高考数学百大经典例题 正态分布
借助于标准正态分布表求值
例 设ξ服从)1,0(N ，求下列各式的值：
（1）);35.2(≥ξP （2）);24.1(-<ξP （3）).54.1(<ξP
分析：因为ξ用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地．
解：（1）;0094
.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P （2）;1075
.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP （3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P
.8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ=
说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用．
求服从一般正态分布的概率
例 设η服从)2,5.1(2N 试求：
（1）);5.3(<ηP （2）);4(-<ηP
（3）);2(≥ηP （4）).3(<ηP
分析：首先，应将一般正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：若),(~2σμηN ，则由)1,0(~N σμηξ-=知：,)(⎪⎭
⎫ ⎝⎛-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果． 解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=⎪⎭⎫
⎝⎛-Φ=<ηP
（2）;0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫ ⎝
⎛--Φ=-<ηP （3）;4013.0)25.0(125.121)2(1)2(=Φ-=⎪⎭⎫
⎝⎛-Φ-=<-=≥ηηP P （4）⎪⎭⎫ ⎝
⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<=<25.1325.131)2()3(ηηP P )]25.2(1[7734.0)25.2()75.0(Φ--=-Φ-Φ=
.7612.0)9878.01(7734.0=--=
说明：这里，一般正态分布),(~2
σμξN ，总体小于x 的概率值)(x F 与)(x P <ξ和⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φσμx 是一样的表述，即：.)()(⎪⎭
⎫ ⎝⎛-Φ==<σμξx x F x P 服从正态分布的材料强度的概率
例 已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度ξ服从).18,200(2N
（1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率．
（2）如果所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求．
分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可．
解：（1）-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥1181201801)180(1)180(ξξP P ;8665.0)11.1()]11.1(1[1)11.1(=Φ=Φ--=-Φ
（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99％进行比较大小，从而得出结论．
;9973.0)78.2()]78.2(1[1)78.2(1182001501)150(1)150(=Φ=Φ--=-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-Φ-=<-=≥ξξP P 即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，所以这批材料符合所提要求．
说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”．转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表．
公共汽车门的高度
例 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计
的，如果某地成年男子的身高)36,175(~N ξ（单位：㎝），则该地公共汽车门的高度应设
计为多高？
分析：实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为)cm (x ，使其总体在不低于x 的概率值小于1％，即：%101.0)(=<≥x P ξ，从中解出x 的范围．
解：设该地公共汽车门的高度应设计高为x cm ，则根据题意可知：%1)(<≥x P ξ，由
于)36,175
(~N ξ， 所以，;01.061751)(1)(<⎪⎭
⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ 也即：;99.06175>⎪⎭
⎫ ⎝⎛-Φx 通过查表可知：
;33.26175>-x 解得：;98.188>x
即该地公共汽车门至少应设计为189cm 高．
说明：逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性．关键是理解题意和找出正确的数学表达式．
学生成绩的正态分布
例 某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？
分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体．
解：设x 表示这个班的数学成绩，则x 服从)10,80(2N 设10
80-=x Z 则z 服从标准正态分布)1,0(N ． 查标准正态分布表，得：
5000.0)0(,8413.0)1(==ΦΦ
所
以，3.05.084
.0)0()1()10()1080901080108080()9080(=-=∅-∅=<<=-<-<-=<<z p x p x p
∴163824.163413.048≈=⨯．
说明：这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体．。
正态分布习题与详解(非常有用-必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
全国1卷高考题正态分布题目
（2017年全国1卷高考题）19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.9610.01 9.929.9810.04 10.269.9110.13 10.02 9.2210.04 10.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=0.09≈．19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ0.09≈18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s . (i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544. （18）解：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.33x =⨯+⨯+⨯+⨯2100.242200.082300.02+⨯+⨯+⨯ =2002222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s =-⨯+-⨯+-⨯22200.33100.24200.08300.02150.+⨯+⨯+⨯+⨯= ……6分（II ）（i ）由（I ）知，~(200,150)Z N ，从而(187.8212.2=(20012.220012.2)0.6826.P Z P Z <<-<<+=）……9分（ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.682 6， 依题意知X-B(100，0.682 6)，所以1000.682668.26.EX =⨯= ……。
(完整版)正态分布习题与详解(非常有用,必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
正态分布(习题版)
28．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．
A．0.25B．0.1C．0.125D．0.5
6．随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．在某项测量中，测得变量ξ﹣N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（1，2）内取值的概率为（ ）
37．某中学为了了解该校高中学生的体重情况，现随机抽取该校150名高中学生，并测量每个人的体重后得到如图5的频率分布直方图．
（1）求这150名高中学生体重的样本平均数 和样本方差s2；（同一组中的数据用该区间的中点值代替）
（2）根据频率分布直方图，我们认为该校高中学生的体重Z服从正态分布N（u，δ2），其中u近似为样本平均数 ，δ2近似为样本方差s2；如果体重Z满足Z＜33.4或Z＞106.6，则该生的体重有严重问题．
28．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X（单位：辆）均服从正态分布N（600，σ2），若P（500＜X＜700）＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ）
A． B． C． D．
29．设随机变量ξ：N（2，2），则D（ ξ）＝（ ）
A． ﹣ B．计，某市高三学生期末数学成绩X﹣N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（ ）
2022高考数学专题15 正态分布(解析版)
【解析】解：（1） µ =35 × 0.02 + 45 × 0.12 + 55 × 0.20 + 65 × 0.25 + 75 × 0.24 + 85 × 0.13 + 95 × 0.04 =66.2 ． 故 Z ~ N(66.2,198) ，易知
= σ 198 ≈ 14 ．
∴ P(Z ≤ 80.2) = 1 − 1 − P(66.2 − 14 < Z ≤ 66.2 + 14) = 1 − 1 − 0.6826 = 0.8413 ．
的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差 S 2 ≈ 77.8（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，
该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时 每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，利用现所得正态分布模型： （ⅰ）预估全年级恰好有 1000 名学生，正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数．（结果四舍五入到整数） （ⅱ）若在该地区 2020 年所有初三毕业生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 202 个以上的人数为ξ ， 求随机变量 ξ 的分布列和期望．
【解析】解：（Ⅰ）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，两人得分之和不大于 33 分，
即两人得分均为 16 分，或两人中 1 人 16 分，1 人 17 分， 由题意知：得 16 分的分数为 5 人，得 17 分的人数为 9 人，
∴两人得分之和不大于 33 分的概率为：
= P C= 52 + C51C91
组别
[30 ， 40) [40 ， 50) [50 ， 60) [60 ， 70) [70 ， 80) [80 ， 90) [90 ，100)
2019-2020年高考数学百大经典例题 正态分布(含解析)
2019-2020年高考数学百大经典例题 正态分布（含解析）例 设服从，求下列各式的值：（1） （2） （3）分析：因为用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出的情形，故需要转化成小于非负值的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和有其用武之地．解：（1）;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P（2）;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP（3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P.8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ=说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用．求服从一般正态分布的概率例 设服从试求：（1） （2）（3） （4）分析：首先，应将一般正态分布转化成标准正态分布，利用结论：若，则由知：其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果．解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<ηP （2）;0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(=Φ-=-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=-<ηP （3）;4013.0)25.0(125.121)2(1)2(=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=<-=≥ηηP P （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<=<25.1325.131)2()3(ηηP P )]25.2(1[7734.0)25.2()75.0(Φ--=-Φ-Φ=说明：这里，一般正态分布，总体小于的概率值与和是一样的表述，即：服从正态分布的材料强度的概率例 已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度服从（1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率．（2）如果所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求．分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可．解：（1）-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥1181201801)180(1)180(ξξP P ;8665.0)11.1()]11.1(1[1)11.1(=Φ=Φ--=-Φ（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99％进行比较大小，从而得出结论．;9973.0)78.2()]78.2(1[1)78.2(1182001501)150(1)150(=Φ=Φ--=-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥ξξP P 即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，所以这批材料符合所提要求．说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”．转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表．公共汽车门的高度例 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的，如果某地成年男子的身高（单位：㎝），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？分析：实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为，使其总体在不低于的概率值小于1％，即：，从中解出的范围．解：设该地公共汽车门的高度应设计高为cm ，则根据题意可知：，由于， 所以，;01.061751)(1)(<⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ 也即：通过查表可知：解得：即该地公共汽车门至少应设计为189cm 高．说明：逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性．关键是理解题意和找出正确的数学表达式．学生成绩的正态分布例 某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体．解：设x 表示这个班的数学成绩，则x 服从设则z 服从标准正态分布．查标准正态分布表，得：所以，3413.05000.08413.0)0()1()10()1080901080108080()9080(=-=∅-∅=<<=-<-<-=<<z p x p x p ∴．说明：这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体．.。
考点48 正态分布典型高考数学试题解读与变式(解析版)
X + 3 ) = 0.9974 )
A. 0.3%
B. 0.23%
【答案】D
C.1.3%
D. 0.13%
【解析】由已知得 P(90 X 114) = P ( − 3 X + 3 ) = 0.9974 ，故 P( X 114)
= 1− 0.9974 = 0.0013 = 0.13% ，故选 D． 2
在 ( − 3 , + 3 ) 之外的概率为 0.0026，而 X ~B(16, 0.0026) ，进而可以求出 X 的数学期望.（2）（i） 判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在 ( − 3 , + 3 ) 之 外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii）根据题设条件算出 的估计值和 的估计值，剔除 (ˆ − 3ˆ , ˆ + 3ˆ ) 之外的数据 9.22，算出剩下数据的平均数，即为 的估计值，剔除 (ˆ − 3ˆ , ˆ + 3ˆ ) 之外 的数据 9.22，剩下数据的样本方差，即为 的估计值. 【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在 ( − 3 , + 3 ) 之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在
1600 1 −
3 4
1 2
=
200
人，故选
D.
2.【2017 年第三次全国大联考】已知某次数学考试的成绩服从正态分布 N (102, 42 ) ，则 114 分以上的成绩
所占的百分比为（附： P ( − X + ) = 0.6826, P ( − 2 X + 2 ) = 0.9544 , P( − 3
( ) 考试成绩 X N 100, 2 （试卷满分为 150 分）．统计结果显示数学考试成绩在 80 分到 120 分之间的人数
高考数学专题复习：正态分布
高考数学专题复习：正态分布一、单选题1．已知随机变量()22,(0)X N σσ~>，若(4)0.8P X <=，则(24)P X <<＝（ ）A ．0.7B ．0.5C ．0.3D ．0.22．随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若()10.1P ξ<=，()130.8P ξ<<=，则μ=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~0,n N n ε⎛⎫⎪⎝⎭．为使误差n ε在()0.5,0.5-的概率不小于0.9545，至少要测量的次数为（ ）（参考数据：若()2~,X N μσ，则()220.9545P X μσμσ-<≤+=）A ．8B ．10C ．30D ．324．已知随机变量~(1,4)X N ，则(15)P X <<=（ ）（参考数据()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=） A ．0.6826B ．0.3413C ．0.9544D ．0.47725．某城市每年6月份的平均气温t 近似服从()228,N σ，若()28300.3P t ≤≤=，则可估计该城市6月份平均气温低于26℃的天数为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．56．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()30.3P X ≥=，则(1)P X >=（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.77．已知随机变量()23,,(5)0.9X N P X σ~=，那么P (3≤X ≤5)的值为（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.88．设随机变量x 服从正态分布()3,16N ，若()()3P X c P X >=<，则c =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．某市有10000人参加期末考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布()2105,(0)N σσ>(试卷满分150分，大于等于120分为优秀)，统计结果显示数学成绩分数位于(90，105]的人数占总人数的25，则此次数学考试成绩优秀的人数约为（ ）A ．4000B ．3000C ．2000D ．100010．已知随机变量X 服从正态分布()()26,0N σσ>，若()30.85P X >=，则()39P X <<=（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.811．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.84P X <=，则()0P X ≤等于（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.8412．某校高二年级1600名学生参加期末统考，已知数学成绩()2100,XN σ（满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34．则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为（ ） A ．80 B ．100 C ．120 D ．200二、填空题13．已知()2~4,X N σ，且()20.3P X ≤=，则()6P X ≤=__________.14．已知随机变量 服从正态分布()23,N σ，若()130.3P X <≤=，则()5P X ≥=________．15．设随机变量()2~5,X N σ，若()70.2P X >=，则5(3)P X ≤≤=__________.16．天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，发现这些数据变量X 近似服从正态分布()29,N σ，若(10)0.91P X <=，则(89)(10)P X P X ≤≤+>=__________．三、解答题17．语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135的则认为特别优秀.（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.(附公式：若2~(,)X N μσ，则()0.68P X μσμσ-<≤+=，(22)0.96P X μσμσ-<≤+=).18．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm ）：87 87 88 92 95 97 98 99 103 104 设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ． （1）求μ与σ．（2）假设这批零件的内径Z （单位：cm ）服从正态分布()2,N μσ．①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于107cm 的个数为X ，求(21)D X +； ②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm ），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由．参考数据：若()2~,X N μσ，则(22)0.954P X μσμσ-<≤+=，(33)0.997P X μσμσ-<≤+=，取40.9970.99=．19．设在一次数学考试中，某班学生的分数满足2110,20XN ，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格（即90分及90分以上）的人数和130分以上的人数.20．某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图.（1）同一组数据用该区间的中点值作代表， ①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数x ；②若该同学的接球训练成绩X 近似地服从正态分布(),100N μ，其中μ近似为样本平均数x ，求()5464P X <<的值；（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛.一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜.若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y .以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求()E Y .参考数据：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，()220.9545P μσξμσ-<<+≈，()330.9973P μσξμσ-<<+≈.21．下图是随机调查某城市1000名有固定工作的市民月收入状况所得的频率分布直方图：（1）以频率估计概率，在该市任取一人，其月收入以所在区间的中点值为代表，记为X ，求X 的分布列､数学期望()E X 和方差()D X (计算结果保留小数点后一位).（2）从频率分布直方图上看，该市具有固定工作的市民月收入近似服从正态分布，以样本估计总体的思想，用样本的数学期望估计μ，用样本的方差估计2σ，就上述正态分布求解下列问题：①计算该市具有固定工作的市民月收入不低于8500元的概率；②在该市任取100名具有固定工作的市民，记这100人中月收入不低于8500元的人数为Y ，求Y 的数学期望(结果保留整数). 附：若()2,XN μσ，则()0.6826p X μσμσ-<≤+=，()220.9544p X μσμσ-<≤+=；参考数据：222220.05 4.10.125 2.10.150.10.1 1.90.075 3.9 2.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2.522．某校组织200名学生参加竞赛（满分150分）.这200名学生的成绩频率分布表如下：（1）求样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频数分布表可以认为本次学科竞赛成绩Z 近似服从正态分布()2,16.5N μ，其中μ取样本平均值x 分数不小于97.5分可晋级下一轮比赛，试估算晋级人数（结果四舍五入，取整数）；（3）本次的试题由25道选择题构成，每题6个选项，只有一个正确答案，答对得6分，不答得1.5分，答错不得分.学生甲能正确解答其中的15道题，剩余10道题每道题作答的概率为13，作答的情况下他从6个选项中随机的选择其中一个作答.求甲的得分X 的期望值. 附：若()2~,Z N μσ，则()0.6828P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=.参考答案1．C 【分析】根据给定条件利用正态分布的性质经计算即可得解. 【详解】因随机变量()22,(0)X N σσ~>，则有(2)0.5P X ≤=，而(4)0.8P X <=，于是得：(24)(4)(2)0.3P X P X P X <<=<-≤=， 所以(24)0.3P X <<=. 故选：C 2．C 【分析】利用正态分布的对称性求解. 【详解】因为()10.1P ξ<=，()130.8P ξ<<=， 所以(3)10.10.80.1P ξ>=--=， 即(1)(3)P P ξξ<=>， 所以1322μ+==. 故选：C . 3．D 【分析】因为2~0,n N n ε⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到0μ=，σ=n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，则()()2,20.5,0.5μσμσ-+⊂-，得到不等式计算即可. 【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，则()()2,20.5,0.5μσμσ-+⊂-且0μ=，σ=所以0.532n ≥≥.故选：D. 4．D 【分析】根据题意可得1μ=，2σ=，再根据正态分布概率的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量~(1,4)X N ，所以1μ=，2σ=， 所以(15)(2)P X P X μμσ<<=<<+ (22)0.95440.47721122P X μσμσ-<≤+===⨯， 故选：D 5．C 【分析】先由正态分布的对称性求出气温低于26℃的概率，从而可求出气温低于26℃的天数 【详解】解：因为每年6月份的平均气温t 近似服从()228,N σ，所以28μ=，因为()28300.3P t ≤≤=， 所以()26280.3P t ≤≤=， 所以(26)0.50.30.2P t <=-=，所以该城市6月份平均气温低于26℃的天数为0.2306⨯=， 故选：C 6．D 【分析】根据正态分布的性质进行求解即可. 【详解】因为()30.3P X ≥=，所以()()()1111310.30.7P X P X P X >=-<=-≥=-=， 故选：D 7．C 【分析】根据正态分布的对称性求概率． 【详解】由已知(5)1(5)10.90.1P X P X >=-≤=-=， 所以1(35)(5)0.50.10.42P X P X ≤≤=->=-=． 故选：C ． 8．C 【分析】由随机变量x 服从正态分布()3,16N ，可得正态曲线的对称轴为3μ=，然后对称关系可求得结果 【详解】解：因为随机变量x 服从正态分布()3,16N ， 所以正态曲线的对称轴为3μ=， 因为()()3P X c P X >=<，所以332c +=，得3c =， 故选：C 9．D 【分析】根据已知条件，可得(105120)(90105)P X P X ≤<=<≤，即可求得(120)P X ≥的概率，即可求解. 【详解】设数学成绩为X ，因为数学分数位于(90,105]的人数占总人数的25， 又因为数学考试成绩近似服从正态分布()2105,N σ，根据正态分布曲线的对称性，可得2(105120)(90105)5P X P X ≤<=<≤=， 所以121(120)(12)2510P X ≥=-⨯=，所以此次数学考试成绩优秀的人数约为110000100010⨯=人. 故选：D. 10．C 【分析】由于随机变量X 服从正态分布()()26,0N σσ>，所以正态曲线关于6x =对称，然后利用正态曲线的对称性可求得结果 【详解】解：因为随机变量X 服从正态分布()()26,0N σσ>，()30.85P X >=，所以(9)(3)1(3)10.850.15P X P X P X ≥=≤=->=-=， 所以()391(3)(9)120.150.7P X P X P X <<=-≤-≥=-⨯=, 故选：C 11．A 【分析】利用正态分布的对称性，即可计算结果. 【详解】由正态分布的对称性可知()()()041410.840.16P X P X P X ≤=≥=-<=-=. 故选：A 12．D 【分析】利用正态分布曲线的对称性，确定成绩不低于120分的学生约为总人数的131(1)248⨯-=，即可求得成此次考试成绩不低于120分的学生数． 【详解】解：成绩2~(100,)N ξσ，∴其正态曲线关于直线100x =对称，又成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的34，由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的131(1)248⨯-=， ∴此次考试成绩不低于120分的学生约有：116002008⨯=人．故选：D ． 13．0.7 【分析】根据给定条件利用正态分布的对称性求得()6P X ≥，进而利用对立事件概率公式求得.【详解】因()2~4,X N σ，且()20.3P X ≤=，于是得()()620.3P X P X ≥=≤=， 所以()()6160.7P X P X ≤=->=. 故答案为：0.7 14．0.2 【分析】利用正态曲线的对称性即可得到答案. 【详解】因为()()13350.3P X P X <≤=<≤=，所以()50.50.30.2P X ≥=-=. 故答案为：0.2. 15．0.3 【分析】利用正态曲线的对称性求解即可 【详解】因为随机变量()2~5,X N σ，所以正态曲线关于5μ=对称，因为()70.2P X >=所以()35570.570.50.2)().(03P X P X P X ≤≤=≤≤=->=-=. 故答案为：0.3 16．0.5 【分析】由正态分布的对称性求概率． 【详解】因为变量X 近似服从正态分布()29,N σ，所以(8)(10)10.910.09P X P X <=>=-=，1(89)(910)0.090.412P X P X ≤<=<≤=-=， (89)(10)0.410.090.5P X P X ≤≤+>=+=．故答案为：0.5．17．（1）语文有10人，数学有12人；（2）分布列见解析，98.【分析】（1）利用正态分布的对称性求出语文成绩特别优秀的概率，从而可估计出语文成绩特别优秀人数，由频率分布直方图可求出数学成绩特别优秀的频率，用频率来衡量概率，从而可求出数学成绩特别优秀的人数；（2）结合（1）可知数学语文单科优秀的有10人，则X 的所有可能取值为0、1、2、3，然后求出各自对应的概率即可列出分布列，求得数学期望 【详解】（1）∵语文成绩服从正态分布2(10017.5)N ，， ∴语文成绩特别优秀概率为11(135)(10.96)0.022P P X =≥=-⨯=， ∴数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244P =⨯⨯=， ∴语文特别优秀的同学有5000.0210⨯=人，数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=人； （2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0、1、2、3，3103163(0)14C P X C ===，2110631627(1)56C C P X C ⋅===， 1210631615(2)56C C P X C ⋅===，363161(3)28C P X C ===， ∴X 的分布列为：3271519()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 18．（1）95μ=；6σ=；（2）①(21)0.44942D X +=；②需要进一步调试；理由见解析． 【分析】（1）直接根据平均值和方差公式求出μ与2σ，即可求出σ； （2）①根据题意分析得知~(5,0.023)X B 即可套公式求出(21)D X +；②先计算出5个零件中恰有1个的内径（单位：cm ）不在(3,3]μσμσ-+内的概率，根据3σ原则，即可下结论. 【详解】 解：（1）1(8787889295979899103104)9510μ=+++++++++=， 21(6464499049166481)3610σ=+++++++++=， 则6σ=．（2）①因为()2~95,6Z N ，所以0.954(107)(2)0.50.0232P Z P Z μσ>=>+=-=， 则~(5,0.023)X B ，所以()50.023(10.023)0.112355D X =⨯⨯-=， 故(21)4()0.44942D X D X +==． ②因为(33)0.997P X μσμσ-<≤+=， 所以5个零件中恰有1个的内径（单位：cm ）不在(3,3]μσμσ-+内的概率为14155C 0.997(10.997)C 0.99(10.997)0.01485⨯⨯-=⨯⨯-=，因为76(3,3]μσμσ∉-+，所以试生产的5个零件就出现了1个不在(3,3]μσμσ-+内， 出现的频率是0.01485的十三倍多，根据3σ原则，需要进一步调试． 19．及格人数约为45人，130分以上的人数约为9人. 【分析】本题首先可根据题意得出110μ=、20σ=，然后根据正态分布的相关性质即可得出X 大于130的概率约为0.1587以及X 大于90的概率约为0.8414，最后结合总人数即可得出结果.【详解】因为学生的分数满足2110,20X N ，所以110μ=，20σ=，则1102011020901300.6827P XP XX 大于130的概率约为110.68270.15872，X 大于90的概率约为0.68270.15870.8414，故及格人数约为540.841445人，130分以上的人数约为540.15879人. 20．（1）①74x =；②()54640.1359P X <<≈；（2）()483128E Y =. 【分析】（1）①将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得样本平均数x ；②计算得出542μσ=-，64μσ=-，可得出()()54642P X P X μσμσ<<=-<<-，利用参考数据可得结果；（2）由题意可知，随机变量Y 的可能取值有3、4、5，计算出随机变量Y 在不同取值下的概率，进而可求得()E Y 的值. 【详解】（1）①由频率分布直方图可得550.1650.2750.45850.2950.0574x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； ②可知74μ=，10σ=，则542μσ=-，64μσ=-， 所以，()()()()22546422P P P X P X μσξμσμσξμσμσμσ-<<+--<<+<<=-<<-=0.1359≈；（2）由频率分布直方图可知，在一局中，该同学得分达到80分的概率为()10.020.005104+⨯=， 由题意可知，随机变量Y 的可能取值有3、4、5，()3313734416P Y ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222233113331454444444128P Y C C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅+⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22222244113331275444444128P Y C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅+⋅⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：因此，()7452748334516128128128E Y =⨯+⨯+⨯=. 21．（1）分布列见解析，() 6.1E X =，() 5.8D X =；（2）①0.1587；②16. 【分析】（1）根据频率分布直方图频率分布估计概率确定2,4,6,8,10X =时的对应概率，列表即得分布列，再计算期望和方差即可；（2）根据题意和参考数据计算()()18.52p X p X μσμσ--<≤+≥=即可；利用频率估计概率，判断()100,0.1587Y B ，利用公式计算期望即可.【详解】依题意得2,4,6,8,10X =由频率分布直方图得每段的频率依次为0.1，0.25，0.3，0.2，0.15， 所以频率估计概率得()()()()()20.1,40.25,60.3,80.2,100.15P X P X P X P X P X ==========其分布列为：所以()0.120.2540.360.280.1510 6.1E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()()()22220.12 6.10.254 6.10.36 6.10.28 6.10.1510 6.1D X =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-()2222220.05 4.10.125 2.10.150.10.1 1.90.075 3.92 2.9=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯ 5.8=；（2）依题意()26.1,2.4XN ， 6.1, 2.4μσ==，①由8.5μσ+=，知()()110.68268.50.158722p X p X μσμσ--<≤+-≥===；②依题意，()100,0.1587YB ，故Y 的数学期望为()1000.158715.8716E Y =⨯=≈.22．（1）81；（2）32人；（3）310()3=E X 【分析】（1）由频率分布的平均数的计算方法代入求解；（2）由正态分布计算()97.5≥P x ，然后利用总体计算人数即可；（3）分别计算答对，不答以及答错的期望值再加和即可. 【详解】（1）0.01300.09500.365700.43900.0851100.0213081=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ；（2）由题意，学科竞赛成绩()2~81,16.5Z N ，所以()10.5(8116.58116.5)0.50.34140.18297.556=--<≤+=-=≥P P x x ，所以晋级的人数为0.1586232⨯≈人.（3）由题意，1152310()156106010 1.536633⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭E X。
正态分布习题与详解非常有用必考点
1. 若x ～N 0,1,求l P <x <；2Px >2. 解：1P <x <=- =-1-==.2Px >2=1-Px <2=1-2==. 2利用标准正态分布表,求标准正态总体1在N1,4下,求)3(F 2在N μ,σ2下,求Ｆμ－σ,μ＋σ； 解：１)3(F ＝)213(-Φ＝Φ1＝ ２Ｆμ＋σ＝)(σμσμ-+Φ＝Φ1＝Ｆμ－σ＝)(σμσμ--Φ＝Φ－1＝１－Φ1＝１－＝Ｆμ－σ,μ＋σ＝Ｆμ＋σ－Ｆμ－σ＝－＝3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为π21,求总体落入区间－,之间的概率 =, Φ=解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ,它是偶函数,说明μ＝0,)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21,所以σ＝1,这个正态分布就是标准正态分布 4.某县农民年平均收入服从μ=500元,σ=200元的正态分布 求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；2如果要使此县农民年平均收入在a a +-μμ,内的概率不少于,则a 至少有多大Φ=, Φ=解：设ξ表示此县农民年平均收入,则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=2∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥,查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥ 1设随机变量3,1,若,,则P2<X<4= ABl —p C ．l-2pD ． 答案C因为,所以P2<X<4=,选 C ．2．2010·新课标全国理某种种子每粒发芽的概率都为,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为A．100B．200C．300D．400答案 B解析记“不发芽的种子数为ξ”,则ξ～B1 000,,所以Eξ＝1 000×＝100,而X＝2ξ,故EX ＝E2ξ＝2Eξ＝200,故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a,b,c成等差数列,若EξB．－错误!答案 D解析由条件a,b,c成等差数列知,2b＝a＋c,由分布列的性质知a＋b＋c＝1,又Eξ＝－a ＋c＝错误!,解得a＝错误!,b＝错误!,c＝错误!,∴Dξ＝错误!×错误!2＋错误!错误!2＋错误!错误!2＝错误!.4．2010·上海松江区模考设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望值为错误!,则口袋中白球的个数为A．3 B．4 C．5 D．2 答案 A解析设白球x个,则黑球7－x个,取出的2个球中所含白球个数为ξ,则ξ取值0,1,2, Pξ＝0＝错误!＝错误!,Pξ＝1＝错误!＝错误!,Pξ＝2＝错误!＝错误!,∴0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＝错误!,∴x＝3.5．小明每次射击的命中率都为p,他连续射击n次,各次是否命中相互独立,已知命中次数ξ的期望值为4,方差为2,则pξ>1＝答案 C解析由条件知ξ～Bn,P,∵错误!,∴错误!,解之得,p＝错误!,n＝8,∴Pξ＝0＝C80×错误!0×错误!8＝错误!8,Pξ＝1＝C81×错误!1×错误!7＝错误!5,∴Pξ>1＝1－Pξ＝0－Pξ＝1＝1－错误!8－错误!5＝错误!.5已知三个正态分布密度函数φi x＝错误!e－错误!x∈R,i＝1,2,3的图象如图所示,则A．μ1<μ2＝μ3,σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3,σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3,σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3,σ1＝σ2<σ3答案 D解析正态分布密度函数φ2x和φ3x的图象都是关于同一条直线对称,所以其平均数相同,故μ2＝μ3,又φ2x的对称轴的横坐标值比φ1x的对称轴的横坐标值大,故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“瘦高”,由图象可知,正态分布密度函数φ1x和φ2x的图象一样“瘦高”,φ3x明显“矮胖”,从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________请把所有真命题的序号都填上.答案①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.答案由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` 1;2不等式恒成立,则;3随机变量X服从正态分布N1,2,则4已知则.其中正确命题的序号为____________.答案23 1,所以1错误.2不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以2正确.3正确.4,所以4错误,所以正确的为23.2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为A．26 B．25 C．23 D．18答案D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为A ．B ．C ．D ．答案C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．B ．C ．D ．答案 答案B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选 B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.答案25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
高三数学正态分布试题
高三数学正态分布试题1.在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为()A．0.05B．0.1C．0.15D．0.2【答案】B【解析】根据正态曲线的对称性可知，ξ在(80,100)内的概率为0.4，因为ξ在(0,100)内的概率为0.5，所以ξ在(0,80)内的概率为0.1，故选B.2.某班有60名学生，一次考试后数学成绩,若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．10B．9C．8D．7【答案】【解析】由已知，正态曲线的对称轴为，即,所以该班学生数学成绩在120分以上的人数为. 选.【考点】正态分布.3.设随机变量X～N(2，32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c等于（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】由正态曲线的对称性，得是对称轴，故．【考点】正态分布.4.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )A． B． C． D．【答案】B【解析】∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝．5.商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为 .（精确到0.0001）注：，，【答案】0.0228【解析】∵袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布，∴.【考点】正态分布6.设随机变量服从正态分布.若P(<2)=0.8，则p(0<<1)的值为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6【答案】B【解析】因为随机变量服从正态分布，则，所以，.【考点】正态分布.7.给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；③设随机变量服从正态分布，则；④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是 ( )A．①④B．②③C．①③D．②④【答案】B【解析】①中各小长方形的面积等于相应各组的频率；②正确，相关指数越大，拟合效果越好，越小，拟合效果越差；③随机变量服从正态分布，正态曲线对称轴为；④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则说明“与有关系”的把握程度越小【考点】正态分布，频率分布直方图与通监理，统计案例点评：本题考察的是基本知识点，属于识记范畴，题目简单8.已知随机变量服从正态分布，且，则 .【答案】0.48 ；【解析】ξ服从正态分布，则正态曲线关于x=3对称，因为，所以0.5-[1-]=0.48.【考点】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。