最大值,这个最大值只有当向量a+b与向量c同向共线时取得.由于a·b=0,故

a⊥b,如图所示,|a+b|=,|c|=1,当θ=0时,(a+b)·c取得最大值,故所求的最小值为1-.

典例2(函数问题)(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中最小的数,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.

(2)设函数g(x)=x2-2(x∈R),

f(x)=则f(x)的值域是.

答案(1)6 (2)∪(2,+∞)

解析(1)在同一平面直角坐标系中画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知f(x)=

∴f(x)的最大值在x=4时取得,为6.

(2)依题意知f(x)=

即f(x)=作出图象如下(加粗部分),由图象可知f(x)的值域是∪(2,+∞).

典例3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若

f(x)=则关于x的方程f(x)+a=0(0

答案1-2a

解析在平面直角坐标系中作出函数f(x)=以及y=-a的图象,由图象可知,关于x的方程f(x)+a=0(0

典例4(不等式问题)已知当动点P(x,y)满足时,不等式x2+y2+2y≥2a-1恒成立,则实数a的取值范围是.

答案

解析动点P(x,y)满足的约束条件为其可行域如阴影部分所示.x2+y2+2y=x2+(y+1)2-1,其中x2+(y+1)2表示点(x,y)到点(0,-1)的距离的平方,由图可知,点A(0,-1)到直线y=-x的距离的平方就是x2+(y+1)2的最小值,

由点到直线的距离的平方得x2+(y+1)2的最小值为=,

因此x2+y2+2y=x2+(y+1)2-1的最小值为-1=-,

所以由不等式恒成立的条件知2a-1≤-,解得a≤,故实数a的取值范围是.

典例5(解析几何问题)若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为10和6,则点M的横坐标为.

答案9或1

解析在图(1)中,MN=MF=10,MG=6,∴FG=8,故AF=2,则x M=OF+FG=9,∴M的横坐标为9.在图(2)中,GF=8,∴AF=10+8=18,∴OG=AG-OA=10-9=1,故M的横坐标为1.

技法4 待定系数法

待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为解

方程(组)的问题来解决.待定系数法主要用来解决所求解的数学问题中涉及某种确定的数学表达式的情况,例如求函数解析式、求曲线方程、求数列的通项公式等问题.

典例1(求函数解析式)(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2 f(x-1)=2x+17,求f(x).

(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).

解析(1)设f(x)=ax+b(a≠0),

则f(x+1)=ax+a+b, f(x-1)=ax-a+b,

∴3 f(x+1)-2 f(x-1)=ax+b+5a=2x+17,

∴解得∴f(x)=2x+7.

(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

由f(0)=0,知c=0,∴f(x)=ax2+bx.

∵f(x+1)= f(x)+x+1,

∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,

∴ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,

∴解得

∴f(x)=x2+x.

典例2(求曲线方程)(1)(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.

(2)已知椭圆C的焦点在x轴上,其离心率为,且过点A,则椭圆C的标准方程为.

答案(1)(x+1)2+(y-)2=1 (2)+y2=1

解析(1)由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,

因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,

所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,

所以OA=,即t=,

故圆C的方程为(x+1)2+(y-)2=1.

(2)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).

因为e==,所以=,即a=2b.

故椭圆C的方程为+=1.

又点A在椭圆C上,所以+=1,

解得b2=1.

所以椭圆C的标准方程为+y2=1.

典例3(求数列的通项公式)(2018江苏南京调研)已知数列{a n}中,a1=0,a n+1=2a n+n(n∈N*),求数列{a n}的通项公式.

解析已知a n+1=2a n+n,

设a n+1+A(n+1)+B=2(a n+An+B),

则a n+1+An+A+B=2a n+2An+2B,

即a n+1=2a n+An+B-A,

则?

∴a n+1+n+1+1=2(a n+n+1),

∴{a n+n+1}是首项为a1+1+1=2,公比为2的等比数列,

∴a n+n+1=2·2n-1=2n,

∴a n=2n-n-1(n∈N*).

技法5 构造法

构造法是指利用数学的基本思想,通过已知和所求之间的联系,构造出解题的数学模型,从而使问题得以解决.构造法需以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点采取相应的解决办法,其基本的方法是借用一类问题的性质来确定另一类问题的相关性质.常见的构造法有构造函数、构造图形、构造方程等.

典例1(构造函数)已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f '(x)满足f(x)< f '(x),则不等式f(x)≥ f(2 019)e x-2 019的解集是.

答案[2 019,+∞)

解析构造函数g(x)=,因为f(x)< f '(x),所以g'(x)=>0,所以

g(x)=在R上单调递增.不等式f(x)≥f(2 019)e x-2 019可转化为≥,即g(x)≥g(2 019),即x≥2 019,故原不等式的解集为[2 019,+∞).

典例2(构造图形)(2018江苏四校高三调研)已知a>1,b>2,则的最小值为.

答案6

解析构造图形(如图),在直角三角形中由勾股定理可得(a+b)2=(+)2+9,则=(+)+≥6,

当且仅当+=3时取等号,故的最小值为6.

典例3(构造方程)已知16cos C+4sin B+tan A=0,sin2B=4cos Ctan A,其中cos C≠0,

试确定的值.

解析令t=4,则由16cos C+4sin B+tan A=0得t2cos C+tsin B+tan A=0.(*)

因为cos C≠0,所以(*)式是关于t的一元二次方程.

易得Δ=sin2B-4cos Ctan A=0,

所以关于t的一元二次方程(*)有两个相等的实根,且t1=t2=4.

由根与系数的关系得:=t1·t2=42=16,故tan A≠0,

因此,=.

技法6 补集法

补集法就是在已知问题涉及的类别较多,或直接求解比较麻烦时,先求解该问题的对立事件,进而利用补集的思想求得问题结果的方法.该方法在概率、集合、函数等问题中应用较多.

典例1(概率问题)(2018江苏南通海安高级中学高三检测)分别在集合A={1,2,3,4}和集合B={5,6,7,8}中各取一个数相乘,则乘积为偶数的概率为.

答案

解析在集合A={1,2,3,4}和集合B={5,6,7,8}中各取一个数相乘,有16种结果,其中乘

积为奇数的有(1,5)、(1,7)、(3,5)、(3,7),共4种,则乘积为偶数的概率为1-=.

典例2(集合问题)已知集合A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0},且A∪B≠A,求实数a的取值范围.

解析∵集合A={x|x2-2x-8=0}={-2,4}.

若A∪B=A,则B?A,

①若B=A,则x=-2和x=4是方程x2+ax+a2-12=0的两个根,解得a=-2.