三角形中考压轴题(带答案).doc

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中考专题 ------- 三角形

一．选择题（共 3 小题）

1 ．如图，点 E 在正方形ABCD 的对角线 AC 上，且 EC=2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF、 EG 分别

交 BC、 DC 于点 M 、 N ．若正方形ABCD 的边长为 a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（）

A．a2B．a2C．a2 D ．a 2

考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

专题：几何图形问题；压轴题．

分析：过 E 作 EP⊥ BC于点 P， EQ⊥ CD于点 Q ，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE 的面积求解．

解答：解：过 E 作 EP⊥ BC于点 P， EQ⊥ CD于点 Q ，

∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠BCD=90 °，

又∵∠EPM=∠ EQN=90 °，∴∠PEQ=90 °，∴∠PEM+∠ MEQ=90 °，

∵三角形 FEG 是直角三角形，∴∠NEF= ∠ NEQ+∠ MEQ=90 °，∴∠PEM=∠ NEQ，

∵AC是∠ BCD的角平分线，∠EPC= ∠ EQC=90 °，∴ EP=EQ ，PCQE四边形是正方形，

在△EPM和△EQN中，∴△EPM≌△EQNASA（）∴S△EQN=S △EPM，

∴四边形 EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积

∵正方形 ABCD 的边长为 a ，∴AC= a，∵EC=2AE ，∴EC= a，

∴ EP=PC= a ，∴正方形 PCQE 的面积 = a × a= a 2

，∴四边形 EMCN 的面积 = a 2，故选： D ．

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点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出

△ EPM≌△EQN．

2 ．如图∠A= ∠ ABC= ∠ C=45E°、，F 分别是 AB 、 BC 的中点，则下列结论，①EF ⊥ BD，②BDEF=，

③∠ADC= ∠ BEF+ ∠ BFE ，④AD=DC ，其中正确的是（）

A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④

考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．

专题：压轴题．

分析：根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解．

解答：解：如下图所示：连接AC ，延长 BD 交 AC 于点 M ，延长 AD 交 BC 于 Q ，延长 CD 交 AB 于 P．∵∠ABC= ∠ C=45 °∴CP⊥ AB∵∠ABC= ∠ A=45 °∴AQ⊥ BC

点 D 为两条高的交点，所以BM 为 AC 边上的高，即：BM⊥ AC．

由中位线定理可得EF ∥AC， EF= AC∴ BD⊥ EF ，故①正确．

∵∠DBQ+∠ DCA=45 °，∠DCA+ ∠ CAQ=45 °，∴∠DBQ=∠ CAQ，∵∠A= ∠ ABC，∴AQ=BQ，∵∠BQD=∠ AQC=90 °，∴根据以上条件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC，故∴②正EF=确．

∵∠A= ∠ ABC= ∠ C=45 °∴∠DAC+ ∠ DCA=180 °﹣（∠A+ ∠ ABC+ ∠ C） =45 °

∴∠ADC=180 °﹣（∠DAC+ ∠ DCA） =135 ° =∠ BEF+ ∠ BFE=180°﹣∠ABC

故③∠ADC= ∠ BEF+ ∠ BFE成立；无法证明AD=CD ，故④错误．故选B．

点评：本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．

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3 ．四边形ABCD 中， AC 和 BD 交于点 E，若 AC 平分∠DAB，且AB=AE ， AC=AD ，有以下四个命题：

① AC⊥ BD；②BC=DE ；③∠DBC=∠ DAB；④AB=BE=AE ．其中命题一定成立的是（）

A．①②B．②③C．①③D．②④

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

专题：压轴题．

分析：根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各选项是否正确即可．

解答：解：∵AB=AE ，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，∴不垂直于BDAC，①错误；

利用边角边定理可证得△ADE≌△A BC，=DE那么，②正确；

由△ADE≌△ABC可得∠ADE= ∠ ACB，那么A，B， C， D 四点共圆，∴∠DBC= ∠ DAC=∠DAB，③

正确；△ABE不一定是等边三角形，那么④不一定正确；②③正确，故选B．

点评：此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；等边三角形的三边相等．

二．填空题（共 6 小题）

4．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，如此继续下去，结果如下表，则a n = 3n+1（用含n的代数式表示）．

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所剪次数 1 2 3 4 n

正三角形个数 4 7 10 13 a n

考点：等边三角形的性质．

专题：压轴题；规律型．

分析：根据图跟表我们可以看出n 代表所剪次数， a n代表小正三角形的个数，也可以根据图形找出规律加以求解．

解答：解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个数3n+1 ．故答案为： 3n+1 ．

点评：此题主要考验学生的逻辑思维能力以及应变能力．

5 ．如图，在△ABC中， AC=BC ＞ AB ，点 P 为△ ABC所在平面内一点，且

点P 与△ ABC的任意两个顶点构

成△ PAB ，△PBC，△ 均PAC是等腰三角形，则满足上述条件的所有

点P 的个数为 6 个．

考点：等腰三角形的判定与性质．

专题：压轴题．

分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB 的垂直平分线，首先△的ABC外心满足，再根据圆的半径相等，以点 C 为圆心，以AC 长为半径画圆，AB 的垂直平分线相交于两点，分别以点 A 、B 为圆心，以AC 长为半径画圆，与AB 的垂直平分线相交于一点，再分别以点 A 、B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可得解．

解答：解：如图所示，作AB 的垂直平分线，①△的ABC外心P1为满足条件的一个点，

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③分别以点 A 、 B 为圆心，以AC 长为半径画圆，P4为满足条件的点，

④分别以点 A 、 B 为圆心，以AB 长为半径画圆，P5、 P6为满足条件的点，

综上所述，满足条件的所有点P 的个数为 6．

故答案为： 6 ．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观．

6 ．如图，△ABC是边长为 1 的等边三角形，取BC 的中点 E，作 ED∥ AB， EF ∥ AC，得到四边形EDAF ，

它的面积记为S1，取 BE 的中点 E1，作 E1 D 1∥ FB ，E1 F1∥ EF ．得到四边形 E1D 1 FF1，它的面积记作S2，

照此规律，则S2012 =．

考点：等边三角形的性质；三角形中位线定理．

专题：压轴题；规律型．

可编辑

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==，求出S△CDE=×，S△BEF=×，求出S1=×，

同理

S2=×S△BEF=× ×，S3=× × ×S4=× × × ×，推出S2012=× × × × ×

（ 2011 个），即可得出答案．

解答：解：∵BC的中点 E， ED∥ AB，∴E为 BC 中点，∴DE=AB ，

∵ DE∥ AB，∴△CDE∽△CAB，∴== （）2 =，

∵△ABC的面积是× 1×=∴S△CDE=×，

推理=，∴S△BEF=×∴S1=﹣×﹣×=×，

同理 S2=×S△BEF=× ×，S3=× × ×S4=× × × ×，，

S2012 =× × × × ×（2011个），==，故答案为：．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是总结出规律，题目比较好，但是有一定的难度．

7 ．如图，在正方形ABCD 中，点 E， F 分别在边BC，CD 上，如果AE=4 ， EF=3 ， AF=5 ，那么正方形

ABCDn的面积等于．

考点：勾股定理的逆定理；解分式方程；相似三角形的判定与性质．

专题：压轴题．

分析：根据△ABE ∽△ECF ，AB可将与 BE 之间的关系式表示出来，在Rt △ ABE中，根据勾股定理

AB 2

+BE

2

=AC

2

，可将正方形ABCD 的边长 AB 求出，进而可将正方形ABCD 的面积求出．

可编辑

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∵∠ AEB+ ∠ BAE= ∠ AEB+ ∠ CEF=90 °∴∠ BAE= ∠ CEF ∵∠ B= ∠ C ∴△ ABE ∽△ ECF

∴=，即

= 解得 x=4a ①

在 Rt △ ABE 中，

AB

2 2

=AE 2

2

2

=4 2

②将①代入②，可得： a=

+BE ∴x +a

∴正方形 ABCD 的面积为： x 2=16a 2

=

．

点评： 本题是一道根据三角形相似和勾股定理来求正方形的边长结合求解的综合题．

隐含了整体的数学思

想和正确运算的能力．注意后面可以直接这样

2

+a 2

=4 2

2

2

=4 2

2

+ x 2 =4 2

，

x

②，∴x + （ ） ， x

x 2 =16 ，x 2

=

．无需算出算出 x ．

8 ．已知 a ，b ，c 是直角三角形的三条边，且

a ＜

b ＜

c ，斜边上的高为 h ，则下列说法中正确的是

② ．（只填序号）

①a 2b 2+h 4= （a 2+b 2 +1 ）h 2；②b 4 +c 2 h 2 =b 2c 2

；③由

可以构成三角形；④直角三角形

的面积的最大值是

．

考点 ：勾股定理的逆定理；勾股定理．

专题 ：计算题；压轴题．

分析：根据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简，等式成立者即为正确答案．

解答：

解：根据直角三角形的面积的不同算法，有

ab= ch ，解得 h= ．

①将 h= 代入 a 2b 2+h 4= （a 2 +b 2 +1 ） h 2 ，得 a 2b 2

+ （ ） 4 = （ a 2

+b

2

+1 ）（ ） 2，

得 a 2b 2 + （ ） 4 = （ c 2

+1 ）（

）2

，得 a 2 b 2

+ （

） 4=a 2b 2

+

，

即（ ） 4

= ，

a 2

b 2=

c 2

，不一定成立，故本选项错误；

4

+c 2 2 =b 2 2 4 2 2 2 2 ，b 4 +b 2 2 =b 2 2 4 +b 2 2 2 2

=0 ，

②将 h=代入 b h c ，得 b +c （ ）=b c

a c ，整理得

b a ﹣b c

2

（ b 2

+a 2 2

） =0

2 2 ﹣ c 2 =0 2 2 +a 2 2

） =0 成立，故本选项正确；

b ﹣

c ，∵b +a ，∴b （ b ﹣ c

2 +a 2 =c 2

，（ 2

+ （

2

=a+b ，（

） 2

=c ，∴不能说明（

2 + （ 2

= （ 2

，

③∵b ） ）

） ） ）

可编辑

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④直角三角形的面积为ab ，随 ab 的变化而变化，所以无最大值，故本选项错误．故答案为②．

点评：此题不仅考查了勾股定理，还考查了面积法求直角三角形的高，等式变形计算较复杂，要仔细．

9 ．如图， A 、 B、 C 分别是线段A 1B， B1C， C1 A 的中点，若△ABC的面积是 1 ，那么△A1 B1 C1的面积

7．

考点：三角形的面积．

专题：压轴题．

分析：连接 AB 1，BC 1， CA 1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△1，△A1 ABB1的面积，从而求出△A1 BB1 的面积，同理可求△B 1 CC1 的面积，△A1 AC1 的面积，然后相加即可得解．

解答：解：如图，连接AB 1， BC1，CA 1，

∵A、B 分别是线段 A 1B，B1 C 的中点，∴S△ABB1=S △ABC=1 ，S△A1AB1=S △ABB1=1 ，

∴S△ A1BB1=S△ A1AB1+S△ ABB1=1+1=2，同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，

∴△A1B1C1 的面积=S△ A1BB1+S△ B1CC1+S△ A1AC1+S△ ABC=2+2+2+1=7．故答案为：7．

点评：本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．

三．解答题（共 5 小题）

10 ．已知△ABC为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、 C 重合），以 AD 为边作菱形

ADEF （ A 、 D 、 E、 F 按逆时针排列），使∠D AF=60 °，连接CF．

（ 1）如图 1 ，当点 D 在边 BC 上时，求证：①BD=CF ；②AC=CF+CD ；

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（ 2）如图 2 ，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出 AC 、 CF、 CD 之间存在的数量关系，并说明理由；

（ 3）如图 3 ，当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、 CF、 CD 之间存在的数量关系．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质．

专题：几何综合题；压轴题．

分析：（ 1 ）根据已知得出AF=AD ，AB=BC=AC，∠ BAC=∠DAF=60°求，出∠BAD=CAF证，△BAD≌△CAF ，

推出 CF=BD 即可；

（2 ）求出∠ BAD= ∠ CAF ，根SAS据证△ BAD≌△ CAF ，推BD=CF出即可；

（3 ）画出图形后，根据 SAS 证△ BAD≌△ CAF ，推CF=BD出即可．

解答：（ 1 ）证明：∵菱形 AFED ，∴ AF=AD ，∵△A BC 是等边三角形，∴ AB=AC=BC ，∠ BAC=60 ° =∠ DAF ，∴∠BAC﹣∠DAC= ∠ DAF ﹣∠DAC，即∠BAD= ∠ CAF ，

∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△

CAF∴CF=BD，，∴ CF+CD=BD+CD=BC=AC，

即①BD=CF ，②AC=CF+CD ．

（ 2 ）解： AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF ﹣ CD ，

理由是：由（1 ）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠ BAC=∠DAF=60°∴∠，BAC+ ∠ DAC= ∠ DAF+ ∠DAC，

即∠BAD= ∠ CAF ，

可编辑

∴CF﹣CD=BD ﹣ CD=BC=AC ，即 AC=CF ﹣ CD．

（ 3 ） AC=CD ﹣CF．理由是：

∵∠BAC= ∠ DAF=60 °，∴∠DAB= ∠ CAF ，∵在和△CAFBAD中，∴△BAD≌△CAFSAS（），∴CF=BD ，∴CDCF=CD﹣﹣ BD=BC=AC，即AC=CD﹣CF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．

11 ．如图，△ABC中AB=AC ，BC=6 ，，点P从点B出发沿射线BA 移动，同时，点Q 从点 C

出发沿线段AC 的延长线移动，已知点P、 Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点 D ．

（ 1）如图①，当点P 为 AB 的中点时，求CD 的长；

（ 2）如图②，过点P 作直线 BC 的垂线垂足为E，当点 P、Q 在移动的过程中，线段BE、 DE、 CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；

考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：几何综合题；压轴题；分类讨论．

分析：（ 1 ）过点 P 做 PF 平行与 AQ ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由AB=AC ，根据等边对等角得角 B 和角 ACB 的相等，根据等量代换的角 B 和角 PFB 的相等，根据等角对等边得 BP=PF ，又因点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同即BP=CQ ，等量代换得PF=CQ ，在加上对等角的相等，证得三角形PFD 和三角形 QCD 的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出

DF=CD=CF，而又因 P 是 AB 的中点，PF ∥ AQ得出 F 是 BC 的中点，进而根据已知的BC 的长，

求出 CF，即可得出CD 的长．

（ 2 ）分两种情况讨论，第一种情况点P 在线段 AB 上，根据等腰三角形的三线合一得BE=EF ，再

又第一问的全等可知 DF=CD ，所以 ED= ，得出线段 DE 的长为定值；第二

种情况， P 在 BA 的延长线上，作 PM 平行于 AC 交 BC 的延长线于 M ，根据两直线平行，同位角

相等推出角 PMB 等于角 ACB ，而角 ACB 等于角 ABC ，根据等量代换得到角ABC 等于角 PMB ，

根据等角对等边得到 PM 等于 PB，根据三线合一，得到 BE 等于 EM，同理可得△PMD全等于△QCD，

得到 CD 等于 DM ，根据 DE 等于 EM 减 DM ，把 EM 换为 BC 加 CM 的一半，化简后得值为定值．

解答：解：（1 ）如图，过 P 点作 PF ∥ AC交 BC 于 F，

∵点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同，∴BP=CQ ，∵ PF ∥ AQ，∴∠PFB= ∠ ACB，∠ DPF= ∠ CQD 又∵ AB=AC ，∴∠ B= ∠ ACB，∴∠B= ∠ PFB ，∴ BP=PF ，∴ PF=CQ ，又∠PDF= ∠ QDC，

∴证得△ PFD ≌△ QCD，∴ DF=CD=CF，

又因 P 是 AB 的中点，PF ∥ AQ，∴F是BC 的中点，即

FC= BC=3 ，∴ CD= CF= ；

（ 2 ）分两种情况讨论，得ED 为定值，是不变的线段

如图，如果点P 在线段 AB 上，过点 P 作 PF∥ AC交 BC 于 F，

∵△ PBF为等腰三角形，

∴PB=PFBE=EF，，∴ PF=CQ ，∴ FD=DC ，∴ ED= ，∴ ED为定值，

同理，如图，若P 在 BA 的延长线上，

作 PM∥ AC 的延长线于 M ，∴∠ PMC=∠ ACB，

又∵ AB=AC ，∴∠ B= ∠ ACB，∴∠B= ∠ PMC，∴ PM=PB ，根据三线BE=EM合一得，

同理可得△PMD≌△ QCD，所CD=DM

以，

，

综上所述，线段ED 的长度保持不变．

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点评：此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．

12 ．如图 1 ，在△ABC中，∠ ACB为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接AD ，以 AD 为一边且在AD 的

右侧作正方形ADEF ．

（1）如果 AB=AC ，∠ BAC=90 °，

①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图 2 ，线段 CF、BD 所在直线的位置关系为垂直，

线段 CF、 BD 的数量关系为相等；

②当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（ 2）如果 AB≠ AC，∠BAC是锐角，点 D 在线段 BC 上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥ BCC（、点

F 不重合），并说明理由．

考点：全等三角形的判定与性质．

专题：压轴题；开放型．

分析：（ 1 ）当点 D 在 BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 的性质可推出△DAB≌△FAC ，

可编辑

CF⊥ BD．

（ 2 ）当∠ACB=45 °时，过点A 作 AG⊥ AC 交 CB 的延长线于点G，则∠GAC=90 °，可推出

∠ACB= ∠ AGC，所以AC=AG ，由（ 1 ）①可知 CF⊥ BD．

解答：证明：（1 ）①正方形 ADEF 中， AD=AF ，

∵∠BAC= ∠ DAF=90 °，∴∠BAD= ∠ CAF ，又∵AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ，

∴ CF=BD ，∠B= ∠ ACF ，∴∠ACB+ ∠ ACF=90CF°⊥，即BD．

②当点 D 在 BC 的延长线上时①的结论仍成立．

由正方形ADEF 得 AD=AF ，∠DAF=90度．

∵∠BAC=90 °，∴∠DAF= ∠ BAC，∴∠DAB= ∠ FAC ，又∵AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ，∴ CF=BD ，∠ACF= ∠ ABD．

∵∠BAC=90 °AB=AC，，∴∠A BC=45 °，∴∠ACF=45 °，∴∠BCF= ∠ ACB+度．∠ ACF=90

即 CF⊥ BD．

（ 2 ）当∠ACB=45 °时，CF⊥ BD（如．图）

理由：过点 A 作 AG⊥ AC 交 CB 的延长线于点G，则∠GAC=90 °，

∵∠ACB=45 °∠，AGC=90 °﹣∠ACB∴∠， AGC=90 °﹣45 ° =45∴∠°，ACB= ∠ AGC=45 °∴，

AC=AG ，

∵∠DAG=∠ FAC （同角的余角相等）， AD=AF ，∴△GAD≌△CAF ，∴∠ACF= ∠ AGC=45 °，∠BCF= ∠ ACB+ ∠ ACF=45 ° +45 ° =90 CF°，⊥即BC．

点评：本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA 、 AAS 、 HL ．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据

13 ．如图 1 ，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和 DEC 重合放置，其中∠C=90 °，∠B= ∠ E=30 °．

（ 1 ）操作发现

如图 2 ，固定△ABC，使△绕DEC点C旋转，当点 D 恰好落在AB 边上时，填空：

①线段 DE 与 AC 的位置关系是DE∥ AC ；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则 S1与 S2的数量关系是

S1=S 2．

（ 2 ）猜想论证

当△DEC绕点 C 旋转到如图3 所示的位置时，小明猜想（ 1 ）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分

别作出了△BDC和△AEC中 BC、 CE 边上的高，请你证明小明的猜想．

（ 3 ）拓展探究

已知∠ABC=60 °，D点是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点 F，使 S△DCF=S △BDE，请直接写出相应的BF 的长．

考点：全等三角形的判定与性质．

专题：几何综合题；压轴题．

分析：（ 1 ）①根据旋转的性质可得AC=CD ，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60 °，然后根据内错角相等，两直线平行解答；

②根据等边三角形的性质可得AC=AD ，再根据直角三角形30 °角所对的直角边等于斜边的一半求

出 AC= AB ，然后求出 AC=BD ，再根据等边三角形的性质求出点 C 到 AB 的距离等于点 D 到 AC

的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；

（ 2 ）根据旋转的性质可得BC=CE ， AC=CD ，再求出∠ACN= ∠ DCM，然后利用“角角边”证明

△ ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的

面积相等证明；

（ 3 ）过点 D 作 DF 1∥ BE，求出四边形 BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF 1，然后根

据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点 D 作 DF2⊥ BD，求出∠F1 DF2 =60 °，

从而得到△1DF2是等边三角形，然后求出DF 1 =DF 2，再求出∠CDF1=∠ CDF2，利用“边角边”证

明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE

中求出 BE 的长，即可得解．

解答：解：（1 ）①∵△DEC绕点 C 旋转点 D 恰好落在AB 边上，∴AC=CD ，

∵∠BAC=90 °﹣∠B=90 °﹣30 ° =60 °是，等∴△边三角形ACD，∴∠ACD=60 °，

又∵∠CDE= ∠ BAC=60 °，∴∠ACD= ∠ CDE，∴DE∥ AC；

②∵∠B=30 °，∠C=90 °，∴CD=AC=AB ，∴BD=AD=AC ，

根据等边三角形的性质，△的边ACDAC、 AD 上的高相等，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；

故答案为：DE∥ ACS1；=S 2；

（ 2 ）如图，∵△是DEC由△ABC绕点 C 旋转得到，∴BC=CEAC=CD，，