人教版初三九年级数学第二十一章《一元二次方程的应用PPT课件》
一元二次方程的应用
一、复习引入：
引例
回忆：列方程解应用题的一般步骤是什么？ 1、仔细审题，设未知数
2、找出题目中的相等关系 3、根据相等关系列出方程 4、解方程并检验 5、作答
例一、用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形。 求这个矩形的长与宽。 22 。 解：设这个矩形的长为xcm，则宽为 x cm 2 根据题意得： x 22 x 30
分析：如果把每年的增长率看作是x（注意百分号已包含在x之中） 则第一年的产量为50（1+x）万kg；而第二年是在第一年基础上增长 的，增长率还是x，因此，第二年的产量为50（1+x）(1+x)j， 即50(1+x)2万kg。 解：设平均每年的增长率为x，根据题意，得 50(1+x)2=60.5
∴(1+x)2=1.21
整理后得：
2 x 2 11x 30 0
解这个方程得： x1 5, x 2 6
22 当x1 5时，得 x 6 2 22 当x2 6时，得 x 5。 2
与题设不符，舍去。
答：这个矩形的长为6cm，宽为5cm。
课堂练习：书P41
1、2、3、4
例二、某农场的产量两年内从50万kg增加到60.5万kg， 问：平均每年增产百分之几？
作业：书P42 1---8
解之得x1=0.1=10%, x2=-2.1(不合题意，舍去) 答：平均每年增产10%。
课堂练习：书P41，5
小结： 列一元一次方程接应用题时，要注意应用题的内在数量关系， 选择适当的条件列代数式，选择剩下的一个关系列方程 。 在解出方程后要注意检验结果符不符合题意或实际情况，要把 不符合实际情况的方程的根舍去。
一、复习引入：
引例
回忆：列方程解应用题的一般步骤是什么？ 1、仔细审题，设未知数
2、找出题目中的相等关系 3、根据相等关系列出方程 4、解方程并检验 5、作答
例一、用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形。 求这个矩形的长与宽。 22 。 解：设这个矩形的长为xcm，则宽为 x cm 2 根据题意得： x 22 x 30
分析：如果把每年的增长率看作是x（注意百分号已包含在x之中） 则第一年的产量为50（1+x）万kg；而第二年是在第一年基础上增长 的，增长率还是x，因此，第二年的产量为50（1+x）(1+x)j， 即50(1+x)2万kg。 解：设平均每年的增长率为x，根据题意，得 50(1+x)2=60.5
∴(1+x)2=1.21
整理后得：
2 x 2 11x 30 0
解这个方程得： x1 5, x 2 6
22 当x1 5时，得 x 6 2 22 当x2 6时，得 x 5。 2
与题设不符，舍去。
答：这个矩形的长为6cm，宽为5cm。
课堂练习：书P41
1、2、3、4
例二、某农场的产量两年内从50万kg增加到60.5万kg， 问：平均每年增产百分之几？
作业：书P42 1---8
解之得x1=0.1=10%, x2=-2.1(不合题意，舍去) 答：平均每年增产10%。
课堂练习：书P41，5
小结： 列一元一次方程接应用题时，要注意应用题的内在数量关系， 选择适当的条件列代数式，选择剩下的一个关系列方程 。 在解出方程后要注意检验结果符不符合题意或实际情况，要把 不符合实际情况的方程的根舍去。
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人教版九年级数学上册第21章第2节《公式法》课件
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ B ）
探究新知
21.2 解一元二次方程/
（3）4x2+1=-3x
（4）x²-2mx+4（m-1）=0
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）
a＝4，b＝3 ，c＝1
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0 ∴该方程没有实数根
∵ △= b2-4ac
=（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0
2a
二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根
公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
当 b-4ac ＜0 时，方程有实数 根吗？
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2 2 6x 6 0
（2）x2+4x=2
解：a＝﹣1，b＝ 2 6，c＝﹣6 解： 移项，得 x2+4x-2=0
方程有两个不相等的实数根，
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ B ）
探究新知
21.2 解一元二次方程/
（3）4x2+1=-3x
（4）x²-2mx+4（m-1）=0
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）
a＝4，b＝3 ，c＝1
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0 ∴该方程没有实数根
∵ △= b2-4ac
=（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0
2a
二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根
公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
当 b-4ac ＜0 时，方程有实数 根吗？
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2 2 6x 6 0
（2）x2+4x=2
解：a＝﹣1，b＝ 2 6，c＝﹣6 解： 移项，得 x2+4x-2=0
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程(教学课件)
整式
等号两边都是________，这样的方程叫一元二次方程。
判断一元二次方程
例1 判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
(1)x2
+
-5=0
分母中有未知数
(2)x3-3x+7=0
最高项次数为3
(3)x2 -2y+1=0
有两个未知数
(4)ax2+bx+c=0
a可能为0
(5)4x2＋3x－2=(2x-1)2
∵（a−1）x2＋x＋a2−1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a−1≠0，即a≠1，
∴a的值是−1．
小结
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一般形式
相同点
不同点
ax=b (a≠0）
一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
设由勾股定理得，滑动前梯底端距墙
6
1m
m
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙
x＋6 m 8m
7m
根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2＝102
化简，得
x2＋12x-15＝0
6m
x
情景引入
要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条
设切去的正方形的边长为 x cm
(100-2x)(50-2x)=3600
化简，得
x
x
整理，得 − + =
100-2x
等号两边都是________，这样的方程叫一元二次方程。
判断一元二次方程
例1 判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
(1)x2
+
-5=0
分母中有未知数
(2)x3-3x+7=0
最高项次数为3
(3)x2 -2y+1=0
有两个未知数
(4)ax2+bx+c=0
a可能为0
(5)4x2＋3x－2=(2x-1)2
∵（a−1）x2＋x＋a2−1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a−1≠0，即a≠1，
∴a的值是−1．
小结
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程
一般形式
相同点
不同点
ax=b (a≠0）
一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
设由勾股定理得，滑动前梯底端距墙
6
1m
m
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙
x＋6 m 8m
7m
根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2＝102
化简，得
x2＋12x-15＝0
6m
x
情景引入
要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条
设切去的正方形的边长为 x cm
(100-2x)(50-2x)=3600
化简，得
x
x
整理，得 − + =
100-2x
2019精选教育人教课标版 初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程及其应用 (共31张PPT).ppt
【易错警示】利用根与系数关系解题的前提是方程的两根 存在，即注意根的判别式b2－4ac≥0.
提分必练
9. 若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一
个根为_－__2___．
10. 已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则
1＋ 1
x1 x2
＝_－__2___．
基础点 3 一元二次方程的实际应用(10年5考) 1. 变化率模型：(2017.8，2015.6，2013.7，2010.19，
练习2 某班同学向班上其他同学互赠新年贺卡，全班共
互赠贺卡2070张，设全班有x名学生，那么根据题意可列
方程( A ) A. x(x－1)＝2070
B. x(x－1)＝2070
C. x(x＋1)＝2070
D. x(x＋1)＝2070
【解析】由题意可得，x(x－1)＝2070.
问题3：某经销商销售该基地的酥梨，经过观察发现，定 价为6元/kg时，能销售100 kg；当定价每增加0.1元，则销 量减少1 kg.当定价最少为多少时，销售额为630元． 【自主解答】
解：设销量成小了n kg，根据题意得， (6＋0.1n)(100－n)＝630， 600＋4n－0.1n2＝630， n2－40n＋300＝0， (n－30)(n－10)＝0， n＝10或30，∴n＝10， ∴6＋0.1×10＝7， ∴定价最少为7元/kg时，销售额为630元．
练习1 某工厂一月份产值为50万元，计划第一季度总产
值达到120万元，设二、三月份平均每月的增长率为x，根
据题意，可列方程( D )
A. 50(1＋x)2＝120
B. 50(1＋x)＋50(1＋x)2＝120
C. 50(1＋x)3＝120
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》PPT课件
感悟新知
知4－练
1 一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若 把这两个数字调换位置，所得的两位数与原两 位数的乘积等于765，求原两位数． 15
2 两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数．
12和14
课堂小结
一元二次方程
1. 列一元二次方程解实际应用问题有哪些步骤? 2. 列方程解实际问题时要注意以下两点：
感悟新知
乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较
两种药品成本的年平均下降率．
知1－练
解：设乙种药品的年平均下降率为y，列方程得
6000（1 － y ）2=3600.
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率
约为22.5%. 综上所述，甲乙两种药品成本的年平均
感悟新知
知2－练
解：(1) 设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌， 根据题意，得 60(1＋x)2＝24 000. 解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)． 答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌．
(2) 60×(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)． 答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．
知识点 2 营销策划问题
知2－练
例2 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元， 按每
千克60元出售,平均每天可售出100千克, 后来经过市 场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增 加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获 利2240元,请回答:
在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客, 赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?
是否正确、作答前验根是否符合实际.
感悟新知
人教版初中数学九年级上册 21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
21.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念，并 会判断一元二 次方程。
2.掌握一元二 次方程的一般形式 ，并且根据一般形式确定各 项的系数。
3.理解一元二次方程解的概念， 并能解决相关问题 。
重点：理解一元二次方
程的概念及其一般形式
难点：运用概念解决
问题
一.复习回顾
1.什么叫方程？我们学过那些方程？ 含有未知数的等式叫方程 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，并且未知数的最 高次数为1的整式方程 3.什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程
二.探究新知
问题(1)： 要设计一座高2m的人体雕像,使它的
Hale Waihona Puke 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部
与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米
?
AC BC
分析:
BC 2
A
2-x
C
设雕像下部高xm,于是得方程
x
x2 2(2 x)
B x2 2x 4 0
问题(2)： 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
2.下面哪些数是方程 x2 x 6 的0 根?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3.你能写出方程 x2 x 0的根吗?
三.当堂检测
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C(m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
行28场比赛,则应邀请多少个队参加比赛?
学习目标
1.理解一元二次方程的概念，并 会判断一元二 次方程。
2.掌握一元二 次方程的一般形式 ，并且根据一般形式确定各 项的系数。
3.理解一元二次方程解的概念， 并能解决相关问题 。
重点：理解一元二次方
程的概念及其一般形式
难点：运用概念解决
问题
一.复习回顾
1.什么叫方程？我们学过那些方程？ 含有未知数的等式叫方程 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，并且未知数的最 高次数为1的整式方程 3.什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程
二.探究新知
问题(1)： 要设计一座高2m的人体雕像,使它的
Hale Waihona Puke 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部
与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米
?
AC BC
分析:
BC 2
A
2-x
C
设雕像下部高xm,于是得方程
x
x2 2(2 x)
B x2 2x 4 0
问题(2)： 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它
2.下面哪些数是方程 x2 x 6 的0 根?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3.你能写出方程 x2 x 0的根吗?
三.当堂检测
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C(m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
行28场比赛,则应邀请多少个队参加比赛?
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(公式法)PPT课件
第二十一章 一元二次方程
21.2.2 解一元二次方程
——公式法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2.引导学生熟记求根公式，并理解公式中的条件。
3.使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程
重点难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程。
解:(3)移项得， 5x2-4x-1=0
a=5,b=- 4,c=-1
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
=
−± 2 −4 4±6
=
2
2×5
1
即x1=1,x2=5
课堂练习
公式法的应用
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
解:(4)移项得， x2-8x+17=0
(4) 程 2 − 2 + = 0 有两个实根，则m的取值范围是
_________ .
解： 2 − 4 = (−2)2 − 4 × 1 × = 4 − 4 ≥ 0
则 ≤ 1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等
2 −4
42
将①直接开平方，得
>0
=±
方程有两个不相等的实数根
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1
, x2
;
2a
2a
新知探究
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论：
（2）若b2﹣4ac=0
将①直接开平方，得
21.2.2 解一元二次方程
——公式法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2.引导学生熟记求根公式，并理解公式中的条件。
3.使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程
重点难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程。
解:(3)移项得， 5x2-4x-1=0
a=5,b=- 4,c=-1
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
=
−± 2 −4 4±6
=
2
2×5
1
即x1=1,x2=5
课堂练习
公式法的应用
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
解:(4)移项得， x2-8x+17=0
(4) 程 2 − 2 + = 0 有两个实根，则m的取值范围是
_________ .
解： 2 − 4 = (−2)2 − 4 × 1 × = 4 − 4 ≥ 0
则 ≤ 1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等
2 −4
42
将①直接开平方，得
>0
=±
方程有两个不相等的实数根
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1
, x2
;
2a
2a
新知探究
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论：
（2）若b2﹣4ac=0
将①直接开平方，得
人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程课件PPT
说明：⑴未知数个数1个。
⑵未知数的最高次数是2次。
一元二次方程
定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程
二次项系数
二次项
一次项
一次项系数
常数项
一般形式
a x2 + b x + c = 0
当b≠0,c ≠0时，
当b=0或c =0时，
方程ax2+b x+c=0 (a≠0)叫一般的～
解：
两边开平方，得：
解：
两边同加上1，得
解：
把方程左边分解因式，得
化简，得
例9 解方程
解：
化简得
解：
化简得
较复杂的方程，先整理化简，再寻找合适的解法
练习1 用适当的方法解下列方程
练习2 用适当的方法解下列方程
（x1=-1+ ，x2=-1- ）
（t1= ，t2= - ）
(a≠0, b2-4ac≥0)
例 6用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以 3 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
解：
直接开平方法
一元二次方程的第二种解法:配方法
配方法的一般步骤：
1）把方程化成二次项系数是1的形式
2）移项整理使方程左边仅有二次项和一次项，右边仅有常数项。
3）配方：方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方。
4）再把方程左边化成完全平方式
5）最后用直接开平方法求方程的解。
求根公式 : X=
∴x=
即 x1=2, x2= -
例7用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
⑵未知数的最高次数是2次。
一元二次方程
定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程
二次项系数
二次项
一次项
一次项系数
常数项
一般形式
a x2 + b x + c = 0
当b≠0,c ≠0时，
当b=0或c =0时，
方程ax2+b x+c=0 (a≠0)叫一般的～
解：
两边开平方，得：
解：
两边同加上1，得
解：
把方程左边分解因式，得
化简，得
例9 解方程
解：
化简得
解：
化简得
较复杂的方程，先整理化简，再寻找合适的解法
练习1 用适当的方法解下列方程
练习2 用适当的方法解下列方程
（x1=-1+ ，x2=-1- ）
（t1= ，t2= - ）
(a≠0, b2-4ac≥0)
例 6用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以 3 得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
解：
直接开平方法
一元二次方程的第二种解法:配方法
配方法的一般步骤：
1）把方程化成二次项系数是1的形式
2）移项整理使方程左边仅有二次项和一次项，右边仅有常数项。
3）配方：方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方。
4）再把方程左边化成完全平方式
5）最后用直接开平方法求方程的解。
求根公式 : X=
∴x=
即 x1=2, x2= -
例7用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
21.1 一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个 一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一 元二次方程的根。
代入法是检验一元二次方程的根的最佳方法。
下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？ -5，-2，-1，0，1，2，
通过代值可知，当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左 右两边相等。
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程 的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系 数和常数项。
根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得50x2-25x+3=0. （2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10 次.有多少人参加这次聚会？ 解：设有x人参加了这次聚会, 根整据理题，得意，x2-得x-2012=x0(x-1)=10
5. 如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另 一个根.
九年级-上册-第二十一章 一元二次方程
课题：21.1 一元二次方程
难点名称：从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；
识别方程中的“项”及“系数”.
1
Hale Waihona Puke 情景：要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度 比等于下部与全身的高度比,求雕像的下 部应设计多少米高?
问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？审解、、
5x2-4x-1=0 二次项系数：5 一次项系数：-4 常数项：-1
二次项系数：4 一次项系数：0 常数项：-81
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并
写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（3）4x(x+2)=25；
（4）(3x-2)(x+1)=8x-3；
人教版九年级数学上册21.1一元二次方程课件(共19张)
分析: 全部比赛共
4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2
即 x2 x 56
新知探究
方程① ② ③有什么特点？ x2＋2x－4=0 ①
x2－75x+350=0 ②
(4)x(x 1) 2 x2
(5)a2 1 0 a
(6)(m 2)2 1
是一元二次方程的有： (1) (6)
巩固练习
2.将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一元二次方程的一般情势， 并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
解：去括号，得 3x2+3x-2x-2=8x-3
移项，合并同类项得 3x2-7x+1=0
知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
新知探究
一元二次方程的一般情势
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为ax2 bx c 0 的情势,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般情势. 想一想
区分与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式 相同点 不同点
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
新知探究
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般 情势，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得 3x2－3x=5x+10.