线性代数知识点总结(汇总).docx

线性代数知识点总结

第一章行列式

1. n 阶行列式()()

121212111212122212121=

-∑

L L L L L M M O M L

n n

n t p p p n p p np p p p n n nn

a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式

()

111211222211221122010

0n t n n nn nn nn

a a a a a D a a a a a a a =

=-=L L

L L L M M O M L

12n n

λλλλλλ=L O

，

()

()1

121n n n n

λλλλλλ-=-L N

3.行列式的性质

定义

记

1112121

212

n n n n nn a a a a a a D a a a =

L L

M M O M ，11211

212n n T n n

a a a a a a D a a a =L

L M M O M L

，行列式T

D 称为行列式D 的转置行列式。

性质1

行列式与它的转置行列式相等。

性质2 互换行列式的两行()

?i j r r 或列()

?i j c c ，行列式变号。推论如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。

性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式；

推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2

D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。

性质4

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()i i n

i i n n n ni ni

a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+=

'+L L

L L M M

M L

11121111121

12122222122221212i n i n i n i n n n ni nn

n n ni

nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=

'L L L L L L L L L L L L L L L L L L L

L L L 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，

行列式的值不变。

而算得行列式的值。

4. 行列式按行（列）展开

余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M 。代数余子式 ()

1i j

ij ij A M +=-记，叫做元素ij a 的代数余子式。

引理

一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除（i ，j ）(,)i j 元外ij a 都为零，那么这

行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij D a A =。

（高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0，保留一个非零元素，降阶）

定理

n 阶行列式 111212122212=

L L M M O M L

n n n n nn

a a a a a a D a a a 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应

的代数余子式的乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++L ，(1,2,,)

i n =L 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++L 或，(1,2,,)j n =L 。

第二章矩阵

1.矩阵

11121212221

1n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?

= ? ???

L L L L L L L

行列式是数值，矩阵是数表，各个元素组成

方阵：行数与列数都等于n 的矩阵A 。记作：A n 。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）

对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E

注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

2. 矩阵的运算

矩阵的加法 111112121121212222221122

n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++??

+++ ?

+++??

L L L L L L

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。矩阵加法的运算规律

()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++

()()111212122211

3,()n n ij ij m n

m n m m mn a a a a a a A a A a a a a ??---??

?--- ?

=-=-= ?

?---??

L L L L L L L

设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵

()()()40,A A A B A B +-=-=+-。

数与矩阵相乘

111212122211

,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ??

? ?

== ?

???

L L L L L L L

数与矩阵的乘积记作或规定为

数乘矩阵的运算规律（设A B 、为m n ?矩阵，,λμ为数）

()()()1A A λμλμ=；()()2A A A λμλμ+=+；()()3A B A B λλλ+=+。

矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘设(b )ij B =是一个m s ?矩阵，(b )ij B =是一个s n ?矩阵，那么规定矩阵

与矩阵

的乘积是一个m n ?矩阵(c )ij C =，其中

()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ??

? ?

=+++ ? ? ???

L L M 1s ik kj k a b ==∑，()1,2,;1,2,,i m j n ==L L ，

并把此乘积记作C AB = 注意

1。A 与B

2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB BA ≠，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

3。对于n 阶方阵A 和B ，若AB=BA ，则称A 与B 是可交换的。

矩阵乘法的运算规律

()()()1AB C A BC =； ()()()()2AB A B A B λλλ==

()()3A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ?????==

()5若A 是n 阶方阵，则称 A k 为A 的k 次幂，即k k A A A A =L 14243

个

，并且m k m k A A A +=，()

m mk A A =(),m k 为正整数。规定：A 0＝E （只有方阵才有幂运算）

注意矩阵不满足交换律，即AB BA ≠，()k

k k AB A B ≠（但也有例外）转置矩阵

把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作A T ，

()()

T A A =；()()2T T T A B A B +=+；()()3T T A A λλ=；()()4T

T T AB B A =。

方阵的行列式

由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作A

注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表，而n

阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。

()1T A A =；()2n A A λλ=；(3)AB A B B A BA ===

对称阵设A 为n 阶方阵，如果满足A =A T ，那么A 称为对称阵。伴随矩阵

行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵

1121112

22212n n n

n nn A A A A A A A A A A *?? ? ?

= ? ???

L L L L L L L

称为矩阵A 的伴随矩阵。性质 AA A A A E **==（易忘知识点）

总结

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩

阵相乘不满足交换律。

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。

逆矩阵：AB ＝BA ＝E ，则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵。

1A B -=即。

说明

1 A ，B 互为逆阵， A = B -1

2 只对方阵定义逆阵。（只有方阵才有逆矩阵） 3.若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的。定理1

矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，并且当A 可逆时，有1

A A

（重要）奇异矩阵与非奇异矩阵

当0A =时，A 称为奇异矩阵，当0A ≠时，A 称为非奇异矩

求逆矩阵方法

1(1)||||021(3)||

A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在；

（）求；求

。

初等变换的应用：求逆矩阵：()

1(|)|A E E A -????→初等行变换

。

逆矩阵的运算性质

()()

111,,A A A A

---=若可逆则亦可逆且()()

2,0,,A A A A λλλλ

--≠=

若可逆数则可逆且。

()1113,,,A B AB AB B A ---=若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()。

()()

()1

14,,T

T T A A A A --=若可逆则亦可逆且。

()1

5,A A A --=若可逆则有。

3.矩阵的初等变换

初等行（列）变换

()1()i j r r ?对调两行，记作。

(

)20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。

()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。

初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。矩阵等价

A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。

行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。（非零行数及矩阵的秩）

000003400052130230

12的秩求矩阵????

??? ??----=B R(B)=3

行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元

素都为0.

标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n

E O

F O O ???

???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的应用

求逆矩阵：()1

(|)|A E E A -????→初等行变换

或1A E E A -????

????

→ ? ?????

初等列变换。 4. 矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵m n A ?，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩

阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）

说明

1. 矩阵A m ×n ，则 R (A ) ≤min{m ,n };

2. R (A ) = R (A T );

3. R (A )≥r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零;

4. R (A )≤r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零. 满秩和满秩矩阵

矩阵()

ij m n

A a ?=，若()R A m =，称A 为行满秩矩阵；若()R A n =，

称A 为列满秩矩阵；,(),A n R A n A =若为阶方阵且则称为满秩矩阵。

()n A R A n =若阶方阵

满秩，即

1A -?

必存在；

A ?

为非奇异阵；

,~.n n A E A E ?

必能化为单位阵即

矩阵秩的求法

定理1 矩阵A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A ～B ，则R (A )=R (B )。推论

()()P Q R PAQ R A =若、可逆，则

矩阵秩的性质总结

(1)0()min{,}

m n R A m n ?≤≤

(2)()()T R A R A =

()()

(3)~, A B R A R B =若则

()()P Q R PAQ R A =(4)若、可逆，则

(5)max{(),()}(,)()()

()(,)() 1.R A R B R A B R A R B B b R A R A R A ≤≤+=≤≤+b 特别当为非零列向量时，有

(6)()()()R A B R A R B +≤+ (7)()min{(),()}.R AB R A R B ≤

(8),()().m n n l A B O R A R B n ??=+≤若则

(9)AB=O A B=O 设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。

第三章

1. n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为

1212()(,,,)...T n n a a a a a a αα?? ? ?== ? ???

L 列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。向量组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。

设矩阵A=(a ij )m ×n

有n 个m 维列向量，即11

1121

22221

j n m m mj mn A a a a a a a

a a a a ?? ?

? ? ???

L L M M M M M M L L ，

12n a ,a ,,a A L 向量组称为矩阵的列向量组。同理，也可说矩阵A 有m 个行向量组组成。

向量，向量组，矩阵与方程组的关系向量组?矩阵：12 (,,,)m A ααα=L

向量方程 ?方程组：11112122122212

n n1n2n ...m m m m a a a b a a a b x x x a a a b ???????? ? ? ? ? ?

? ? ?+++= ? ? ? ? ? ? ? ?????????

M M M M ，可简写作1122n n x x x αααβ+++=L

向量方程?方程组?矩阵形式1122

12 (,,,)m n n x b x b Ax b x b ααα????

? ? ? ?=?= ? ? ? ?????

L M M

线性组合

给定向量组12:,,,m A αααL 和向量b ，如果存在一组数12,m λλλL ，，

使

定理1

向量b 能由向量组12:,,,m A αααL 线性表示的充分必要条件是矩阵

12(,,,)m A a a a =L 的秩等于矩阵12(,,,,b)m B a a a =L 的秩。即R(A)=R(A,b)。

向量组的线性表示

设有两个向量组1212:,,,:,,,m s A B αααβββL L 及，若B 组中每

个向量都能由向量组A 线性表示，则称向量组B 能由向量组A 线性表示，若向量组A 与向

量组B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。向量组的线性相关

给定向量组12m :,,,A αααL ，如果存在不全为零的数12,,,m

k k k L 使11220m m k k k ααα+++

=L ，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；若当且仅当120m k k k ====L 时上式成立，则称向量组A 线性无关。线性相关：可线性组合表示的，线性无关：相互独立，互不代表注意

1.对于向量组来说，不是线性无关，就是线性相关。

2.对于两个向量来说，线性相关意味着两向量的分量对应成比例，几何含义两向量共线；三个向量线性相关意味着三向量共面。

3.,0 ,0,ααααα=≠向量组只有一个向量时若则说线性相关若则说线性无关。

4.包含零向量的任何向量组是线性相关的，此时总存在不为零的k ，使得

1200000n k ααα+++++=L L

线性相关性的判定

定理向量组12,,,m αααL （当2m ≥时）线性相关的充分必要条件是12,,,m αααL 中至少有一个向量可由其余m -1个向量线性表示

定理4 向量组12:,,,m A a a a L 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵

12(,,,)m A a a a =L 小于向量的个数m ，向量组线性无关的充分必要条件是R （A ）=m 。

最大线性无关向量组设有向量组A ，如果在A 中能选出r 个向量12,,,r αααL ，满足：

0121:,,,r A αααL （）向量组线性无关；

(2) 向量组A 中任意r +1个向量(如果有的话)都线性相关；

则称向量组012:,,,r A αααL 是向量组A 的一个最大线性无关向量组。

(2)* 向量组A 中任何一个(其它)向量可由012:,,,r A αααL 线性表示。

第四章线性方程组的解

线性方程组1111221121122222

1122n n n n m m mn n m

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=?L L L L L L L L L L L 如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容

的。

n 元齐次线性方程组 Ax =0

（1）R(A) = n ?Ax=0 有唯一解，零解（无非零解）（2）R(A) < n ?Ax=0 有非零解. n 元非齐次线性方程组Ax b =

（1）无解的充分必要条件是(A)R(A,b)R < （2）有唯一解的充分必要条件是(A)R(A,b)n R == （3）有无限多解的充分必要条件是(A)R(A,b)n R =< 基础解系

齐次线性方程组0Ax =的通解具有形式1122x c c ξξ=+(c 1, c 2为任意常数)，称

非齐次线性方程组解的通解具有形式*1122x c c ξξη

=++

(c 1, c 2为任意常数)，不带参数部

分*

η是非齐次方程组的一个特解；带参数部分1122c c ξξ+的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。

齐次方程组解的性质、结构

非齐次方程组解的性质

,,,,,,32121221121=+++=+++=s s s

s s k k k k k k b Ax k k k b

Ax ΛΛΛΛ为任意实数，且的解向量，仍是的解向量，则

是非齐次方程）设（ηηηηηη

线性方程组的解法

齐次线性方程组：将系数矩阵A 化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解. 若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其解；

非齐次线性方程组：将增广矩阵B =(A ,b )化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；

第五章矩阵的相似

的解向量

仍是，数的解向量，则对任意实是齐次方程设0k ,0,22112121=+=Ax k k k Ax ξξξξ.

00k k ,1)( 22112121的解为对应的齐次方程时，则当的解都是及设=+==+===Ax k k x b Ax x x ηηηη.

1k k ,2)( 22112121的解

为对应的齐次方程时，则当的解都是及设b Ax k k x b Ax x x =+==+===ηηηη

第六章二次型