高考高中数学第81炼 排列组合——选择合适的数学模型 (1)
高考数学排列与组合知识点
高考数学排列与组合知识点在高考数学中，排列与组合是一个重要的知识点。
它涉及到集合中元素的选择和排列方式，充满了逻辑思维和计算技巧。
掌握好这个知识点对于高考数学的考试是至关重要的。
下面我将从几个重要方面介绍排列与组合的基础知识和解题技巧。
一、基本概念1. 排列：排列是指从给定的元素集合中选择一部分元素，按照一定的顺序排列起来。
如果从n个不同元素中选取m个元素进行排列，那么排列的数目用P(n, m)表示，其计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，"!"表示阶乘运算，即n! = n(n-1)(n-2)...1。
2. 组合：组合是指从给定的元素集合中选择一部分元素，不考虑顺序的方式。
如果从n个不同元素中选取m个元素进行组合，那么组合的数目用C(n, m)表示，其计算公式为：C(n, m) = n! / [(n-m)! * m!]二、排列与组合的性质和定理1. 重复排列：当元素中有重复的情况时，排列的计算公式需要进行相应的修正。
假设有n个元素中有r1个元素相同，r2个元素相同......ri个元素相同，排列的数目可以通过以下公式计算：P(n, m) = n! / (r1! * r2! * ... * ri! * (n-m)!)2. 求整数解的排列：当要求整数解的排列时，我们可以使用分别代表每个数位的元素进行排列的方法。
比如，要求x、y、z三个整数之和为10，且满足x>0，y>0，z>0，我们可以将它们看作是从[1, 10]的元素集合中选取的排列。
3. 禁忌排列：禁忌排列是指排列中出现某些特殊情况需要剔除的情况。
比如，要求三个不同字母A、B、C排列成3位数，且BC不得出现，那么我们可以通过计算总的排列数减去BC出现的排列数得到最终的结果。
三、解题技巧1. 确定问题类型：在解决排列与组合问题时，首先需要明确题目中给出的要求是排列还是组合。
排列要考虑元素顺序，组合则不考虑。
2024年高考数学专项排列组合专题16 分解法模型和最短路径问题(解析版)
专题16分解法模型和最短路径问题类型1：分解模型例1．对33000分解质因数得=⨯⨯⨯333300023511，则33000的正偶数因数的个数是（）A．48B．72C．64D．96例2．5400的正约数有（）个A．48B．46C．36D．38例3.30030能被多少个不同的偶数整除类型2：最短路径问题例1．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6B．8C．10D．12例2．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）2024年高考数学专项排列组合专题16 分解法模型和最短路径问题（解析版）A．10B．13C．15D．25例3．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有()A．6条B．7条C．8条D．9条例4．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）A．14B．15C．16D．17例5．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A．72B．56C．48D．40例6．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i i，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又(1,2,,6)=⋅⋅⋅回到点A处的所有不同走法共有（）A．21种B．24种C．25种D．27种例7．如下图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为________.例8．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对.（用数字作答）例9．如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答）例10．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有____种.例11．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_____种．例12．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有____种．例13．某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从A点到B点的最短路径的走法有___种．例14．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为()A．516B．532C．16D．以上都不对例15．如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有45种不同的走法．例16．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的走法．例17．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为516．例18．在⨯n n的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格．设()f n表示从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图，给出了=3f n．n时的一条路径．则f（3）=9；=()例19．某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？专题16分解法模型和最短路径问题类型1：分解模型例1．对33000分解质因数得=⨯⨯⨯333300023511，则33000的正偶数因数的个数是（）A ．48B ．72C ．64D ．96【解析】33000的因数由若干个2（共有32102,2,2,2四种情况），若干个3（共有03,3两种情况），若干个5（共有32105,5,5,5四种情况），若干个11（共有1011,11两种情况），由分步计数乘法原理可得33000的因数共有⨯⨯⨯=424264，不含2的共有⨯⨯=24216，∴正偶数因数的个数有-=641648个，即33000的正偶数因数的个数是48，故选A.例2．5400的正约数有（）个A ．48B ．46C ．36D ．38【解析】=⨯⨯3325400235，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为+⨯+⨯+=(31)(31)(21)48．故选：A ．例3.30030能被多少个不同的偶数整除【解析】先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5×7×11×13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：++++=012345555555+32C C C C C C .类型2：最短路径问题例1．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6B．8C．10D．12【解析】如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选：B．例2．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）A．10B．13C．15D．25【解析】因为只能向东或向北两个方向向北走的路有5条，向东走的路有3条走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果根据分步计数原理知共有⨯=3515种结果，选C例3．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有()A．6条B．7条C．8条D．9条【解析】共有3个顶点与A点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达B点，所以，蚂蚁从A沿着长方体的棱以规定的方向行走至B，不同的行走路线有：⨯=326（条），故选A.例4．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）A．14B．15C．16D．17【解析】要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来，这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算方法：A至B、C、D的路数记在B、C、D的圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在圈内，最后F、E、G各路数之和，即得到至H的总路数，如下图所示，易得到17条路线，故选D．例5．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A．72B．56C．48D．40【解析】由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有63472（种）⨯⨯=例6．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i i，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又(1,2,,6)=⋅⋅⋅回到点A处的所有不同走法共有（）A．21种B．24种C．25种D．27种【解析】由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出=336A种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．根据分类计数原理知共有+=24125种结果，故选：C．例7．如下图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为________.【解析】如下图所示从点A到C,D,E,F,G的路径都只有1条从点A到点H的路径有2条，分别为→→A F HA C H,→→从点A到点O的路径有3条，分别为从A经过H到点O有2条和→→→A F G O从点A到点M的路径有3条，分别是从点A经过点H到点M有2条和→→→A C D M从点A到点P的路径有6条，分别是从点A经过点O到点P的3条和从点A经过点M到点P的3条从点A到点N的路径有4条，分别是从点A经过点M到点N的3条和从点A经过点E到点N的1条从点A到点Q的路径有10条，分别是从点A经过点P到点Q的6条和从点A经过点N到点Q的4条从点A到点R的路径有6条，就是从点A经过点P到点R的6条所以从点A到点B的路径有16条，分别是从点A经过点R到点B的6条和从点A经过点Q到点B的10条所以到达B点的路径的条数为16条故答案为：16例8．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对.（用数字作答）【解析】甲从A 到B ，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A 到B 共有48C 种走法，乙从C 到D ，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A 到B 共有48C 种走法，根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径⋅4488C C 对，甲从A 到D ，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从A 到D 共有410C 种走法,乙从C 到B ，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从C 到B 共有26C 种走法,所以相交路径共有⋅42106C C 对，因此不同的孤立路一共有⋅-⋅=⨯-⨯=4442881067070210151750C C C C 对.故答案为：1750例9．如图所示线路图，机器人从A 地经B 地走到C 地，最近的走法共有________种.（用数字作答）【解析】A 到B 共2种走法，从B 到C 共25C 种不同走法，由分步乘法原理，知从A 地经B 地走到C 地，最近的走法共有=25220C 种.故答案为：20例10．如图所示，机器人明明从A 地移到B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从A 移到B 最近的走法共有____种.【解析】-A C 有22A 种方法；-C B 有36C 种方法；-D B 有22A 种方法；共有=23226280A C A 例11．如图所示，机器人明明从A 地移到B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从A 移到B 最近的走法共有_____种．【解析】分步计算，第一步→A C 最近走法有2种；第二步→C D 最近走法有=3620C 种；第三步→D B 最近走法有2种，故由→A B 最近走法有⨯⨯=220280种．故答案为：80．例12．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A 地移动到B 地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A 移动到B 最近的走法共有____种．【解析】分三步来考查：①从A到C，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有12C种走法；②从C到D，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有36C种走法；③从D到B，由①可知有12C种走法.由分步乘法计数原理可知，共有=13126280C C C种不同的走法.故答案为：80.例13．某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从A点到B点的最短路径的走法有___种．【解析】根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动；从A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，有=2510C种情况，但图中有空格，故是方法数为-=1037中故答案为：7.例14．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为()A．516B．532C．16D．以上都不对【解析】我们把从A到3的路线图单独画出来：分析可得，从A 到3总共有=2510C 种走法，每一种走法的概率都是12，∴珠子从出口3出来是=25515()216C ．故选：A ．例15．如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A 处走到B 处，使所走的路程最短，最多可以有45种不同的走法．【解析】由题意知本题有两种途径是最短的路程，①→→A CF B 其中→A C 有5法．→F B 有1法，共有⨯=515法．②→→A DE B ，从A 到D ，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，故有=2510C 种，从E 到B ，最短的路程需要向下走3次，向右走1次，即从4次中任取3次向下，剩下1次向右，故有=344C 种，∴从→→A DE B 共有⨯=10440法，∴从A 到B 的短程线总共+=54045种走法．故答案为：45．例16．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A 处走到B 处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的走法．【解析】由题意知本题有两种大途径是最短的路程，Q ①→→A CD B 其中→A C 有5法．→D B 有1法，共有⨯=515法．②→→A EF B 其中→A E 有10种方法，→F B 有3法，共有⨯=10330法，∴从A 到B 的短程线总共+=53035种走法．故答案为：35．例17．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为516．【解析】我们把从顶点A 到3的路线图单独画出来：分析可得，从顶点A 到3总共有=2510C 种走法，每一种走法的概率都是12，∴珠子从出口3出来是=25515()216C ．例18．在⨯n n 的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格．设()f n 表示从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图，给出了=3n 时的一条路径．则f （3）=9；=()f n ．【解析】由给出的⨯33方格看出，要从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置，需要先从第一行跳到第二行，共有3种跳法，跳到第二行的每一个方格内要完成到达右上角“☆”位置，又可以看作从该方格有几种到达第三行的方法，所以该题只需思考向上走就行了，从第一行到第二行有3种跳法，从第二行到第三行也有3种跳法，故f （3）==239．由此可推得⨯n n 的方格中从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置的方法种数是-1n 个n 的乘积．即-=1()n f n n ．故答案分别为9；-1n n ．例19．某城市由n 条东西方向的街道和m 条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A 处走到B 处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A 到B 需要走+-(2)n m 段，而这些段中，必须有东西方向的-(1)n 段，其余的为南北方向的-(1)m 段，∴共有--+-+-=1122m n m n m n C C 种走法．。
高三数学排列组合20种解题方法汇总（含例题及解析）
高三数学排列组合20种解题方法汇总（含例题及解析）
排列组合是高考必考内容，但却是学生心目中难题，有的学生很难理解，现特附上数学排列组合20种解题方法汇总文档，里面交待了常见的排列组合研究方法，并给以习题练习，希望对于广大考生有帮助。
高三排列组合知识点大全
高三排列组合知识点大全排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到对对象进行选择、安排和组合的方式。
在高三数学学习中，排列组合是一个重要的知识点，既存在于基础知识的学习中，也存在于解决实际问题的应用中。
在本文中，将介绍高三排列组合知识点的大全，帮助同学们更好地掌握这一内容。
一、排列与组合的基本概念排列是指从若干不同元素中按照一定的顺序选择出一部分元素进行排列。
比如从数字1、2、3中选择两个数字进行排列，有(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)和(3,2)共6种排列方式。
组合是指从若干不同元素中无顺序地选择出一部分元素进行组合。
比如从数字1、2、3中选择两个数字进行组合，有(1,2)、(1,3)和(2,3)共3种组合方式。
二、排列与组合的计算公式1. 排列的计算公式排列的计算公式为：A(n,m) = n!/(n-m)!，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 组合的计算公式组合的计算公式为：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
三、排列与组合的性质和应用1. 唯一性在排列和组合中，每个元素只能被选择一次，保证了每种排列和组合的唯一性。
这个性质在实际问题中很重要，可以避免重复计算或重复选择。
2. 应用于实际问题排列组合在实际问题中有广泛的应用。
比如在概率中，排列与组合可以求解事件发生的可能性；在密码学中，排列与组合可以用于计算密码的强度；在组织活动中，排列与组合可以用于计算可能的活动安排等。
四、高阶排列组合问题除了基本的排列组合问题之外，高三数学中还会涉及到一些高阶的排列组合问题。
下面将介绍一些常见的高阶排列组合问题。
1. 重复元素的排列组合当有重复的元素存在时，排列与组合的计算公式需要进行相应的调整。
比如从数字1、1、2、3中选择两个数字进行排列，存在重复元素1，这时排列的总数为4!/2! = 12种。
高中数学排列组合3篇
高中数学排列组合第一篇：排列组合的基础排列组合是高中数学中非常重要的一部分，它是研究对象的排列组合方式的数学分支。
在实际生活和工作中，常常需要用到排列组合的知识，因此，掌握排列组合的基本概念和问题的解法具有重要的意义。
一、排列排列是对一组不同的对象进行有序安排的方式。
设有n 个不同的对象，从中取出m个不同的对象进行排列。
根据排列定义可知，首先有n种选择，选定第一个对象后再从剩下的n-1个对象中选定第二个对象，接着从剩下的n-2个对象中选定第三个对象，以此类推，直到选定第m个对象，于是，选取m个对象的所有排列数为Pm^n，即Pm^n=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)。
如果从n个不同的对象中选取n个进行排列，那么所有的排列就是n个对象的全排列，其个数为n!，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1。
二、组合组合是对一组不同的对象进行无序选择的方式。
设有n 个不同的对象，从中取出m个对象进行组合。
从 n 个对象中选取 m 个对象进行组合的所有方案数为：Cm^n。
可以用排列数来计算组合数，根据排列数的定义，设A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，在这些对象中，每个由m个元素组成的排列，可以对应到一个由m个等同元素组成的无序组合，既有m!个排列与同一组合对应，因此有：Cm^n=1/m!×n(n-1)(n-2)…(n-m+1),Cm^n也常用记号表示为nCm，即nCm=1/m!×n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。
三、问题的应用1．求解排列组合问题可以利用以上公式进行计算，但最重要的是要掌握排列组合的概念及其本质区别，了解问题的实际背景，并进行相应的数学模型构建。
在实际生活和工作中，有很多涉及排列组合的问题，如：从一个班级里面选出一些人组成A、B、C三个小组，有多少种选法？从26个字母中取出4个字母，有多少种不同的排列方式？等等。
人教B版高中数学选择性必修二精品课件 第3章 排列、组合与二项式定理 排列组合中常见的模型及求解策略
探究点二 “隔板法”的应用
【例2】 将7个相同的小球放入4个不同的盒子中,不出现空盒的放入方式 共有 20 种.
解析 将7个相同的小球排成一排,在中间形成的6个空格中插入无区别的3 个“隔板”将球分成4份,每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式,则 不同的放入方能力素养速提升
探究点一 相邻、不相邻及定序问题
【例1】 7名师生站成一排照相留念,其中老师1名、男同学4名、女同学2 名,在下列情况下,各有多少种不同的站法? (1)2名女同学必须相邻而站; (2)4名男同学互不相邻; (3)若4名男同学身高都不相等,按从高到低或从低到高的顺序站; (4)老师不站正中间,女同学不站两端.
一端站男同学,有A12A14A55种站法;②两端全由男同学站,老师站除两端和正中 间外的 4 个位置之一,有A24A14A44种站法,所以共有A12A14A55 + A24A14A44=2 112
种不同的站法.
变式训练1在某场文艺汇演中,已知某学校的初中、高一、高二分别选送 了7,5,3个节目.现回答以下问题(用排列数表示,不需要合并化简): (1)若初中的节目彼此都不相邻,则共有多少种出场顺序? (2)由于一些特殊原因,高一的5个节目(分别为A1,A2,A3,A4,A5)中的A1必须在 其余4个节目前面演出,高二的3个节目(分别为B1,B2,B3)中的B1必须在其余 2个节目前面演出,则共有多少种出场顺序?
解 (1)先对高一、高二的节目进行全排列,有A88种不同的排法,再在高一、高 二的 8 个节目形成的 9 个空隙中选 7 个排初中的 7 个节目,有A79种排法, 由分步乘法计数原理可得,共有A88A79种不同的出场顺序. (2)高一的 5 个节目全排列,有A55种不同的排法,其中 A1 在其余 4 个节目前面, 有A44种排法. 高二的 3 个节目全排列有A33种不同的排法,其中 B1在其余 2 个节目前面,有A22 种排法.
高中数学：排列组合所有题型归纳
高中数学：排列组合所有题型归纳
排列组合现在属于高中数学的选修内容，但是在高考中还是必考的一个知识点，排列组合的题型不多，高考中属于中档题型，掌握了这几种方法，其他的基本也就会了，不出左右。
课本知识点回顾：
1、分类计数原理（加法原理）
2、分步计数原理（乘法原理）
3、分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
题型：
1、特殊元素和特殊位置优先策略
2、相邻元素捆绑策略
3、不相邻问题插空策略
4、定序问题倍缩空位插入策略
5、重排问题求幂策略
6、环排问题线排策略
7、多排问题直排策略
8、排列组合混合问题先选后排策略
9、小集团问题先整体后局部策略
10、元素相同问题隔板策略
11、正难则反总体淘汰策略
12、平均分组问题除法策略
13、合理分类与分步策略
14、构造模型策略
15、实际操作穷举策略
16、分解与合成策略
17、化归策略
18、数字排序问题查字典策略
19、树图策略
20、复杂分类问题表格策略
21、住店法策略。
高中数学排列组合的方法与例题分析
高中数学排列组合的方法与例题分析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和方法，它涉及到许多实际问题的解决。
本文将介绍排列组合的基本概念、计算方法以及一些常见的例题分析，帮助读者更好地理解和应用排列组合。
一、排列组合的基本概念排列和组合是两个不同的概念，它们在解决问题时有着不同的应用场景。
排列是指从一组元素中取出若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
当元素个数为n，取出的元素个数为m时，排列的计算公式为A(n,m) = n!/(n-m)!。
其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
组合是指从一组元素中取出若干个元素，不考虑其顺序的方式。
当元素个数为n，取出的元素个数为m时，组合的计算公式为C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)。
二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法：a) 当元素个数n与取出的元素个数m相等时，即n=m时，排列数为n!。
b) 当元素个数n大于取出的元素个数m时，排列数为A(n,m)。
c) 当元素个数n小于取出的元素个数m时，排列数为0，因为无法满足条件。
2. 组合的计算方法：a) 当元素个数n与取出的元素个数m相等时，即n=m时，组合数为1。
b) 当元素个数n大于取出的元素个数m时，组合数为C(n,m)。
c) 当元素个数n小于取出的元素个数m时，组合数为0，因为无法满足条件。
三、例题分析1. 例题一：从10个人中选出3个人组成一支篮球队，问有多少种不同的组队方式？解析：根据题目可以知道，这是一个组合问题，因为不考虑选出的顺序。
根据组合的计算公式，可以得到C(10,3) = 10!/(3!*(10-3)!) = 120 种不同的组队方式。
2. 例题二：某班有10个学生，要从中选出3个学生参加数学竞赛，问有多少种不同的选取方式？解析：根据题目可以知道，这是一个排列问题，因为考虑选出的顺序。
根据排列的计算公式，可以得到A(10,3) = 10!/(10-3)! = 720 种不同的选取方式。
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高中数学 1 第81炼 排列组合——寻找合适的模型 在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题 一、典型例题： 例1：设集合A由n个元素构成，即12,,,nAaaa，则A所有子集的个数为_______ 思路：可将组成子集的过程视为A中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，所以第一步从1a开始，有两种选择，同样后面的23,,,naaa都有两种选择，所以总数2222nnN个个
答案：2n 例2：已知1,2,3,,40S，AS且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列，则这样的集合A共有（ ）个 A. 460 B. 760 C. 380 D. 190 思路：设A中构成等差数列的元素为,,abc，则有2bac，由此可得,ac应该同奇同偶，而当,ac同奇同偶时，则必存在中间项b，所以问题转变为只需在140中寻找同奇同偶数的情况。,ac同为奇数的可能的情况为220C，同为偶数的可能的情况为220C，所以一共有2202380C
种
答案：C 例3：设集合12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAxxxxxxi，那么集合A中满足条件“1234513xxxxx”的元素个数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 130 思路：因为0ix或1ix，所以若1234513xxxxx，则在1,2,3,4,5ixi中至少有一个1ix，且不多于3个。所以可根据ix中含0的个数进行分
类讨论。 ① 五个数中有2个0，则另外3个从1,1中取，共有方法数为23152NC 高中数学 2 ② 五个数中有3个0，则另外2个从1,1中取，共有方法数为32252NC ③ 五个数中有4个0，则另外1个从1,1中取，共有方法数为4352NC 所以共有23324555222130NCCC种 答案：D 例4：设集合{1,2,3,,10}A，设A的三元素子集中，三个元素的和分别为12,,,naaa，求12naaa的值 思路：A的三元子集共有310C个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。所以不妨换个思路，考虑将这些子集中的1,2,,10各自加在一起，再进行汇总。则需要统计这310C个子集中共含有多少个1,2,,10。以1为例，含1的子集可视为集合中有元素1，剩下两个元素从9个数中任取，不同的选取构成不同的含1的子集，共有29C个，所以和为291C，同理，含2的集合有29C，其和为292C……，含10的集合有29C个，其和为2910C所以2
12912101980naaaC
答案：1980 例5：身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个子矮，则所有不同的排法种数是多少 思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且进行排列，即可完成任务。至于高矮问题，在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而
将问题转化为分组问题。则222364233390CCCNAA（种） 答案：90 例6：四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有（ ）对异面直线 A. 450 B. 441 C. 432 D. 423 思路：首先要了解一个结论，就是在一个三棱锥中存在3对异面直线，而不共面的四个点便可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为寻找这10个点中共面四点的情况。首先4个面上共面的情况共有46460C，每条棱与对高中数学 3 棱中点共面情况共有6种，连结中点所成的中位线中有3对平行关系，所以共面，所以四点共面的情况共有4646369C种，所以四点不共面的情况有41069141C种，从而异面直线的对数为1413423N种 答案：D 小炼有话说：要熟悉异面直线问题的转化：即异面→三棱锥→四点不共面→四点共面，从而将所考虑的问题简单化 例7：设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果1kA且1kA，那么称k是集合A的一个“孤立元”，给定1,2,3,4,5,6,7,8S，则S的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ） A. 6 B. 15 C. 20 D. 25 思路：首先要理解“kA，则1kA且1kA”，意味着“独立元”不含相邻的数，元素均为独立元，则说明3个元素彼此不相邻，从而将问题转化为不相邻取元素问题，利用插空法可得：3620C种 答案：C 例8：圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个 思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成，也就用去圆上4个点，而这四个点可以构成一个四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可组成多少个四边形的问题，所以共有4204845C个 答案：4845个 例9：一个含有10项的数列na满足：11010,5,1,(1,2,,9)kkaaaak，则符合这样条件的数列na有（ ）个 A. 30 B. 35 C. 36 D. 40 思路：以11kkaa为入手点可得：11kkaa，即可视为在数轴上，ka向左或向右移动一个单位即可得到1ka，则问题转化为从10a开始，点向左或向右移动，总共9次达到105a，所以在这9步中，有且只有2步向左移动1个单位，7步向右移动1个单位。高中数学 4 所以不同的走法共有2936C种，即构成36种不同的数列 答案：36种 例10：方程10xyzw的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？ 思路：本题可将10理解为10个1相加，而,,,xyzw相当于四个盒子，每个盒子里装入了多少个1，则这个变量的值就为多少。从而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得：3984C种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归：10111114xyzwxyzw，则1,1,1,1xyzw这四个盒子非空即可。所以使用挡板法得：313286C种
答案：正整数解有84种，非负整数解有286种 二、历年好题精选 1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ） A．144种 B．96种 C．48种 D．34种 2、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 （ ） A. 232 B. 252 C.472 D. 484 3、在1，2，3，4，5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有（ ） A. 16个 B. 18个 C.19个 D.21个 4、把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ） A．96 B．240 C．48 D．40 5、某班组织文艺晚会，准备从,AB等8个节目中选出4个节目演出，要求：,AB两个节目至少有一个选中，且,AB同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（ ） A．1860 B．1320 C．1140 D．1020 6、某班一天中有6节课，上午3节课，下午3节课，要排出此班一天中语文、数学、英语、高中数学 5 物理、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，艺术课排在下午，不同排法种数为（ ） A．72 B．216 C．320 D．720 7、用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（ ） A．48 B．36 C．28 D．12 8、某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种 A．24 B ．48 C．96 D．114 9、（2014重庆八中一月考，2）要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别分层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是 A．2539CC B．25310CC C．25310AA D．25410CC 10、（2015，广东文），若集合： ,,,|04,04,04,,,,EpqrspsqsrspqrsN ，
,,,|04,04,,,,FtuvwtuvwtuvwN，用cardX表示集合X中的
元素个数，则cardEcardF（ ） A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 11、（2014，浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种 12、（2014，安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A．24对 B．30对 C．48对 D．60对 13、（2014，重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) A．72 B．120 C．144 D．168
14、（2014，广东）设集合12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAxxxxxxi，那么集合A中满足条件“1234513xxxxx”的元素个数为（ ） A. 60 B. 90 C. 144 D. 168