解析】河北省石家庄一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题

2018-2019学年河北省石家庄一中高二(上)期中数学试卷(理

科)

一?选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合{}

30M x x =->，{}1,2,3,4,5N =，则M N =（ ）

A. {}1,2,3

B. {}3,4,5

C. {}1,2

D. {}4,5

【★★答案★★】C 【解析】 【分析】

根据交集的定义求解N

M 的值即可

【详解】解：{}{}

303M x x x x =->=<，{}1,2,3,4,5N =， ∴{}1,2M

N =，

故选：C .

【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.

2. 已知命题:12p x -<<，2:log 1q x <，则p 是q 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

【★★答案★★】B 【解析】 【分析】

先解出对数不等式，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】解：由2:log 102q x x

由12x -<<不能够推出02x <<，但由02x <<一定得12x -<<， 所以p 是q 的必要不充分条件， 故选：B.

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.

3. 已知两点()3,2M ，()5,5N --，1

2

MP MN =，则P 点坐标是（ ） A. ()8,1-

B. 31,2?

?-- ??

?

C. 31,2?? ???

D. ()8,1-

【★★答案★★】B 【解析】 【分析】

设点(),P x y ，利用平面向量的坐标运算列方程组求出x ?y 的值. 【详解】解：设点(),P x y ，由点()3,2M ，()5,5N --， 所以()3,2MP x y =--，

()8,7MN =--，

又1

2

MP MN =

， 所以34722x y -=-???-=-??，

解得132x y =-???=-??

，

则P 点坐标是31,2?

?-- ??

?.

故选：B.

【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，是基础题. 4.

直线310x -+=的倾斜角是（ ） A. 30°

B. 60°

C. 120°

D. 135°

【★★答案★★】B 【解析】 【分析】

先求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.

【详解】直线的斜率为=60°.

故选：B

【点睛】本小题主要考查直线倾斜角的求法，属于基础题.

5. α是一个平面，,m n 是两条直线，A 是一个点，若m α?，n ?α，且A m ∈，A α∈，则,m n 的位置关系不可能是( ) A. 垂直

B. 相交

C. 异面

D. 平行

【★★答案★★】D 【解析】

a 是一个平面，,m n 是两条直线，A 是一个点，,m a n a ??，

,A m A a ∈∈，A ∴是

m 和平面a 相交的点，m 与平面a 相交，又

n 在平面a 内，m ∴和n 异面或相交，一定不

平行，故选D .

6. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）

A.

23

B. 1

C.

43

D.

83

【★★答案★★】C 【解析】

该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ??=????= ?

??

．故选C .

7. 函数()()cos f x x ω?=+(ω，?常数，0>ω，2

π

?<

)的部分图象如图所示，为得到函

数sin y x ω=的图象，只需将函数()f x 的图象（ ）

A. 向右平移23π

个长度单位 B. 向右平移

3π

个长度单位 C. 向左平移6

π

个长度单位

D. 向左平移3

π

个长度单位

【★★答案★★】B 【解析】 【分析】

利用最值和周期可得A ，ω，利用五点法可得?，再通过诱导公式及函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律可得结论.

【详解】解：根据函数()()cos f x x ω?=+(ω，?常数，0>ω，2

π

?<)的部分图象，

可得1A =，

12254312

πππω?=-，∴2ω=. 再根据五点法作图，可得5212π?π?+=，故6π=?，函数()cos 26f x x π?

?=+ ??

?.

为得到函数sin sin 2cos 22y x x x πω?

?

===- ??

?

的图象，只需将函数()f x 的图象向右平移

3

π个长度单位即可. 故选：B.

【点睛】本题主要考查已知图像求函数()sin y A ωx φ=+的解析式，考查诱导公式的应用，

函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于中档题.

8. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术是用来求两个数的最大公约数的方法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的168y =，72x =，则输出的2k d 为（ ）

A. 12

B. 24

C. 36

D. 9

【★★答案★★】B 【解析】 【分析】

根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2k d 的值，模拟程序的运行过程，可得★★答案★★. 【详解】解：输入的168y =，72x =，

0k =时，满足进行第一个循环的条件，1k =，84y =，36x =；

1k =时，满足进行第一个循环的条件，2k =，42y =，18x =；

2k =时，满足进行第一个循环的条件，3k =，21y =，9x =； 3k =时，不满足进行第一个循环的条件，

12d =，满足进行第二个循环的条件，满足d x >，12y =；

3d =，满足进行第二个循环的条件，不满足d x >，9y =，3x =； 6d =，满足进行第二个循环的条件，不满足d x >，6y =，3x =；

3d =，不满足进行第二个循环的条件，

故输出的3k =，3d =，

224k d =，

故选：B.

【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题. 9. 若不等式2

162a b x x b a

+<+对任意a ， (0,)b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A. (2,0)- B. (4,2)-

C. (,2)

(0,)-∞-+∞ D. (,4)(2,)-∞-?+∞

【★★答案★★】B 【解析】 【分析】 由基本不等式求出

16a b b a

+的最小值8，然后解不等式228x x +<即得． 【详解】∵不等式2

162a b

x x b a

+<

+对任意a ， (0,)b ∈+∞恒成立，∴2

min 162a b x x b a ??+<+ ???

，∵168a b b a +

≥=，当且仅当16a b b a =，即4a b =时取等号，∴168min a b b

a ??+= ???，∴228x x +<，∴42x -<<，∴实数x 取值范围是(4,2)-， 故选：B.

【点睛】本题考查不等式恒成立问题，由于参数已经分离，因此只要求得

16a b

b a

+的最小值，

解相应不等式即可得．

10. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(

)222

tan a b c B -+=

，

则角B 的值为（ ） A.

6

π B.

3

π C.

6π或56π D.

3π

或23

π 【★★答案★★】D 【解析】 【分析】

先根据余弦定理进行化简，进而得到sin B 的

值，再由角的范围和正弦函数的性质可得到最后

★★答案★★．

【详解】解：由()2

2

2

tan a c b B +-=，∴222

cos 22sin a c b B

ac B

+-=

，即cos cos 2sin B

B B

=

，

因为tan B 有意义，所以cos 0B ≠，sin 0B >， ∴sin B =

，又在ABC 中，所以B 为3π或

23π ， 故选:D ．

【点睛】本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力，属于基础题．

11. 在三棱锥A BCD - 中，底面BCD 是边长为 2 的正三角形，顶点 A 在底面BCD 上的

射影为BCD ?的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ） A. 3π

B. 4π

C. 5π

D. 6π

【★★答案★★】D 【解析】

∵定点A 在底面BCD 上的射影为三角形BCD 的中心， 而且底面BCD 是正三角形，

∴三棱锥A ﹣BCD 是正三棱锥，∴AB=AC=AD ， 令底面三角形BCD 的重心（即中心）为P ，

∵底面BCD 为边长为2的正三角形，DE 是BC 边上的高，

∴DE=3，∴PE=

3

，DP=23

∵直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为22，即tan 22AEP ∠= ∴AP=

26

3

， ∵AD 2=AP 2+DP 2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，

∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的

对角线构成正四面体，故正方体的棱长为2， ∴正方体的对角线长为6，∴外接球的半径为62

. ∴外接球的表面积=4πr 2=6π． 故选D.

点睛：设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为

,,a b c 则其体对角线长为222a b c ++;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外

接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为,,a b c ，则其外接球半径公式为: 22224R a b c =++.

12. 已知函数()11(,2){2(2)[2,)

x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，设方程()122x f x -=的根从小到大依次为

12,,

,,

,n x x x n N *∈，则数列{}()n f x 的前n 项和为 （ ）

A. 2n

B. 2n n +

C. 21n -

D. 121n +-

【★★答案★★】C 【解析】

试题分析：由()f x 的定义知，当0x ≤时，()0f x ≤， 当[22,21]x n n ∈--时，()f x 单调递增，当

时，()f x 单调递减，其中*n N ∈，1

(21)2n f n --=，又函数

12

()2

x g x -=是R 上的增函数，因此方程12

()2

x f x -=的解为21,*n x n n N =-∈，

1()2n n f x -=，所以12()()()n f x f x f x +++

112221n n -=++

+=-，选C.

考点：分段函数的性质，数形结合思想，函数与方程思想，等比数列的和．

二?填空题(每题5分，满分20分，将★★答案★★填在答题纸上)

13. 若,x y 满足约束条件2214y y x x y ≤??

≥-??+≥-?

，则z x y =-的最大值为__________．

【★★答案★★】2 【解析】

约束条件2214

y y x x y ≤??≥-??+≥-?

对应的区域为三角形ABC 区域，由3

(,2),(6,2),(1,3)2A B C --- ，由

z x y =-得y x z =- ，当经过点C 时，截距最小，z x y =-取最大，为1(3)2z x y =-=---=.

14. 函数()sin cos 6f x x x π??

=++ ??

?

的值域为______________. 【★★答案★★】[]1,1- 【解析】 【分析】

利用两角和与差的三角函数，化简已知表达式，再利用余弦函数的值域求出它的值域即可. 【详解】解：函数(

)1sin cos sin sin cos 626f x x x x x x x ππ??

?

?=++

=-=- ? ??

??

?， ∵[]cos 1,16x π?

?

-

∈- ??

?

， ∴函数的值域为：[]1,1-. 故★★答案★★

：[]1,1-.

【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，余弦函数的值域，属于基本知识的考查. 15. 下列命题正确的是______________(写出所有正确命题的序号). ①已知a ，b R ∈，“1a >且1b >”是“1ab >”的充要条件；

②已知平面向量a ，b ，“1a >且1b >”是“1a b +>”的必要不充分条件； ③已知a ，b R ∈，“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件； ④命题p ：“0x R ?∈，0

01x e x ≥+”的否定为p ?：“x R ?∈，1x e x <+”.

【★★答案★★】③④ 【解析】 【分析】

①②③根据充分必要条件的概念即可判断正误，④ 根据特称命题的否定即可判断.

【详解】对于①，当“1a >且1b >”，可以得出1ab >；当1ab >时，无法得到1a >且1b >，

如4a =，1

2

b =

，所以“1a >且1b >”是“1ab >”的必要性不成立，①错误； 对于②，当1a b +>时，无法得到1a >且1b >，如4a =，1

2

b =且a ，b 反向相反，1

a >且1

b >也得不出1a b +>，所以1a >且1b >”是“1a b +>”既不充分也不必要条件，故② 错误；

对于③，当221a b +≥时，()

2

2221a b

a b a b +=++?≥，∴1a b +≥，故充分性成立；

当1a b +≥时，无法得到221a b +≥，如1

2a =

，12

b =，故必要性不成立； ∴“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件，故③正确；

对于④，根据命题的否定的定义可得p ?：“x R ?∈，1x e x <+”.故④ 正确. 故★★答案★★为：③④

【点睛】本题考查充分必要条件的概念，特称命题的否定，属于基础题.

16. 设1F ，2F 分别是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左?右焦点，若双曲线右支上存在一

点P ，使()

220OP OF F P +?=，O 为坐标原点，且123PF PF =，则该双曲线的离心率为__________.

1 【解析】 【分析】

取2PF 的中点A ，由()

220OP OF F P +?=，可得2OA F P ⊥，由OA 是12PF F △的中位线，

得到12PF PF ⊥，由双曲线的定义求出1PF 和2PF 的值，进而在

12PF F △中，由勾股定理可得结论.

【详解】解：取2PF 的中点A ，则 ∵()

220OP OF F P +?=， ∴220OA F P ?=， ∴2OA F P ⊥，

∵OA 是12PF F △的中位线， ∴12PF PF ⊥，11

2

OA PF =

. 由双曲线的

定义得122PF PF a -=， ∵123PF PF =， ∴231PF =

-，12331

a

PF =

-. 12PF F △中，由勾股定理得2

2

2

124PF PF c +=，

∴2

2

2

2343131a c +=--， ∴31e =.

31.

【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断12PF F △是直角三角形，是解题的关键.

三?解答题：共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22?23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 已知圆22:9O x y +=及点()2,1C ，过点C 的直线l 与圆O 交于P ?Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求直线l 的方程.

【★★答案★★】30x y +-=或7150x y +-= 【解析】 【分析】

求出直线的斜率不存在时OPQ △的面积；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程，再设圆心到直线的距离为d ，把OPQ △的面积用含有d 的代数式表示，利用基本不等式求最值可得d ，再由点到直线的距离公式求直线的斜率，则直线方程可求. 【详解】解：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =， 则P ，Q

的坐标分别为(

，(2,.

∴1

22

OPQ S =

??=△； 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为()1122y k x k ??-=-≠

??

?

， 则圆心到直线PQ

的距离为d =

且PQ =，

则

11

922

2OPQ S PQ d d =

??=?=≤=△.

当且仅当229d d -=，即2

9

2

d =

时，OPQ

S 取得最大值

9

2

. ∵9

2

<

，∴OPQ S 的最大值为

92

. 此时，由224419

12

k k k -+=+，解得7k =-或1k =-.

则直线l 的方程为30x y +-=或7150x y +-=.

【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题.

18. 已知两个数列{}n a ，{}n b ，其中数列{}n a 是公差为d 的等差数列，点(),n n a b 在函数

()2x f x =的图象上()*n N ∈，若11a =，则点()87,2a b 在函数()2x f x =的图象上.

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式n a ，n b ； （2）求数列n n a b ??

?

???

的前n 项和n T . 【★★答案★★】（1）n a n =，2n

n b =；（2）122

2

n n n

n T +--=. 【解析】 【分析】

（1）先利用题设条件得到数列{}n a 相邻项之间的关系式求得公差d ，即可求得n a ，再由n a 与n b 的关系式求得n b ； （2）先由（1）求得

n

n

a b ，再利用错位相减法求其前n 项和. 【详解】解：（1）由已知得：772a

b =，8

8722a b b ==，

∴77812222a a a +=?=，871a a =+，∴871d a a =-=，

又∵11a =，2n a

n b =，

∴n a n =，2n

n b =；

（2）由（1）可得：

2

n n n a n b =， 又231123122222

n n n n n T --=

+++?++， 2112321222

n n n

T -=+++?+，

∴12111111222122222222n n n n n n n n

n n n T T +-----=+++?+-=--=，

∴122

2

n n n

n T +--=. 【点睛】本题主要考查等差数列?等比数列基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题.

19. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()2cos a b B b c =≠.

（1）证明：2A B =；

（2）若222sin a c b ac C +=+，求角A . 【★★答案★★】（1）证明见解析；（2）4

A π

=.

【解析】 【分析】

（1）利用正弦定理可得sin sin 20A B =>，可得2A B =，或2A B π+=，分类讨论即可证明2A B =；

（2）由已知利用余弦定理得cos sin B C =，可得2

C B π

=-，或2

C B π

=

+，分类讨论即可求

解A 的值.

【详解】（1）证明：ABC 中，2cos a b B =， 由

sin sin a b

A B

=，得sin 2sin cos sin 2A B B B ==， ∵0A <，B π<， ∴sin sin 20A B =>， ∴02B π<<，

∴2A B =，或2A B π+=，

若2A B π+=，则B C =，b c =，这与“b c ≠”矛盾， ∴2A B π+≠， ∴2A B =；

（2）∵2222sin a c b ac C +=+，

∴222sin 2a c b C ac

+-=，

由余弦定理得cos sin B C =， ∵0B <，C π<， ∴2

C B π

=

-，或2

C B π

=

+，

①当2

C B π

=-时，则2

A π

=

，4

B C π

==

，这与“b c ≠”矛盾，∴2

A π

≠

， ②当2

C B π

=+时，由（1）得2A B =，b c ≠，∴222

2

A B C A B A π

π

π++=++

=+

=，

∴4

A π

=

.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.

20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，M ，N 分别为PC 和AD 的中点，已知60DAB ∠=?，2AB =，PA PD =，2MN MB ==

.

（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角D PC B --的余弦值. 【★★答案★★】（1）证明见解析；（2）7

-【解析】 【分析】

（1）连结PN ，NB ，NC ，推导出PN

AD ，BN AN ⊥，从而AD ⊥平面PNB ，进而

AD PB ⊥，PB BC ⊥，推导出PN NC ⊥，PN

AD ，从而PN

平面ABCD ，由此能

证明平面PAD ⊥平面ABCD .

（2）以N 为原点，以NA ，NC ，NP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D PC B --的余弦值. 【详解】证明：（1）连结PN ，NB ，NC ，如图， ∵PA PD =，N 为AD 的中点，故PN

AD ，

又60DAB ∠=?，2AB =，N 为AD 的中点，∴1AN =， ∴BN AN ⊥，又PN NB N ，

∴

AD ⊥平面PNB ，∴AD PB ⊥，

又//AD BC ，∴PB BC ⊥， 在Rt PBC 中，斜边上的中线2BM =∴22=PC

在PNC △中，1

22

MN PC =

=

∴PNC △为直角三角形，且PN NC ⊥， 又PN AD ，AD

NC N =

∴PN

平面ABCD ，

又PN ?平面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）∵PA PD =，∴PN

AD ，

又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PN

平面ABCD ，

则PN ，AD ，NB 两两垂直，以N 为原点，以NA ，NC ，NP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，()1,0,0A ，()

0,

3,0B

，()1,0,0D -，()

2,3,0C -，

()1,0,1PD =--，()1,3,0DC =-，()

0,3,1PB =-，()2,0,0BC =-

设平面DPC 的法向量为(),,n x y z =，

则030

n PD x z n DC x y ??=--=???=-+=??，取3x =，得(

)

3,1,3n =-，

设(),,m x y z =是平面PCB 的法向量，

则3020

m PB y z m BC x ??=-=???=-=??，取1y =，得()

0,1,3=m ， ∴7

cos ,772

n m n m n m

?=

=-

=-??.

∴二面角D PC B --的余弦值为7-

.

【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线?线面?面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题. 21. 已知向量33cos

,sin 22x x a ??= ???

，cos ,sin 22x x b ?

?=- ???，函数()1f x a b m a b =?-++，

,34x ππ??

∈-????

，m R ∈.

（1）当0m =时，求6f π??

???

的值； （2）若()f x 的最小值为1-，求实数m 的值； （3）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+

，,34x ππ??

∈-????

有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.

【★★答案★★】（1）32；（2（37

4

m ≤<. 【解析】 【分析】

（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可；

（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可； （3）由()0g x =得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可. 【详解】解：（1）

33333cos ,sin cos ,sin cos cos sin sin cos cos 22222222222x x x x x x x x x x a b x

??????

?=?-=-=+= ? ? ???????

，

当0m =时，()1cos21f x a b x =?+=+， 则13cos 21cos 1166322f πππ????=?+=+=+=

? ?????

； （2）∵,34x ππ??

∈-

????

，

∴

222

2cos2co a b a a b b

+=+?+===

，

则()2

1cos22cos12cos2cos

f x a b m a b x m x x m x

=?-++=-+=-，

令cos

t x

=，则

1

1

2

t≤≤，

则2

22

y t mt

=-，对称轴

2

m

t=，

① 当

1

22

m

<，即1

m<时，

当

1

2

t=时，函数取得最小值，此时最小值

1

1

2

y m

=-=

-，得

3

2

m=(舍)，

② 当

1

1

22

m

≤≤，即12

m

≤≤时，

当

2

m

t=时，函数取得最小值，此时最小值

2

21

2

m

y m

=-=-，得

m=，

③ 当1

2

m

>，即2

m>时，

当1

t=时，函数取得最小值，此时最小值221

y m

=-=-，得

3

2

m=(舍)，

综上若()

f x的最小值为1

-，则实数m=；

（3）令()22

24

2cos2cos0

49

g x x m x m

=-

+=，得

3

cos

7

m

x=或

4

7

m

，

∴方程3

cos

7

m

x=或

4

7

m

在,

34

x

ππ

??

∈-??

??

上有四个不同的实根，

则

3

1

27

4

1

27

34

77

m

m

m m

≤<

?

≤<

?

?

?

≠

?

??

，得

7

63

7

84

m

m

m

?

≤<

?

?

??

≤<

?

?

≠

?

?

??

7

4

m

≤<，

即实数m的取值范围是

7

64

m

≤<.

【点睛】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度.

22. 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面

积为4.

（1）求椭圆的方程.

（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(),0a -，点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ?=，求0y 的值.

【★★答案★★】（1）2214x y +=；

（2）0y =±或05

y =±. 【解析】 【分析】

（1）由离心率求得a 和c 的关系，进而根据222c a b =-求得a 和b 的关系，进而根据

1

2242

a b ??=求得a 和b ，则椭圆的方程可得. （2）由（1）可求得A 点的坐标，设出点B 的坐标和直线l 的斜率，表示出直线l 的方程与椭圆方程联立，消去y ，由韦达定理求得点B 的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，设线段AB 的中点为M ，当0k =时B 点的坐标是()2,0，线段AB 的垂直平分线为y 轴，进而根据4QA QB ?=求得0y ；当0k ≠时，可表示出线段AB 的垂直平分线方程，令0x =得到0y 的表达式根据4QA QB ?=求得0y ；综合★★答案★★可得.

【详解】解：（1）由c e a =

=

，得2234a c =. 再由222c a b =-，解得2a b =. 由题意可知

1

2242

a b ??=，即2ab =. 解方程组22a b

ab =??=?得2a =，1b =.

所以椭圆的方程为2

214

x y +=.

（2）由（1）可知点A 的坐标是()2,0-. 设点B 的坐标为()11,x y ，直线l 的斜率为k . 则直线l 的方程为()2y k x =+.

于是A ?B 两点的坐标满足方程组()2

2

214

y k x x y ?=+?

?+=??. 消去y 并整理，得(

)()2

2

2214161640k

x

k x k +++-=.

由212164

214k x k --=+，得2

12

2814k x k

-=+.从而12414k y k =+. 设线段AB 的中点为M ，

则M 的坐标为22282,1414k k k k ??

- ?++??

.

以下分两种情况：

①当0k =时，点B 的坐标是()2,0， 线段AB 的垂直平分线为y 轴， 于是()02,QA y =--，()02,QB y =-. 由4QA QB ?=

，得0y =±.

②当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为

2222181414k k y x k k k ??-=-+ ?++??

.

令0x =，解得02

614k

y k =-

+.

由()02,QA y =--，()110,QB x y y =-，

()10102QA QB x y y y ?=---

()22

22222864614141414k k k k k k k k --??

=

+

+ ?++++??