离散数学 第2章 习题解答

第2章习题解答

2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域.

(1) 令x

(是鸟

x

F:)

(会飞翔.

G:)

x

x

命题符号化为

x

F

∀.

G

x→

)

(

))

(

(x

(2)令x

x

(为人.

F:)

(爱吃糖

G:)

x

x

命题符号化为

x

F

x→

G

⌝∀

))

(

)

(

(x

或者

F

x⌝

x

∧

∃

)

))

(

(

(x

G

(3)令x

x

(为人.

F:)

G:)

(爱看小说.

x

x

命题符号化为

x

F

∃.

G

x∧

(x

(

))

(

)

(4) x

(为人.

x

F:)

(爱看电视.

G:)

x

x

命题符号化为

F

x⌝

∧

⌝∃.

x

G

(

)

(

))

(x

分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的)

F都是特性谓词。

(x

2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为

F

x

∀

G

x∧

(

))

(

)

(x

即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。

3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。

2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为

)(x xF ∀

其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。

（2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为

)(x xG ∃

其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。

（3）在)(),(),(c b a 中均符号化为

)(x xH ∃

其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析 1°命题的真值与个体域有关。

2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题

“人都呼吸”。

在个体域为人类集合时，应符号化为

)(x xF ∀

这里，x x F :)(呼吸，没有引入特性谓词。

在个体域为全总个体域时，应符号化为

))()((x G x F x →∀

这里，x x F :)(为人，且)(x F 为特性谓词。x x G :)(呼吸。

2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。

（1） 令：x x F :)(是大学生，x x G :)(是文科生，x x H :)(是理科生，命题符号化为

))()(()((x H x G x F x ∨→∀

（2）令x x F :)(是人，y y G :)(是化，x x H :)(喜欢，命题符 号化为

))),()(()((y x H y G y x F x →∀∧∃

（3）令x x F :)(是人，x x G :)(犯错误，命题符号化为

)),()((x G x F x ⌝∧⌝∃

或另一种等值的形式为

)()((x G x F x →∀

（4）令x x F :)(在北京工作，x x G :)(是北京人，命题符号化为

)),()((x G x F x →⌝∀

或

)),()((x G x F x ⌝∧∃

（5）令x x F :)(是金属，y y G :)(是液体，x y x H :),(溶解在y 中，命题符号化为

))).,()(()((y x H y G y x F x ∧∃→∀

（6）令x x F :)(与y 是对顶角，x y x H :),(与y 相等，命题符号化为

)).,(),((y x H y x F y x →∀∀

分析 （2），（5），（6）中要使用2无谓词，用它们来描述事物之间的关系。

2.4 （1）对所有的x ，存在着y ，使得0=⋅y x ，在)(),(b a 中为真命题，在)(),(d c 中为假命题。

（2）存在着,x 对所有的y ，都有0=⋅y x ，在)(),(b a 中为真命题，在)(),(d c 中为假命题。

（3）对所有x ，存在着y ，使得1=⋅y x ，在))((),(c b a 中均为假命题，而在)

(d