高考数学专题之排列组合小题汇总
2024年高考数学专项复习排列组合专题03 排队问题(解析版)
专题3排队问题例1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种例2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C A D ．2285C A 例3．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为()A ．2575C A B ．2275C A C ．2273C A D ．2274C A 例4．在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()A ．6B ．12C ．24D ．18例5．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有()A ．4545A A B ．343245A A A C ．145345C A A D ．245245A A A 例6．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是()A ．360B ．288C ．216D ．96例7．公因数只有1的两个数，叫做互质数．例如：2与7互质，1与4互质．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567ααααααα 中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有()种．A ．576B ．720C ．864D ．1152例8．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A ．168B ．20160C ．840D ．560例9．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同2024年高考数学专项复习排列组合专题03 排队问题（解析版）的发车顺序共有()A．36种B．108种C．216种D．720种例10．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有()A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有个．（用数字作答）例12．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数（1）甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种．（2）甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种．（3）甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种．（4）甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种．（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种．（6）女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种．（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有种．（8）甲乙之间有且只有4人的排法有种．例13．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有种（结果用数值表示）．例14．从集合{P，Q，R，}S与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是．（用数字作答）、例15．从集合{O，P，Q，R，}S与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是．（用数字作答）．例16．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示）．例17．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？例18．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？例19．三个女生和四个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？例20．现有8个人(5男3女）站成一排．（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？例21．已知有7名同学排队照相：（1）若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法？（2）若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？（6）若排成一圈，有多少种不同的排法？例22．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照．（1）甲必须排在中间，有多少种不同的排法？（2）丁不能排在中间，有多少种不同的排法？（3）丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？例23．7位同学站一排．（1）站成两排（前3后4)，共有多少种不同的排法？（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？（5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？(11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？例24．6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法？①甲、乙必须站在排头或排尾②甲、乙．丙三人相邻③甲、乙、丙三人互不相邻④甲不在排头，乙不在排尾⑤若其中甲不站在左端，也不与乙相邻．例25．（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？例26．6个人坐在一排10个座位上，问（1）空位不相邻的坐法有多少种？（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？专题3排队问题例1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种【解析】可分3步．第一步，排两端， 从5名志愿者中选2名有2520A =种排法，第二步，2 位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有4424A =种排法第三步，2名老人之间的排列，有222A =种排法最后，三步方法数相乘，共有20242960⨯⨯=种排法故选：B ．例2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C AD ．2285C A 【解析】从后排8人中选2人共28C 种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，∴为26A 故选：C ．例3．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为()A ．2575C A B ．2275C A C ．2273C A D ．2274C A 【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有27C 种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有25A ，∴不同的调整方法有2275C A ，故选：B ．例4．在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()A ．6B ．12C ．24D ．18【解析】在数字1，2，3与符号“+”，“-”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“+”，“-”两个符号插入，有222A =种方法，共有12种方法，故选：B ．例5．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有()A ．4545A AB ．343245A A A C ．145345C A AD ．245245A A A 【解析】先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有22A 种放法，再考虑4幅油画本身排放有44A 种方法，5幅国画本身排放有55A 种方法，故不同的陈列法有245245A A A 种，故选：D ．例6．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是()A ．360B ．288C ．216D ．96【解析】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列共有22233243432C A A A =种，在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有222232322144C A A A ⨯=种，∴不同的排列方法共有432144288-=种故选：B ．例7．公因数只有1的两个数，叫做互质数．例如：2与7互质，1与4互质．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567ααααααα 中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有()种．A ．576B ．720C ．864D ．1152【解析】根据题意，先排1、5、7，有336A =种情况，排好后有4个空位，对于2、4、6和3这四个数，分两种情况讨论：①3不在2、4中间，可先将2、4、6排在4个空位中，有3424A =种情况，3不能放在6的两边，有5种排法，则此时有245120⨯=种不同的排法，②3在2、4之间，将这三个数看成整体，有2种情况，与6一起排在4个空位中，有2412A =种情况，则此时有21224⨯=种不同的排法，则2、4、6和3这四个数共有12024144+=种排法；则使相邻两数都互质的不同排列方式共有6144864⨯=种；故选：C ．例8．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()A ．168B ．20160C ．840D ．560【解析】从后排8人中选2人共28C 种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，65∴⨯则不同调整方法的种数是2286840C A =．故选：C ．例9．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有()A ．36种B ．108种C ．216种D ．720种【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有3363C C ，再将两组分别按要求排序，各有33A 种，因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有33336333720C C A A =种．故选：D ．例10．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有()A ．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法B ．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法C ．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法D ．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法【解析】A 中4444576A A =，B 中3535720A A =，C 中43222234333223(3)1440A A C C A A A ++=，D 中43451440A A =．综上可得：CD 正确．故选：CD ．例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有576个．（用数字作答）【解析】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有33A 种结果，这三个元素形成四个空，把7和8在这四个位置排列有24A 种结果，三对相邻的元素内部各还有一个排列22A ，根据分步计数原理得到这种数字的总数有3222234222576A A A A A =，故答案为：576．例12．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数（1）甲站正中间的排法有8！种，甲不站在正中间的排法有种．（2）甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种．（3）甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种．（4）甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种．（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种．（6）女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种．（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有种．（8）甲乙之间有且只有4人的排法有种．【解析】（1）甲站正中间的排法有8！，甲不站在正中间的排法有88⨯！；（2）甲、乙相邻的排法有28⨯！，甲乙丙三人在一起的排法有67⨯！；（3）甲站在乙前的排法有192！，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有196！，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有193！；（4）甲乙不站两头的排法有2777A A ；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9！28-⨯！7+！；（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有25⨯！4⨯！；（6）女生互不相邻的排法有5！46A ⨯；男女相间的排法有5！4⨯！；（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有9！28-⨯！227⨯+⨯！；（8）甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法．4724A ⨯⨯！．故答案为：（1）8！，88⨯！（2）28⨯！，67⨯！（3）192！，196！，193！；（4）2777A A ；9！28-⨯！7+！；（5）25⨯！4⨯！；（6）5！46A ⨯，5！4⨯！2⨯（7）9！28-⨯！227⨯+⨯！；（8）4724A ⨯⨯！．例13．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有10种（结果用数值表示）．【解析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5211110⨯⨯⨯⨯=故答案为10例14．从集合{P，Q，R，}S与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是5832．（用数字作答）、【解析】各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），共有2244104C C A；每排中字母Q和数字0都出现有114394C C A符合题意不同排法种数是224114 41043945832C C A C C A-=．故答案为：5832例15．从集合{O，P，Q，R，}S与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是8424．（用数字作答）．【解析】由题意知每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个，本题可以分类来解（1）这三个元素只选O，有1239433624C C A=⨯⨯（2）这三个元素只选Q同理有33624⨯⨯（3）这三个元素只选0有2143943924C C A=⨯⨯（4）这三个元素O Q0都不选有22439433624C C A=⨯⨯根据分类计数原理将（1）（2）（3）（4）加起来33624336243924336248424⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=故答案为：8424例16．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是135（结果用分数表示）．【解析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是8本书全排列有88A种方法，而符合条件的事件数要分为二步完成：首先两套中任取一套，作全排列，有1424C A 种方法；剩下的一套全排列，有44A 种方法；∴概率为：14424488135C A A A =，故答案为：135．例17．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？【解析】（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634A A =320种不同的排法．（2）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有535614A A =400种不同的排法．（3）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有25A 种排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有25A 6614A =400种不同的排法．（4）三个女生和五个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生的排法2636A A 种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636A A A -=000种不同的排法．（5）甲必须在乙的右边即为所有排列的221A ，因此共有8822120A A = 160种不同的排法．例18．三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解析】（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有36364320A A=种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有535614400A A=种；（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有265614400A A=种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有38336A=种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，3535720A A=种例19．三个女生和四个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？【解析】（1）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有33A种情况，再将其与4名男生进行全排列，有55A种情况，则共有5353720A A⨯=种排法；（2）用插空法，先将4名男生全排列，有44A种情况，排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有35A种情况，则共有43451440A A=种排法；（3）在4名男生中任取2人，安排在两端，有242C 种情况，再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有55A 种情况，则共有254521440C A ⨯=种排法；（4）用排除法，7人进行全排列，有77A 种排法，两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有2535A A 种站法，则共有7257354320A A A -= 种排法；（5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，则有3620C =种排法；（6）先在7个位置中安排3名女生，有37A 种排法，剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，则有372420A =种排法．例20．现有8个人(5男3女）站成一排．（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(10)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解析】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，将这个整体与5名男生全排列，有66A 种情况，则女生必须排在一起的排法有3636A A 种；（2）根据题意，甲必须站在排头，有2种情况，将剩下的7人全排列，有77A 种情况，则甲必须站在排头有772A 种排法；（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有26A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则甲、乙两人不能排在两端有2666A A 种排法；（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有66A 种情况，排好后有7个空位，则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有27A 种情况，则甲、乙两人不相邻有2676A A 种排法；（5）根据题意，将8人全排列，有88A 种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有8812A 种不同的排法；（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有55A 种情况，排好后有6个空位，则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有36A 种情况，其中甲乙丙不能彼此相邻有5356A A 种不同排法；（7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有55A 种情况，将男生、女生整体全排列，有22A 种情况，则男生在一起，女生也在一起，有235235A A A 种不同排法；（8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有222525C A A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A种情况，则第3和第6个排男生，有2656A A种不同排法；（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有25A种情况，将剩下的6人全排列，有66A种情况，甲乙不能排在前3位，有2656A A种不同排法？(10)根据题意，将5名男生全排列，有55A种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A种情况，则女生两旁必须有男生，有5354A A种不同排法．例21．已知有7名同学排队照相：（1）若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法？（2）若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？（6）若排成一圈，有多少种不同的排法？【解析】有7名同学排队照相：（1）若徘成两排照，前徘4人，后排3人，有43735040A A=种方法．（2）若徘成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，若乙、丙在前排，则从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到前排，其余的在后排，方法有143443576A A A=种，若乙、丙在后排，从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到后排，其余的人在前排，方法有134434576A A A=种，故共有5765761152+=种方法．（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的5人排好，5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有251254960A A A=种．。
新高考数学题型全归纳之排列组合 专题01 两个计数原理(解析版)
专题1 两个计数原理类型一、加法原理【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种． 【解析】18+38=56．【例2】若a 、b 是正整数，且6a b ≤+，则以()a b ，为坐标的点共有多少个？ 【解析】66=36´．【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．648【解析】由题意知本题要分类来解， 当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256创= 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果， 共有98172创=根据分类计数原理知共有25672328+= 故选：B ．【例4】用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）A ．8B ．24C ．48D ．120【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有122A =种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有3443224A =创=种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有22448?（个)．故选：C ．【例5】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A =个； ②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A =个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A =个；最后还有5420也满足题意. 所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175． 类型二、乘法原理【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法． 【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出， 则进门的方法有4种，出门的方法也有4种， 则不同的走法有4416?种【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______． 【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法， 同理第二个小球也有4种不同的放法， 第三个小球也有4种不同的放法， 即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知共有即44464创=不同的放法， 故答案为：64．【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种．【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有25A 安排方法，故不同的安排种法有256120A ?，故答案为120．【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【解析】111838684C C = 【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法63729=种．【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？ 【解析】由题意，每项比赛的冠军都有6种可能，因为有3项体育比赛，所以冠军获奖者共有36666创=种可能【例12】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【解析】解析：可分三步来做这件事： 第一步：先将3、5排列，共有22A 种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有222A 种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有15C 种排法．由分步乘法计数原理得共有221225240A A C =（种)． 答案为：40【例13】从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n +=中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{()|||11B x y x ，，=<且||9}y <内的椭圆个数为（ ） A ．43B ．72C ．86D ．90【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，m n ¹，所以有两类， 一类是m ，n 从{1，2，3，6¼，7，8}任选两个不同数字，方法有2856A = 令一类是m 从9，10，两个数字中选一个，n 从{1，2，3，6¼，7，8}中选一个 方法是：2816?所以满足题意的椭圆个数是：561672+= 故选：B ．【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2y x =-，值域为{19}，--的“同族函数”共有（ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有1-、1中的一个和3-、3中的一个，满足条件的定义有：{1-，3}-、{1-，3}、{1，3}-、{1，3}、{1-，1，3}-、{1-，1，3}、{1-，3-，3}、{1，3-，3}、{1-，1，3-，3}，共9个．故选：C ．【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（ ）A ．90个B ．99个C ．100个D ．112个【例16】从集合{4321012345}，，，，，，，，，----中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（ ）A ．10B ．32C ．110D ．220【解析】从集合{1-，2-，3-，4-，0，1，2，3，4，5}中，随机选出5个数组成 子集，共有105C 种取法，即可组成105C 个子集，记“这5个数中的任何两个数之和不等于1”为事件A ，而两数之和为1的数组分别为(1,2)-，(2,3)-，(3-，4)(4-，5)，(0,1)，A 包含的结果有①只有有一组数的和为1，有5422213111160C C C C C =种结果②有两组数之和为1，有562160C C =种， 则A 包含的结果共有220种 故答案为：220．【例17】若x 、y 是整数，且6x ≤，6x ≤，则以()x y ，为坐标的不同的点共有多少个？ 【解析】整数x ，y 满足6x ≤，6x ≤ 则{6,5,4,3x A?----，2-，1-，0，1，2，3,4,5,6}，{6,5,4y B?---，3-，2-，1-，0，1，2，3，4,5,6}，从A 种选一个共有13种方法，从B 选一个共有13种方法， 故有1313169?种．故答案为：169．【例18】用0，1，2，3，4，5这6个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数． ⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【解析】（1）根据题意，分2步分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种方法， ②、在剩下的5个数字中任选2个，安排在十位、个位，有2520A =种选法， 则可以组成520100?个无重复数字的三位数（2）分3步进行分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种选法，②、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则十位有6种选法， ③、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则个位有6种选法， 则可以组成566180创=个数字允许重复的三位数；【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？ 【解析】63333333创创?【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（ ）种．A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少1名教师， 只有一种结果1，2，首先从3个人中选2个作为一个元素， 使它与其他两个元素在一起进行排列，共有22326C A =种结果， 故选：B ．类型三、基本计数原理的综合应用【例21】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答） 【解析】按首位数字的奇偶性分两类： 一类是首位是奇数的，有：2323A A ；另一类是首位是偶数，有：322322()A A A -则这样的五位数的个数是：2332223322()20A A A A A +-=． 故答案为：20．【例22】若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)n n n ++++均不产生进位现象．则称n 为“可连数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因232425++产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（ ）A ．27B ．36C ．39D ．48【解析】如果n 是良数，则n 的个位数字只能是0，1，2，非个位数字只能是0，1，2，3（首位不为0)， 而小于1000的数至多三位， 一位的良数有0，1，2，共3个二位的良数个位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有339?个三位的良数个位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有34336创=个． 综上，小于1000的“良数”的个数为393648++=个 故选：D ．【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【解析】依题意，正方体的8个顶点所确定的平面有：6个表面，6个对角面，8个正三角形平面共20个. 故答案为：20【例24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．【解析】因为3855711=⨯⨯，在1~385这385个自然数中，5的倍数有385[]775=（个)， 7的倍数有385[]557=（个)，11的倍数有385[]3511=（个)，5735⨯=的倍数有385[]1135=（个)，51155⨯=的倍数有385[]755=（个)， 71177⨯=的倍数有385[]577=（个)，385的倍数有1个． 由容斥原理知，在1~385中能被5、7或11整除的数有775535(1175)1145++−+++=（个)， 而5、7、11互质的数有385145240−=（个)．即分母为385的真分数有240（个)． 如果有一个真分数为385a，则必还有另一个真分数385385a −，即以385为分母的最简真分数是成对出现的， 而每一对之和恰为1．故以385为分母的240最简分数可以分成120时，它们的和为1120120⨯=． 【例25】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A =个； ②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A =个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A =个；最后还有5420也满足题意. 所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175．【例26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000创创创?”到“9999创创创?”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）A ．2000B ．4096C ．5904D ．8320【解析】10000个号码中不含4、7的有484096=， \ “优惠卡”的个数为1000040965904-=，故选：C ．【例27】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（ ）A ．6B ．9种C ．11种D ．23种【解析】设四人分别为a 、b 、c 、d ，写的卡片分别为A 、B 、C 、D ， 由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a 有三种拿法，不妨设a 拿了B ，则b 可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c 和d 只能有一种拿法， 所以共有33119创?种分配方式，故选：B．【例28】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）A．504B．210C．336D．120【解析】由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，\三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果根据分步计数原理得到共有插法种数为789504创=，故选：A．【例29】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（）A．15种B．12种C．9种D．6种【解析】同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗，\只有中间三个坑需要选择树苗，当中间一个种甲时，第二和第四个坑都有2种选法，共有4种结果，当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙，当中间这个种乙时，第二和第四个位置树苗确定，当中间一个种丙时，第二和第四个位置树苗确定，共有2种结果，\总上可知共有426+-种结果，故选：D．【例30】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256创=当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有98172创=根据分类计数原理知共有25672328+=故选：B．【例31】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有( )A．3种B．4种C．5种D．6种【解析】得3分最多6场，则1分的1场，剩余的场次均得0分；若3分的共5场，则1分的共4场；若3分的共4场，则1分的共7场；若得3分的共3场，则1分的共9场；若得3分的2场，则1分的13场，不合题意，故选B.。
高中数学搞定排列组合方法,各种问题大全
高考数学定排列组合方法 问题大全排队问题大全三男四女排队30问小结[ 典例 ]：有3名男生和4名女生，若分别满足下列条件， 则各有多少种不同的排法：1．全体排一排：504077=A 2、选5人排一排：==575557A A C 2520３．甲站在正中间：6!=720 ____________ ４．甲只能站在正中间或两头： ５．甲既不在排头也不在排尾：６．甲、乙必须在两头： ______________ ７．甲、乙不站排头和排尾： ____________ ８．甲不在排头、乙不在排尾：９．甲在乙的右边： ________________ １０．甲、乙必须相邻： _____________ １１．甲、乙不能相邻：１２．甲、乙、丙三人都相邻： １３．甲、乙、丙三人都不相邻：１４．７人排成一排，其中甲、乙、丙三人中，有两人相邻，但这三人不同时相邻： １５．男女生各站在一起：１６．男生必排在一起： __( 或女生必排在一起：______________ ) １７．男女各不相邻(即男女相间、4女互不相邻)： １８．男生不排在一起：１９．任何两男生彼此不相邻： ２０．甲、乙两人之间须相隔１人： ２１．甲、乙两人中间恰有3人：２２．甲、乙、丙3人自左至右顺序不变(即男生顺序一定,只排女生)： ２３．从左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁的顺序不变(即只排男生)： ２４．甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻： ２５．甲、乙相邻且丙不站排头和排尾： ２６．排成前后两排，前3人后4人：２７．前3后4人且甲、乙在前排，丙排后排：２８．三名男生身高互不相同，且从左到右按从高到矮顺序排： ２９．若两端都不能排女生：一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A = C 14A 34C 13练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
高中数学排列组合专题练习题
高中数学排列组合专题练习题一、选择题1、从 5 名男同学和 4 名女同学中选出 3 名男同学和 2 名女同学，分别担任 5 种不同的职务，不同的选法共有（）A 5400 种B 18000 种C 7200 种D 14400 种解析：第一步，从 5 名男同学中选出 3 名，有\（C_{5}＾3\）种选法；第二步，从 4 名女同学中选出 2 名，有\（C_{4}＾2\）种选法；第三步，将选出的 5 名同学进行排列，有\（A_{5}＾5\）种排法。
所以不同的选法共有\（C_{5}＾3 × C_{4}＾2 × A_{5}＾5 ＝ 10×6×120 ＝7200\）种，故选 C。
2、有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本。
若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（）A 24B 48C 72D 96解析：先排语文书有\（A_{2}＾2 ＝ 2\）种排法，再在语文书的间隔（含两端）处插数学书有\（A_{3}＾2 ＝ 6\）种插法，最后将物理书插入 4 个间隔中的一个有 4 种方法。
所以共有\（2×6×4 ＝ 48\）种排法，故选 B。
3、从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中，任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A 300B 216C 180D 162解析：分两类情况讨论：第一类：取出的偶数含 0。
偶数 0 和另外一个偶数的取法有\（C_{2}＾1\）种，奇数的取法有\（C_{3}＾2\）种。
0 在个位时，其他三个数字全排列，有\（A_{3}＾3\）种；0 不在个位时，0 有 2 种位置，其他三个数字全排列，有\（2×A_{2}＾1×A_{2}＾2\）种。
此时共有\（C_{2}＾1×C_{3}＾2×（A_{3}＾3 ＋ 2×A_{2}＾1×A_{2}＾2) ＝ 108\）种。
2023年高考数学----排列组合高考常见小题全归类真题练习(含答案解析)
2023年高考数学----排列组合高考常见小题全归类真题练习（含答案解析）1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种【答案】B【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B2．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C．3．（2020·山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A．12 B．120 C．1440 D．17280【答案】C【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有3243C C种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，共有55A种情况．所以共有3254351440C C A=种不同安排方法．故选：C4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种【答案】C【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C5．（2020·海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有126561060C C⋅=⨯=种．故选：C6．（2020·全国·统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12．设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称ai ，aj ，ak 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称ai ，aj ，ak 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．15【答案】C 【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i −=−=．∴1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===． 原位小三和弦满足：4,3k j j i −=−=．∴1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===． 故个数之和为10．故选：C ．7．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 【答案】635． 【解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===． 故答案为：635． 8．（2020·全国·统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．【答案】36【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C=现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A=根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种故答案为：36．。
2024届高考数学易错题专项(排列组合)练习(附答案)
2024届高考数学易错题专项(排列组合)练习易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不A．12C．1 4易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题） 1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ） A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有7676A 2A 种排法2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ）A ．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B ．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C ．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D ．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法3．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）A ．4个空位全都相邻的坐法有120种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）．A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）A ．4个空位全都相邻的坐法有720种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种C ．4个空位均不相邻的坐法有1800种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（ ）A ．731424735454A A A A A A -- B ．4343A AC ．7314222473543254A A A A C A A A -- D ．4345A A7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D ．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法8．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（ ）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D ．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种9．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有72种10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（ ）A ．36B ．72C ．81D ．14411．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）A ．288种B ．360种C ．480种D ．504种12．A ，B ，C ，D ，E 五名学生按任意次序站成一排，其中A 和B 不相邻，则不同的排法种数为（ ）A ．72B ．36C ．18D ．64易错点三：忽视排列数、组合数公式的隐含条件（排列组合综合） 1．()(2)(3)(4)(15)N ,15x x x x x x +----∈> 可表示为（ ）在车站的个数为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．188．不等式2886x x A A -<⨯的解集为（ ）A ．{2，8}B ．{2，6}C ．{7，12}D ．{8}9．若24C P mm n n =，则m = . 10．已知()1111A A A N ,2n n n n n n x n n -+-+++=∈≥，求x 的值． 11．解关于正整数x 的不等式288P 6P x x -<． 12．解关于正整数n 的方程：4321A 140A n n +=．13．已知57A 56C n n =，且()201212nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+.求12323n a a a na +++⋅⋅⋅+的值. 14．（1）解不等式266A 4A x x -<．（2）若2222345C C C C 55n ++++= ，求正整数n ．15．（1）若32213A 2A 6A x x x +=+，则x = .（2）不等式46C C n n >的解集为 .易错点四：实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误（加法与乘法原理） 1．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方染共有（）A．81 B．48 C．36 D．245．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（）种A．24 B．36 C．48 D．606．将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（ ）A．30种B．90种C．180种D．270种7．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为A．484B．472C．252D．2328．下列说法正确的是（）A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有24种报名方法C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有64种可能的结果D．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为12个9．如图，线路从A到B之间有五个连接点，若连接点断开，可能导致线路不通，现发现AB之间线路不通，则下列判断正确的是（）A．至多三个断点的有19种B．至多三个断点的有22种C．共有25种D．共有28种10．某班有5名同学报名参加校运会的四个比赛项目，计算在下列情况下各有多少种不同的报名方法. （1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，每项都有人报名，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加了项目，且每个项目均有人参加.11．已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．（1）若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？（2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？12．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）13．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有（用数字作答）14．某单位有A、B、C、D四个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人，去参加再就业培训，培训后这8人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，问共有种不同的安排方法？易错点五：均匀分组与不均匀分组混淆致误（相同元素与不同元素分配问题）1．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（）A．6种B．12种C．18种D．24种2．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有（）A．42种B．36种C．72种D．46种3．阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（）A．216 B．288C．432 D．5124．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．50种D．60种5．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲､乙等6人报名参加了A､B､C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A､B项目，乙不能参加B､C项目，那么共有（）种不同的选拔志愿者的方案.A．36 B．40 C．48 D．526．现有甲､乙､丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排总数为（）易错点六：由于重复计数致错（可重复与限制问题）1．2023年6月25日19时，随着最后一场比赛终场哨声响起，历时17天的．2023年凉山州首届“火洛杯”禁毒防艾男子篮球联赛决赛冠军争夺赛在凉山民族体育馆内圆满闭幕，为进一步展现凉山男儿的精神风貌主办方设置一场扣篮表演，分别由西昌市、冕宁县、布拖县、昭觉县4个代表队每队各派1名球员参加扣且在游览过程中必须按先M后N的次序，则不同的游览线路有多少种？9．用0,1,2,3,4,5,6可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？10．某单位安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日，共有多少种不同的安排方法？参考答案易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不A ．18种B ．36种C ．72种D ．144种【答案】C【详细分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解.【答案详解】由题意可得12331233A A A A 72=，故选:C7．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（ ） A ．144 B ．864 C ．1728 D ．2880【答案】C【详细分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.【答案详解】甲家庭的站法有2223A A 12=种，乙家庭的站法有3234A A 72=种，最后将两个家庭的整体全排列，有22A 2=种站法，则所有不同站法的种数为127221728⨯⨯=． 故选：C8．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A 和B 不相邻，则不同的排法共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．360种 D ．480种【答案】D【详细分析】正难则反，首先我们可以求出6名学员随机站成一排的全排列数即66A ，然后求学员A 和B 相邻的排列数，两数相减即可.【答案详解】一方面：若要求学员A 和B 相邻，则可以将学员A 和B 捆绑作为一个“元素”，此时一共有5个元素，但注意到学员A 和B 可以互换位置，所以学员A 和B 相邻一共有2525A A 2154321240⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.另一方面：6名学员随机站成一排的全排列数为66A 654321720=⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.结合以上两方面：学员A 和B 不相邻的不同的排法共有625625A A A 720240480-⋅=-=种排法.故选：D.9．某高铁动车检修基地库房内有A E ~共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车01,02、A．12C．1 4【答案】B【详细分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.【答案详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，根据分步乘法原理得，有22222A A 8⨯⨯=种不同的排法.故选：B12．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有（ ）A ．70种B ．72种C ．36种D ．12种【答案】C【详细分析】相邻问题用捆绑法即可得解.【答案详解】甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，则共有3333A A 36=种排法.故选：C13．现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ）A ．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种B ．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种C ．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种D ．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种 【答案】ABC【详细分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解.【答案详解】由题意知，现有2名男生和3名女生，对于A 中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有3252A A 120=种排法，所以A 正确；对于B 中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有3333A A 36=种排法，所以B 正确；对于C 中，全体排成一排，男生互不相邻，则有3234A A 72=种排法，所以C 正确；对于D 中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有13A 3=种排法，此时乙有13A 3=种排法，共有113333A A A 54=种排法；C ．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D ．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】AC【详细分析】对于A ，根据社区A 必须有同学选择，由甲､乙､丙三名同学都有5种选择减去有4种选择求解；对于B ，根据同学甲必须选择社区A ，有乙丙都有5种选择求解；对于C ，根据三名同学选择的社区各不相同求解；对于D ，由甲､乙两名同学必须在同一个社区，捆绑再选择求解；【答案详解】对于A ，如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有335461-=（种），故A 正确； 对于B ，如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有2525=（种），故B 错误；对于C ，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有54360⨯⨯=（种），故C 正确； 对于D ，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有2525=（种），故D 错误. 故选：AC.18．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（ ）A ．3名男生排在一起，有6种不同排法B ．2名女生排在一起，有48种不同排法C ．3名男生均不相邻，有12种不同排法D ．女生不站在两端，有108种不同排法 【答案】BC【详细分析】利用捆绑法可判断A 、B ；利用插空法可判断C ；利用分步计数法可判断D. 【答案详解】解：由题意得：对于选项A ：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有3333A A 36⋅=种，A 错误；对于选项B ：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有2424A A 48⋅=种，B 正确；对于选项C ：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有2323A A 12⋅=种，C 正确；对于选项D ：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有2232C A 6⋅=种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有223323C A A 36⋅⋅=种，D 错误.故选：BC易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题）1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有7676A 2A -种排法【答案】AC【详细分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【答案详解】选项A ,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有33A 种，加上4名男生一共有5个个体，则有55A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有5335A A 种排法，故A 正确；选项B ,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有44A 种，再将3名女生插入空中，有35A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有4345A A 种排法，故B 不正确；选项C ,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有16C 种，再将剩余的6人全排列，有66A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有1666C A 种排法，故C 正确；选项D ,利用间接法，3人站成一排共有77A 种排法，若甲站最左边有66A 种排法，乙站最右边有66A 种排法，甲站最左边且乙站最右边有55A 种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有765765A 2A A -+种排法，故D 不正确； 故选：AC.2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ）A ．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B ．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C ．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D ．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法 【答案】AD【详细分析】根据全排列、捆绑法、插空法，结合分步与分类计数原理依次详细分析选项，即可判断. 【答案详解】A ：从3个歌唱节目选1个作为开场，有13C =3种方法，后面的5个节目全排列，所以符合题意的方法共有553A 360=种，故A 正确；B ：将2个舞蹈节目捆绑在一起，有22A 2=种方法，再与其余4个节目全排列，所以符合题意的方法共有552A 240=，故B 错误；C ：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有44A 24=种，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，所以符合题意的方法有2524A 480=种，故C 错误；D ：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言， 所以不同的选法共111111323121C C C C C C 11++=种，故D 正确. 故选：AD.3．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ） A ．4个空位全都相邻的坐法有120种 B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种 C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种 【答案】AC【详细分析】对于A ，用捆绑法即可；对于B ，先用捆绑法再用插空法即可；对于C ，用插空法即可；对于D ，用插空法的同时注意分类即可.【答案详解】对于A ，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：55A 120=种，故A 对；对于B ，先排4个学生44A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有25A 种方法，所以一共有4245480A A =种，故B 错；对于C ，先排4个学生44A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入4个学生形成的5个空位中有45C 种，所以一共有4445A C 120=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有：4245A C 240=，空位只有两个相邻的有412454A C C 720=，所以一共有1202407201080++=种，故D 错； 故选：AC.4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）．A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种 【答案】BCD【详细分析】根据相关的计数原理逐项详细分析.【答案详解】对于A ，将甲乙捆绑有22A 种方法，若戊在丙丁之间有22A 排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有14A 种方法；若丙丁相邻，戊在左右两边有2122A A 种排法，但甲乙必须插在丙丁之间，一共有212222A A A 种排法，所以总的排法有221212224222A A A A A A 24+= ，故A 错误；对于B ，若甲在最左端，有44A 24= 种排法，若乙在最左端，先排甲有13A 3= 种排法，再排剩下的3人有33A 6= ，所以总共有243642+⨯= 种排法，正确；对于C ，先将甲乙丙按照从左至右排好，采用插空法，先插丁有14A 种，再插戊有15A 种，总共有1145A A 20=种，正确；对于D ，先分组，将甲乙丙丁分成3组有24C 种分法，再将分好的3组安排在3个社区有33A 种方法，共有2343C A 36= 种方法，正确；故选：BCD.5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ） A ．4个空位全都相邻的坐法有720种 B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种 C ．4个空位均不相邻的坐法有1800种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种 【答案】AC【详细分析】对于A ，用捆绑法即可;对于B ，先用捆绑法再用插空法即可；对于C ，用插空法即可；对于D ，用插空法的同时注意分类即可.【答案详解】对于A,将四个空位当成一个整体，全部的坐法：66A 720=，故A 对；对于B ，先排5个学生55A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有26A 中方法，所以一共有5256A A 3600=种，故B 错；对于C ，先排5个学生55A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入5个学生中有46C 种，所以一共有5456A C 1800=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有1800种，空位两个两个相邻的有： 5256A C 1800=，空位只有两个相邻的有521564A C C 7200=，所以一共有18001800720010800++=种，故D 错；故选：AC6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（ ）A ．731424735454A A A A A A --B ．4343A AC ．7314222473543254A A A A C A A A -- D ．4345A A【答案】CD【详细分析】第一种排法：先排4名粉丝，然后利用插空法将歌手排好；第二种排法：先计算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用总排法去掉前面两种不满足题意的排法即可 【答案详解】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有44A 种排法； ②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有35A 种情况． 则有4345A A 种排法，第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有314354A A A 种排法，再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有22243254C A A A 种排法， 则歌手不相邻有3142224354773254A A A C A A A A --种排法． 故选：CD7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法故选：BC.10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（ ）A ．36B ．72C ．81D ．144【答案】D【详细分析】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.【答案详解】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法， 将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，故共有3434A A 624144=⨯=种不同的排法，故选：D11．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）A ．288种B ．360种C ．480种D ．504种【答案】C【详细分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案. 【答案详解】先安排甲乙以外的4个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有4245A A 480=种.故选：C12．A ，B ，C ，D ，E 五名学生按任意次序站成一排，其中A 和B 不相邻，则不同的排法种数为（ ）A ．72B ．36C ．18D ．64【答案】A【详细分析】先将其余三人全排列，利用插空法求解. 【答案详解】解：先将其余三人全排列，共有33A 种情况， 再将A 和B 插空，共有24A 种情况，所以共有2343A A 12672=⨯=种情况，故选：A.。
高考数学排列组合真题汇编
高考数学排列组合真题一、选择题:1．（高考山东卷理科8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种【答案】B【解析】分两类：第一类：甲排在第一位，共有种排法；第二类：甲排在第二位，共有种排法，所以共有编排方案种，故选B。
【命题意图】本题考查排列组合的基础知识，考查分类与分步计数原理。
2．（高考全国卷I理科6）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A)30种(B)35种(C)42种(D)48种2.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.3．(高考天津卷理科10)如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。
则不同的涂色方法共有（A）288种（B）264种（C）240种（D）168种【答案】B【解析】分三类：（1）B、D、E、F用四种颜色，则有种方法；（2）B、D、E、F用三种颜色，则有种方法；（3）B、D、E、F用二种颜色，则有，所以共有不同的涂色方法24+192+48=264种。
【命题意图】本小题考查排列组合的基础知识，考查分类讨论的数学思想，有点难度。
4.(高考数学湖北卷理科8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A．152B.126C.90D.54【答案】B【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确.5.(高考湖南卷理科7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A．10B.11C.12D.15【答案】B6．（高考四川卷理科10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72（B）96（C）108（D）144解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个答案：C7．（高考北京卷理科4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A）（B）（C）（D）【答案】A解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有种排法，然后将两位老师插入9个空中，共有种排法，因此一共有种排法。
高中数学排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A 、38 B、83 C、38A D 、38C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
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5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（ ）
A ． 300种
B ． 150种
C ． 120种
D ． 90种
6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种.
A ． 105
B ． 95
C ． 85
D ． 75
7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，
且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ） A ． 种 B ． 种 C ． 种 D ． 种
8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A ． 168种 B ． 156种 C ． 172种 D ． 180种
9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ）
A ． 14400
B ． 28800
C ． 38880
D ． 43200
10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A ． 240种 B ． 188种 C ． 156种 D ． 120种
11．定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ∃∈，满足1t t a a +<，且*s N ∃∈，满足1S S a a +>.已知“有增有
减”数列{}n a 共4项，若{}(),,1,2,3,4i a x y z i ∈=，且x y z <<，则数列{}n a 共有（ ） A ． 64个 B ． 57个 C ． 56个 D ． 54个
12．一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？（ ） A ． 5 B ． 25 C ． 55 D ． 75
13．如图所示，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A ． 400种
B ． 480种
C ． 460种
D ． 496种
14．定义“规范01数列”{}n a 如下: {}n a 共有2m 项,其中m 项为0, m 项为1,且对任意2,k m ≤ 1,a
2,,k a a ⋅⋅⋅中0的个数不少于1的个数,若4,m =则不同的“规范01数列”共有 A ． 18个 B ． 16个 C ． 14个 D ． 12个
15．由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ） A ． 300 B ． 338 C ． 600 D ． 768
16．某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个.现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是（ ）. A ． 甲 B ． 乙 C ． 丙 D ． 丁
17．有4位同学在同一天的上午、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学测试两个项目，分别在上午和下午，且每人上午和下午测试的项目不能相同．若上午不测“握力”，下午不测“台阶”，其余项目上午、下午都各测试一人，则不同的安排方式的种数为（ ）
A ． 264
B ． 72
C ． 266
D ． 274
18．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币，若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ） A ．
516 B ． 1132 C ． 1532
D ． 1
2 19．北京某大学为第十八届四中全会招募了名志愿者（编号分别是，，，号），现从中任意选取人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保号、号与号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ． B ． C ． D ．
20．2015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人A B 、、C 、D 、E ，除B 与E 、
D 与
E 不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤．现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每
人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（ ） A ． 48种 B ． 36种 C ． 24种 D ． 8种
21．两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）
A ．10种
B ．15种
C ．20种
D ．30种
22．某校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课（每门课一节），要求体育不排在第一节，数学不排在第四节，则这天课标的不同排法种数为（ ）
A.600
B.504
C.480
D.288
23．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序
只能出现在第一步或最后一步，
程序
实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 （ ）
3012⋅⋅⋅30661524253260100
A．
24．将
A．240 25
A．。