常微分方程试题及答案.docx
第十二章
常微分方程
(A)
一、是非题
1．任意微分方程都有通解。 ( X )
2．微分方程的通解中包含了它所有的解。 ( X )
3．函数 y 3sin x
4 cos x 是微分方程 y
y 0 的解。 ( O )
4．函数 y
x 2 e x 是微分方程 y
2 y
y 0 的解。 ( X
)
5 ．微分方程 xy
ln x
0 的通解是
y
1 ln x
2 C ( C 为任意常数 ) 。
2
( O )
6． y sin y 是一阶线性微分方程。 ( X )
7． y x 3 y 3 xy 不是一阶线性微分方程。 ( O )
8． y 2y
5y
0 的特征方程为 r 2
2r 5
0 。( O )
9．
dy
1 x
y 2
xy 2 是可分离变量的微分方程。 ( O
)
dx
二、填空题
1．在横线上填上方程的名称
① y 3 ln xdx xdy
0 是可分离变量微分方程。
② xy 2 x dx
y x 2 y dy
0 是可分离变量微分方程。
③ x dy
y ln y
是齐次方程。
dx
x
④ xy y x 2 sin x 是一阶线性微分方程。
⑤ y y
2y
0 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2． y sin xy
x
cos x 的通解中应含
3
个独立常数。
3． y
e 2 x 的通解是 1
e 2x C 1 x C 2 。
4 1
4． y
sin 2x cos x 的通解是
cos x C 1 x C 2 。
sin 2x
4 5． xy 2x 2 y 2 x 3 y
x 4 1是 3
阶微分方程。
6．微分方程 y y y 6
0 是
2
阶微分方程。
7．y 1
所满足的微分方程是 y y 20 。x
8．y 2y
的通解为 y Cx 2。x
9．dx
dy0 的通解为 x 2y2 C 。y x
10．dy
2 y
5
y C x 1 2。
x 1 2，其对应的齐次方程的通解为
dx x1
x2
11．方程xy1x 2y0 的通解为y Cxe 2。
12．3 阶微分方程y x3的通解为 y1x 6C1 x C 2 x C 3。
120
三、选择题
1．微分方程xyy x y3y 4 y0 的阶数是( D )。
A．3 B ．4 C ．5 D ． 2
2 ．微分方程y x 2 y x5 1 的通解中应含的独立常数的个数为( A ) 。
A．3 B ．5 C ．4 D ． 2
3．下列函数中，哪个是微分方程dy2xdx0 的解( B )。
A．y 2x B ．y x2 C ．y2x D．yx
2
4．微分方程y3y 3的一个特解是( B)。
A．y x3 1 B． y x 2 3 C ．y x C 2 D ．y C 1 x3 5．函数 y cos x 是下列哪个微分方程的解 ( C ) 。
A．y y0 B ．y 2y0 C ．y n y 0 D． y y cos x
6．y C1e x C 2 e x是方程 y y0 的( A )，其中 C1， C 2为任意常数。
A．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对
7．y y 满足 y |x 0 2 的特解是( B ) 。
A．y e x 1 B． y 2e x
x
D ．y 3 e x C ．y 2 e2
8．微分方程y y sin x 的一个特解具有形式( C )。A．y* a sin x B． y * a cos x
C．y*x a sin x bcos x D． y* a cos x b sin x
9．下列微分方程中， ( A )
是二阶常系数齐次线性微分方程。
A ． y 2 y 0
B
． y xy 3 y 2
C ． 5y 4x 0
D ． y 2y 1 0
10．微分方程 y
y
0 满足初始条件 y 0 1的特解为 ( A )
。
A ． e x
B ． e x
1 C ． e x
1 D ．
2 e x
11．在下列函数中，能够是微分方程
y
y
0 的解的函数是 ( C )。
A ． y
1 B ． y
x C ． y
sin x
D ． y
e x
12 ． 过点 1,3 且切 线斜 率为 2x 的曲 线方 程 y
y x 应 满足的关 系是
( C ) 。
A ． y
2x B ． y 2x C ．y 2x ，y 1 3 D ． y 2x ， y 1 3
13．下列微分方程中，可分离变量的是
( B )
。
A ．
dy
y e
B ． dy k x
a b
y ( k , a , b 是常数 )
dx
x
dx
C ．
dy
sin y
x
D
． y xy
y 2 e x
dx
14．方程 y 2y 0 的通解是 ( C )
。
A ． y sin x
B ． y 4 e 2 x
C ． y
C
e 2 x D ． y
e x
15．微分方程
dx
dy 0 满足 y |x 3 4 的特解是 ( A )
。
y
x
A ． 2
2
25
．
． 2 2
D ．
2
2
7
x
y
B 3x 4y
C C x y
C
x
y
16．微分方程 dy
1 y
0 的通解是 y ( B
)
。
A ．
C
dx
x
C ．
1
B ． Cx
C
D ． x C
x
x
17．微分方程 y
y
0 的解为 ( B ) 。
A ． e x
B ． e x
C ． e x e x
D ． e x
18．下列函数中，为微分方程
xdx ydy
0的通解是 ( B ) 。
A ． x y C
B ． x 2 y 2
C
C ． Cx y 0
D ． Cx 2
y 0
19．微分方程2 ydy dx0的通解为 ( A )。
A．y2x C B ．y x C C ．y x C D ．y x C 20．微分方程cos ydy sin xdx 的通解是( D )。
A．sin x cos y C B． cos y sin x C
C．cos x sin y C D． cos x sin y C
21．y e x的通解为y( C )。
A．e x B ．e x C ．e x C1 x C2 D ．e x C1 x C2
22．按照微分方程通解定义，y sin x 的通解是( A)。
A．sin x C1 x C 2B． sin x C1 C 2
C．sin x C1 x C 2D． sin x C1C2
四、解答题
1．验证函数y C e 3 x e 2 x( C为任意常数)是方程dy
e 2 x3y 的通解，dx
并求出满足初始条件 y |x
0 的特解。
2．求微分方程x y 2 1 dx y 1x
2
dy 0 的通解和特解。
y |x01
解： 1 y2 C ， 2x2y 21
1 x
2 3．求微分方程dy
y tan
y
的通解。
y
dx x x Cx 。
解： sin
x
y x y
4．求微分方程y x 的特解。
y |x 12
解： y 22x 2 ln x 2 。
5．求微分方程y y cos x e sin x的通解。解： y e sin x x C
6．求微分方程dy
y sin x 的通解。
1dx x
x cos x C
解： y sin x
x
7
7．求微分方程x 1 y 2 y x 1 2
0的特解。
y |x 0 1
解： y23
x 1 2
31x 1 2 3
8．求微分方程y2y x满足初始条件 x0 ，y1， y 3 的特解。
x21
解： y x 33x 1
9．求微分方程y 2 yy 满足初始条件x0 ，y1， y 2 的特解。
解： arctan y x或 y tan x
4
4
10 ．验证二元方程x2xy y 2 C 所确定的函数为微分方程x 2 y y2x y 的解。
11．求微分方程e x y e x dx e x y e y dy0 的通解。
解： e x 1 e y1C
12．求dy
y tan x secx ， y |x 00 的特解。dx
解： y
x cos x
13．验证y1cos x ， y2sin x 都是 y2 y 0 的解，并写出该方程的通解。
14．求微分方程y2y x2的通解。
x
解： y Cx 2x 2 ln x
15．求微分方程y 1 y e x0 满足初始条件 y 10 的特解。
x
解： y e x
ex x
16．求微分方程
dy
x 2y x 1 3的通解。
dx1
解： y x 1 2x 1 2C
2
17．求微分方程x dx y dy 0 满足条件 y 01的特解。
1y1x
解： 2 y3x3 3 y 2x25
18．求微分方程y y 2 y0的通解。
解： y C1e x C2 e 2 x
19．求微分方程y 2 y 5 y0的通解。
解： y e x C1 cos 2x C 2 sin 2x
20．求微分方程y 4 y 4 y0的通解。
解： y C1 C 2 x e 2 x
21．试求y x 的经过点M 0,1且在此点与直线 y x
1相切的积分曲线。
112
解： y x 3x1
62
(B)
一、是非题
1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。( X )
2．若y1x，y2x都是 y P x y Q x的特解，且 y1 x 与 y2 x 线性无关，则通解可表为 y x y1x C y1x y2x 。( O)
3．函数y e 1x e 2x是微分方程 y12y 1 2 y 0 的解。(O ) 4．曲线在点x, y处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微
分方程是 y x 2 C ( C是任意常数)。( X )
5 ．微分方程y e2 x y，满足初始条件y |x00 的特解为 e y 1
e2 x1。2
(X )
二、填空题
1．y1cos x 与 y2 sin x 是方程 y y0 的两个解，则该方程的通解为y C1 cos x C 2 sin x 。
2．微分方程y 2 y3y0的通解为 y C1e x C 2 e3 x。
3．微分方程y 2 y y0 的通解为 y C1 C 2 x e x。
4．微分方程y e2 x的通解是 y 1 e2 x C1 x2 C 2 x C3。
8
5．微分方程y y' 的通解是 y C1e x C 2。
6．微分方程dy
2xy 的通解是y C e x 2。dx
三、选择题
1．微分方程y 4 y 4 y0的两个线性无关解是 (C)。
A．e2x与2 e2x B ．e2 x与x e2 x C ．e2 x与x e2x D ．e2 x与4 e2x
2 ．下列方程中，不是全微分方程的为 ( C )。
A．3x26xy 2 dx6x 2 y4y 2 dy0 B ．e y dx x e y 2 y dy 0
C．y x 2 y dx x 2dy0D．x 2y dx xdy0
3．下列函数中，哪个函数是微分方程s t g 的解(C)。
A． s gt B ．s gt 2 C ．s 1 gt2 D ．s 1 gt2
22 4．下列函数中，是微分方程y7 y12 y 0的解 (C)。
A．y x3 B ．y x2 C ．y e3 x D ．y e2 x
5．方程1x2y xy0 的通解是( D )。
A．
C1x2B ．C
C
．13 D ．1x2
Cx y Cxe2
y y
x2y x
12
6．微分方程y ln xdx x ln ydy 满足 y |x1 1 的特解是( A)。A．ln2x ln 2 y B．ln2x ln2y 1
C．ln2x ln 2 y0 D ．ln2x ln2y 1
7．微分方程1x 2dy 1 y2 dx0 的通解是(A )。A．arctan x arctan y C B ．tan x tan y C
C．ln x ln y C D． cot x cot y C
8．微分方程y sin x的通解是 ( C)。
A．y sin x B． y sin x
C．y sin x C1 x C 2D． y sin x C1 x C 2 9．方程xy y 3 的通解是(A)。
A．y C3 B ．y3C C ．y C 3 D． y C x x x 3
x
四、解答题
1．求微分方程y9 y24 x 6 cos3x 2 sin 3x的通解。
解： y C1x cos3x C 22x2x sin x3x
2．求微分方程y7 y 6 y sin x的通解。
解： y C1e6x C 2 e x17 cos x5sin x
74
3．求微分方程3x22xy y2 dx x 22xy dy0 的通解。
解： y 2xy x2C
x
(C)
一、是非题
1．只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。 X
2．已知二阶线性齐次方程y P x y Q x y 0的一个非零解y，即可求出它的通解。 (O)
二、填空题
1．微分方程y 4 y 5 y0 的通解是 y e2 x C1 cos x C 2 sin x。
2．已知y 1， y x ，y x2某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 y e2x C1 cos x C 2 sin x 。
3．微分方程y 2 y 2 y e x的通解为 y e x C1 cos x C2 sin x 1 。
三、选择题
1．微分方程y y1的通解为 () 。
x x x 21
A．arctanx C B ．1
arctan x C C ．
1
arctan x C D ．arctan x C x x x
2．微分方程y y1的通解是()。
A ．y C e x
B ．y
C e x 1 C． y C e x 1 D． y C 1 e x
3．
xy
y
3
的解是 ( )。
y |x 10
A ．y 3 1
1
B ．y 3 1 x
C ．y 1
1
D ．y 1 x
x x
4．微分方程dy
y tan
y
的通解为()。dx x x
A ．sin y
Cx B ．sin
y
1 C ．sin
x
Cx D ．sin
x
1 x x Cx y y Cx
5．已知微分方程y
5
2
7
p x y x 1 2的一个特解为 y*x 1 2，则此微分
3
方程的通解是 ()。
A ．C27B．C 2
x 1
x 1 2
x 1 23x 1 211 C．C x 1227 D ．x 122
x 1 2x 1
1137 2
7 2
6．微分方程y y e x1的一个特解应具有形式 ( 式中a，为常数 )( )。
b
A ．ae x b B． axe x b C． ae x bx D． axe x bx
四、解答题
1．设y e x是微分方程xy p x y x的一个解，求此微分方程满足条件
y |x ln 20 的特解。
解：代入 y e x到方程 xy p x y x 中，得 p x xe x x
原方程为 xy xe x x y x
y e x 1 C e e x， y e x 1 y1
1∵ x ln 2 ，y 0∴C e 2。
y e x
e x1
2 。
1 e
2．已知y1xe x e2x， y2xe x e x， y3 xe x e2x e x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
解： y1y3 e x， y3y2e2 x2e x均是齐次方程的解且线性无关。
C1e x C 2 e2 x2e x是齐次方程的通解。当 C1 2 ，C 2 1 时，齐次方程的特解为 e2x
e x、 e2 x都是齐次方程的解且线性无关。
∴ C1 e x C 2e2x是齐次方程的通解。
由此特征方程之根为 -1 ，2，故特征方程r2r 2 0 。
相应的齐次方程为 y y 2 y0
故所求的二阶非齐方程为
y y 2 y f x
y1是非齐次方程的特解代入上式得
f x 1 2x e x
所以 y y 2 y 1 2x e x为所求的微分方程。
3．已知f 01
，试确定 f x，使 e x f x ydx f x dy0 为全微分方程，并2
求此全微分方程的通解。
解： P e x f x y， Q f x ，由Q
P 得x y
f x e x f x ，即 f x f x e x
∴ f x e dx
C e x x C
e x e dx
∵ f 01 C ，∴ f x e x x 1 ，
22
得全微分方程：e x e x x1ydx e x x 1
dy 0
22
解得 u x, y0dx
y e x x1dy e x x
1
y 。
x
0022故此全微分方程的通解为e x x 1 y C 。
2