生物统计-第二章平均数和标准差21sj2006
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生物统计学二
任何事件的概率都在0和1之间，即:0≤P(A) ≤1 必然事件的概率等于1，即:P(U)=1 不可能事件的概率等于0,即:P(V)=0
二：概率的计算
事件的相互关系
和事件（sum event）事件A和事件B至少有一个发生构成的新 事件称事件A和事件B的和事件。记为A+B或 A B 积事件（product event ）积事件：事件A和事件B同时发生构 成的新事件，又叫变事件，记作AB 或 A B
数据
排序
求和 平均数 样本方差 var 总体方差 varp 样本标准差 stdev 总体标准差 stdevp
第三章 概率与概率分布
第一节 概率基础知识
概率的概念 概率的计算 概率分布 大数定律
一、概率的概念
事件：每种可能出现的情况称为事件。它是指事物发 生某种情况或试验中获得某种结果。 必然事件（U）和不可能事件（V） 随机事件：指在同一组条件下，可能发生也可能不发 生的事件。也就是说，在某一特定的条件下，可 能这样出现也可能那样出现，可能发生的只是其 中的几种情况，这种事件称为随机事件。
频率：事件Ａ在n次试验中发生了m次，其比值m/n称为事件A 发生的频率（frequency），记为
m W ( A) n
0≤W(A) ≤1
概率：就是用来度量每一事件出现的可能性大小的数字特征。 某件事A在n次重复试验中，发生了m次，当试验次数n不断 增大是，事件A发生的频率W(A)就越来越接近某一确定值p， 于是定义p为事件A发生的概率，记为
独立事件（independent event）事件A发生与否不影响事件B发生 的可能性，反之亦然，那么就称事件A对于事件B是独立的。简称 独立事件。 完全事件系（complete event system） n个事件两两互斥，且每 次试验必有其一出现。则这n个事件构成完全事件系。
生物统计-第二章平均数和标准差21sj2006
2.5 集中趋势的度量
意义： 意义：
作为一个资料的代表， 作为一个资料的代表，指出资料中各变数集 中较多的中心位置，用来与另一资料相比较。 中较多的中心位置，用来与另一资料相比较。不同 的平均数适合于不同的数据资料。 的平均数适合于不同的数据资料。
例如：不同国家、地区、种族之间身高、 例如：不同国家、地区、种族之间身高、体重等的
3 3
1998年的奶牛头数为： 年的奶牛头数为： 年的奶牛头数为 100×2×3×4.5＝2700头 × × × ＝ 头 或者100×33＝2700头 × 头 或者
2.5.2 几何平均数
加权法： 加权法：分类资料或计数和连续性资料
G = x × x ×Lx
n f1 1 f2 2
fk k
k : 类别数 f i : 第 i类（组）中的频数 X i : 第 i类 (组)个体的取值（组中值） n = f 1 + f 2 + ... + f 3 : 总观测值个数
2.5.3 调和平均数
简单调和 平均数
n H= 1 ∑ x
加权调和 平均数
∑f H= 1 ∑f × x
i i i
适用于极端右偏态，例2-6 适用于极端右偏态，
2.5.3 调和平均数
从公式可以知道： 从公式可以知道：调和几何平均数就是首先将原 数据转换为倒数；然后求倒数值的算数平均数； 数据转换为倒数；然后求倒数值的算数平均数； 最后再取倒数还原。 最后再取倒数还原。 调和平均数主要用于速度类资料， 调和平均数主要用于速度类资料，或者数据中有 个别极端大的值的情况。 个别极端大的值的情况。
2.5.2 几何平均数
年有100头奶牛，已知在 头奶牛， 例2.3：某奶牛场在 ：某奶牛场在1995年有 年有 头奶牛 1996，1997和1998年的奶牛头数分别为前一年的 ， 和 年的奶牛头数分别为前一年的 2，3和4.5倍，求其年平均增加率。 ， 和 倍 求其年平均增加率。 解：
均数 标准差 方差分析
均数标准差方差分析均数、标准差和方差分析是统计学中常用的概念和方法，它们在数据分析和研究中起着重要的作用。
本文将对这三个概念进行详细的介绍和解释，希望能够帮助读者更好地理解和运用它们。
首先，我们来介绍一下均数。
均数，即平均数，是一组数据的总和除以数据的个数所得到的结果。
在统计学中，均数通常用来表示一组数据的集中趋势，它能够反映出数据的一般水平。
计算均数的方法非常简单，只需要将所有数据相加，然后除以数据的个数即可得到均数。
例如，如果我们有一组数据，2，4，6，8，10，那么这组数据的均数就是(2+4+6+8+10)/5=6。
接下来，让我们来了解一下标准差。
标准差是衡量一组数据的离散程度或者波动程度的指标。
它能够告诉我们数据点相对于均值的分散程度，标准差越大，表示数据的离散程度越高，反之则越低。
计算标准差的方法比较复杂，需要先计算每个数据点与均值的差的平方，然后将这些平方差值相加，再除以数据的个数，最后再取平方根即可得到标准差。
标准差的计算公式如下，σ=√(∑(X-μ)²/n)，其中σ表示标准差，∑表示求和，X表示每个数据点，μ表示均值，n表示数据的个数。
最后，让我们来讨论一下方差分析。
方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值差异的统计方法。
它能够帮助我们判断不同组别之间的均值是否有显著差异。
方差分析通常用于实验设计和数据分析中，可以帮助我们确定影响因素对结果的影响程度。
在进行方差分析时，我们需要计算组内平方和、组间平方和以及总平方和，然后通过这些平方和的比较来判断均值之间的差异是否显著。
综上所述，均数、标准差和方差分析是统计学中非常重要的概念和方法。
它们能够帮助我们理解数据的分布特征、集中趋势以及不同组别之间的差异。
在实际应用中，我们可以根据这些方法来进行数据分析、决策和预测，从而更好地理解和利用数据。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地掌握这些概念和方法，为实际工作和研究提供帮助。
生物统计第二章资料的整理与描述
样本容量；
大样本与小样本； 随机样本(random sample)；
非随机样本(non-random sample)。
总体与样本的关系
由样本推断总体虽然有很大可靠 性，也有一定错误率。俗语说“不 可不信，不可全信”，这是我们对 待统计推断的正确态度。
2、参数与统计数 用总体的全体观察值计算的、描述总 体的特征数称为参数(parameter)。
玉米的穗行数等
上一张 下一张 主 页 退 出
（二）质量性状资料
质量性状是指只能观察而不能测量的性状。
如花药、种子、果实、叶片的颜色、籽粒的
饱满度、芒的有无等。 质量性状本身不能用数值表示，要获得这 类性状的资料，须对其观察结果作数量化
处理。数量化方法可分为以下两种：
统计次数法 评分法
上一张 下一张 主
页 退
出
1、统计次数法
在一定的总体或样本内，根据某一质量性状的
类别统计其次数，以次数作为质量性状的数据。
【例如】红花豌豆与白花豌豆的 【例如】 玉米果穗 杂交试验，统计F2不同花色植株， 上甜粒与 在1000个F2植株中，红花266株、 非甜粒的 分离比率。 紫花494株、白花240株。 这种利用统计次数法对质量性状 数量化得来的资料又叫次数资料。
这一条件的约束，能自由变动的
离均差的个数是 n-1 。当 n-1 个离均差确定 后，第n个离均差也就随之而定，不能再任 意变动。
【例】有5个观察值3、4、6、8、9，其平均数6。
5个察值的离均差为-3，-2，0，2，3，满足：
(x x) 0
一般，在计算离均差平方和时，若约束条 件为k个，则其自由度dƒ=n-k。
如：总体平均数 ---- μ
大样本与小样本； 随机样本(random sample)；
非随机样本(non-random sample)。
总体与样本的关系
由样本推断总体虽然有很大可靠 性，也有一定错误率。俗语说“不 可不信，不可全信”，这是我们对 待统计推断的正确态度。
2、参数与统计数 用总体的全体观察值计算的、描述总 体的特征数称为参数(parameter)。
玉米的穗行数等
上一张 下一张 主 页 退 出
（二）质量性状资料
质量性状是指只能观察而不能测量的性状。
如花药、种子、果实、叶片的颜色、籽粒的
饱满度、芒的有无等。 质量性状本身不能用数值表示，要获得这 类性状的资料，须对其观察结果作数量化
处理。数量化方法可分为以下两种：
统计次数法 评分法
上一张 下一张 主
页 退
出
1、统计次数法
在一定的总体或样本内，根据某一质量性状的
类别统计其次数，以次数作为质量性状的数据。
【例如】红花豌豆与白花豌豆的 【例如】 玉米果穗 杂交试验，统计F2不同花色植株， 上甜粒与 在1000个F2植株中，红花266株、 非甜粒的 分离比率。 紫花494株、白花240株。 这种利用统计次数法对质量性状 数量化得来的资料又叫次数资料。
这一条件的约束，能自由变动的
离均差的个数是 n-1 。当 n-1 个离均差确定 后，第n个离均差也就随之而定，不能再任 意变动。
【例】有5个观察值3、4、6、8、9，其平均数6。
5个察值的离均差为-3，-2，0，2，3，满足：
(x x) 0
一般，在计算离均差平方和时，若约束条 件为k个，则其自由度dƒ=n-k。
如：总体平均数 ---- μ
心理统计学PPT课件2：平均数和标准差
无偏性
当数据量足够大时，平均 数的期望值等于其真实值， 因此平均数具有无偏性。
02
CHAPTER
标准差
定义
01
描述数据分布的离散程度
标准差是用来描述数据分布离散程度的统计量，它表示各数值与其平均
数之间的偏差程度。
02
计算每个数值与平均数的差的平方
标准差的计算方法是将每个数值与平均数之间的差的平方，然后求和，
04
CHAPTER
平均数和标准差的局限性和 注意事项
平均数的局限性
平均数易受极端值影响
01
当数据集中存在极端值时，平均数会受到较大影响，导致结果
偏离实际。
平均数难以反映数据分布
02
平均数只能描述数据集的中心趋势，无法反映数据的离散程度
和分布形态。
不同数据集的平均数难以比较
03
由于不同数据集的单位、量级可能不同，直接比较两个数据集
03
CHAPTER
平均数和标准差在心理统计 中的应用
描述数据分布
平均数
描述数据集中趋势，计算所有数值的 和除以数值的数量，反映数据“中心 ”或“典型值”。
标准差
描述数据离散程度，计算各数值与平 均数之差的平方和的平均数，再取平 方根，反映数据分布的“宽度”或“ 波动范围”。
比较两组数据
平均数差异检验
的平均数可能导致误解。
标准差的注意事项
标准差并非绝对标准
标准差的大小受数据量级和单位的影响，因此需要结合实际情境 进行解释。
标准差并非越小越好
标准差小表示数据离散程度较小，但这并不意味着数据质量就高。
标准差并非适用于所有情况
对于非正态分布的数据，标准差可能无法准确反映数据的离散程度。
生物统计第二章 补充习题及答案
第二章习题及答案（来源：《生物统计学学习指导》李春喜等，科学出版社，2008：p14-15）一、填空1.变量的分布有两个明显的基本特征，即和。
二、判断1.计数资料也称为连续性变异资料。
计量资料也称为不连续性变异资料或间断性变异资料。
（）三、选择题（《生物统计学题解及练习》杜荣赛高等教育出版社。
2003.p164）1.下面的变量属于非连续性变量的是( )。
A. 身高B. 体重C. 血型D. 血压2.身高、体重、年龄这一类数据属于（）。
A. 离散性数据B. 计数数据C. 连续性数据D. 质量性状资料3.身高、体重、年龄这一类数据属于（）。
A. 离散性数据B. 计数数据C. 计量资料D. 质量性状资料4.每十人中男性人数，每一万人中得H1N1流感人数，每亩麦田中杂草株数等，这一类数据属于（）。
A. 离散性数据B. 连续性数据C. 计量资料D. 质量性状资料5.每十人中男性人数，每一万人中得H1N1流感人数，每亩麦田中杂草株数等，这一类数据属于（）。
A. 计数数据B. 连续性数据C. 计量资料D. 质量性状资料6.频数按其组值的次序排列起来，称为（）。
A. 频数排列B. 频数分布C. 组值排列D. 二项分布四、计算题1. 现以50枚受精种蛋孵化出雏鸡的天数为例，说明计数资料的整理。
21 20 20 21 23 22 22 22 21 22 20 23 22 23 22 19 22 2324 22 19 22 21 21 21 22 22 24 22 21 21 22 22 23 22 22小鸡出壳天数在19─24天范围内变动，有6个不同的观察值。
用各个不同观察值进行分组，共分为6组，可得表2-3形式的次数分布表。
表2-3 50枚受精种蛋出雏天数的次数分布表孵化天数划线计数次数（f）19 ║ 220 ║│ 321 ╫╫╫╫1022 ╫╫╫╫╫╫╫╫║║2423 ╫╫║║924 ║ 2合计50从表2-3可以看出：种蛋孵化出雏天数大多集中在21−23天，以22 天的最多，孵化天数较短（19−20天）和较长（24天）的都较少。
生物统计学0210精品PPT课件
而反映离散性的特征值(统计量)是变异数，主要 包括极差、方差、标准差和变异系数。
对某种具体事物或现象的观察结果，以及来自生 物学试验及调查的原始数据，都称为资料(data)。
在未整理之前，这些资料一般是分散的、零星的 和孤立的，是一堆无序的数字和符号。
统计分析过程就是对这些资料进行整理、分类、 计算，再以图、表、特征值(统计量)、方程等反映结果。
目录
0. 本章提要 1. 试验资料的搜集与整理
1.1 试验资料的搜集 (调查; 试验) 1.2 试验资料的整理 (检查与核对; 类型; 表; 图) 2. 试验资料统计量的计算 2.1 平均数 (算术平均数; 中位数; 众数; 几何平均数) 2.2 变异数 (极差; 方差; 标准差; 变异系数)
第二章 试验资料的整理与统计量的计算
试验和调查资料一般具有两类性状：数量性状 (quantitative character)和质量性状(qualitative character)。数量性状是定量的，而质量性状则是定性 的。所以资料也可以如此分为二类。
1.2.2.1 数量性状资料
数量性状资料(data of quantitatiБайду номын сангаасe character)，一般是 由计数和测量得到的。由计数法得到的数据称为计数 资料(enumeration data)，也称为非连续变量资料(data of discontinuous variable)，以正整数出现。例如，鱼 尾数、玉米果穗籽粒行数、种群内个体数、白血细胞 数等，只可能是 1，2，…，n。
本章提要：试验资料的搜集与整理，是数据资料处理 的首要环节。
搜集资料时常用的方法为调查和试验；资料的整 理，一般通过对原始资料进行检查、核对、制作频数 分布表和频数分布图来完成。
对某种具体事物或现象的观察结果，以及来自生 物学试验及调查的原始数据，都称为资料(data)。
在未整理之前，这些资料一般是分散的、零星的 和孤立的，是一堆无序的数字和符号。
统计分析过程就是对这些资料进行整理、分类、 计算，再以图、表、特征值(统计量)、方程等反映结果。
目录
0. 本章提要 1. 试验资料的搜集与整理
1.1 试验资料的搜集 (调查; 试验) 1.2 试验资料的整理 (检查与核对; 类型; 表; 图) 2. 试验资料统计量的计算 2.1 平均数 (算术平均数; 中位数; 众数; 几何平均数) 2.2 变异数 (极差; 方差; 标准差; 变异系数)
第二章 试验资料的整理与统计量的计算
试验和调查资料一般具有两类性状：数量性状 (quantitative character)和质量性状(qualitative character)。数量性状是定量的，而质量性状则是定性 的。所以资料也可以如此分为二类。
1.2.2.1 数量性状资料
数量性状资料(data of quantitatiБайду номын сангаасe character)，一般是 由计数和测量得到的。由计数法得到的数据称为计数 资料(enumeration data)，也称为非连续变量资料(data of discontinuous variable)，以正整数出现。例如，鱼 尾数、玉米果穗籽粒行数、种群内个体数、白血细胞 数等，只可能是 1，2，…，n。
本章提要：试验资料的搜集与整理，是数据资料处理 的首要环节。
搜集资料时常用的方法为调查和试验；资料的整 理，一般通过对原始资料进行检查、核对、制作频数 分布表和频数分布图来完成。
统计医学2.均数标准差陆课件
数据标准化的优势
使用标准化方法处理数据
感谢您的观看
THANKS
02
中位数和四分位数的定义
中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数值，而四分位数则是将数据分为四个等份后所对应的数值。
使用中位数和四分位数描述数据分布
将数据转换为具有均值为0、标准差为1的分布的过程。
数据标准化的定义
可以使用Z分数、最小最大标准化等方法进行数据标准化。
数据标准化的方法
能够消除数据量纲和量级的影响，使得不同量纲的数据之间可以进行比较和分析。同时，标准化后的数据更容易进行统计分析和机器学习算法的应用。
公式表示为：标准差 = sqrt[(1/N) * Σ(xi - μ)²]，其中μ为平均数，xi为每个数据点，N为数据点的数量。
简单平均数标准差的计算
加权平均数标准差是指数据集中每个数据点具有不同的权重，通过计算每个数据点与加权平均数的差的平方，然后乘以相应的权重，再求和，再除以总权重，最后取平方根得到标准差。
总结词
在公共卫生研究中的应用
05
均数标准差的局限性
对异常值敏感
异常值是指远离数据集中心的值，可能会对均数和标准差产生显著影响。均数标准差方法对异常值较为敏感，因为异常值会扭曲均数和标准差的计算结果。
在处理数据时，应识别和适当处理异常值，以避免对均数和标准差的误导。常用的处理方法是删除异常值或使用稳健统计方法。
总体标准差的计算公式为：σ = sqrt[(1/N) * Σ(xi - μ)²]，其中μ为总体平均数，xi为每个数据点，N为数据点的数量。样本标准差的计算公式为：s = sqrt[(1/(n-1)) * Σ(xi - μ)²]，其中μ为样本平均数，xi为每个数据点准差是离散程度的度量
使用标准化方法处理数据
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02
中位数和四分位数的定义
中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数值，而四分位数则是将数据分为四个等份后所对应的数值。
使用中位数和四分位数描述数据分布
将数据转换为具有均值为0、标准差为1的分布的过程。
数据标准化的定义
可以使用Z分数、最小最大标准化等方法进行数据标准化。
数据标准化的方法
能够消除数据量纲和量级的影响，使得不同量纲的数据之间可以进行比较和分析。同时，标准化后的数据更容易进行统计分析和机器学习算法的应用。
公式表示为：标准差 = sqrt[(1/N) * Σ(xi - μ)²]，其中μ为平均数，xi为每个数据点，N为数据点的数量。
简单平均数标准差的计算
加权平均数标准差是指数据集中每个数据点具有不同的权重，通过计算每个数据点与加权平均数的差的平方，然后乘以相应的权重，再求和，再除以总权重，最后取平方根得到标准差。
总结词
在公共卫生研究中的应用
05
均数标准差的局限性
对异常值敏感
异常值是指远离数据集中心的值，可能会对均数和标准差产生显著影响。均数标准差方法对异常值较为敏感，因为异常值会扭曲均数和标准差的计算结果。
在处理数据时，应识别和适当处理异常值，以避免对均数和标准差的误导。常用的处理方法是删除异常值或使用稳健统计方法。
总体标准差的计算公式为：σ = sqrt[(1/N) * Σ(xi - μ)²]，其中μ为总体平均数，xi为每个数据点，N为数据点的数量。样本标准差的计算公式为：s = sqrt[(1/(n-1)) * Σ(xi - μ)²]，其中μ为样本平均数，xi为每个数据点准差是离散程度的度量
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例2.2：一个有1000个个体的群体，等位基因 A 的 2.2：一个有1000个个体的群体， 1000个个体的群体 频率为0.6，另一个400个个体的群体， 频率为0.6，另一个400个个体的群体， 0.6 400个个体的群体 等位基因 A 的频率为0.3，这两个群体的混 的频率为0.3， 0.3 合在一起，整个混合群体的等位基因 A 的 合在一起， 频率为： 频率为：
1 1 1 3.6 H= = = = = 0.4(kg / day) 1 1 1 1 1 4 + 3+ 2 9 9 ( + + ) ( ) 3 0.3 0.4 0.6 3 1.2 3.6
• 生物统计学，一整本书的 生物统计学， 有关PP以去光顾下，看 看你有没需要的. 看你有没需要的 • 是我从淘宝网买的。 是我从淘宝网买的。
上次课主要内容回顾
1. 原始资料 2. 统计资料 3. 资料整理的目的和过程 4. 连续性资料和离散性资料 5. 连续性资料的频率分布（全距、组数、组距、组中值、 连续性资料的频率分布（全距、组数、组距、组中值、 组上限、组下限、频数、频率） 组上限、组下限、频数、频率） 6. 离散性资料的频率分布（类别、频数、频率） 离散性资料的频率分布（类别、频数、频率） 7. 统计表（简单表、复合表、与统计图的关系） 统计表（简单表、复合表、与统计图的关系） 8. 统计图（种类以及适合那类资料） 统计图（种类以及适合那类资料）
∑(x − x) = (x − x) + (x
i 1 i
2
− x) +L + (xn − x) L
= x1 + x2 +L + xn + n× x L
∑x = ∑x − n× n
=0
i
2.5.1 算术平均数
头猪的体重分别为70、 、 、 、 例2.2：5头猪的体重分别为 、72、80、83、 2.2： 头猪的体重分别为 88kg，5头猪的算术平均数是 头猪的算术平均数是78.6 kg。 ， 头猪的算术平均数是 。
比较；不同品种的家畜、 比较；不同品种的家畜、家禽之间生产性能 的比较
2.5 集中趋势的度量
主要内容： 主要内容：
一、算术平均数 二、中位数、众数、几何平均数和调和平均数 中位数、众数、 三、5 种平均数的关系和评价
2.5.1 算术平均数
一、定义 一组资料中，所有观测值的总和除以其个数 资料中， 资料中 所得到的商，称为算术平均数，简称平均数或均数。 所得到的商，称为算术平均数，简称平均数或均数。 是最常用的一种集中趋势度量指标。 是最常用的一种集中趋势度量指标。 样本的平均数记为 总体平均数记为
G = n x1 × x2 L xn = n ∏xi L
为了计算方便，各变数先取对数，再相加除以n 为了计算方便，各变数先取对数，再相加除以n， 即为lg G，再求其反对数，即为G 即为lg G，再求其反对数，即为G值。
1 G = lg (lg G) = lg (lg x1 + lg x2 +L+ lg xn ) n
1 对数形式 G = lg n (∑ fi ×lg xi )
−1
例2.4 P15
2.5.2 几何平均数
例2.4：对某地一免疫鸡群测定其对鸡新城疫的血球凝集 2.4： 抑制滴度分布情况见下表， 抑制滴度分布情况见下表，请计算该鸡群的平均血球凝集 抑制滴度。 抑制滴度。
ND-HI 滴度 1： 10 ： 1： 20 ： 1： 40 ： ： 1： 80 1： 160 ： 1： 320 ： 1： 640 ： 合计 检查鸡数（ ） 检查鸡数 （ f） 8 38 44 47 29 15 2 183
G = lg
−1
∑ f lg x = lg
n
324.48410 = lg −11.77313 = 59.31 183
2.5.3 调和平均数
定义：各观察值倒数的平均数的倒数 定义：
1 1 1 1 1 1 1 = ( + +L+ ) = ∑ H n x1 x2 xn n x
1 H= 1 1 ∑ x n
2.5.3 调和平均数
某头肉猪在原体重基础上净增重150kg， 某头肉猪在原体重基础上净增重 150kg ， 经 150kg 测定第一个50kg的日增重为 测定第一个 50kg 的日增重为 0.3kg ， 第二与第三 50kg 的日增重为0 kg， 50kg分别为0 kg分别为 kg，求全期平均日增重。 个50kg分别为0.4与0.6kg，求全期平均日增重。
∑(x − x) = (70 −78.6) + (72 −78.6) + (80 −78.6)
i
+ (83− 78.6) + (88 − 78.6) = (−8.6) + (−6.6) +1.4 + 4.4 + 9.4 =0
2.5.1 算术平均数
（二）离均差平方和最小：一个样本的各个观察 离均差平方和最小： 值与平均数之差的平方和比各个观察值与任意其 他数之差的平方和小。 他数之差的平方和小。即：
−1
X 10 20 40 80 160 320 640
lgx 1.00000 1.30103 1.60206 1.90309 2.20412 2.50515 2.80618
flgx` 8.00000 49.43914 70.49064 89.44523 63.91948 37.57725 5.61236 324.x − A)
2 i i
2
所以：平均数是与各个观察值最接近的数值。 所以：平均数是与各个观察值最接近的数值。 所以：平均数代表这个样本的集中趋势。 所以：平均数代表这个样本的集中趋势。
2.5.2 几何平均数
定义： 个非负数的乘积开n 定义：n个非负数的乘积开n次方的根称为几何平 均数， 表示。 均数，用 G 表示。
2.5.2 几何平均数
年有100头奶牛，已知在 头奶牛， 例2.3：某奶牛场在 ：某奶牛场在1995年有 年有 头奶牛 1996，1997和1998年的奶牛头数分别为前一年的 ， 和 年的奶牛头数分别为前一年的 2，3和4.5倍，求其年平均增加率。 ， 和 倍 求其年平均增加率。 解：
G = 2×3×4.5 = 27 = 3
2.5.1 算术平均数
x=
1
∑f
1
∑f x
xi=组中值 fi=组中值出现的频数
i i
i
13120 x= ∑ fx = 200 = 65.60(kg) ∑f
对于表2－ 和表 和表2－ 的资料请同学们自己在课外计算 对于表 －2和表 －5的资料请同学们自己在课外计算
2.5.1 算术平均数
三、性质 （一）离均差之和为零： 离均差之和为零： 一个样本观察值与平均数之差简称离均差。 一个样本观察值与平均数之差简称离均差。
加权法， 加权法，即计算时先将各个变数乘上它 的权数，再经过总和，然后除以权数的总和， 的权数，再经过总和，然后除以权数的总和， 称为加权平均数。 称为加权平均数。
2.5.1 算术平均数
计算公式： 计算公式：
x=
1
∑f
∑f x
i i
i
xi=变数值 fi=变数值xi出现的频数
2.5.1 算术平均数
上述计算方法称为直接法，适用于样本小，即资 上述计算方法称为直接法，适用于样本小， 直接法 料内包含变数个数不多，一般在30 30个变数以下未经 料内包含变数个数不多，一般在30个变数以下未经 分组的资料。 分组的资料。
2.5.1 算术平均数
二、加权法
分类资料：每个类别在某个指标上取相同的值。 1. 分类资料：每个类别在某个指标上取相同的值。 计数资料和连续性资料： 2. 计数资料和连续性资料：频率分布表
2.5.3 调和平均数
简单调和 平均数
n H= 1 ∑ x
加权调和 平均数
∑f H= 1 ∑f × x
i i i
适用于极端右偏态，例2-6 适用于极端右偏态，
2.5.3 调和平均数
从公式可以知道： 从公式可以知道：调和几何平均数就是首先将原 数据转换为倒数；然后求倒数值的算数平均数； 数据转换为倒数；然后求倒数值的算数平均数； 最后再取倒数还原。 最后再取倒数还原。 调和平均数主要用于速度类资料， 调和平均数主要用于速度类资料，或者数据中有 个别极端大的值的情况。 个别极端大的值的情况。
0.6×1000 + 0.3×400 x= ∑ fi xi = 1000 + 400 = 0.5131 ∑ fi 1
2.5.1 算术平均数
例2.3：200头大白猪的仔猪的一月窝重的资料 2.3：200头大白猪的仔猪的一月窝重的资料
组别 8— — 16— — 24— — — 32— 40— — 48— — 56— — 64— — 72— — 80— — 88— — 96— — 104— — 112— — 总和 组 中 值 （ x） ） 12 20 28 36 44 52 60 68 76 84 92 100 108 116 次 数 （ f） ） 4 6 9 10 13 17 26 35 28 21 16 8 4 3 200 fx 48 120 252 360 572 884 1560 2380 2128 1764 1472 800 432 348 13120
2.5 集中趋势的度量
意义： 意义：
作为一个资料的代表， 作为一个资料的代表，指出资料中各变数集 中较多的中心位置，用来与另一资料相比较。 中较多的中心位置，用来与另一资料相比较。不同 的平均数适合于不同的数据资料。 的平均数适合于不同的数据资料。
例如：不同国家、地区、种族之间身高、 例如：不同国家、地区、种族之间身高、体重等的
1 1 x = ∑x = (7 + 7 + 8 +8 + 8 + 9 + 9 + 9 +10 +10) = 8.5 n 10
1 1 1 3.6 H= = = = = 0.4(kg / day) 1 1 1 1 1 4 + 3+ 2 9 9 ( + + ) ( ) 3 0.3 0.4 0.6 3 1.2 3.6
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上次课主要内容回顾
1. 原始资料 2. 统计资料 3. 资料整理的目的和过程 4. 连续性资料和离散性资料 5. 连续性资料的频率分布（全距、组数、组距、组中值、 连续性资料的频率分布（全距、组数、组距、组中值、 组上限、组下限、频数、频率） 组上限、组下限、频数、频率） 6. 离散性资料的频率分布（类别、频数、频率） 离散性资料的频率分布（类别、频数、频率） 7. 统计表（简单表、复合表、与统计图的关系） 统计表（简单表、复合表、与统计图的关系） 8. 统计图（种类以及适合那类资料） 统计图（种类以及适合那类资料）
∑(x − x) = (x − x) + (x
i 1 i
2
− x) +L + (xn − x) L
= x1 + x2 +L + xn + n× x L
∑x = ∑x − n× n
=0
i
2.5.1 算术平均数
头猪的体重分别为70、 、 、 、 例2.2：5头猪的体重分别为 、72、80、83、 2.2： 头猪的体重分别为 88kg，5头猪的算术平均数是 头猪的算术平均数是78.6 kg。 ， 头猪的算术平均数是 。
比较；不同品种的家畜、 比较；不同品种的家畜、家禽之间生产性能 的比较
2.5 集中趋势的度量
主要内容： 主要内容：
一、算术平均数 二、中位数、众数、几何平均数和调和平均数 中位数、众数、 三、5 种平均数的关系和评价
2.5.1 算术平均数
一、定义 一组资料中，所有观测值的总和除以其个数 资料中， 资料中 所得到的商，称为算术平均数，简称平均数或均数。 所得到的商，称为算术平均数，简称平均数或均数。 是最常用的一种集中趋势度量指标。 是最常用的一种集中趋势度量指标。 样本的平均数记为 总体平均数记为
G = n x1 × x2 L xn = n ∏xi L
为了计算方便，各变数先取对数，再相加除以n 为了计算方便，各变数先取对数，再相加除以n， 即为lg G，再求其反对数，即为G 即为lg G，再求其反对数，即为G值。
1 G = lg (lg G) = lg (lg x1 + lg x2 +L+ lg xn ) n
1 对数形式 G = lg n (∑ fi ×lg xi )
−1
例2.4 P15
2.5.2 几何平均数
例2.4：对某地一免疫鸡群测定其对鸡新城疫的血球凝集 2.4： 抑制滴度分布情况见下表， 抑制滴度分布情况见下表，请计算该鸡群的平均血球凝集 抑制滴度。 抑制滴度。
ND-HI 滴度 1： 10 ： 1： 20 ： 1： 40 ： ： 1： 80 1： 160 ： 1： 320 ： 1： 640 ： 合计 检查鸡数（ ） 检查鸡数 （ f） 8 38 44 47 29 15 2 183
G = lg
−1
∑ f lg x = lg
n
324.48410 = lg −11.77313 = 59.31 183
2.5.3 调和平均数
定义：各观察值倒数的平均数的倒数 定义：
1 1 1 1 1 1 1 = ( + +L+ ) = ∑ H n x1 x2 xn n x
1 H= 1 1 ∑ x n
2.5.3 调和平均数
某头肉猪在原体重基础上净增重150kg， 某头肉猪在原体重基础上净增重 150kg ， 经 150kg 测定第一个50kg的日增重为 测定第一个 50kg 的日增重为 0.3kg ， 第二与第三 50kg 的日增重为0 kg， 50kg分别为0 kg分别为 kg，求全期平均日增重。 个50kg分别为0.4与0.6kg，求全期平均日增重。
∑(x − x) = (70 −78.6) + (72 −78.6) + (80 −78.6)
i
+ (83− 78.6) + (88 − 78.6) = (−8.6) + (−6.6) +1.4 + 4.4 + 9.4 =0
2.5.1 算术平均数
（二）离均差平方和最小：一个样本的各个观察 离均差平方和最小： 值与平均数之差的平方和比各个观察值与任意其 他数之差的平方和小。 他数之差的平方和小。即：
−1
X 10 20 40 80 160 320 640
lgx 1.00000 1.30103 1.60206 1.90309 2.20412 2.50515 2.80618
flgx` 8.00000 49.43914 70.49064 89.44523 63.91948 37.57725 5.61236 324.x − A)
2 i i
2
所以：平均数是与各个观察值最接近的数值。 所以：平均数是与各个观察值最接近的数值。 所以：平均数代表这个样本的集中趋势。 所以：平均数代表这个样本的集中趋势。
2.5.2 几何平均数
定义： 个非负数的乘积开n 定义：n个非负数的乘积开n次方的根称为几何平 均数， 表示。 均数，用 G 表示。
2.5.2 几何平均数
年有100头奶牛，已知在 头奶牛， 例2.3：某奶牛场在 ：某奶牛场在1995年有 年有 头奶牛 1996，1997和1998年的奶牛头数分别为前一年的 ， 和 年的奶牛头数分别为前一年的 2，3和4.5倍，求其年平均增加率。 ， 和 倍 求其年平均增加率。 解：
G = 2×3×4.5 = 27 = 3
2.5.1 算术平均数
x=
1
∑f
1
∑f x
xi=组中值 fi=组中值出现的频数
i i
i
13120 x= ∑ fx = 200 = 65.60(kg) ∑f
对于表2－ 和表 和表2－ 的资料请同学们自己在课外计算 对于表 －2和表 －5的资料请同学们自己在课外计算
2.5.1 算术平均数
三、性质 （一）离均差之和为零： 离均差之和为零： 一个样本观察值与平均数之差简称离均差。 一个样本观察值与平均数之差简称离均差。
加权法， 加权法，即计算时先将各个变数乘上它 的权数，再经过总和，然后除以权数的总和， 的权数，再经过总和，然后除以权数的总和， 称为加权平均数。 称为加权平均数。
2.5.1 算术平均数
计算公式： 计算公式：
x=
1
∑f
∑f x
i i
i
xi=变数值 fi=变数值xi出现的频数
2.5.1 算术平均数
上述计算方法称为直接法，适用于样本小，即资 上述计算方法称为直接法，适用于样本小， 直接法 料内包含变数个数不多，一般在30 30个变数以下未经 料内包含变数个数不多，一般在30个变数以下未经 分组的资料。 分组的资料。
2.5.1 算术平均数
二、加权法
分类资料：每个类别在某个指标上取相同的值。 1. 分类资料：每个类别在某个指标上取相同的值。 计数资料和连续性资料： 2. 计数资料和连续性资料：频率分布表
2.5.3 调和平均数
简单调和 平均数
n H= 1 ∑ x
加权调和 平均数
∑f H= 1 ∑f × x
i i i
适用于极端右偏态，例2-6 适用于极端右偏态，
2.5.3 调和平均数
从公式可以知道： 从公式可以知道：调和几何平均数就是首先将原 数据转换为倒数；然后求倒数值的算数平均数； 数据转换为倒数；然后求倒数值的算数平均数； 最后再取倒数还原。 最后再取倒数还原。 调和平均数主要用于速度类资料， 调和平均数主要用于速度类资料，或者数据中有 个别极端大的值的情况。 个别极端大的值的情况。
0.6×1000 + 0.3×400 x= ∑ fi xi = 1000 + 400 = 0.5131 ∑ fi 1
2.5.1 算术平均数
例2.3：200头大白猪的仔猪的一月窝重的资料 2.3：200头大白猪的仔猪的一月窝重的资料
组别 8— — 16— — 24— — — 32— 40— — 48— — 56— — 64— — 72— — 80— — 88— — 96— — 104— — 112— — 总和 组 中 值 （ x） ） 12 20 28 36 44 52 60 68 76 84 92 100 108 116 次 数 （ f） ） 4 6 9 10 13 17 26 35 28 21 16 8 4 3 200 fx 48 120 252 360 572 884 1560 2380 2128 1764 1472 800 432 348 13120
2.5 集中趋势的度量
意义： 意义：
作为一个资料的代表， 作为一个资料的代表，指出资料中各变数集 中较多的中心位置，用来与另一资料相比较。 中较多的中心位置，用来与另一资料相比较。不同 的平均数适合于不同的数据资料。 的平均数适合于不同的数据资料。
例如：不同国家、地区、种族之间身高、 例如：不同国家、地区、种族之间身高、体重等的
1 1 x = ∑x = (7 + 7 + 8 +8 + 8 + 9 + 9 + 9 +10 +10) = 8.5 n 10